CD11 các TRƯỜNG hợp BẰNG NHAU của TAM GIÁC VUÔNG 70 79

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

K A

VUÔNG

A Kiến thức cần nhớ

Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông, còn có trường hợp bằng nhau theo cạnh huyền – cạnh góc vuông

 Nếu một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác

đó bằng nhau

0

A A ' 90

BC B ' C ' ABC A ' B ' C ' c.h c.g.v

AC A ' C '

ü ï

= = ïïï

-ïï

C' B'

A' C

B

A

B Một số ví dụ:

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC cân tại A Đường thẳng

vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với

AC tại C ở D Chứng minh rằng AD là tia phân giác của

góc BAC

Giải

* Tìm cách giải: Để chứng minh AD là tia phân giác

của góc BAC, chúng ta cần chứng minh BAD CAD

Do đó hiển nhiên cần chứng minh BADCAD

* Trình bày lời giải:

Xét BAD và CAD có: ABD ACD (=900); AD là cạnh

chung;

AB = AC (ABC cân tại A)

Do đó BADCAD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=> BAD CAD  (cặp góc tương ứng)

Vậy AD là tia phân giác góc BAC

* Nhận xét: Chúng ta còn có DA là tia phân giác của góc BDC, tam giác DBC cân

tại D

AD vuông góc với BC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC Trên cạnh BC

lấy điểm E sao cho BE = BA Kẻ EK  AC (K  AC) Chứng minh AK = AH

Giải:

* Trình bày lời giải: ABE cân tại B nên BAE BEA

EK //AB ( vì cùng vuông góc với AC)

D

C B

A

O

K

M B

A 2 1

 EABAEK (so le trong)  AEH AEK

 AEH AEK (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra AK = AH

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC (AB <AC), M là trung điểm của BC Đường trung trực

của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AC

a) Chứng minh: PB = PC và BH = CK

b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng

c) Gọi O là giao điểm của PA và HK Chứng minh: OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2

Giải

a) PMB và PMCcó PMB PMC  (=900), MB = MC, MP là cạnh chung

 PMBPMC(c.g.c)  PB = PC (hai cạnh tương ứng)

PHA

 và PKA có PHA PKA (=900), PAH PAK , AP là cạnh chung

 PHAPKA (cạnh huyền – góc nhọn)

 PH = PK (hai cạnh tương ứng)

PHB

 và PKC có PHB = PKC =90  0, PB = PC, PH = PK

 ΔPHB = ΔPKCPHB = ΔPHB = ΔPKCPKC(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Kẻ BE //AC (E  HK)  BEH = AKH  (hai góc đồng vị) (1)

Mà ΔPHB = ΔPKCPHA = ΔPHB = ΔPKCPKA (chứng minh trên)  AH = AK (hai cạnh tương ứng)

 ΔPHB = ΔPKCAHK cân tại A  AHK=AKH  (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2)  BEH=AHK  hay BEH=BHE 

 BEH cân tại B  BH = BE

b) Mà BH = CK (chứng minh trên)  BE = CK

ΔPHB = ΔPKCBEM và ΔPHB = ΔPKCCKMcó MB = MC, EBM KCM , BE = CK

 ΔPHB = ΔPKCBEM=ΔPHB = ΔPKCCKM (c.g.c)

 BME=CMK (hai góc tương ứng)

Mà BME EMC 1800 (hai góc kề bù)

 CMK EMC  1800  EMK  1800  E, M, K thẳng hàng

Mà E  HK  H, M, K thẳng hàng

c) AOH và AOK có AH = AK, OAH=OAK , AO là cạnh chung  

 AOH AOK, suy ra AOH=AOK , mà hai góc này kề bù nên   AOH=AOK 90  0

 PA  HK tại O

Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta

có :

OA2 + OH2 = AH2 ; OA2 + OK2 = AK2

OP2 + OH2 = PH2 ; OP2 + OK2 = PK2

 2(OA2 + OP2 + OH2 + OK2) = 2(AH2 + PH2) ( vì AH = AK và PH = PK)

 OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = AH2 + PH2

Mà tam giác PAH vuông tại H  AH2 + PH2 = PA2 (định lý Pi ta go)

 OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2

C Bài tập vận dụng

11.1 Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy D, E (D nằm giữa B và E sao

cho BD = CE Vẽ DM  AB tại M, EN AC tại N Gọi K là giao điểm của MD và

NE Chứng minh rằng:

a) ΔPHB = ΔPKCMBD = ΔPHB = ΔPKCNCE

b) ΔPHB = ΔPKCMAK = ΔPHB = ΔPKCNAK

11.2 Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối

của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Kẻ BH  AD tại H, kẻ CK  AE tại K Chứng minh rằng:

a) ΔPHB = ΔPKCBHD = ΔPHB = ΔPKCCKE

b) ΔPHB = ΔPKCAHB = ΔPHB = ΔPKCAKC

c) BC // HK

11.3 Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác góc A.

Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC Chứng minh rằng:

a) MH = MK

b) Tam giác ABC cân

11.4 Cho tam giác ABC vuông tại A có C  300 , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB Từ C kẻ CE AD Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABD là tam giác đều

b) EH song song với AC

11.5.Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD =BA.

Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E Chứng minh rằng AE = DE Đường phân giác góc ngoài tại C cắt đường thẳng BE tại K Tính BAK ?

11.6 Cho tam giác ABC có AB = AC, BAC 90  0 và M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia CB lấy điểm D Kẻ BK vuông góc với đưởng thẳng AD tại K Chứng minh rằng KM là tia phân giác của BKD

11.7 Cho tam giác DEF vuông tại D và DF > DE Kẻ DH vuông góc với EF (H

thuộc cạnh EF) Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh rằng MDH = E - F  

11.8 Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC Gọi M, N là trung điểm của AB, AC.

Kẻ NH  CM tại H, kẻ HE  AB tại E Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABH cân

b) HM là tia phân giác góc BHE