Một số phương pháp biến đổi ngược tuyến tính

N¸usai tæi xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m... Möc ti¶u v nhi»m vö nghi¶n cùu.. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu.. C§u tróc khâa luªn... [i] Weyl, Hermann."Uber die asymptotische Verteilung der Eige

H€ NËI - 2019

LÍI CƒM ÌN

Tr÷îc khi tr¼nh b y khâa luªn cõa m¼nh, tæi xin b y tä láng bi¸t ìnch¥n th nh tîi c¡c th¦y gi¡o v  cæ gi¡o trong Khoa To¡n  Tr÷íng ¤ihåc S÷ ph¤m H  Nëi 2, ¢ tªn t¼nh gióp ï ch¿ b£o trong suèt thíi giantæi theo håc t¤i khoa v  trong thíi gian l m khâa luªn

°c bi»t tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi ThS.Tr¦n Tu§n VinhTr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n tæi, luæntªn t¥m ch¿ b£o v  ành h÷îng cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m khâaluªn º tæi câ ÷ñc k¸t qu£ nh÷ ng y hæm nay

M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  kinh nghi»m b£nth¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸usât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡c b¤n sinhvi¶n v  b¤n åc

Khâa luªn tèt nghi»p Mët sè ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

LÍI CAM OAN

Khâa luªn n y l  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa b£n th¥n tæi d÷îi sü h÷îngd¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o ThS.Tr¦n Tu§n Vinh

Trong khi nghi¶n cùu ho n th nh · t i nghi¶n cùu n y tæi ¢ thamkh£o mët sè t i li»u ÷ñc li»t k¶ trong ph¦n t i li»u tham kh£o

Tæi xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i "Mët sè ph÷ìng ph¡p bi¸n êing÷ñc tuy¸n t½nh" l  k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu, håc tªp v  né lüc cõab£n th¥n, khæng câ sü tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c N¸usai tæi xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2019

T¡c gi£

Nguy¹n Thà Ho i Thu

Nguy¹n Thà Ho i Thu 2 K41B To¡n HSP H  Nëi 2

Líi c£m ìn 1

1 L½ do chån · t i 6

2 Möc ti¶u v  nhi»m vö nghi¶n cùu 6

3 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu 6

4 C§u tróc khâa luªn 7

1 Têng quan 8 1.1 Giîi thi»u 8

1.1.1 Bi¸n êi ng÷ñc 8

1.1.2 Bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh 9

1.2 Làch sû nghi¶n cùu 10

2 Bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh vîi ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng tèi thiºu 12 2.1 X²t b i to¡n 12

2.2 Sai sè trung b¼nh 13

2.3 Ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng tèi thiºu 13

2.3.1 T¼m h m x§p x¿ câ d¤ng a thùc 15

2.3.2 X§p x¿ h m a thùc l÷ñng gi¡c 18

Khâa luªn tèt nghi»p Mët sè ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

3 Bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh vîi ph÷ìng ph¡p c¦u ph÷ìng 243.1 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm lo¤i mët 243.2 Ph²p c¦u ph÷ìng, ph²p ÷a ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n v· h»

ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 253.3 Ph÷ìng ph¡p gi£i 273.4 p döng 28

Nguy¹n Thà Ho i Thu 4 K41B To¡n HSP H  Nëi 2

B£ng 3.2 K¸t qu£ cõa ph²p bi¸n êi 32ng÷ñc trüc ti¸p f0 = A−1g

B£ng 3.3 So s¡nh gi ban ¦u vîi gi¡ trà 33

÷ñc ÷a ra bði nghi»m f0

Khâa luªn tèt nghi»p Mët sè ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i:

C¡c ph÷ìng ph¡p cõa b i to¡n bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh ÷ñc ùngdöng trong nhi·u ng nh khoa håc v  kÿ thuªt nh÷ vi¹n th¡m, radar,quang håc, y håc, C¡c ph÷ìng ph¡p bi¸n dêi ng÷ñc dòng º gi£i quy¸tc¡c b i to¡n khi ¢ bi¸t k¸t qu£ v  c¦n ph£i x¡c ành c¡c nh¥n tè t¤o rac¡c k¸t qu£ â - gåi l  h» sè nh¥n qu£ (causal factor)

Tuy nhi¶n sinh vi¶n S÷ ph¤m To¡n håc nâi chung ch÷a câ nhi·u i·uki»n º t¼m hiºu v· c¡c ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh V¼ vªytæi chån · t i  Mët sè ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh  l mkhâa luªn tèt nghi»p nh¬m ÷a ra mët sè l½ thuy¸t cì b£n v· bi¸n êing÷ñc công nh÷ bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh, mët sè ph÷ìng ph¡p cõabi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

2 Möc ti¶u v  nhi»m vö nghi¶n cùu

2.1 Möc ti¶u

T¼m hiºu v· bi¸n êi ng÷ñc, bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh v  tø â ÷a

ra mët sè ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

2.2 Nhi»m vö

- Nghi¶n cùu cì sð l½ luªn v· ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc

- Nghi¶n cùu cì sð l½ luªn v· ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

- Häi þ ki¸n chuy¶n gia.

4 C§u tróc khâa luªn

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o, khâa luªn gçm 3ch÷ìng:

Ch֓ng 1

Têng quan

1.1 Giîi thi»u

1.1.1 Bi¸n êi ng÷ñc

1.1.1.1 B i to¡n bi¸n êi ng÷ñc

B i to¡n bi¸n êi ng÷ñc hay b i to¡n nghàch £o (Inverse problem)trong khoa håc kÿ thuªt l  qu¡ tr¼nh t½nh to¡n ra c¡c h» sè nh¥n qu£(causal factors) düa theo k¸t qu£ thu thªp tø chóng V½ dö, t½nh to¡nh¼nh £nh trong chöp c­t lîp CT, truy t¼m nguçn ¥m thanh khi nghe

÷ñc, ho°c t½nh t¿ trång cõa Tr¡i §t tø c¡c k¸t qu£ o tr÷íng trånglüc.[3]

B i to¡n ÷ñc gåi l  b i to¡n bi¸n êi ng÷ñc v¼ nâ b­t ¦u vîi k¸t qu£

v  sau â t½nh to¡n ra c¡c h» sè nh¥n qu£ Nâ ng÷ñc vîi b i to¡n thuªn

l  b i to¡n b­t ¦u vîi c¡c h» sè nh¥n qu£ v  sau â t½nh k¸t qu£ B ito¡n bi¸n êi ng÷ñc l  mët trong sè c¡c b i to¡n quan trång nh§t trongkhoa håc kÿ thuªt bði v¼ chóng cho ta bi¸t v· c¡c sè li»u m  ta khæng thºtrüc ti¸p t½nh to¡n ÷ñc Chóng câ ùng döng rëng r¢i trong quang håc,radar, ¥m håc, lþ thuy¸t truy·n thæng, xû lþ t½n hi»u, h¼nh £nh y håc,thà gi¡c m¡y t½nh (computer vision), àa vªt lþ, h£i d÷ìng håc, thi¶n v«nhåc, vi¹n th¡m, xû lþ ngæn ngú tü nhi¶n, håc m¡y (machine learning)

v  nhi·u l¾nh vüc kh¡c

8

1.1.2 Bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

Trong tr÷íng hñp câ mët b i to¡n bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh mæ t£mët h» tuy¸n t½nh, d (dú li»u) v  m (tham sè mæ h¼nh tèt nh§t) l  c¡cvectì v  b i to¡n câ thº ÷ñc vi¸t l :

Khâa luªn tèt nghi»p Mët sè ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

1.1.2.1 Nghi»m cõa b i to¡n bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

Nghi»m cho b i to¡n bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh phö thuëc v o gi£ thi¸tcõa mët tªp gi¡ trà ¦u v o ban ¦u Trong â dú li»u ÷ñc t½nh theoc¡c gi¡ trà ¢ bi¸t cõa c¡c tham sè düa tr¶n c¡c ph÷ìng tr¼nh ho°c h»ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh li¶n h» giúa tham sè vîi dú li»u quan s¡t ÷ñc.Nhúng dú li»u t½nh to¡n ÷ñc sau â mang so s¡nh vîi dú li»u thüc thu

÷ñc trong qu¡ tr¼nh bi¸n êi ng÷ñc Tªp ¦u v o ÷ñc c£i ti¸n d¦n d¦ntrong mët quy tr¼nh l°p cho ¸n khi ¤t ÷ñc sü th½ch hñp giúa c¡c dü

o¡n v  quan s¡t Trong b÷îc l°p, c¡c tham sè ÷ñc i·u ch¿nh º c£ithi»n sü phò hñp giúa dú li»u ÷ñc quan s¡t v  t½nh to¡n Quy tr¼nh l°p

÷ñc ti¸p töc cho ¸n khi ¤t ÷ñc ti¶u chu©n th¼ døng l¤i ×îc t½nhthu ÷ñc trong b÷îc l°p cuèi còng ÷ñc ch§p nhªn v  l  nghi»m cho b ito¡n bi¸n êi ng÷ñc

1.2 Làch sû nghi¶n cùu

Mët trong nhúng v½ dö ¦u ti¶n v· gi£i ph¡p cho bi¸n êi ng÷ñc ¢

÷ñc Hermann Weyl t¼m ra v  xu§t b£n n«m 1911, mæ t£ h nh vi ti»mcªn cõa c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa to¡n tû Laplace Muff Beltrami [i] ng y nay

÷ñc gåi l  luªt cõa Weyl, sau n y ¢ ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc c£i thi»n.C¡c v§n · bi¸n êi ng÷ñc sau â công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði nh  vªt

lþ º ÷a ra c¡c k¸t luªn quan trång trong vªt lþ ¡ng chó þ ph£i kº ¸nc¡c nh  nghi¶n cùu l m vi»c tr¶n dú li»u àa vªt lþ ¢ gâp ph¦n r§t lîn

v o vi»c ph¡t triºn lþ thuy¸t v§n · nghàch £o C¡c nh  àa vªt lþ cèg­ng t¼m hiºu ho¤t ëng b¶n trong cõa Tr¡i §t thæng qua dú li»u ÷ñcl§y ð b· m°t Tr÷îc n«m 1970, c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc ph¡t triºn chõy¸u düa tr¶n kinh nghi»m Cæng tr¼nh cõa G Backus v  cõa F Gilbert[ii] [iii] ¢ kh¡m ph¡ ra h» thèng ¦u ti¶n v· c§u tróc to¡n håc cõa c¡cv§n · nghàch £o v  l  nguçn gèc cõa sü ph¡t triºn cõa nhi·u ph÷ìng

Nguy¹n Thà Ho i Thu 10 K41B To¡n HSP H  Nëi 2

ph¡p gi£i o¡n dú li»u àa vªt lþ º gi£i quy¸t c¡c v§n · nghàch £onh§t ành li¶n quan ¸n vi»c x¡c ành c¡c nguçn ÷ñc mæ t£ bði mëtph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tuy¸n t½nh cõa lo¤i ¦u ti¶n, c¡c t¡c gi£ n y ¢

· xu§t mët ph÷ìng ph¡p sè mang t¶n cõa hå, v  ¢ ÷a ra nhi·u b ib¡o v  s¡ch.[4]

Ng y nay, c¡c v§n · nghàch £o ti¸p töc ÷ñc nghi¶n cùu trong c¡cl¾nh vüc ngo i to¡n håc v  vªt lþ, nh÷ hâa håc, kinh t¸, khoa håc m¡yt½nh,

[i] Weyl, Hermann."Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte".Nachrichten der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.[ii] G.E Backus and J.F Gilbert "Numerical applications of a for-malism for geophysical inverse problems" Geophys J Roy Astr Soc.,1967

[iii] G.E Backus and J.F Gilbert "The resolving power of gross earthdata" Geophys J Roy Astr Soc., 1968

Ch֓ng 2

Bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh vîi

ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng tèi thiºu

2.1 X²t b i to¡n

Ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng tèi thiºu th÷íng ÷ñc sû döng º gi£i d¤ng

b i to¡n sau:

B i to¡n 1 (T¼m h m x§p x¿)

Gi£ sû ¢ bi¸t gi¡ trà yi cõa h m y = f (x) t¤i c¡c iºm t÷ìng ùng

x = xi vîi i = 1, 2, , n.T¼m h m Pm(x) x§p x¿ vîi h m f(x) trong â:

Pm(x) =

mPj=0

vîi ϕj(x) l  nhúng h m ¢ bi¸t, aj l  nhúng tham sè Khi gi£i quy¸t b ito¡n n y c¦n chån h m Pm(x) sao cho qu¡ tr¼nh t½nh to¡n ìn gi£n hâa

çng thíi, nh÷ng sai sè εi câ t½nh ch§t ng¨u nhi¶n (xu§t hi»n khi thu

÷ñc c¡c dú li»u yi) c¦n ÷ñc ch¿nh lþ trong qu¡ tr¼nh t½nh to¡n Trong

b i to¡n t¼m h m x§p x¿ vi»c chån d¤ng cõa h m x§p x¿ Pm(x) l  tòythuëc v o þ ngh¾a thüc ti¹n cõa h m f(x).[2]

12

2.2 Sai sè trung b¼nh

Nhúng h m trong thüc nghi»m thu ÷ñc th÷íng m­c ph£i nhúng sai

sè câ t½nh ch§t ng¨u nhi¶n Nhúng sai sè ng¨u nhi¶n n y xu§t hi»n do

sü t¡c ëng cõa nhúng y¸u tè ng¨u nhi¶n v  k¸t qu£ thüc nghi»m º thu

÷ñc c¡c gi¡ trà cõa h m

Ch½nh v¼ lþ do tr¶n, º ¡nh gi¡ sü sai kh¡c giúa hai h m trong thücnghi»m ta c¦n ÷a ra kh¡i ni»m v· sai sè (ho°c ë l»ch) N¸u hai h mthüc ch§t kh¡ g¦n nhau th¼ sai sè chóng ta ÷a ra ph£i kh¡ b² tr¶n mi·n

ang x²t Kh¡i ni»m v· sai sè nâi tr¶n khæng chó þ tîi nhúng k¸t qu£

câ t½nh ch§t c¡ bi»t m  x²t tr¶n mët mi·n n¶n ÷ñc gåi l  sai sè trungb¼nh

Ta gåi σn l  sai sè ( ho°c ë l»ch) trung b¼nh cõa hai h m f(x) v 

2

º gi£i ÷ñc b i to¡n 1 ta s³ sû döng ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng tèithiºu º quy nâ v· b i to¡n bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh v  gi£i º t¼m rac¡c tham sè c¦n t¼m.[2]

Khâa luªn tèt nghi»p Mët sè ph÷ìng ph¡p bi¸n êi ng÷ñc tuy¸n t½nh

sai sè n y câ thº ¥m hay d÷ìng tòy thuëc v o gi¡ trà cõa yi

Ta x²t b¼nh ph÷ìng cõa sai sè t¤i iºm i:

nPi=0

yi−

mPj=0

Xijaj

... ỗ bÊng sau Ma G cĂc hằ số cừa dỏng Ưu tiảncho bi cĂc tờng ổ lƯn lữủt tứ cởt án cởt m, cừa dỏng thự cho cĂctờng lƯn lữủt tứ cởt án cởt (m+1), , cỏn ma G cĂc hằ số chobi cĂc tờng lƯn lữủt... cƯn ữủc tẵnh v chẵnh l tham số mổhẳnh cừa bi toĂn bián ời ngữủc, hm  biát, K (y, x) ữủcgồi l hÔt nhƠn.[3]

Hm f (x) Ơy Ôi diằn cho tham số mổ hẳnh cừa bi toĂn bián... "php cƯu phữỡng" hoc "php cƯu phữỡng số& #34;

ở chẵnh xĂc cừa mởt php cƯu phữỡng luổn luổn cõ th ữủc cÊi thiằnbơng cĂch tông số lữủng im, tực l mực ở phƠn chia kho£ng (a,b)