Phương pháp tam thức bậc hai trong giải phương trình và hệ phương trình

ành lþ thuªn v· d§u cõa tam thùc bªc hai.. B§t ph÷ìng tr¼nh bªc hai.. So s¡nh c¡c nghi»m cõa mët tam thùc bªc hai vîi mët sè α... Ùng döng trong gi£i ph÷ìng tr¼nh v h»ph÷ìng tr¼nh.. Ph÷ì

PH×ÌNG TRœNH

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

Chuy¶n ng nh: ¤i sè

H€ NËI, 2019

LÍI CAM OAN

Em xin cam oan khâa luªn n y l  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa b£n th¥n

em, ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa ThS.D÷ìng Thà Luy¸n Trongkhi nghi¶n cùu, ho n th nh b£n khâa luªn n y em ¢ tham kh£o mët sè

t i li»u ¢ ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o

Em xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i: "Ph÷ìng ph¡p tam thùcbªc hai trong gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh" l  k¸t qu£cõa vi»c nghi¶n cùu v  né lüc håc tªp cõa b£n th¥n, khæng tròng l°p vîik¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c N¸u sai em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2019

Sinh vi¶n

é Thà Ki·u Trang

LÍI CƒM ÌN

Khâa luªn n y ÷ñc thüc hi»n t¤i khoa To¡n, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m

H  Nëi 2, d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa ThS D÷ìng Thà Luy¸n

Em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi cæ ThS D÷ìng Thà Luy¸n,ng÷íi ¢ ành h÷îng v  ch¿ d¨n s¡t sao trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp,nghi¶n cùu v  ho n th nh khâa luªn n y Sü chuy¶n nghi»p, nghi¶m tóctrong nghi¶n cùu v  nhúng ành h÷îng óng ­n cõa cæ l  ti·n · quantrång gióp em câ ÷ñc nhúng k¸t qu£ tr¼nh b y trong khâa luªn n y

Em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Chõ nhi»m khoa To¡n, c¡c th¦y, cægi¡o trong tê ¤i sè v  c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ph¤m H  Nëi 2 ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp,nghi¶n cùu v  ho n th nh khâa luªn n y

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu · t i n y m°c dò ¢ câ r§t nhi·u cèg­ng, song thíi gian v  kinh nghi»m b£n th¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâaluªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, em r§t mong ÷ñc sü ânggâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o, c¡c b¤n sinh vi¶n v  b¤n åc

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2019

Sinh vi¶n

é Thà Ki·u Trang

MÖC LÖC

Trang

Líi mð ¦u 1

1 Ki¸n thùc cì b£n v· tam thùc bªc hai 3

1.1 Nghi»m cõa tam thùc bªc hai 3

1.2 ành lþ Vi-et 4

1.2.1 ành lþ Vi-et têng qu¡t 4

1.2.2 V½ dö minh håa 4

1.3 ành lþ thuªn v· d§u cõa tam thùc bªc hai 5

1.4 B§t ph÷ìng tr¼nh bªc hai 9

1.4.1 ành ngh¾a 9

1.4.2 C¡ch gi£i 9

1.4.3 V½ dö minh håa 9

1.5 ành lþ £o v· d§u cõa tam thùc bªc hai 10

1.5.1 ành lþ £o 10

1.5.2 So s¡nh c¡c nghi»m cõa mët tam thùc bªc hai vîi mët sè α 11

1.5.3 So s¡nh c¡c nghi»m cõa mët tam thùc bªc hai vîi hai sè α, β (α < β) 14

1.6 D§u tam thùc tr¶n mët mi·n 18

1.6.1 B i to¡n 1 18

1.6.2 B i to¡n 2 19

1.6.3 B i to¡n 3 22

2 Ùng döng trong gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h»

ph÷ìng tr¼nh 25

2.1 Ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh quy v· bªc hai 25

2.1.1 Ph÷ìng tr¼nh quy v· bªc hai 25

2.1.2 H» ph÷ìng tr¼nh quy v· bªc hai 39

2.2 Ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh chùa tham sè 46

2.2.1 Ph÷ìng tr¼nh chùa tham sè 46

2.2.2 H» ph÷ìng tr¼nh chùa tham sè 68

K¸t luªn 79

T i li»u tham kh£o 80

LÍI MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

Tam thùc bªc hai giú mët và tr½ quan trång v  ÷ñc xuy¶n suèt trongch÷ìng tr¼nh to¡n sì c§p Mët b÷îc r§t quan trång c¦n ph£i l m khi gi£ito¡n l  lüa chån ÷ñc ph÷ìng ph¡p gi£i Líi gi£i cõa b i to¡n hay khi lüachån ÷ñc ph÷ìng ph¡p gi£i th½ch hñp Ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai l mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i hi»u qu£ v  câ ùng döng nhi·u tronggi£i to¡n sì c§p

Vîi nhúng lþ do tr¶n còng vîi láng say m¶ t¼m tái nghi¶n cùu v  d÷îi

sü h÷îng d¨n, gióp ï, ch¿ b£o tªn t¼nh cõa ThS D÷ìng Thà Luy¸n em

¢ m¤nh d¤n chån · t i: "Ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai tronggi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh" º thüc hi»n khâa luªn tètnghi»p cõa m¼nh Vîi mong muèn gióp håc sinh câ c¡i nh¼n to n di»n hìnv· ph÷ìng ph¡p gi£i cho tøng b i to¡n

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

B÷îc ¦u l m quen vîi cæng vi»c nghi¶n cùu khoa håc v  th§y ÷ñctam thùc bªc hai chi¸m và tr½ quan trång trong ch÷ìng tr¼nh to¡n sì c§p

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu tam thùc bªc hai v  ùng döng cõa tam thùc bªc hai tronggi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

4.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Tam thùc bªc hai v  ùng döng cõa tam thùc bªc hai trong gi£i ph÷ìngtr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh

4.2 Ph¤m vi nghi¶n cùu

C¡c b i to¡n câ sû döng ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu l½ luªn, ph¥n t½ch têng hñp

6 C§u tróc cõa · t i

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, khâa luªn gçm 2ch÷ìng

• Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì b£n v· tam thùc bªc hai

• Ch÷ìng 2 Ùng döng trong gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc cì b£n v· tam thùc bªc hai

1.1 Nghi»m cõa tam thùc bªc hai

Ph÷ìng tr¼nh ax2+ bx + c = 0 (a 6= 0, a, b, c ∈ R) ÷ñc gåi l  ph÷ìngtr¼nh bªc hai a thùc f (x) = ax2 + bx + c ÷ñc gåi l  tam thùc bªc hai.Nghi»m cõa tam thùc bªc hai f (x) công ch½nh l  nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh bªc hai f (x) = 0

º t¼m nghi»m cõa tam thùc bªc hai ta bi¸n êi nh÷ sau

2

= b

2 − 4ac4a2

N¸u b l  sè ch®n, b = 2b0, ∆0 = b02 − ac th¼ ta câ cæng thùc nghi»mthu gån

• ∆0 < 0 ph÷ìng tr¼nh (1) væ nghi»m

• ∆0 = 0 ph÷ìng tr¼nh (1) câ nghi»m k²p x = −b0

a

Líi gi£i.

Ta câ ∆0 = k2 + (k − 1)(k − 3) = 2k2 − 4k + 4 = 2 (k − 1)2 + 2 > 0, ∀k.Suy ra ph÷ìng tr¼nh luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1, x2 thäa m¢n

1.3 ành lþ thuªn v· d§u cõa tam thùc bªc hai

Kh£ n«ng 1 x1 < x2 ⇔ a < 3.

V½ dö 1.3.2 Cho tam thùc f (x) = (m + 1) x2 − 2(m − 1)x + 3m − 3.

a Vîi gi¡ trà n o cõa m th¼ f (x) < 0 vîi måi x

b Vîi gi¡ trà n o cõa m th¼ f (x) ≥ 0 vîi måi x

Líi gi£i

• Vîi m + 1 = 0 ⇔ m = −1, ta câ f (x) = 4x − 6, do â khæng thº câ

f (x) < 0 vîi måi x ho°c f (x) ≥ 0 vîi måi x

1.4 B§t ph÷ìng tr¼nh bªc hai

1.4.1 ành ngh¾a

B§t ph÷ìng tr¼nh bªc hai l  b§t ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng f (x) > 0 ho°c

f (x) ≥ 0 ho°c f (x) < 0 ho°c f (x) ≤ 0 Trong â f (x) l  mët tam thùcbªc hai

V½ dö 1.4.2 Cho b§t ph÷ìng tr¼nh x2+ 4x + 3 + m ≤ 0 Vîi gi¡ trà n ocõa m th¼

c º b§t ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l  mët o¤n tr¶n tröc sè câ ë d i b¬ng

2 th¼ tam thùc ð v¸ tr¡i cõa b§t ph÷ìng tr¼nh ph£i câ hai nghi»m ph¥nbi»t x1 v  x2 thäa |x1 − x2| = 2

Cho tam thùc f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0) N¸u câ sè α sao cho

af (α) < 0 th¼ tam thùc câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1, x2 (x1 < x2) v 

x1 < α < x2 Tø ành lþ tr¶n ta th§y r¬ng:

a N¸u af (α) < 0 ⇒ f (x) = 0 câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1, x2 (x1 < x2)

v  x1 < α < x2

b N¸u af (α) = 0 ⇒ α l  mët nghi»m cõa tam thùc

c N¸u af (α) > 0, khi â c¦n quan t¥m tîi bi»t sè ∆ cõa tam thùc.+ N¸u ∆ < 0 ⇒ f (x) = 0 væ nghi»m n¶n vi»c so s¡nh sèα vîi c¡c nghi»mcõa tam thùc væ ngh¾a

+ N¸u ∆ ≥ 0 ⇒ f (x) = 0 câ nghi»m v  sè α n¬m ngo i kho£ng hainghi»m

• N¸u S

2 =

−b2a > α th¼ α < x1 ≤ x2

b Ta câ af (0) = −m2 − 1 < 0 vîi måi m

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1, x2 (x1 < x2) v 

x1 < 0 < x2

1.5.2 So s¡nh c¡c nghi»m cõa mët tam thùc bªc hai vîi mët

sè α

a C¡c tr÷íng hñp câ thº x£y ra

Cho tam thùc bªc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a 6= 0), sè thüc α, f (x)

câ hai nghi»m thäa m¢n

2 > αChó þ

f (x) = ax2 + bx + c câ nghi»m x ∈ D (D l  mët kho£ng, mët o¤n, nûakho£ng, nûa o¤n)

b V½ dö minh håa

V½ dö 1.5.2 Cho ph÷ìng tr¼nh

(m + 1) x2 − 2 (m − 1) x + m2 + 4m − 5 = 0

Vîi gi¡ trà n o cõa m th¼

a Ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m tr¡i d§u

b Ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ·u lîn hìn 2

c Ph÷ìng tr¼nh câ hai ngi»m ·u nhä hìn 1

−2

m + 1 < 0

⇔ −1 < m < −3 +

√17

1.5.3 So s¡nh c¡c nghi»m cõa mët tam thùc bªc hai vîi hai

(

f (α) = 0

af (β) < 0

f (x) = ax2 + bx + c câ nghi»m x ∈ D (D l  mët kho£ng, mët o¤n, nûakho£ng, nûa o¤n).

m < 43

4.1.6 D§u tam thùc tr¶n mët mi·n

1.6.1 B i to¡n 1

Cho tam thùc f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0)

a T¼m i·u ki»n º f (x) ≥ 0 ∀x

b T¼m i·u ki»n º f (x) ≤ 0 ∀x

câ hai nghi»m ph¥n bi»t thäa m¢n x1 < x2 ≤ α.

2 < α

* L m t÷ìng tü vîi tr÷íng hñp t¼m i·u ki»n º f (x) ≥ 0 ∀x < α

b f (x) ≤ 0 ∀x > α (hayx ∈ (α, +∞) ) khi mët trong hai tr÷íng hñp saux£y ra:

Tr÷íng hñp 1 N¸u ∆ ≤ 0, i·u ki»n l  a < 0

Tâm l¤i ta c¦n

(

a < 0

∆ ≤ 0 .Tr÷íng hñp 2 N¸u ∆ > 0, i·u ki»n l  a > 0 v  ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0

câ hai nghi»m ph¥n bi»t thäa m¢n x1 < x2 ≤ α

Tr÷íng hñp 1 N¸u ∆ ≤ 0, i·u ki»n l  a > 0.

Tr÷íng hñp 2 N¸u ∆ > 0, i·u ki»n l  a > 0 v  ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0

câ hai nghi»m ph¥n bi»t thäa m¢n x1 < x2 ≤ 6

Tr÷íng hñp 2 N¸u ∆ > 0, i·u ki»n l  a < 0 v  ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0

câ hai nghi»m ph¥n bi»t thäa m¢n −4 ≤ x1 < x2

a f (x) ≥ 0 ∀x ∈ (α, β) khi mët trong hai tr÷íng hñp sau x£y ra:

Tr÷íng hñp 1 N¸u ∆ ≤ 0, i·u ki»n l  a > 0

Tâm l¤i ta c¦n

(

a > 0

∆ ≤ 0 Tr÷íng hñp 2 N¸u ∆ > 0, x²t hai kh£ n«ng sau:

• N¸ua > 0th¼ i·u ki»n l  f (x) = 0câ hai nghi»m ph¥n bi»t thäa m¢n

b f (x) ≤ 0 ∀x ∈ (α, β) khi mët trong hai tr÷íng hñp sau x£y ra:

Tr÷íng hñp 1 N¸u ∆ ≤ 0, i·u ki»n l  a < 0

Tâm l¤i ta c¦n

(

a < 0

∆ ≤ 0 Tr÷íng hñp 2 N¸u ∆ > 0, x²t hai kh£ n«ng sau:

• N¸ua < 0th¼ i·u ki»n l  f (x) = 0câ hai nghi»m ph¥n bi»t thäa m¢n

m < −4

⇔ m < −4

Tr÷íng hñp 2 N¸u ∆0 ≥ 0 ⇔ −2m2 − 7m + 4 ≥ 0 ⇔ −4 ≤ m ≤ 1

2.X²t hai kh£ n«ng sau:

+ N¸u a < 0 ⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < −1 th¼ i·u ki»n l  f (x) = 0 câ hainghi»m thäa m¢n

Vªy, ta ÷ñc i·u ki»n l  m < −1

+ N¸u a > 0 ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 th¼ i·u ki»n l  f (x) = 0 câ hainghi»m thäa m¢n

Ch֓ng 2

Ùng döng trong gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh

Khi nghi¶n cùu v· tam thùc bªc hai v  ùng döng cõa tam thùc bªchai trong gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh nëi dung chõ y¸u ð trongch÷ìng tr¼nh phê thæng n¶n câ thº hiºu khi gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìngtr¼nh ta x²t tr¶n ph¤m vi tr÷íng sè thüc

* Dü o¡n nghi»m düa v o c¡c k¸t qu£ sau

+ N¸u a + b + c + d = 0 th¼ (1) câ nghi»m x = 1

+ N¸u a − b + c − d = 0 th¼ (1) câ nghi»m x = −1

+ N¸u a, b, c, d nguy¶n v  (1) câ nghi»m húu t p

q th¼ p, q thù tü l  ÷îccõa d v  a

+ N¸u ac3 = bd3 (a, d 6= 0) th¼ (1) câ nghi»m x = −c

b

a Nhªn x²t r¬ng a + b + c + d = 0 do â ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = 1.Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh v· d¤ng

(x − 1) 2x2 + 3x − 2
= 0 ⇔

"

x − 1 = 02x2 + 3x − 2 = 0 ⇔

Gi£i ph÷ìng tr¼nh khi bi¸t mët nghi»m x0.

* Dü o¡n nghi»m düa v o c¡c k¸t qu£ sau

+ N¸u a + b + c + d + e = 0 th¼ (1) câ nghi»m x = 1

+ N¸u a − b + c − d + e = 0 th¼ (1) câ nghi»m x = −1

+ N¸u a, b, c, d, e nguy¶n v  (1) câ nghi»m húu t p

q th¼ p, q thù tü l  ÷îccõa e v  a

Nhªn x²t

N¸u c¡c ph÷ìng ph¡p nh©m nghi»m khæng câ t¡c döng ta câ thº thûvªn döng ki¸n thùc v· ph¥n t½ch a thùc Þ t÷ðng th÷íng ÷ñc sû döng l chuyºn a thùc bªc bèn v· d¤ng A2− B2 = 0 ⇔ (A − B)(A + B) = 0khi

â ta ÷ñc t½ch cõa hai tam thùc bªc hai, do vªy vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nhbªc bèn ÷ñc quy v· vi»c gi£i hai ph÷ìng tr¼nh bªc hai

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1,2 = 1 ±

√13

(2) ⇔ At2 + Bt + C = 0

â l  ph÷ìng tr¼nh bªc hai theo t

B÷îc 3 K¸t luªn v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1)

V½ dö minh håa

V½ dö 2.1.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh x4 − 8x3 + 7x2 + 36x − 36 = 0 (1)Líi gi£i

Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh d÷îi d¤ng

â l  ph÷ìng tr¼nh bªc hai theo t

B÷îc 2 K¸t luªn v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1)

N¸u (2) câ nghi»m t0 ≥ 0 th¼ (1) câ nghi»m x = ±√

t0

V½ dö minh håa

V½ dö 2.1.4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh 4 2

x + d

b.

1x

+ c = 0 (2)

, suy ra x2 + e

â l  ph÷ìng tr¼nh bªc hai quen thuëc

B÷îc 3 K¸t luªn v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1)

Nhªn x²t.

Nhi·u ph÷ìng tr¼nh ð d¤ng ban ¦u khæng ph£i l  mët ph÷ìng tr¼nhhçi quy, tuy nhi¶n vîi ph²p °t ©n phö th½ch hñp ta câ thº chuyºn chóngv· d¤ng hçi quy ho°c ph£n hçi quy, tø â ¡p döng ph÷ìng ph¡p ¢ bi¸t



y + 1y

+ 6 = 0

y = −4 ⇔ y

2 + 4y + 1 = 0

3, x2 = √

3

b Nhªn x²t r¬ng ¥y khæng ph£i l  mët ph÷ìng tr¼nh ph£n hçi quy, tuynhi¶n n¸u °t ©n phö th½ch hñp ta s³ câ mët ph÷ìng tr¼nh ph£n hçi quy.Thªt vªy, °t y = x − 1



y − 1y

y = 1 ⇔ y

2 − y − 1 = 0 ⇔ y1,2 = 1 ±

√52

⇔ x1,2 = 3 ±

√5

2 .+ Vîi t = −3 ⇔ y − 1

2 ,

x3,4 = −1 ±√13

â l  ph÷ìng tr¼nh bªc hai quen thuëc.

B÷îc 3 K¸t luªn v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1)

Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ d¤ng

(1) ⇔ 2t4 + 12



a − b2

2

t2 + 2



a − b2

4

= c

â l  ph÷ìng tr¼nh tròng ph÷ìng m  ta ¢ bi¸t c¡ch gi£i

B÷îc 2 K¸t luªn v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1)

(1) ⇔ (t − 1)4+(t + 1)4 = 2 ⇔ 2t4+12t2+2 = 2 ⇔ t4+6t2 = 0 ⇔ t = 0.+ Vîi t = 0 ⇔ x + 4 = 0 ⇔ x = −4

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = −4

2.1.1c Ph÷ìng tr¼nh chùa trà tuy»t èi

x < 1 ⇔ x = 0.

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = 0.

Nhªn x²t

+ Trong c¥u a) ta lüa chån ph²p bi¸n êi (I) bði vi»c x²t d§u cõa x + 4

ìn gi£n hìn so vîi x2 − 5x + 4

+ Trong c¥u b) ta lüa chån ph²p bi¸n êi (II) bði vi»c x²t d§u cõa x − 1

ìn gi£n hìn r§t nhi·u so vîi x3 + x + 1

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = 1 ±√

V½ dö minh håa

V½ dö 2.1.10 (HVNH Khèi D 98) Gi£i ph÷ìng tr¼nh

25x+ 10x = 22x+1 (1)

Líi gi£i

Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh d÷îi d¤ng 52x+ (2.5)x = 2.22x

Chia hai v¸ b§t ph÷ìng tr¼nh cho 22x 6= 0, ta ÷ñc

Ph÷ìng tr¼nh ÷ñc vi¸t l¤i d÷îi d¤ng

2.1.1f Ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c

C¡ch gi£i

Câ thº ÷a ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c v· ph÷ìng tr¼nh bªc hai b¬ngc¡ch °t ©n phö

3 = 0.Líi gi£i.

V½ dö minh håa

V½ dö 2.1.16 (HSP TPHCM Khèi A, B-2000) Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh(

x4 = √3

17, y4 = −

8

√17

Vªy h» ph÷ìng tr¼nh câ bèn c°p nghi»m l  (−1, 2); (1, −2);

√

17, −

8

√17



i·u ki»n

(

−2 ≤ x ≤ 11

−2 ≤ y ≤ 11 .Trø tøng v¸ h» ph÷ìng tr¼nh, ta ÷ñc

• (1) câ ba nghi»m ph¥n bi»t ⇔

• (1) câ óng mët nghi»m ⇔ ∆g = 0, g (x0) = 0

∆g < 0 .V½ dö minh håa

b Ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m x = 1 < 2

Do â º ph÷ìng tr¼nh (1) câ ba nghi»m ph¥n bi»t nhä hìn 2

⇔ ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0 câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1 < x2 < 2 v 

m + 2 > −44m + 1 6= 0

• (1) câ 4 nghi»m ph¥n bi»t

⇔ (2) câ 3 nghi»m ph¥n bi»t kh¡c x0

• (1) câ 3 nghi»m ph¥n bi»t

⇔ (2) câ 3 nghi»m ph¥n bi»t vîi mët nghi»m l  x0 ho°c (2) câ 2nghi»m ph¥n bi»t kh¡c x0.

• (1) câ 2 nghi»m ph¥n bi»t

⇔ (2) câ 2 nghi»m ph¥n bi»t vîi mët nghi»m l  x0 ho°c (2) câ duynh§t nghi»m kh¡c x0

Do â (2) ÷ñc chuyºn v· d¤ng

(x + m − 1)x2 + (m + 1) x + 1 = 0

Khi â

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t x = 1, x = 2.

b º ph÷ìng tr¼nh câ 4 nghi»m ph¥n bi»t

⇔ (3) câ 2 nghi»m ph¥n bi»t kh¡c 1 v  1 − m v  1 − m 6= 1

ph÷ìng tr¼nh câ 4 nghi»m ph¥nbi»t

(2) ⇔ At2 + Bt + C = 0 (3)

• (1) câ nghi»m duy nh§t ⇔ (3) câ nghi»m t1 ≤ t2 = α.

• (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t ⇔ (3) câ nghi»m ⇔

"

α < t1 = t2

t1 < α < t2

• (1) câ ba nghi»m ph¥n bi»t ⇔ (3) câ nghi»m α = t1 < t2

• (1) câ ba nghi»m ph¥n bi»t ⇔ (3) câ nghi»m α < t1 < t2

b (1)câ bèn nghi»m ph¥n bi»t⇔ (3) câ hai nghi»m thäa m¢n2 < t1 < t2.

• (1) câ nghi»m duy nh§t ⇔ (2) câ nghi»m t1 ≤ 0 = t2

• (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t ⇔ (2) câ nghi»m t1 < 0 < t2

• (1) câ ba nghi»m ph¥n bi»t ⇔ (2) câ nghi»m 0 = t1 < t2

• (1) câ ba nghi»m ph¥n bi»t ⇔ (2) câ nghi»m 0 < t1 < t2

V½ dö minh håa

V½ dö 2.2.4 T¼m m º ph÷ìng tr¼nh

mx4 − 2 (m − 1) x2 + m − 1 = 0 (1)

a Câ nghi»m duy nh§t

b Câ bèn nghi»m ph¥n bi»t

Líi gi£i

°t t = x2 vîi t ≥ 0, ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng

a Ph÷ìng tr¼nh (1) câ nghi»m duy nh§t ⇔ (2) câ nghi»m t1 ≤ 0 = t2

Vªy vîi m = 1 ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t

b Ph÷ìng tr¼nh(1)câ bèn nghi»m ph¥n bi»t ⇔ (2)câ nghi»m 0 < t1 < t2

B÷îc 2 Ph÷ìng tr¼nh (1) câ bèn nghi»m ph¥n bi»t

⇔ ph÷ìng tr¼nh (2) câ hai nghi»m ph¥n bi»t d÷ìng 0 < t1 < t2