Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn

Nói tới ông nói tới hàng loạt những công trình nghiên cứu vĩ đại có sức ảnh hưởng vô cùng lớn trong thế kỷ 20, trong đó có nghiên cứu về ngưng tụ Bose-Einstein Bose-Einstein Condansa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

TRẦN THI ̣ THẮM

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MĂ ̣T NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN

TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN

Chuyên ngành: Vâ ̣t lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

TRẦN THI ̣ THẮM

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MĂ ̣T NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN

TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN

Chuyên ngành: Vâ ̣t lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS NGUYỄN VĂN THU ̣

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nô ̣i dung chính của khóa luâ ̣n tốt nghiê ̣p, tôi xin gửi lời

cám ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Thu ̣ người đã đi ̣nh hướng cho ̣n đề tài và đã

hướng dẫn tôi rất tâ ̣n tình để tôi làm tốt khóa luâ ̣n

Đồ ng thời tôi cám ơn giảng viên của bô ̣ môn Vâ ̣t lý lý thuyết của trường

Đa ̣i ho ̣c sư pha ̣m Hà Nô ̣i 2 đã hỗ trợ và giúp đỡ tôi trong thời gian ho ̣c tâ ̣p

cũng như thực hiê ̣n khóa luâ ̣n

Ha ̀ nô ̣i, tháng 5, năm 2018

Ta ́ c giả

Trần Thi ̣ Thắm

LỜI CAM ĐOAN

Cù ng với hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Văn Thu ̣ khóa luâ ̣n tố t nghiê ̣p chuyên ngành Vâ ̣t lý lý thuyết, đề tài “Nghiên cứu sức căng mă ̣t ngoài của ngưng tu ̣ Bose-Einstein mô ̣t thành phần trong thống kê chính tắc lớn” được cá nhân tôi thực hiê ̣n Các số liê ̣u và kết quả nêu trong đây là trung thực và chưa đươ ̣c công bố ở tài liê ̣u khoa ho ̣c nào Nếu điều đó không đúng, tôi sẽ hoàn toàn chi ̣u trách nhiê ̣m

Ha ̀ nô ̣i, tháng 5, năm 2018

Ta ́ c giả

Trần Thi ̣ Thắm

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

BEC (Bose-Einstein condensate) Ngưng tụ Bose-Einstein

GPE (Gross-Pitaevskii equation) Phương trình Gross-Pitaevskii DPA (Double-parabola approximation) Gần đú ng parabol kép GCE (Grand canoical ensemble) Tập hơ ̣p chính tắc lớn

MU ̣C LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do cho ̣n đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Những đóng góp mới của đề tài 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 3

1.1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein 3

1.1.1 Về mặt lý thuyết 3

1.1.2 Nghiên cứu thực nghiệm 4

1.1.2.1 BEC đầu tiên của nguyên tố erbium 4

1.1.2.2 Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý 5

1.2 Lý thuyết trường trung bình 6

1.2.1 Thế tương tác 6

1.2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuô ̣c vào thời gian 9

1.3 Phương pháp gần đúng Parabol kép 11

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 13

CHƯƠNG 2 SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN 14

2.1 Các hệ thống kê 14

2.1.1 Nghiên cứ u hệ hạt đồng nhất 14

2.1.2 Nghiên cứ u hệ vi chính tắc 16

2.1.3 Nghiên cứ u hệ chính tắc 17

2.1.4 Hệ chính tắc lớn 22

2.2 Trạng thái cơ bản gần đúng parabol kép 24

2.3 Sức căng mặt ngoài trong thố ng kê chính tắc lớn 25

2.3.1 Sứ c căng mă ̣t ngoài 25

2.3.2 Sứ c căng mă ̣t ngoài trong thống kê chính tắc lớn 27

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 29

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

MỞ ĐẦU

1 Ly ́ do cho ̣n đề tài

Albert Einstein(1987-1995)-một nhà vật lý lý thuyết người Đức, ông đã phát triển thuyết tương đối tổng quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiệnđại Nói tới ông nói tới hàng loạt những công trình nghiên cứu vĩ đại có sức ảnh hưởng vô cùng lớn trong thế kỷ 20, trong đó có nghiên cứu về ngưng tụ Bose-Einstein (Bose-Einstein Condansate-BEC)

1995, ở trạng thái này các nguyên tử sơ khai được ngưng tu ̣ thành công bằng cách làm la ̣nh tới nhiê ̣t đô ̣ thấp nhất, với các tính chất khác biê ̣t

Thấy rằng việc nghiên cứu ra được nguyên tử ở trạng thái BEC mang đến ý nghĩa quan tro ̣ng là tạo ra đươ ̣c tra ̣ng thái tồn ta ̣i mới của vâ ̣t chất Mà chú ng bị nhốt ta ̣i năng lượng cực tiểu , bên ca ̣nh đó còn đem đến vô số triển vọng đố i vớ i vật lý cơ bản và với công cuô ̣c nghiên cứu khoa học cho loài người

Ngoài ra, ở tra ̣ng thái BEC ta còn thấy được các hiệu ứng vật lý mà không thể tìm thấy ở những tra ̣ng thái khác, ví du ̣: siêu dẫn, siêu chảy…

Nhìn ra vô số ý nghĩa của viê ̣c nghiên cứu trạng thái BEC cũng như mong muốn nghiên cứ u nhiều hơn về trạng thái BEC tôi chọn “Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn” làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mu ̣c đích nghiên cứu

Tìm đươ ̣c sức căng mă ̣t ngoài của BEC mô ̣t thành phần trong thống kê chính tắc lớn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng phương trình Gross-Pitaevskii tổng quát và phương pháp gần đúng parabol kép

Nghiên cứu về sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ ngưng tu ̣ Bose-Einstein mô ̣t thành phần trong thống kê chính tắc

lớ n

5 Như ̃ng đóng góp mới của đề tài

Nghiên cứ u trạng thái BEC một thành phần trong thống kê chính tắc lớn góp phần mang la ̣i mô ̣t số ý nghĩa cho Vật lý thống kê, cơ học lượng

tử và cả Vật lý lý thuyết

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương trình Gross-Pitaevskii

Sử dụng phương pháp gần đúng parabol kép

Tính toán và trình bày hình nhờ vào phần mềm Mathematica

CHƯƠNG I

LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

1.1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein

1.1.1 Về mă ̣t lý thuyết

BEC được phát hiện bởi Satyendra Nath Bose và Einstein

Từ năm 1924 tư tưở ng về BEC đã đươ ̣c một nhà vật lý và toán học ở Ấn

Độ là Satyendra Nath Bose hình thành, khi Bose xem xét các nhóm photon hành xử như thế nào Photon thuộc về một trong hai lớp lớn của các hạt cơ bản hoặc siêu nhỏ xác định bởi dù lượng tử của nó quay là một số nguyên hay bán nguyên Bao gồ m hai loại: thứ nhất được gọi là boson bao gồm các photon mà spin của nó là 1, thứ hai gọi là fermions bao gồm các electron mà spin của nó là ½ và hai lớp hành xử khác nhau Theo nguyên tắc lọai trừ Pauli, hạt fermions có xu hướng tránh lẫn nhau, ngược lại một số lượng không giới hạn của boson có thể cùng một trạng thái năng lượng và chia sẻ trạng thái lượng tử duy nhất [2]

Ý tưởng của Bose được Einstein phát triển và tổng quát lý thuyết cho một khí lý tưởng các nguyên tử Ông dự đoán khi làm la ̣nh các nguyên tử đến mô ̣t nhiệt độ cực thấp thì bước sóng của chúng sẽ lớn đến mức xếp chồ ng lên nhau Các nguyên tử khi ấy sẽ hình thành ra trạng thái lượng tử vĩ mô hay là một siêu nguyên tử-tức là một BEC

Vào năm 1925, Albert Einstein đã thể hiê ̣n đươ ̣c quan điểm cơ bản của một ngưng tụ Bose–Einstein, theo quan điểm củ a ông một lươ ̣ng lớn các hạt nằ m tại tra ̣ng thái mức thấp nhất và nhiệt độ thấp

Đối với 4 He lỏng các nhà nghiên cứu phát hiê ̣n ra sự thay đổi trạng thái vô

cù ng đă ̣c biê ̣t ở 2,19oK và đươ ̣c được coi như sự ngưng tụ của khí boson [3]

Năm 1938, Fritz London đã giải thích tính siêu lỏng của 4 He bằng cách

đề xuất trạng thái BEC và tính chất siêu dẫn của một số vật liệu ở gần đô ̣ không tuyệt đối

Năm 1947 Bogoliubov xây dựng thành công lý thuyết về tương tác khí bose ở lĩnh vực BEC, ông đưa ra cách tính tương tác giữa những nguyên tử khi nhố t chú ng la ̣i

1.1.2 Nghiên cứu thực nghiệm

1.1.2.1 BEC đầu tiên của nguyên tố erbium.

Dựa và những đă ̣c trưng quan tro ̣ng của chất khí lượng tử ta ̣i nhiê ̣t đô ̣ cực thấp hỗ trợ viê ̣c làm cho mô ̣t số hiê ̣n tượng vâ ̣t lý dễ hiểu hơn Nhóm nghiên

cứ u của Francesca Ferlaino quyết đi ̣nh nghiên cứu về nguyên tố Erbium, do

một số tính chất đă ̣c trưng của nó giúp giải quyết được nghi ngờ trong vâ ̣t lý

cơ bản

“Erbium tương đối nặng và có tính từ mạnh Những tính chất này dẫn tới một hành trạng lưỡng cực cực độ của hệ các lượng tử” Francesca Ferlaino

nói

Bà và nhóm nghiên cứu của bà đã làm lạnh nguyên tố phức tạp này nhờ

vào phương tiện laser và kỹ thuật giúp làm lạnh bay hơi Một đám mây chứa lươ ̣ng lớn erbium có thể ta ̣o một ngưng tụ Bose-Einstein từ tính ta ̣i nhiê ̣t đô ̣ gần độ không kenvil Ta ̣i đây, tính chất đơn lẻ của các ha ̣t bi ̣ xóa bỏ và chúng

sẽ đươ ̣c đồng bộ hóa hành trạng

“Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt chúng mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên tử lạnh”, Francesca Ferlaino nói

Ba nguyên tố hóa học Cesium, Strontium và Erbiu đã đươ ̣c các nhà Vật lý

tại Innsbruck ngưng tụ thành công da ̣o gần đây Vào năm 2002 Rudolf Grimm

và nhóm của ông có thành công là thu đươ ̣c ngưng tụ của Cesium Cũng là

một thành viên trong nhóm đó, Florian Schreck là người trước tiên ngưng tụ thành công Strontium hồi 2009 Và Francesca Ferlaino tiếp tu ̣c thành công với nguyên tố Erbium

Hiện nay có 13 nguyên tố được làm cho ngưng tụ, mười trong số đó được nghiên cứ u từ mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4]

1.1.2.2 Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý

Một số nhà khoa ho ̣c đến từ Đức hóa la ̣nh phân tử photon để nó chuyển sang dạng đố m màu nhờ đó tìm ra được loa ̣i ánh sáng mới

Từ đó người ta đã khám phá ra tra ̣ng thái vâ ̣t chất mới “trạng thái ngưng

tụ Bose-Einstein” đã đươ ̣c tìm dựa vào viê ̣c làm la ̣nh nguyên tử của chất khí năm 1995, nhưng ho ̣ cho rằng từ hạt photon không thể ta ̣o ra nó (quang tử) Nhưng Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz là những nhà vật lý thuộc đại học Bonn (Đức) gần đây đã thành công và go ̣i tên hạt đó là “các siêu photon”

Làm cho ha ̣t tồn ta ̣i ở tra ̣ng thái BEC truyền thống thành da ̣ng siêu la ̣nh cho tới khi hòa vào nhau, không thể phân biệt được vớ i nhau rồ i tạo ra một hạt khổng lồ Những photon từng bi ̣ dự đoán sẽ không thể đạt được da ̣ng trên

vì mô ̣t điều không thể làm đó là làm la ̣nh và ngưng tu ̣ ánh sáng cùng mô ̣t lúc Photon khi bị làm la ̣nh sẽ bi ̣ hấp thu ̣ vào môi trường quanh nó để rồi biến mất

vì khố i lươ ̣ng của nó là không đáng kể Nhưng rồi bố n nhà vâ ̣t lý người Đức kia đã làm la ̣nh được được photon mà nó không bi ̣ biến mất

Họ chế ra một thùng nhốt giữ photon làm bằng những tấm gương, những tấm gương đó chỉ cách nhau một khoảng phần triệu của một mét (1micron) Các phần nhỏ các phân tử “thuốc nhuộm” được bỏ vào các khoảng vô cùng nhỏ ấy.Khi photon va cha ̣m với các phân tử thuốc nhuô ̣m sẽ bi ̣ hấp thu ̣ rồi tái phát

Trong quá trình va cha ̣m các photon bi ̣ các tấm gương giữ chỉ được di ̣ch chuyển trong khoảng giới ha ̣n Khi va cha ̣m các photon có thể đa ̣t tới mức nhiệt đô ̣ phòng nhờ trao đổi nhiê ̣t với phân tử thuốc nhuô ̣m và ta ̣i đó chúng sẽ

tạo thành mô ̣t tra ̣ng thái BEC

Thử nghiệm trên được nhâ ̣n xét là “một thử nghiệm mang tính bước ngoặt” được James Anglin nói trong ta ̣p trí Nature Thử nghiê ̣m trên còn hỗ trợ viê ̣c ứng dụng trong để tạo ra mô ̣t số laser mới sinh ra đươ ̣c ánh sáng với bước sóng cực ngắn trong dải tia X hoặc tia cực tím

1.2 Lý thuyết trường trung bình

1.2.1 Thế tương tác

Xét hê ̣ BEC thu đươ ̣c từ viê ̣c làm la ̣nh boson xuống nhiê ̣t đô ̣ cực thấp(0oK) Để khảo sát một hệ bất kỳ ta sử du ̣ng biểu thức năng lượng ở tra ̣ng thái cơ bản Phương trình tổng quát của toán tử Hamilton [3]:

vớ i: số hạng thứ nhất bên phải biểu thi ̣ động năng của hạt thứ i và thứ hai biểu

thị tương tác ngoài, thứ ba biểu thi ̣ tương tác giữa N hạt của hệ

Phương pháp cực trị đươ ̣c dùng để tìm ra năng lượng Dựa vào năng lượng tự do thì ta có năng lượng cần làm cho nhỏ nhất F = −E N với E là năng lượng còn µ là thế hóa học

Năng lươ ̣ng đươ ̣c viết la ̣i thông qua Hˆ và ψ

Dựa vào công thức (1.2) ta đi tìm năng lượng tự do F Hê ̣ đang khảo sát

cho phép liên hợp hàm sóng ψ i vớ i bất kỳ hàm sóng nào cùng hệ Nhưng để giải đươ ̣c chúng ta cần dựa vào phương pháp gần đúng trường trung bình

Để làm được thì trong không gian của hàm sóng thì năng lượng tự do của

nó cần đươ ̣c cực tiểu hóa, có da ̣ng  =     với là tenxơ, có  là tích tenxơ của N hàm sóng các hạt (điều kiện chuẩn hóa

Nghiệm của (1.3) có được nhờ vào tính chất của hàm Green

Số hạng mô tả thế năng được viết lại

( ) *( ) ( )

ex 1

1)

, 2

Tính cực tiểu của các công thức trên, hay là khảo sát sự thay đổi nhỏ của các  ( )r , thực tế là khảo sát sự thay đổi của các thành phần thực và ảo của

(1.11) đươ ̣c go ̣i là phương trình Gross–Pitaevskii không phụ thuộc thời gian Các boson có cường đô ̣ tương tác với nhau đươ ̣c biểu thi ̣ qua α, α < 0

biểu thị tương tác hút và α > 0 biểu thi ̣ tương tác đẩy Kết luâ ̣n năng lượng E

bi ̣ cực tiểu hóa tương đương với năng lượng tự do F = −E N bi ̣ cực tiểu

hóa

Khảo sát hệ BEC một thành phần, hàm S

S  =dtL=dtdrL (1.12) trong gần đú ng trường trung bình mật độ hàm Lagragian có dạng

  = −    +  (1.14)

ở đây ta có: hàm sóng  = ( )r t, ở tra ̣ng thái cơ bản; m-khối lượng hạt;

g-hằng số tương tác dương và chúng phu ̣ thuô ̣c vào đô ̣ dài tán xa ̣ sóng

,2

vớ i U là thế năng tương tác

Bây giờ hàm sóng viết la ̣i thành

r t  r e−

 = (1.18)

Thế (1.18) vào (1.17) có phương trình

2

3 2

g

V = −  +  (1.20) Khi các thành phần ngưng tu ̣ đươ ̣c phân bố do ̣c theo phương Oz và có tính

chất đố i xứ ng ti ̣nh tiến theo các phương Ox, Oy thì (1.19) sẽ dược viết la ̣i

vào mô ̣t số đa ̣i lươ ̣ng:

- Độ dài đă ̣c trưng:

Sử du ̣ng các biến không thứ nguyên là to ̣a đô ̣  = z  , thờ i gian t, hàm

sóng rút go ̣n  = n0 vớ i n o là mâ ̣t đô ̣ khối của ha ̣t n0 = g

Ta có :

2 2

và thế năng tương tác (1.20) đươ ̣c viết la ̣i thành

4 2

.2

Thế (1.25) vào (1.24) có

Hình 1.1: Đồ thi ̣ biểu diễn thế tương tác theo tham số trâ ̣t tự ϕ, đường nét

liền ứ ng với thế GP và nét đứt ứng với thế DPA

Thấy rằ ng thế GP được thay bằng hai đường parabol nên go ̣i đây là gần đúng parabol kép

KẾT LUÂ ̣N CHƯƠNG 1

Trong chương này tôi đã trình bày về tổng quan của BEC, đưa ra được thế tương tác của hê ̣ BEC mô ̣t thành phần và phương trình GP phu ̣ thuô ̣c cũng như không phu ̣ thuô ̣c vào thời gian, đồng thời tôi cũng trình bày được phương pháp gần đúng parabol kép