Ứng dụng của lý thuyết pólya trong bài toán đếm

Em xin khẳngđịnh kết quả của đề tài “Ứng dụng của lý thuyết Pólya trong bài toán đếm” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân.. Lí do chọn đề tài Trong lý thuyết t

KHOA TOÁN

ĐẶNG THỊ LOAN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT PÓLYA TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội – Năm 2019

KHOA TOÁN

ĐẶNG THỊ LOAN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT PÓLYA TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĨNH ĐỨC

Hà Nội – Năm 2019

Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, em xinbày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong trường và quý thầy cô trong khoaToán, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học tại khoa và trongthời gian làm khóa luận.

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Vĩnh Đức – Giảngviên Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâmchỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có thể hoànthành khóa luận tốt nghiệp

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng vì thời gian và kinh nghiệm bản thân cònnhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được

sự đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điềukiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2019

Sinh viên

Đặng Thị Loan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn và chỉbảo của thầy giáo TS Trần Vĩnh Đức Trong khi thực hiện đề tài nghiên cứu này em

đã tham khảo một số tài liệu được ghi trong phần tài liệu tham khảo Em xin khẳngđịnh kết quả của đề tài “Ứng dụng của lý thuyết Pólya trong bài toán đếm”

là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân Nếu sai em xin hoàntoàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2019

Sinh Viên

Đặng Thị Loan

Lời mở đầu 1

1.1 Khái quát về tổ hợp 2

1.1.1 Cấu hình tổ hợp và cấu trúc tổ hợp 2

1.1.2 Các bài toán tổng quát 3

1.2 Các quy tắc đếm cơ bản 4

1.2.1 Quy tắc tương ứng một – một 4

1.2.2 Nguyên lý cộng 4

1.2.3 Nguyên lý nhân 5

1.2.4 Nguyên lý bao hàm - loại trừ 5

1.2.5 Nguyên lý Dirichlet 6

1.3 Một số bài toán đếm cơ bản 6

1.3.1 Chỉnh hợp 6

1.3.2 Tổ hợp 8

1.3.3 Hoán vị 10

2 BỔ ĐỀ BURNSIDE 12 2.1 Các định nghĩa 12

2.2 Bổ đề Burnside 17

3 ĐA THỨC CHỈ SỐ CHU TRÌNH 19 3.1 Định nghĩa đa thức chỉ số chu trình 19

3.2 Định lý Pólya 20

3.3 Đa thức chỉ số chu trình cho các nhóm Cn, Dn và Sn 22

3.3.1 Nhóm xyclic Cn 22

3.3.2 Nhóm nhị diện Dn 233.3.3 Nhóm đối xứng Sn 24

4.1 Bổ đề trọng lượng Burnside 264.2 Định lý đếm Pólya 284.3 Các ví dụ 29

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong lý thuyết tổ hợp, các phép đếm chiếm một phần vô cùng quan trọng và cóứng dụng rất đa dạng Phương pháp đếm thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lýđếm và một số kết quả đếm cho các cấu hình tổ hợp đơn giản Tuy nhiên, việc xácđịnh chính xác số các cấu hình tổ hợp trong một số bài toán gặp nhiều khó khăn Mặtkhác, lý thuyết Pólya cung cấp cho ta một công cụ mạnh để đếm các đồ vật mà có sựđối xứng nào đó

Vì lí lẽ đó, em chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng lý thuyết Pólya trong bàitoán đếm” để trình bày lại một số kết quả về lý thuyết Pólya và ứng dụng của nó

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết Pólya

3 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo và cập nhật những nghiên cứu của tác giả trong nước cũng như ngoàinước liên quan đến đề tài

4 Cấu trúc khóa luận

Nội dung khóa luận gồm bốn chương:

Chương 1 "Các bài toán tổ hợp cơ bản" trình bày khái quát về tổ hợp, các quy tắcđếm và một số bài toán toán đếm cơ bản

Chương 2 "Bổ đề Burnside" trình bày một số định nghĩa và bổ đề Burnside.Chương 3 "Đa thức chỉ số chu trình" trình bày định nghĩa của đa thức chỉ số chutrình, định lý Pólya và áp dụng tìm đa thức chỉ số chu trình của một số nhóm quenthuộc

Chương 4 "Định lý đếm Pólya" trình bày về bổ đề trọng lượng Burnside, định lýđếm Pólya và giới thiệu một số bài toán ứng dụng của định lý đếm Pólya

Khóa luận được trình bày trên cơ sở các tài liệu tham khảo được liệt kê trong phầntài liệu tham khảo Em rất biết ơn các tác giả của tất cả các tài liệu được trích dẫn

CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ

BẢN

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tổ hợp, các quy tắc đếm cơ bản vàmột số bài toán đếm cơ bản Nội dung của chương này được tham khảo trong các tàiliệu [1], [2]

1.1 Khái quát về tổ hợp

1.1.1 Cấu hình tổ hợp và cấu trúc tổ hợp

Tư duy về tổ hợp ra đời từ rất sớm Ở Trung quốc người ta đã biết đến nhữnghình vuông thần bí Nhà triết học cổ đại Hy Lạp Kxenokrat sống ở thế kỉ IV trướccông nguyên đã tính số các từ khác nhau lập từ một bảng chữ cái cho trước Nhà toánhọc Pithagore và các học trò của ông đã phát hiện ra tính chất kì lạ của các số trong

đó có định lý Pithagore

Mặc dù lý thuyết tổ hợp được coi là một lĩnh vực của toán học rời rạc vào thế kỉ

17 nhưng tổ hợp vẫn là lĩnh vực mờ nhạt và ít được chú ý trong khoảng hai thế kỉ.Cho đến khi máy tính xuất hiện và phát triển thì tổ hợp mới phát triển mạnh mẽ vàtrở thành một lĩnh vực của toán ứng dụng

Vì tổ hợp có liên quan đến nhiều vấn đề trong nhiều lĩnh vực của đời sống nên khó

có thể định nghĩa nó một cách hình thức chặt chẽ Nói chung lý thuyết tổ hợp là mộtlĩnh vực toán học nghiên cứu các cấu hình tổ hợp và các cấu trúc tổ hợp mà ta có thểđịnh nghĩa chúng một cách khái quát như sau:

Định nghĩa 1.1 (Cấu hình tổ hợp) Giả sử X là một tập hữu hạn, S là sơ đồ sắpxếp các điều kiện R1, R2, , Rk được biểu diễn dưới một dạng nào đấy Một cách sắpxếp các phần tử của X vào sơ đồ S và thỏa mãn các điều kiện R1, R2, , Rk được gọi

là một cấu hình tổ hợp trên X

Ví dụ 1.1 Cho tập X gồm các chữ số tự nhiên Sơ đồ sắp xếp S là “một số có ba chữsố” Các điều kiện R1 = “là số chẵn”, R2 = “lớn hơn 500” Khi đó mỗi số tự nhiên từtập X theo sơ đồ S thỏa mãn 2 điều kiện R1, R2, tức là một số tự nhiên chẵn có bachữ số và lớn hơn 500 ( ví dụ như 503) là một cấu hình tổ hợp

Định nghĩa 1.2 (Cấu trúc tổ hợp) Giả sử V là một tập hữu hạn Ta kí hiệu f (V )

là tập tất cả các cấu hình tổ hợp trên V Khi đó bộ ba G = (V, E, f ) được gọi là mộtcấu trúc tổ hợp trên V nếu V và E là các tập rời nhau, f là một hàm đi từ E vào φ(V )

và V, E, f thỏa mãn một tiên đề xác định nào đó

Ví dụ 1.2 Giả sử V = {v1, v2, , vm}, E = {e1, e2, , en} với E ∩ V = ∅ Ta cũng giả

sử S là sơ đồ sắp xếp "cặp (x1, x2)"và f là một hàm từ E vào φ(V ) Khi đó, nếu vớimọi e ∈ E, f (e) là một cấu hình tổ hợp theo S trên các bản rời nhau A1 và A2 của Vthỏa mãn x1 ∈ A, x2 ∈ A, thì cấu trúc tổ hợp (V, E, f ) được gọi là một đa đồ thị cóhướng với tập đỉnh là V , tập cung là E

1.1.2 Các bài toán tổng quát

Bài toán đếm Là bài toán đặt ra với câu hỏi có bao nhiêu cấu hình tổ hợpthuộc dạng đã cho Để giải quyết bài toán này chúng ta thường dựa vào một số quytắc như quy tắc cộng, quy tắc nhân, và một số phương pháp đếm nâng cao, Bài toánđếm thường có trong các bài toán tính xác suất hay để đánh giá độ phức tạp

Ví dụ 1.3 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số và lớn hơn 500

Ví dụ 1.4 Rút 13 quân bài từ bộ bài tây 52 quân Có bao nhiêu cách rút 13 quânbài để trong 13 quân đó có “tứ quý”

Bài toán liệt kê Đây là bài toán cần chỉ rõ những cấu hình tổ hợp thỏa mãn bàitoán là những cấu hình tổ hợp nào và cần đưa ra danh sách tất cả các cấu hình tổ hợp

có thể có Vì thế bài toán liệt kê cần xác định một thuật toán để có thể xây dựng đượctất cả các cấu hình tổ hợp thỏa mãn bài toán Có nhiều cách để liệt kê các cấu hình

tổ hợp nhưng phải đảm bảo hai nguyên tắc là không được lặp lại và không được bỏ

sót một cấu hình tổ hợp Bài toán liệt kê có ý nghĩa trong thực tế, hình thành nhữngđịnh hướng để giải quyết các vấn đề.

Ví dụ 1.5 Liệt kê các hoán vị của {1, 2, 3, , n} theo thứ tự từ điển

Bài toán tồn tại Là bài toán đặt ra với câu hỏi có hay không các cấu hình tổhợp thỏa mãn bài toán Trong nhiều bài toán thì sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp làhiển nhiên và ta chỉ cần liệt kê hoặc đếm các cấu hình tổ hợp Tuy nhiên trong nhiềubài toán tổ hợp thì việc chỉ ra có hay không các cấu hình tổ hợp thỏa mãn bài toáncho trước là hết sức khó khăn bởi vì không chỉ ra được cấu hình tổ hợp nào nhưngcũng không khẳng định được là chúng không tồn tại Bài toán tồn tại có nhiều ý nghĩatrong thực tế và nó còn định hướng xây dựng lý thuyết mới đối với một số bài toán(ví dụ như bài toán Fermat)

Ví dụ 1.6 Các bài toán tổ hợp cổ điển nổi tiếng như bài toán 36 sĩ quan, bài toán 4màu, hay hình lục giác thần bí, bài toán chọn 2n điểm trên lưới n × n điểm

Bài toán tối ưu tổ hợp Là bài toán đặt ra với câu hỏi cấu hình tổ hợp nào làtốt nhất Ngoài ra bài toán tối ưu tổ hợp có thể được viết dưới dạng tổng quát như sau:Tìm cực tiểu (hay cực đại) của phiếm hàm: f (x) → min(max) với điều kiện x ∈ D,với D là tập hữu hạn phần tử, hàm f (x) là hàm mục tiêu của bài toán, mỗi phần tử

x ∈ D là một phương án còn tập D là tập các phương án của bài toán

Ví dụ 1.7 Một số bài toán tối ưu tổ hợp truyền thống như bài toán người du lịch,bài toán cái túi, bài toán phân công,

Nguyên lý cộng mở rộng: Nếu A1, A2, , An là các tập hữu hạn thỏa mãn

Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j thì |A1 ∪ A2∪ ∪ An| = |A1| + |A2| + · · · + |An| Đặc biệt nếu

Ví dụ 1.9 Có 3 kiểu áo và 4 kiểu quần Hỏi có bao nhiêu cách kết hợp quần áo.Giải.Theo quy tắc nhân có 3.4 = 12 cách kết hợp quần áo

1.2.4 Nguyên lý bao hàm - loại trừ

Cho A, B là các tập hữu hạn Khi đó: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Tổng quát: Cho A1, A2, , An là các tập hữu hạn Khi đó

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 1542

Ví dụ 1.12 Cho số nguyên dương m Chứng tỏ rằng trong mọi tập hợp chứa m + 1

số nguyên có ít nhất 2 số đồng dư theo mod(m)

Giải Lấy m + 1 số nguyên đã cho lần lượt chia cho m Khi đó tất cả số dư có thể có là

m số nguyên dương gồm: 0, 1, 2, , m − 2, m − 1 Suy ra có ít nhất 2 số đồng dư theomod(m)

Nguyên lý Dirichlet tổng quát Nếu đem xếp n cái hộp vào k đối tượng thìluôn tìm được một cái hộp chứa không ít hơn n/k đối tượng

Ví dụ 1.13 Chứng minh rằng trong 100 người có ít nhất 9 người sinh cùng 1 tháng.Giải Bởi vì khi ta xếp những người sinh cùng một tháng vào một nhóm thì ta sẽ có 12nhóm Khi đó xếp 100 người này vào 12 nhóm đó thì luôn tìm được 1 nhóm (1 tháng)

có không ít hơn 8,3 người Hay trong 100 người có ít nhất là 9 người sinh cùng mộttháng

1.3 Một số bài toán đếm cơ bản

Ví dụ 1.14 Tìm số các dãy nhị phân có độ dài k.

Giải Một dãy nhị phân là một dãy sắp xếp có thứ tự từ 2 phần tử 0 và 1 Khi đó mỗidãy nhị phân độ dài k là một chỉnh hợp lặp chập k của 2 phần tử Suy ra số các dãynhị phân độ dài k là 2k

Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ak

n Để tính số chỉnh hợp chập k của

n phần tử ta coi mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử trên A là một công việc sắp xếp

k phần tử từ n phần tử vào sơ đồ (x1, x2, , xk) gồm k giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1 Cần chọn 1 phần tử từ n phần tử để xếp vào vị trí x1 Khi đó x1 có

Do đó, theo quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là

n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1)

Vậy Ak

n= n (n − 1) (n − 2) (n − k + 1) = n!

(n − k)!.

Ví dụ 1.15 Cho tập A = {a, b, c} Khi đó số chỉnh hợp chập 2 của 3 các phần tử của

Kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử của A là Ck

k! =

n!

k! (n − k)!.Vậy số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk = n!

k! (n − k)!.

Ví dụ 1.17 Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nàothẳng hàng Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác khác nhau từ các đỉnh đã cho.Giải Ta coi mỗi một tam giác gồm 3 đỉnh là một tập con gồm 3 phần tử của n phần

tử đã cho Suy ra số tam giác là số tổ hợp chập 3 của n phần tử và bằng Cn3

Tổ hợp có lặp

Trước hết ta có khái niệm đa tập hợp (đa tập)

Định nghĩa 1.6 Đa tập hợp (hay ngắn gọn là đa tập) là một sự tụ tập các phần tửkhông thể phân biệt được với nhau (có thể coi là sự lặp lại của các phần tử).

Để xác định số lượng các phần tử của đa tập A ta cần xác định số các phần tửkhông phân biệt được với nhau Khi đó số lượng các phần tử của đa tập A cũng đượcgọi là lực lượng của A và ta kí hiệu là |A|

Theo định nghĩa, hiển nhiên mỗi một tập hợp thì đều là một đa tập Nhưng ngượclại mỗi đa tập chưa chắc là một tập hợp

Ví dụ 1.18 A = {a, a, b, b, b, b, c} là một đa tập với |A| = 7 nhưng A không phải làmột tập hợp

Định nghĩa 1.7 Nếu các phần tử của đa tập A đều là các phần tử của đa tập B thì

ta gọi A là đa tập trên B

Ví dụ 1.19 A = {a, a, b, b, b, b, c} là một đa tập trên B = {a, b, b, b, c}

Định nghĩa 1.8 Cho tập A mà |A| = n và một số nguyên dương k Giả sử tồn tạicác tập hợp Ai, i = 1, k là các bản sao rời nhau của A,

m1+ m2+ + mn= k Ta tương ứng B với dãy nhị phân

có n1 số 1 và k chữ số 0 Khi đó dãy nhị phân sẽ có độ dài n − k + 1

Đặt M là đa tập hợp lực lượng k các phần tử thuộc A, đặt N là tập gồm các dãynhị phân có dạng ở trên Khi đó sẽ tồn tại một quy tắc tương ứng một-một của M và N Như vậy với mỗi dãy nhị phân b = b1b2 bn+k−1 ∈ N sẽ hoàn toàn được xác định bởi tập

con Kb = {i ∈ {1, 2, , n + k − 1} |bi = 0 trong b} của tập K = {1, 2, , n + k − 1}.

Ta thấy tương ứng b với Kn cũng là tương ứng một-một giữa các phần tử của tập N

và tập các tập con lực lượng k của K Vì vậy,

Ck

n = |M | = |N | = Ck

n+k−1.Nhận xét 1.1 Mỗi tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một dãy không kể thứ tự gồm

k thành phần lấy từ n phần tử Vì vậy có thể k > n

Số tổ hợp có lặp chập k của n làCk

n = Ck n+k−1 = Cn+k−1n−1

Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của cácphần tử không cần để ý

Ví dụ 1.20 Xếp 10 viên bi giống nhau vào 4 chiếc hộp Hãy tìm số cách xếp

Giải Mỗi một cách xếp 10 viên bi vào 4 chiếc hộp là một tổ hợp có lặp chập 10 của

Kí hiệu số các hoán vị của n phần tử của A là Pn Khi đó,

R2 là điều kiện ai xuất hiện ở đúng mi thành phần với i = 1, n.

Khi đó cấu hình tổ hợp trên A1, A2, , Am theo S thỏa mãn điều kiện R1, R2 đượcgọi là một hoán vị có lặp của các phần tử a1, a2, , an của tập A với tham số lặp là

m1, m2, , mn

Theo định nghĩa của chỉnh hợp có lặp và hoán vị có lặp, ta thấy rằng một hoán vị

có lặp của các phần tử a1, a2, , an của tập A với tham số lặp là m1, m2, , mn chính

là một chỉnh hợp có lặp chập m của n các phần tử của A thỏa mãn điều kiện R2 Tacũng thấy rằng một hoán vị có lặp các phần tử a1, a2, , an của tập A với tham số lặp

là m1 = m2 = = mn = 1 chính là một hoán vị không lặp của n phần tử của A

Kí hiệuPk

n là số hoán vị có lặp các phần tử a1, a2, , an của tập A với tham số lặp

là m1, m2, , mn Khi đó để xác định số hoán vị có lặp ta coi mỗi một hoán vị là mộtcách thực hiện hành động H bao gồm n giai đoạn kế tiếp nhau H1, H2, , Hn để sắpxếp các vị trí cho m phần tử a1, a2, , an như sau:

Giai đoạn H1 Chọn vị trí cho m1 phần tử a1 Bởi vì tất cả có m vị trí nên có Cm 1

Giai đoạn Hk Chọn vị trí cho mkphần tử ak Do còn lại m − m1− m2− − mk−1

vị trí sau khi thực hiện các giai đoạn trên nên ta có Cmk

m−m 1 −m 2 − −mk−1 cách chọn vịtrí cho mk phần tử ak

Giải Ta thấy trong từ SUCCESS có 1 kí tự S, 1 kí tự U, 2 kí tự C, 1 kí tự E và 2 kí

tự S Vì vậy mỗi một cách sắp xếp lại các kí tự của từ SUCCESS là một hoán vị lặpcác phần tử S, U, C, E, S với tham số lặp là 1, 1, 2, 1, 2 Do đó sẽ có C71C1

6C2

5C1

3C2

2

BỔ ĐỀ BURNSIDE

2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Một nhóm G là một tập hợp cùng với phép toán nhóm

G × G → G(a, b) 7→ abnếu thỏa mãn các điều kiện:

(i) ∀a, b, c ∈ G thì (ab) c = a (bc) (tính chất kết hợp),

(ii) ∃e ∈ G thỏa mãn ae = ea = a ∀a ∈ G (e là phần tử đơn vị),

(iii) ∀a ∈ G, ∃b ∈ G sao cho ab = ba = e (phần tử nghịch đảo)

G là một nhóm abel nếu G là một nhóm và ab = ba với mọi a, b ∈ G (tính chấtgiao hoán)

Nếu phép toán nhóm viết theo lối nhân thì phần tử đơn vị kí hiệu là 1, nếu phéptoán nhóm viết theo lối cộng thì phần tử đơn vị kí hiệu là 0 Phần tử nghịch đảo của

a kí hiệu là a−1 (tương ứng −a là phần tử đối của a)

Định nghĩa 2.2 Nhóm con của G là một tập con H thỏa mãn H ⊆ G, e ∈ H và vớimỗi a, b ∈ H thì a−1 ∈ H

Như vậy nếu a ∈ H thì an, a−n ∈ H ∀n = 1, 2, Nếu H = {an: n ∈ Z} với mộtphần tử a nào đó thì H được gọi là một nhóm xyclic sinh bởi a

Định nghĩa 2.3 Nếu nhóm G có hữu hạn phần tử thì ta nói G có hữu hạn phần tử.Cấp của G là số phần tử của nhóm đó và kí hiệu là |G| Với mỗi g ∈ G, có một số

nguyên dương n > 0 sao cho gn = 1 thì số nguyên dương n nhỏ nhất đó được gọi làcấp của g và kí hiệu là ord(g).

Ví dụ 2.1 Gọi Sn là tập các hoán vị trên X, nghĩa là, Sn là tập các song ánh

σ : X → X với X = {1, 2, , n} , n ∈ N Khi đó nhóm Sn là một nhóm hữu hạn vàđược gọi là nhóm đối xứng (hay nhóm các phép thế) Sn là một nhóm abel khi và chỉkhi n < 3, |Sn| = n! Nếu thay tập {1, 2, , n} bởi tập X có n phần tử thì ta cũngđược nhóm đối xứng trên X, kí hiệu SX

Xét nhóm đối xứng Sn và tập X = {1, 2, , n} Với mỗi σ ∈ Sn, i ∈ X ta đượcσ(i) ∈ X Ta thấy (σ1◦ σ2) (i) = σ1(σ2(i)) Khi đó ta nói rằng có một tác động củanhóm Sn lên tập X Tổng quát hơn ta có định nghĩa:

Định nghĩa 2.4 (Tác động nhóm) Cho G là một nhóm hữu hạn và X là một tậphữu hạn Một tác động của nhóm G lên X là một ánh xạ

ϕ : G × X → X(g, a) 7→ g (a)thỏa mãn các điều kiện

(i) ∀g, h ∈ G, a ∈ X thì (gh) (a) = g (h (a)),

(ii) e (a) = a với e là phần tử đơn vị của nhóm G

Khi đó ta nói G tác động lên X (bằng ϕ) và g ∈ G chuyển a ∈ X thành g(a) ∈ X.Nhận xét 2.1 Nếu G tác động lên X (bằng ϕ) và g ∈ G chuyển a ∈ X thành g(a) ∈ Xthì với mỗi g ∈ G ánh xạ φg : a 7→ g (a) là một song ánh

Chứng minh Thật vậy, do G là một nhóm nên ∃g−1 ∈ G để g.g−1 = e Khi đó

Ví dụ 2.2 Xét trên hình vuông, ta giả sử có các đỉnh có tên là 1,2,3,4 Ta gán chomỗi đỉnh này hoặc màu trắng (T) hoặc màu vàng (V) Mỗi cách gán màu T hoặc Vcho mỗi đỉnh của hình vuông được gọi là một sơ đồ màu của hình vuông Kí hiệu tất

cả các sơ đồ màu của hình vuông là tập X

Giả sử G là tập tất cả các tự đẳng cấu của hình vuông thì khi đó G là một nhómđối với phép nhân ánh xạ Mỗi tự đẳng cấu của hình vuông cũng được gọi là một phépđối xứng của hình vuông đó Người ta chứng minh được rằng nhóm G tất cả các phépđối xứng của hình vuông là nhóm nhị diện Dn bao gồm các phần tử sau:

Với g (a) (i) = a (g−1(i)) , i = 1, 2, 3, 4 Ta đi chứng minh ϕ là một tác động của G lên

X Thật vậy, với mọi i = 1, 2, 3, 4 thì

e (a) (i) = a e−1(i)

= a (e (i))

Do đó e (a) = a ∀a ∈ X Tiếp tục, nếu có g, h ∈ G, thì

((gh)(a)) (i) = a (gh)−1(i)

= a (h−1g−1)(i)

= a h−1(g−1(i))

= h(a) g−1(i)

= g (h(a)) (i)