Lý thuyết điều khiển tự động là một nhánh liên ngành của kỹ thuật và toán học, liên quan đến hành vi của các hệ thống động lực. Đầu ra mong muốn của một hệ thống được gọi là giá trị đặt trước. Khi một hoặc nhiều biến đầu ra của hệ thống cần tuân theo một giá trị đặt trước theo thời gian, một bộ điều khiển điều khiển các đầu vào cho hệ thống để đạt được hiệu quả mong muốn trên đầu ra hệ thống. Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động của Tiến Sĩ Phan Thanh Nam.
Trang 1Mở đầu 1
1.1 Đại số tuyến tính 2
1.1.1 Véc tơ và ma trận 2
1.1.2 Ma trận xác định dương 4
1.1.3 Hàm mũ ma trận 6
1.2 Phương trình vi phân 7
1.2.1 Điều kiện tồn tại nghiệm 8
1.2.2 Ma trận nghiệm tổng quát, ma trận chuyển trạng thái 8
1.2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 10
1.2.4 Phương trình ma trận tuyến tính 11
1.3 Giải tích thực 12
1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall 12
1.3.2 Một số kiến thức trong không gian định chuẩn 13
1.4 Bài tập 14
Chương 2 Tính điều khiển được 16 2.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính liên tục 16
2.1.1 Tính điều khiển được cho hệ tuyến tính dừng 17
2.1.2 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính không dừng 19
2.2 Tính điều khiển được cho hệ tuyến tính rời rạc 23
2.3 Bài tập 25
Chương 3 Tính ổn định và ổn định hóa 27 3.1 Tính ổn định của phương trình vi phân thường 27
3.1.1 Bài toán ổn định 27
3.1.2 Tính ổn định của các hệ tuyến tính 28
3.2 Phương pháp hàm Lyapunov 33
Trang 23.2.1 Hệ phi tuyến dừng 33
3.2.2 Hệ phi tuyến không dừng 34
3.3 Tính ổn định hóa được của phương trình vi phân thường 38
3.3.1 Bài toán ổn định hóa 38
3.3.2 Tính ổn định hóa được của các hệ tuyến tính 38
3.4 Tính ổn định cho các hệ rời rạc 41
3.5 Bài tập 42
Chương 4 Tính ổn định và ổn định hóa được của hệ phương trình vi phân có chậm 44 4.1 Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm 44
4.1.1 Bài toán ổn định 44
4.1.2 Một số kỹ thuật chuyển về bất đẳng thức ma trận tuyến tính 46
4.1.3 Bài toán bao tập đạt được 46
4.2 Tính ổn định hóa được cho hệ điều khiển có chậm 46
4.2.1 Bài toán ổn định hoá 46
4.2.2 Bài toán ổn định hóa với hệ có chậm trên cả trạng thái và điều khiển 46 4.2.3 Bài toán thiết kế điều khiển dự trên thông tin đầu ra 46
4.2.4 Bài toán thiết kế điều khiển cho hệ co nhiễu bị chặn 46
4.3 Bài tập 46
Chương 5 Một số tính toán trên Matlab 48 5.1 Một số tính toán cơ bản 48
5.2 Một số tính toán trong đại số tuyến tính 48
5.3 Một số tính toán trong Phương trình vi phân 48
5.4 Vẽ đồ thị 48
5.5 Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính 48
Trang 3Bài giảng chuyên đề “Lý Thuyết điều khiển” được biên soạn nhằm giới thiệu
và cung cấp một số kiến thức cơ bản về bộ môn Lý thuyết điều khiển cho sinh viênnăm cuối, học viên cao học các ngành toán, điều khiển tự động, kỹ thuật và côngnghệ, Với tổng thời lượng khoảng 45 đến 60 tiết, bài giảng chỉ gói gọn trong việcgiới thiệu hai bài toán cơ bản nhất của lý thuyết điều khiển là bài toán điều khiển
được và bài toán ổn định hóa được cho các hệ điều khiển Trong bài giảng này, bêncạnh việc cố gắng trình bày một cách hệ thống và rõ ràng các kết quả lý thuyết thìcác ví dụ số minh họa và các thao tác tính toán trên phần mềm Matlab cũng đượcgiới thiệu để người đọc vừa có cơ sở lý thuyết vừa có các thao tác tính toán cầnthiết đủ để có thể giải quyết được một số bài toán ứng dụng đơn giản trong thực tế.Nội dung bài giảng được chia thành năm chương Chương I trình bày một sốkiến thức Toán học liên quan đến lý thuyết điều khiển gồm đại số tuyến tính, phươngtrình vi phân và giải tích thực Chương II trình bày một số tiêu chuẩn cho tính điềukhiển được cho các hệ điều khiển tuyến tính liên tục và rời rạc Chương III dànhcho lý thuyết ổn định và ổn định hóa cho các hệ điều khiển, bao gồm việc giớithiệu khái niệm ổn định, ổn định hóa được, phương pháp hàm Lyapunov và một
số tiêu chuẩn cho tính ổn định và ổn định hóa được Chương IV, được coi nhưphần nâng cao, trình bày tính ổn định và ổn định hóa được cho một số lớp hệ viphân có chậm, bao gồm việc giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov-Razumikhin
và Lyapunov-Krasovskii, với các kỹ thuật chuyển về bất đẳng thức ma trận tuyếntính và một số phương pháp thiết kế điều khiển cho bài toán ổn định hóa các hệ cóchậm Chương cuối dành cho việc giới thiệu một số gói công cụ tính toán và minhhọa cần thiết trong phần mềm MATLAB
Tác giả rất mong muốn nhận được nhiều góp ý và đề suất để bài giảng được cảitiến, hoàn thiện và phù hợp hơn trong các lần tái bản sau Mọi góp ý và đề suấtxin vui lòng gửi đến tác giả qua email: phanthanhnam@qnu.edu.vn
Phan Thanh NamBình Định,
Tháng 12, 2011
1
Trang 4và gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x, y Với ma trận A cấp n ì n và hai vec tơ
x, y ∈ R n , ta có tính chất Ax, y = x, A T y hoặc x T Ay = y T A T x
+ Với véc tơ x = (x 1 , , x n ), ta kí hiệu ||x|| = x, x và gọi là chuẩn của véctơ x Với ma trận A = [a ij ], ký hiệu A = λ max (A T A) và gọi là chuẩn phổ của
ma trận A Khi đó, với A ∈ M nìn , x, y ∈ R n , ta có các tính chất sau:
||Ax|| ||A||.||x||; 2Ax, y ||Ax||2+ ||y||2.
+ Cho ma trận A = [a ij ] ,i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n Kí hiệu A T = [a ji ] và gọi
là ma trận chuyển vị của ma trận A Với ma trận A cấp n ì n, nếu A = A T thì tanói ma trận A là đối xứng
+ Hệ m véc tơ {a1, a 2 , , a m } trong không gian R n được gọi là phụ thuộc tuyếntính nếu tồn tại các số thực λ1, λ2, , λm không đồng thời bằng không sao cho
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ã ã ã + λ m a m = 0 (1.2)Ngược lại, nếu đẳng thức (1.2) chỉ xảy ra khi λ 1 = λ 2 = ã ã ã = λ m = 0 thì ta nói hệ{a 1 , a 2 , , a m } độc lập tuyến tính
2
Trang 5+ Hạng của ma trận A là số cực đại trong số các hàng (hoặc cột) của A độc lậptuyến tính và kí hiệu là rank(A) Với ma trận A cấp n ì n thì rank(A) = n khi vàchỉ khi Khi đó, ta nói ma trận A là không suy biến Ng−ợc lại, ta nói
Định lý 1.2 λ là giá trị riêng của A ⇔ det(A − λI) = 0
Ví dụ 1.1. Tìm giá trị riêng và vec tơ riêng của các ma trận sau:
Trang 6b) T−¬ng tù, ta cã det(B − λI) = 0 ⇔ λ 1 = 2 + i, λ 2 = 2 − i Víi λ 1 = 2 + i,
ta cã (B − λI)v = 0 ⇔ v 1 − iv 2 = 0 ⇔ v 1 = it, v 2 = t Víi λ 1 = 2 − i, ta cã(B − λI)v = 0 ⇔ v 1 + iv 2 = 0 ⇔ v 1 = −it, v 2 = t Suy ra hai vÐc t¬ riªng øng víi λ 1
vµ λ 2 lµ v 1 =
it t
, víi c) T−¬ng tù, ta còng cã det(C − λI) = 0 ⇔ λ 1 = λ 2 = 2 vµ (C − λI)v = 0 ⇔
v 1 + v 2 = 0 ⇔ v 1 = −t, v 2 = t Suy ra vÐc t¬ riªng øng víi λ = 2lµ v =
−t t
Trang 7Định lý 1.5. Kí hiệu λ min (A) = min{Re(λ) : λ ∈ λ(A)}, λ max (A) = max{Re(λ) : λ ∈ λ(A)} Giả sử ma trận đối xứng A xác định dương Khi đó, ta có
a)λmin(A)||x|| 2 Ax, x λmax(A)||x|| 2 , ∀x ∈ R n
Hệ quả 1.1. Nếu A là ma trận đối xứng thì,
a)A > 0 ⇔ λ min (A) > 0, A 0 ⇔ λ min (A) 0, b)A < 0 ⇔ λ max (A) < 0, A 0 ⇔ λ max (A) 0.
Định lý 1.6. (Bổ đề Schur) Cho hai ma trận đối xứng, xác định dương X, Y Khi
Định nghĩa 1.2. Hàm ma trận A(t) ∈ M nìn được gọi là xác định dương đều trên
R +, kí hiệu A ≫ 0, nếu tồn tại c > 0 sao cho
A(t)x, x c||x||2, ∀x ∈ Rn, t ∈ R+.Chú ý: A(t) ≫ 0 trên R + thì A(t) > 0 với mỗi t ∈ R + Điều ngược lại không đúng,chẳng hạn hàm ma trận A(t) =
Trang 81.1.3 Hàm mũ ma trận
+ Cho chuỗi luỹ thừa f (x) = n
k=1 a k x k, nếu n = ∞ thì ta giả sử chuỗi hội tụ.Khi đó, với ma trận A ∈ M nìn, ta kí hiệu f (A) = n
1 2
Trong trường hợp ma trận A có n giá trị riêng khác nhau, ngoài cách tính theo
định nghĩa, ta có thể tính e A theo định lý sau
Định lý 1.7. (Công thức Sylvester) Cho ma trận A ∈ M nìn Giả sử A có n giá trịriêng khác nhau λ 1 , λ 2 , , λ n Cho f (x) là một hàm đa thức thì
Trang 9Gi¶i A cã hai gi¸ trÞ riªng lµ λ 1 = 1, λ 2 = 3 Theo c«ng thøc Sylvester, ta cã
T−¬ng tù nh− trªn, ta thu ®−îc
eAt = 12
Trang 101.2.1 Điều kiện tồn tại nghiệm
Vấn đề quan tâm đầu tiên là sự tồn tại nghiệm của phương trình trên và sốnghiệm của nó Một số điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình (1.5) được cho ởcác định lý sau:
Định lý 1.8. (Pircard- Lindeloff) Nếu f (t, x) liên tục theo t, Lipschitz theo x, tức là
∃K > 0 : ||f (t, x1) ư f (t, x 2 )|| K||x 1 ư x2||, ∀t > 0,thì với mỗi (t 0 , x 0 ) ∈ I ì D sẽ tồn tại một số d > 0 sao cho phương trình (1.5) códuy nhất một nghiệm trên [t0ư d, t0+ d]
Định lý 1.9. (Caratheodory) Nếu f (t, x) đo được theo t trên I, liên tục theo x trên
D và tồn tại hàm m(t) khả tích trên (t 0 , t 0 + b) sao cho
||f(t, x)|| m(t), ∀(t, x) ∈ I ì Dthì tồn tại β > 0 sao cho phương trình có nghiệm trên [t0, t0 + β]
Định lý 1.10. (Peano) Nếuf (t, x) liên tục và bị chặn trênI ìD thì với mỗi(t 0 , x 0 ) ∈
Kí hiệu x i (t), i = 1, ã ã ã nlà n nghiệm của hệ (1.7) với điều kiện ban đầu x i (t 0 ) =
e i , i = 1, ã ã ã , n, ở đây e i là véc tơ đơn vị thứ i trong không gian R n Khi đó, hệ{x1(t), x 2 (t), ã ã ã , x n (t)} độc lập tuyến tính Thật vây, giả sử ngược lại, tức là tồn tạimột bộ (α 1 , ã ã ã , α n ) không đồng thời bằng không sao cho α 1 x 1 (t) + ã ã ã + α n x n (t) =
0, ∀t t 0 Chọn t = t 0 thì ta có α 1 e 1 + ã ã ã + α n e n = 0 Điều này vô lý vì e i , i = 1, , n
là các vec tơ đơn vị trong R n Vậy hệ {x 1 (t), x 2 (t), ã ã ã , x n (t)} độc lập tuyến tính.Hơn nữa với x(t) là một nghiệm nào đó của hệ (1.7) thỏa điều kiện ban đầux(t 0 ) = x 0 cũng đều có thể biễu diễn tuyến tính của các nghiệm x i (t), i = 1, ã ã ã , n
Trang 11Thật vậy, giả sử x 0 = α 1 e 1 + ã ã ã + α n e n Đặt y(t) = α 1 x 1 (t) + ã ã ã + α n x n (t) thì y(t)cũng là một nghiệm của hệ (1.7) và thỏa điều kiện ban đầu y(t 0 ) = x 0 Theo tínhchất duy nhất nghiệm thì x(t) ≡ y(t) Vậy ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 1.3. Hàm ma trận Ψ(t) = [Ψ 1 (t), , Ψ n (t)]cấp n ì nđược gọi làma trận nghiệm tổng quát của hệ (1.7) nếu n véc tơ cột của ma trận Ψ(t) là n nghiệm độclập tuyến tính của hệ (1.7), tức là
˙
Ψ n (t) = A(t)Ψ n (t)
và {Ψ1(t 0 ), ã ã ã , Ψ n (t 0 )} độc lập tuyến tính với một giá trị t 0 nào đó
Ví dụ 1.6. Tìm ma trận nghiệm tổng quát cho hệ ˙x(t) =
x 2 (t) = 12t 2 x 1 (t 0 ) ư 12t 2
0 x 1 (t 0 ) + x 2 (t 0 ). Chọn t 0 = 0 và Ψ 1 (0) =
0 1
thì Ψ 1 (t) =
0 1
.Chọn Ψ 2 (0) =
2 0
thì Ψ 2 (t) =
2
Định lý 1.12. a) Ψ(t) là ma trận nghiệm tổng quát của hệ (1.7) khi và chỉ khi
˙
Ψ(t) = A(t)Ψ(t), Ψ(t 0 ) = H, H là một ma trận không suy biến, t 0 ∈ R
b) Với mọi t ∈ R, Ψ(t) luôn khả nghịch
Định nghĩa 1.4. Ma trậnΦ(t, s) được gọi là ma trận chuyển trạng tháicủa hệ (1.7)nếu
f) Nếu tích củaA(t)và t
s A(s)dsgiao hoán, tức làA(t) t
s A(s)ds = t
s A(s)dsA(t),thì Φ(t, s) = estA(s)ds Chú ý rằng nếu A(t) là ma trận hằng hoặc ma trận đườngchéo thì tích trên có tính chất giao hoán
Ví dụ 1.7. Tìm ma trận chuyển trạng thái của các hệ sau:
Trang 12Giải a) Ma trận nghiệm tổng quát của hệ trên là Ψ(t) =
ưs 2 /2 1 1/2 0
trận chuyển trạng thái của hệ trên là
1.2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính
Hầu hết các hệ điều khiển trong thực tế là các hệ tuyến tính Hoặc nhiều hệ
điều khiển phi tuyến được tuyến tính hóa Mặt khác, các nhiễu phi tuyến, các yếu
tố tác động ngoài, các sai số, các lỗi đo đạc, thường là không tránh khỏi trongcác hệ điều khiển thực tế Vì vậy, ta xét lớp hệ tuyến tính không dừng có nhiễu sau
Trang 13Khi A(t) = A thì (4.4) gọi là hệ dừng và Φ(t, t 0 ) = et0t Ads và nghiệm của nó là
.Giải. Ma trận A =
Cách 2: (Xem trong [1]): Giả sử ma trận A có các giá trị riêng là λ 1 bội α 1, λ 2
bội α 2, , λ q bội α q và Re(λ k ) < 0, ∀k = 1, , q Nghiệm của hệ ˙x(t) = Ax(t) với
điều kiện ban đầu x(0) = x 0 là
Lớp phương trình ma trận tuyến tính sau thường xuất hiện trong các bài toán
điều khiển tối ưu:
˙ X(t) = A 1 (t)X(t) + X(t)A 2 (t) + F (t), X(t 0 ) = X 0 (1.11)trong đóX(t), A 1 (t), A 2 (t), F (t) là các hàm ma trận vuông cấp n ì nvà liên tục theotrên [t 0 , ∞) Kí hiệu Φ 1 (t, s), Φ 2 (t, s) là các ma trận chuyển trạng thái tương ứngcủa các hệ ˙x(t) = A 1 (t)x(t), ˙x(t) = A 2 (t)x(t) Khi đó, nghiệm tổng quát của phươngtrình (1.11) được cho ở định lý sau:
Trang 14Hệ(1.11) được biểu diễn lại thành hệ phương trình vi phân tuyến tính n 2 ẩn Do đó
hệ có nghiệm và duy nhất
Lấy đạo hàm theo t đẳng thức (1.12), ta có
˙
X(t) = ˙Φ 1 (t, t 0 )X(t 0 )ΦT2(t, t 0 ) + Φ 1 (t, t 0 )X(t 0 ) ˙ΦT2(t, t 0 )
+ ddt
t
t 0
Φ 1 (t, s)F (s)ΦT2(t, s)dsA 2 ((t) + F (t)
= A 1 (t)X(t) + X(t)A 2 (t) + F (t).
Điều này chứng tỏ X(t) là nghiệm của hệ (1.11) Định lý được chứng minh
Trong trường hợp A1(t), A2(t) là các ma trận hằng, và F (t) = 0 và điều kiện ban
đầu X(0) = X 0 thì nghiệm của (1.11) là
Trang 15Bất đẳng thức Gronwal được mở rộng cho dãy các số rời rạc như sau:
Định lý 1.15. Cho hai dãy không âm z(k), a(k), k = 0, 1, 2, ã ã ã và C > 0 thỏa điềukiện
Chứng minh Chứng minh quy nạp và coi như bài tập
1.3.2 Một số kiến thức trong không gian định chuẩn
+ ánh xạ tuyến tính: Cho E, F là hai không gian vec tơ trên R Một ánh xạ
A : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu A(αx + βy) = αA(x) + βA(y), ∀α, β ∈
R, ∀x, y ∈ E Tính chất: H là không gian vec tơ con của E thìA(H) là không gianvéc tơ con của F
+ Không gian định chuẩn: Cho một không gian vec tơ X trên trường số K, một
ánh xạ ||.||X → R, x → ||x|| được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa các điều kiệnsau:
i) ||x|| 0, ∀x ∈ X, ||x|| = 0 ⇔ x = 0,
ii) ||λx|| |λ|||x||, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ X,
iii) ||x + y|| ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X
+ Định lý Baire về phạm trù: Cho X là một không gian định chuẩn đầy đủ và
X là hợp đếm được các tập X i, tức là X = ∪ ∞
i=1 X i, Thế thì tồn tại một chỉ sối 0 ∈ Nnào đó sao cho int(X i
Trang 160 1
a) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của x T P x
b) Sử dụng Maple hoặc Matlab vẽ elip {x ∈ R 2 : xTP x 1}
hd a) Giá trị riêng lớn nhất nhỏ nhất của (P + P T )/2
Bài tập 4. Cho hai ma trận đối xứng A, B cấp n ì n Chứng minh rằng nếu dạngtoàn phương của chúng bằng nhau, tức là x T Ax = x T Bx, ∀x ∈ R n thì A = B
Bài tập 5. Kiểm tra định lý Cayley-Hamilton bằng các ma trận cụ thể sau:
Bài tập 7. Tìm ma trận chuyển trạng thái của các hệ sau:
a) ˙x(t) =
0 0 2t 0
Trang 172t 1
2s ư s 2t 2 1
2 + s 2
2t 2
Bài tập 8. Giải hệ sau:
Bài tập 9 Cho x là nghiệm của hệ tuyến tính ˙x = Ax Trong trường hợp trạng thái ban
đầu x(0) = [1 1] T thì ta quan sát được x(1) = [4 ư 2] T Trong trường hợp thứ hai x(0) = [1 2] T thì ta quan sát được x(1) = [5 ư 2] T Tìm trạng thái x(1), x(2) khi điều kiện ban đầu x(0) = [3 ư 1] T
Bài tập 10 Chứng minh bất đẳng thức Gronwall cho dãy rời rạc.
Trang 18Chương 2
Tính điều khiển được
Chương này giới thiệu khái niệm về tính điều khiển được và một số tiêu chuẩn cho tính điều khiển được của một số hệ tuyến tính Mục 2.1 dành cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục Mục 2.2 dành cho hệ điều khiển tuyến tính rời rạc.
2.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính liên tục
Xét hệ điều khiển tuyến tính liên tục sau:
˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t t 0 = 0 (2.1) trong đó, x(t) ∈ R n là vec tơ trạng thái; u(t) ∈ R m là vec tơ điều khiển (m n); A(t), B(t) là các hàm ma trận có số chiều tương ứng là n ì n và m ì n.
Một hàm u(t) xác định trên [0, ∞), lấy giá trị trong R m , được gọi là hàm điều khiển chấp nhận được của hệ (2.2) nếu nó khả tích địa phương trên [0, ∞) Lớp hàm điều khiển chấp nhận thường được sử dụng trong thực tế là các hàm trong L p ([0, ∞), R m ) := U Ta
có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1. i) Cho hai trạng thái x 0 , x 1 ∈ R n Cặp (x 0 , x 1 ) được gọi là điềukhiển được nếu tồn tại một thời gian t 1 > 0 và một điều khiển chấp nhận được u(t)sao cho nghiệm x(t, x 0 , u) của hệ thỏa:
x(0, x 0 , u) = x 0 ; x(t 1 , x 0 , u) = x 1 ii) Hệ (2.1) được gọi là điều khiển được hoàn toàn, (kí hiệu là GC, globalcontrollable), nếu với mọi cặp (x 0 , x 1 ) ∈ R n ì R n là điều khiển được
iii) Hệ (2.1) được gọi là đạt được hoàn toàn, (kí hiệu là GR, global reachable),nếu với mọi trạng thái x1 ∈ R n, cặp (0, x1) là điều khiển được
iv) Hệ (2.1) được gọi là điều khiển được hoàn toàn về không, (kí hiệu là GNC,global null controllable), nếu với mọi x 0 ∈ R n, cặp (x 0 , 0) là điều khiển được.Nếu các định nghĩa trên chỉ đúng với một thời gian T > 0 cố định thì ta cũng
có khái niệm điều khiển được hoàn toàn sau thời gian T, đạt được hoàn toàn sauthời gian T và điều khiển được hoàn toàn về không sau thời gian T
Kí hiệu Rt1 (x0) = {x ∈ R n : ∃u(t) ∈ U, x(t1, x0, u) = x} và gọi là tập đạt đượccủa hệ (2.1) từ trạng thái x 0 sau thời gian t 1 Kí hiệu R(x 0 ) =
t>0 R t (x 0 ) và gọi làtập đạt được của hệ (2.2) từ trạng thái x 0 Khi đó, ta có các nhận xét sau:
16
Trang 19Nhận xét 2.1. Hệ (2.1) là
i) GR nếu R(0) = R n; GR sau thời gian T nếu R T (0) = R n
ii) GC nếu ∀x0 ∈ R n : R(x 0 ) = R n; GC sau thời gian T nếu ∀x0 ∈ R n : R T (x 0 ) = R n.iii) GNC nếu ∀x 0 ∈ R n : 0 ∈ R(x 0 );GNC sau thời gian T nếu ∀x 0 ∈ R n : 0 ∈ R T (x 0 ).iv) GC ⇒ GR, GC ⇒ GN C
2.1.1 Tính điều khiển được cho hệ tuyến tính dừng
Lớp hệ điều khiển thường gặp trong thực tế nhất là lớp hệ tuyến tính
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) t t 0 = 0 (2.2)Khi A(t), B(t) là các ma trận hằng thì hệ (2.2) trở thành hệ tuyến tính dừng sau:
và công thức nghiệm với điều kiện ban đầu x(0) = x 0 là
x(t, x 0 , u) = eAtx 0 +
t 0
Định lý sau cho một điều kiện cần và đủ để hệ (2.3) là điều khiển được hoàn toàn
Định lý 2.1. (Tiêu chuẩn hạng Kalman) Hệ tuyến tính dừng (2.3) là điều khiển đượchoàn toàn khi và chỉ khi
rank([B, AB, , Anư1B]) = n (2.5) Chứng minh (Điều kiện cần) Giả sử phản chứng rằng hệ (2.3) là GC nhưng
điều kiện hạng (2.5) không thỏa mãn, tức là
rank([B, AB, , Anư1B]) < n.
Điều này kéo theo tồn tại một vec tơ n sao cho
vT[B, AB, , Anư1B] = 0,hay v T B = v T AB = ã ã ã = v T A nư1 B = 0 Theo định lý Cayley-Hamilton, ta có
Trang 2018Suy ra
vT
t 0
eA(tưs)Bu(s)ds = 0, ∀t 0, ∀u(t) ∈ U.
Từ hai điều trên suy ra v T x = 0, ∀x ∈ R n Chọn x = v thì ||v|| 2 = 0 Suy ra v = 0
Điều này mâu thuẫn với Vậy rank([B, AB, , A nư1 B]) = n.
(Điều kiện đủ) Giả sử rank([B, AB, , A nư1 B]) = n. Trước hết, ta chứng minhrằng với mỗi t 1 > 0 hệ trên là GR sau thời gian t 1, tức là R t 1 (0) = R n
với U t 1 = L 2 ([0, t 1 ], R m ) là một không gian vec tơ Vì L t 1 là ánh xạ tuyến tính nên
L t 1 (U t 1 ) = R t 1 (0)là một không gian vec tơ con củaR n NếuR t 1 (0) R nthì theo định
lý hình chiếu trực giao sẽ tồn tại một vec tơ nsao cho v T x = 0, ∀x ∈ R t 1 (0),hayv T t 1
0 e A(t 1 ư s) Bu(s)ds = 0, ∀u(t) ∈ U t 1 Chọnu(t) = B T e A T (t 1 ư s) v T thì ta thu được
t 1
0 ||v T e A(t 1ưs) Bds|| 2 = 0 Suy ra
vTeA(t1ưs) B = 0, ∀s ∈ [0, t 1 ] (2.6)
Chọn s = t 1 thì từ (2.6) ta thu được v T B = 0 Đạo hàm hai vế (2.6) theo s, sau
đó chọn s = t 1, ta lai thu được v T AB = 0 Tiếp tục quá trình như vậy, ta sẽthu được v T A k B = 0, k = 1, 2, Do đó, ta có v T [B, AB, , A nư1 B] = 0 Suy rarank([B, AB, , A nư1 B]) < n vì Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy, hệ(2.4) là GR với mỗi t 1 > 0 Bây giờ, ta tiếp tục chứng minh hệ (2.4) là GC sau thờigian t 1 Với hai trạng thái bất kỳ x 0 , x 1 ∈ R n, đặt a = ưe At 1 x 0 + x 1 Vì hệ là GRsau thời gian t 1 nên sẽ tồn tại một điều khiển u(t) ∈ U t 1 sao cho:
Vậy hệ (2.4) là GC sau thời gian t 1
Nhận xét 2.2. Để cho gọn, ta kí hiệu [A/B := [B, AB, , A nư1 B] Từ chứng minhtrên, ta cũng thu được quan hệ sau:
GC ⇔ GR ⇔ rank([A/B]) = n.
Trang 21Ví dụ 2.1. Xét tính điều khiển đ−ợc của hệ điều khiển sau:
Dễ kiểm tra đ−ợc rank([A/B]) = n Do đó, hệ này là điều khiển đ−ợc hoàn toàn
2.1.2 Tính điều khiển đ−ợc của hệ tuyến tính không dừng
Ta kí hiệu
L t =
t 0
Mặt khác, vì hệ (2.2) là GC sau thời gian T nên cũng GR sau thời gian T Do
đó sẽ tồn tại u(t) ∈ U T sao cho x = T
0 Φ(T, s)B(s)u(s)ds Từ đây, ta có
||x|| 2 = xT
T 0
Φ(T, s)B(s)u(s)ds =
T 0
uT(s)BTΦT(T, s)xds = 0.
Suy ra x = 0 Điều này mâu thuẫn với Vậy L T không suy biến
Trang 22x(T, x0, u) = Φ(T, 0)x0 −
T 0
Φ(T, s)B(s)BT(s)ΦT(T, s)L − 1
T [Φ(T, 0)x0− x1]ds
= Φ(T, 0)x0 − LTL − 1
T [Φ(T, 0)x0− x1] = x1.Vậy quỹ đạo của hệ sẽ chuyển từ trạng thái x 0 đến trạng thái x 1 sau thời gian Tnên hệ là GC sau thời gian T Định lý đã đ−ợc chứng minh
Ví dụ 2.2. Cho hệ sau:
a) Xét tính điều khiển đ−ợc của hệ trên
b) Tìm điều khiển ng−ợc để quỹ đạo của hệ chuyển từ trạng thái x 0 = [1 0] đếntrạng thái x 1 = [0 0] sau t 1 giây
Giải a) Ta có A(t) =
0 0 2t 0
, B =
1 0
Φ(T, s)B(s)BT(s)ΦT(T, s)ds =
T 23T 3 2
Định nghĩa 2.2. Một hệ các hàm vec tơ {f i (t)}, i = 1, 2, , nxác định trên đoạn [a, b]
và nhận giá trị trong R m, đ−ợc gọi là phụ thuộc tuyến tính trên [a, b] nếu tồn tại các
số λ i , i = 1, 2, , n không đồng thời bằng không sao cho
Trang 23Bổ đề 2.1. Kí hiệu F (t) = [f 1 (t), f 2 (t), , f n (t)] T Hệ các hàm {fi(t)}, i = 1, 2, , n
độc lập tuyến tính trên [a, b] khi và chỉ khi ma trận
Ψ(a, b) =
b a
là không suy biến
Chứng minh Giả sử hệ các hàm {fi(t)}, i = 1, 2, , n độc lập tuyến tính nh−ngΨ(a, b)là suy biến Khi đó, tồn tại một vec tơ nsao chov T Ψ(a, b) = 0 Điềunày kéo theo v T Φ(a, b)v = 0, hay b
a ||v T F (t)|| 2 dt = 0 Suy ra, v T F (t) = 0, ∀t ∈ [a, b]
Điều này mâu thuẫn với giả thiết hệ các hàm {f i (t)}, i = 1, 2, , n độc lập tuyếntính Vậy Ψ(a, b) không suy biến
Ng−ợc lại, giả sử là Ψ(a, b) suy biến nh−ng hệ các hàm {fi(t)}, i = 1, 2, , n phụthuộc tuyến tính, tức là tồn tại một vec tơ n sao chov T F (t) = 0, ∀t ∈ [a, b].Kéo theo, v T Ψ(a, b) = b
a v T F (t)F T (t)dt = 0. Vì nên Ψ(a, b) suy biến Điềunày mâu thuẫn với giả thiết Vậy hệ các hàm {f i (t)}, i = 1, 2, , n độc lập tuyếntính Bổ đề đã đ−ợc chứng minh
Bổ đề 2.2. Hệ các hàm {f i (t)}, i = 1, 2, , n khả vi liên tục đến cấp n − 1 độc lậptuyến tính trên [a, b] nếu tồn tại một t 1 ∈ [a, b] sao cho
rank([F (t 1 ), ˙ F (t 1 ), , F(n−1)(t 1 )]) = n (2.11)Chứng minh Giả sử hệ các hàm này phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại mộtvec tơ n sao cho v T F (t) = 0, ∀t ∈ [a, b] Lấy đạo hàm đẳng thức này đếncấp n − 1, ta có
vT[F (t), ˙ F (t), , F(n−1)(t)] = 0, ∀t ∈ [a, b].
Điều này mâu thuẫn với (2.11) Vậy bổ đề đã đ−ợc chứng minh
Định lý 2.3. Giả sử A(t), B(t)là các hàm giải tích trên[0, ∞) Hệ(2.2)là điều khiển
đ−ợc hoàn toàn nếu
∃t2 ∈ [0, ∞) : rank([M0(t 2 ), M 1 (t 2 ), , M n−1 (t 2 )]) = n, (2.12)trong đó M 0 (t) = B(t), M k+1 = −A(t)M k (t) + d
F (s)FT(s)ds = L T
không suy biến Kí hiệu f i (t), i = 1, 2, , m là hàm các hàng của F (t) Theo Bổ đề2.1 thì hệ {fi(t)}, i = 1, 2, , m là độc lập tuyến tính trên [0, T ] Theo Bổ đề 2.2 sẽtồn tại t 2 ∈ [0, T ] sao cho
rank([F (t 2 ), ˙ F (t 2 ), , F(n−1)(t 2 )]) = n.
Trang 2422VìΦ(t, s)ma trận nghiệm cơ bản của hệ ˙x(t) = A(t)x(t)nên d
dt Φ(T, t) = −Φ(T, t)A(t).Khi đó, dễ kiểm tra đ−ợc
a L T = 0 và điều này kéo theo x T
a L T x a = 0, hay
T
0 ||B T (s)Φ T (T, s)x a || 2 ds = 0 Suy ra
xTaΦ(T, s)B(s) = 0, ∀s ∈ [0, T ] (2.13)Chọn x b = Φ(0, t 2 )x a thìx b và xTbΦ(t 2 , s)B(s) = 0, ∀s ∈ [0, T ]. Chọn s = t 2, ta có
Trang 252.2 Tính điều khiển đ−ợc cho hệ tuyến tính rời rạc
Xét hệ điều khiển tuyến tính rời rạc sau:
x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), k = 0, 1, 2, (2.14)
trong đó x(k) ∈ R n là vec tơ trạng thái, u(k) ∈ R m là vec tơ điều khiển A(k), B(k)
là các ma trận với số chiều thích hợp Với điều kiện ban đầu x(0) = x 0 và dãy điềukhiển (u(0), u(1), , u(k), ), hệ (2.14) luôn luôn có nghiệm Và công thức nghiệmthứ k là:
điều khiển hạng Kalman
Khi đó, ta có các định nghĩa về GR, GNC cho hệ rời rạc (2.14) nh− sau:
Định nghĩa 2.3. Hệ rời rạc (2.14) gọi là:
+ GR nếu R = R n
+GNC nếu C = R n
Định lý 2.4. Hệ (2.14) là GR khi và chỉ khi tồn tại một chỉ số k 0 1 sao chorank(C(k 0 )) = n
Trang 26Vì R n là không gian đầy đủ nên theo định lý Baire về phạm trù, sẽ tồn tại một chỉ
số k 0 nào đó sao cho int(L k 0 (R k 0 m Vì L k 0 (R k 0 m ) là không gian vec tơ nên dễdàng suy ra L k 0 (R k 0 m ) = R n Vậy hệ là GR sau bước k 0
Bây giờ, ta chứng minh rank(C(k 0 ) = n Giả sửrank(C(k 0 ) < n Suy ra, tồn tạimột vec tơ n sao cho v T C(k0) = 0 hay
Suy ra v = 0 Điều này mâu thuẫn với Vậy rank(C(k 0 )) = n
(Điều kiện đủ) Giả sử tồn tại một chỉ số k 0 sao cho rank(C(k 0 )) = n Khi đó,
ma trận D(k 0 ) := C(k 0 )C T (k 0 ) là không suy biến và D ư 1 (k 0 ) tồn tại Với một vectơ tùy ý x 1 ∈ R n, ta chọn điều khiển
Định lý 2.5. Hệ (2.14) là GNC khi và chỉ khi tồn tại k 0 sao cho
Chứng minh (Điều kiện cần) Từ định nghĩa, ta có ImC(k) = R k Giả sử hệ (2.14)
là GNC Theo định nghĩa, ta có C = ∞
k=0 C k = R n Kết hợp với định lý Baire về
Trang 27phạm trù, suy ra tồn tại k 0 > 0 sao cho int(C k 0 Vì Ck0 là một không gian vectơ nên dễ dàng suy ra C k 0 = R n, hay
{x ∈ R n : F (k 0 , 0)x ∈ R k 0 } = R n
Điều này có nghĩa ImF (k 0 ) ⊂ ImC(k 0 ) Điều ngược lại là hiển nhiên
Ví dụ 2.4. Xét tình GR và GNC của hệ (2.14) với
Giải Ta có C(3) = [B(2), A(2)B(1), A(2)A(1)B(0)] =
Tuy nhiên, ImF (2, 0) = 0 ì R ì R = ImC(2) Do đó, hệ là GNC
2.3 Bài tập
Bài tập 1. Chứng minh rằng các điều sau tương đương
i) Hệ (2.3) là GC
ii) Hệ (2.3) là GR hoặc GR sau một thời gian t 1
iii) Hệ (2.3) là GNC hoặc GNC sau một thời gian t 1
iv) rank([B, AB, , A nư1 B]) = n,