Một số dạng toán số học quy về phương trình nghiệm nguyên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN --- ĐẶNG THANH HẰNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội, 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

ĐẶNG THANH HẰNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

Hà Nội, 2019

LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quátrình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóaluận tốt nghiệp

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo -TS.Nguyễn Thị Kiều Nga, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tìnhgiúp đỡ, hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoànthiện khóa luận này

Trong quá trình nghiên cứu, do năng lực bản thân còn hạn chếnên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhậnđược sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc

để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Đặng Thanh Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn ThịKiều Nga khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì

đề tài nào khác

Trong khi làm khóa luận này, em đã tham khảo một số kiến thức

có ghi trong tài liệu tham khảo

Hà Nội, tháng 5 năm 2019Sinh viên

Đặng Thanh Hằng

Mục lục

1.1 Đồng dư thức 3

1.2 Một số kiến thức cơ bản về số học 5

1.2.1 Các định lí cơ bản 5

1.2.2 Một số tính chất số học 6

1.3 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 7 1.3.1 Phương pháp 1: Phương pháp xét tính chia hết 7 1.3.2 Phương pháp 2: Phương pháp dùng bất đẳng thức 11 1.3.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của số chính phương 17

1.3.4 Phương pháp 4: Xét số dư từng vế khi chia cho cùng một số 19

1.3.5 Phương pháp 5: Phương pháp lùi vô hạn 22

2 Một số dạng toán số học quy về phương trình nghiệm nguyên 24 2.1 Dạng toán về số tự nhiên và các chữ số 24

2.1.1 Phương pháp chung 24

2.1.2 Ví dụ 25

2.1.3 Một số bài tập tương tự 27

2.1.4 Bài tập tự giải 29

2.2 Dạng toán về tính chia hết và số nguyên tố 30

2.2.1 Phương pháp chung 30

2.2.2 Ví dụ 30

2.2.3 Một số bài tập tương tự 32

2.2.4 Bài tập tự giải 34

2.3 Dạng toán thực tế 35

2.3.1 Phương pháp chung 35

2.3.2 Ví dụ 35

2.3.3 Một số bài tập tương tự 37

2.3.4 Bài tập tự giải 40 Tài liệu tham khảo 42

Lời mở đầu

Số học là lĩnh vực xuất hiện sớm nhất trong lịch sử toán học khicon người bắt đầu làm việc với những con số thì khi ấy, Số học ra đời.Trải qua hàng nghìn năm phát triển, số học vẫn giữ được vẻ đẹp thuầnkhiết của nó Vẻ đẹp ấy được thể hiện qua cách phát triển đơn giản bàitoán đến nỗi một học sinh lớp 6 cũng có thể hiểu được Thế nhưng vẻđẹp ấy thường tiềm ẩn những thử thách sâu thẳm bên trong để tháchthức trí tuệ loài người Vì thế, người ta thường nói "Số học là bà hoàngcủa toán học" Trong đó, phương trình nghiệm nguyên là một đề tài lýthú của số học, đã lôi cuốn nhiều người, từ các học sinh nhỏ với các bàitoán như "Trăm trâu trăm cỏ" đến các chuyên gia toán học lớn với cácbài toán như định lý lớn Fecmat được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế

kỉ III, Vì thế phương trình nghiệm nguyên mãi mãi còn là đối tượngnghiên cứu của toán học

Ngoài phương trình bậc nhất 2 ẩn, các phương trình nghiệm nguyênthường không có quy tắc giải tổng quát Mỗi bài toán với điều kiện riêngcủa nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp Điều đó có tác dụng rènluyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Chính vì thế

mà các phương trình nghiệm nguyên thường có mặt trong các kì thi họcsinh giỏi toán ở tất cả các cấp

Trong luận văn nghiên cứu này, dưới sự giúp đỡ của TS NguyễnThị Kiều Nga cùng với sự yêu thích Số học, em chọn đề tài "Một

số dạng toán Số học quy về phương trình nghiệm nguyên" làm đề tàinghiên cứu khóa luận của mình

Nội dung khóa luận được chia làm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức về Số học và một số phương

pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm sử dụng cho chương sau.

Chương 2: Một số dạng toán số học quy về phương trình nghiệmnguyên

Chương này đưa ra một số bài toán số học có thể quy về phươngtrình nghiệm nguyên để giải

Do thời gian và năng lực nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nênkhóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong được sự góp ý củacác thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Đặng Thanh Hằng

Chương 1

Kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về Số học và một

số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm sử dụng chochương sau

1.1 Đồng dư thức

Định nghĩa 1.1.1 Cho a, b, m là các số nguyên, m > 0 Nếu a − b chiahết cho m thì a và b được gọi là đồng dư modulo m, kí hiệu a ≡ b (modm).Mệnh đề 1.1.2 (Điều kiện tương đương của đồng dư thức) Các khẳngđịnh sau là tương đương:

(i) a ≡ b (modm);

(ii) m| (a − b);

(iii) Tồn tại t ∈ Z sao cho a = b + mt

Chứng minh

+) (i) ⇒ (ii) Theo định nghĩa a ≡ b (modm), tồn tại các số q1, q2, r với

0 ≤ r < m sao cho a = mq1+ r; b = mq2+ r Suy ra: a − b = m (q1 − q2)

Do q1; q2 ∈ Z nên (q1 − q2) ∈ Z Vậy m| (a − b)

+) (ii) ⇒ (iii) Vì m| (a − b) nên tồn tại t ∈ Z sao cho a − b = mt Suy

ra a = b + mt

+) (iii) ⇒ (i) Chia a cho m, giả sử ta được thương là qn và dư là r(0 ≤ r < m) nghĩa là

a = m.qn + r; (*)Mặt khác

a = b + mt; (**)

Thay (**) và (*) ta có: b + mt = m.qn + r nên b = m (qn − t) + r với

0 ≤ r < m Trong đó, (qn − t) ∈ Z nên số dư trong phép chia a cho mcũng là r Vậy a ≡ b (modm)

Một số tính chất của đồng dư thức:

a Với mỗi số tự nhiên m 6= 0, ta có

+ a ≡ b(modm), với mọi a ∈ Z;

+ a ≡ b(modm) suy ra b ≡ a (modm), với mọi a, b ∈ Z;

+ a ≡ b (modm) , b ≡ c (modm) thì a ≡ c (modm),với a, b, c ∈ Z

a ≡ b (modmk)thì a ≡ b (modm1) với m = [m1; m2; ; mk]

e Nếu δ|a, δ|b và (δ, m) = 1 thì từ a ≡ b (modm) ta cũng có

Nếu a ≡ b (modm) thì a ± c ≡ b ± c (modm),với mọi c ∈ Z;

Nếu a + c ≡ b (modm) thì a ≡ b − c (modm);

Nếu a ≡ b (modm) thì với mọi k ∈ Z ta có a + km ≡ b (modm);Nếu a ≡ b (modm) thì với mọi c ∈ Z ta có ac ≡ bc (modm);

Nếu a ≡ b (modm) thì với mọi n ∈ N ta có an ≡ bn(modm)

Nếu ai ≡ bi(modm) , i = 1, n và x ≡ y (modm) thì

Định lý 1.2.1 (Định lí về sự phân tích tính chuẩn) Cho n là số nguyên,

n 6= 0, ±1 Khi đó n luôn có thể biểu diễn được một cách duy nhất (không

tính đến việc sắp xếp thứ tự các nhân tử) dưới dạng:

Định lý 1.2.4 (Định lí Wilson) Số nguyên p là số nguyên tố khi và chỉkhi

(p − 1)! + 1 ≡ 0 (modp)

1.2.2 Một số tính chất số học

a Với mọi số nguyên x thì

+ Không tồn tại số nguyên a để x2 < a2 < (x + 1)2

+ Nếu tồn tại số nguyên a thỏa mãn

x2 < a2 < (x + 2)2thì a = x + 1

b Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì mộttrong hai số đó bằng 0.

c Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chínhphương thì mỗi số đều là số chính phương

d Số chính phương không tận cùng là 2, 3, 7, 8

e Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p là p2

+ Số chính phương chia cho 3 dư 0, 1;

+ Số chính phương chia cho 4 dư 0, 1;

+ Số chính phương chia cho 8 dư 0, 1, 4

1.3 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm

nguyên

1.3.1 Phương pháp 1: Phương pháp xét tính chia hết

a Phương pháp sắp thứ tự các ẩn

Cơ sở của phương pháp

- Dựa vào các dấu hiệu chia hết

+ Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 Hoặc các

số chẵn thì chia hết cho 2

+ Dấu hiệu chia hết cho 3

Là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3.+ Dấu hiệu chia hết cho 4

Những số có hai chữ số cuối tạo thành số chia hết cho 4 thì số đóchia hết cho 4

+ Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

+ Dấu hiệu chia hết cho 8

Những số có ba chữ số cuối tạo thành số chia hết cho 8 thì số đóchia hết cho 8

+ Dấu hiệu chia hết 9

Là các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9.+ Dấu hiệu chia hết cho 11

Từ trái sang phải ta coi các chữ số thứ nhất, thứ ba, thứ năm

là chữ số hàng lẻ, coi các chữ số thứ hai, tứ tư, thứ sáu là chữ sốhàng chẵn Những số có tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng cácchữ số hàng lẻ là một số chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11

và chỉ những số đó mới chia hết cho 11

+ Dấu hiệu chia hết cho 25

Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì số

đó chia hết cho 25

+ Dấu hiệu chia hết cho 125

Những số có ba chữ số cuối tạo thành số chia hết cho 125 thì số đóchia hết cho 125

Ví dụ 1.3.1.1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau

2x + 3y = 156 (1)

Lời giải Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1) Ta thấy

156 2 ; 2x 2 nên 13y 2 suy ra y 2 (vì 13 và 2 là nguyên tố cùng nhau).Đặt y = 2t (t ∈ Z) ta được: 2x + 13.2t = 156

b Phương pháp đưa về phương trình ước số.

Cơ sở của phương pháp

- Mỗi số nguyên chỉ có hữu hạn ước số

- Cách giải: Dùng phương pháp tách, nhóm để đưa về phương trình banđầu về ước số; trong đó một vế là tích các thừa số nguyên chứa ẩn còn

vế còn lại là hằng số

Ví dụ 1.3.1.2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2xy − 4x + y = 7Lời giải Ta có

2xy − 4x + y = 7

⇔ 2x (y − 2) + y = 7

⇔ 2x (y − 2) + y − 2 = 7 − 2

⇔ (y − 2) (2x + 1) = 5

Vì x, y là các số nguyên nên 2x + 1 và y − 2 là các số nguyên và là ướccủa 5.

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x, y) là (0; 7),(−1; −3),(2; 3),(−3, 1)

c Phương pháp biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tínhchia hết

Cơ sở của phương pháp

- Tính chia hết trên tập số nguyên

- Cách giải:

+ Rút gọn phương trình

+ Biểu thị một ẩn theo ẩn kia (chẳng hạn x)

+ Từ biểu thức của x tách ra từng phần nguyên

+ Đặt điều kiện cho phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên

t ta được phương trình mới

+ Cứ tiếp tục cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đathức với các hệ số nguyên

Ví dụ 1.3.1.3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

xy − x − y = 2Lời giải

xy − x − y =2

⇔ x(y − 1) =y + 2

Ta thấy y 6=1 (vì nếu y = 1 thì 0x = 3, vô nghiệm).

Cơ sở của phương pháp

Ta sắp xếp các ẩn theo một quan hệ thứ tự nào đó Dựa vào thứ tự quan

hệ này ta hạn chế được miền nghiệm của ẩn (Thường sử dụng phươngtrình đối xứng)

Ví dụ 1.3.2.1 Tìm ba số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôitổng của chúng

Lời giải Giả sử ba số nguyên dương cần tìm là a, b, c Ta có

- Xét ab = 2 suy ra a = 1; b = 2.Thay vào (1) được 6 = 0 (loại).

- Xét ab = 3 suy ra a = 1; b = 3 Thay vào (1) được c = 8

- Xét ab = 4 suy ra a = 1; b = 4 hoặc a = b = 2 Thay vào (1) được giátrị lần lượt là c = 5 hoặc c = 4

- Xét ab = 5 suy ra a = 1; b = 5 Thay vào (1) được c = 4 (loại) (Dotrái với giả thiết b ≤ c)

- Xét ab = 6 ⇒ a = 1; b = 6 hoặc a = 2; b = 3 Thay vào (1) đều đượcgiá trị c = 7

2 (loại).

Vậy nghiệm (a, b, c) của phương trình là (1; 3; 8) ;(1; 4; 5); (2; 2; 4)

b Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên

Cơ sở của phương pháp

Chỉ ra một hoặc một vài số là nghiệm của phương trình rồi chứng minhrằng phương trình không còn nghiệm nào khác

Ví dụ 1.3.2.2 Tìm các số tự nhiên x, sao cho

2x+ 3x = 35 (2)

Lời giải

- Với x = 0: khi đó phương trình (2) tương đương 1 + 1 = 2 6= 35 (loại);

- Với x = 1: khi đó phương trình (2) tương đương 2 + 3 = 5 6= 35 (loại);

- Với x = 2: khi đó phương trình (2) tương đương 4 + 9 = 13 6= 35 (loại);

- Với x = 3: khi đó phương trình (2) tương đương 8 + 27 = 35;

- Với x > 3 ta có 2x+ 3x > 23 + 33 = 35 (loại)

Vậy với x = 3 là số tự nhiên cần tìm

c Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn

Cơ sở của phương pháp

- Dùng các lập luận để xác định khoảng giá trị của ẩn kết hợp với điềukiện có nghiệm nguyên để tìm ra nghiệm đúng

Ví dụ 1.3.2.3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1

x +

1

y =

15Lời giải Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x ≥ y Ta sẽ dùng bấtđẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn

d Phương pháp sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai cónghiệm

Cơ sở của phương pháp

- Ta viết phương trình f (x; y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đốivới một ẩn, chẳng hạn đối với x khi đó y là tham số Điều kiện cần đểphương trình bậc hai có nghiệm là ∆ ≥ 0 Chú ý rằng để phương trìnhbậc hai có nghiệm nguyên thì ∆ phải là số chính phương

Ví dụ 1.3.2.4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Thử lại ta thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn phương trình đã cho.Vậy phương trình trên có các nghiệm là (−6; 9); (−21; 9); (−10; 8); (0; 0);(−1; −1)

e Phương pháp khử ẩn

Cơ sở của phương pháp

Ta sử dụng tính chất lũy thừa cùng bậc của các số nguyên liên tiếp đểđưa phương trình nghiệm nguyên cần giải về dạng phương trình khác ít

ẩn hơn hoặc quen thuộc hơn Từ đó tìm ra nghiệm nguyên các phươngtrình đã cho

Vận dụng các nhận xét:

+ xn < yn < (x + a)n thì yn = (x + i)n với i = 1, 2, , a − 1

+ x (x + 1) y (y + 1) (y + n) < (x + a) (x + a + 1) (x + a + n) thì

y (y + 1) (y + n) = (x + i) (x + i + n) với i = 1, 2, , a − 1

(Với x, y là các số nguyên; a, n là các số nguyên đều lớn hơn 1)

Ví dụ 1.3.2.5 Giải phương trình nghiệm nguyên:

x4 + x2 − y2 + y + 10 = 0Lời giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

f Phương pháp dùng các bất đẳng thức cơ bản

Cơ sở của phương pháp

- Sử dụng các bất đắng thức thường dùng như Cauchy, Bunhiacopxki,Lepmit,

Ví dụ 1.3.2.6 Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình

x2 + 1
x2 + y2
= 4x2y (*)

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

x2 + 1 ≥ 2x, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1

x2 + y2 ≥ 2xy, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y

Vì x, y nguyên dương nên nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế tađược

x2 + 1
x2 + y2
≥ 4x2y;

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x = y = 1

1.3.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của số chính phương

a Phương pháp sử dụng tính chất về số dư trong phép chia tậncùng của số chính phương

Cơ sở của phương pháp

- Số chính phương không có tận cùng là 2, 3, 7, 8;

- Số chính phương chia cho 3 dư 0, 1;

- Số chính phương chia cho 4 dư 0, 1;

- Số chính phương chia cho 8 dư 0, 1, 4;

- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2

Ví dụ 1.3.3.1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

3x2 + 4y2 = 6x + 13Lời giải Biến đổi phương trình:

- Với y = 1 thay vào (*) ta được x = 3

x = −1

- Với y = −2 thay vào (*) ta được x = 2

- Với y = 2 thay vào (*) ta được x = 2

Vậy nghiệm nguyên (x; y) của phương trình là (3; −1), (3; 1); (−1; −1);(1; 2); (1; −2)

b Phương pháp sử dụng tính chất cơ bản của số chính phương

Cơ sở của phương pháp

- Tính chất 1: Với mọi số nguyên a, x ta có:

vậy, giả sử x2 + 1
d, (x + 1) d thì x2 + 1
− x2 − 1
= 2 d, do d lẻnên d = 1.

Hai số x2 + 1 và x + 1 là hai số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau, cótích là số chính phương nên cả hai số đều là số chính phương

Do x2 và x2 + 1 là hai số nguyên liên tiếp, cùng là số chính phương nên

số nhỏ bằng 0, đó là x2 = 0

Từ x = 0 ta được y = 0 hoặc y = −1

Vậy nghiệm nguyên (x; y) của phương trình là (0; 0), (0; −1)

1.3.4 Phương pháp 4: Xét số dư từng vế khi chia cho cùng

một số

a Sử dụng tính chẵn lẻ

Cơ sở của phương pháp

+ Tích hai số chẵn là một số chẵn nhưng điều ngược lại không đúng.+ Tích hai số lẻ của một số lẻ và ngược lại

+ Tổng (hiệu) của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ

+ Tổng (hiệu) của hai số chẵn (lẻ) là một số chẵn

Ví dụ 1.3.4.1 Giải phương trình nghiệm nguyên: