LUẬN văn THẠC sỹ một số vấn đề về PHƯƠNG TRÌNH ĐIOPHANTE

Phương trình Diophantine (tiếng Anh: diophantine equation), phương trình Điôphăng hay phương trình nghiệm nguyên bất định có dạng:f(x1;x2;x3;...;xn)=0 ()khi n {displaystyle geq }{displaystyle geq } 2, và f(x1;x2;x3;...;xn) là một đa thức nguyên với một hoặc đa biến thì () được gọi là phương trình nghiệm nguyên (algebraic diophantine equation) bộ số (x01;x02;x03;...;x0n){displaystyle in }in Z thỏa () được gọi là một nghiệm nguyên của phương trình.Một phương trình có một hoặc nhiều cách giải gọi là phương trình có thể giải quyết được.Từ Diophantine được đặt theo tên nhà toán học Hy Lạp ở thế kỉ thứ 3 sau công nguyên, Diofantos xứ Alexandria. Diophantus, ở Alexandria, đã nghiên cứu các phương trình dạng này, và là một trong những nhà toán học đầu tiên đã ký hiệu hóa đại số. Nhánh toán học nghiên cứu về các vấn đề Diophantine, gọi là Giải tích Diophantine.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN QUỐC VIỆT

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

x 2 + C = y n

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Bình Định - 2012

NGUYỄN QUỐC VIỆT

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

x 2 + C = y n

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN TRỌNG HÒA

Bình Định - 2012

[K : Q] bậc của trường K trên Q

a ≡ b(modp) a đồng dư với b (modullo p)

U CLN(a, b) ước chung lớn nhất của a và b

BCN N[a, b] bội chung nhỏ nhất của a và b

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Vành số nguyên Z 9

1.1.1 Lý thuyết đồng dư - một số định nghĩa và tính chất cơ bản 9 1.1.2 Số nguyên tố - định lý cơ bản của số học 13

1.1.3 Một số hàm số học 14

1.1.3.1 Hàm số học 14

1.1.3.2 Hàm Euler 15

1.1.3.3 Hàm tổng các ước và hàm số các ước 16

1.1.4 Dạng phân tích tiêu chuẩn của số nguyên 16

1.1.5 Phương trình Diophantine 17

1.1.6 Thặng dư bình phương và ứng dụng 17

1.1.6.1 Định nghĩa và các tính chất 17

1.1.6.2 Luật thuận nghịch bình phương 22

1.2 Vành Z√ C và trường Q√C 24

1.2.1 Các định nghĩa 24

1.2.2 Một số tính chất 25

1.3 Kết luận 32

Chương 2 Phương trình x2+C =yn 33 2.1 Mở đầu 33

2.2 Phương trình x2+ 5 =yn 35

2.2.1 Trường hợp tổng quát 35

2.2.2 Ví dụ 36

2

2.3 Phương trình x2+ 2k =yn 37

2.3.1 Trường hợp n có ước nguyên tố p không đồng dư với 7 (mod8) 37

2.3.2 Các trường hợp khác 42

2.3.3 Một vài ví dụ 46

2.4 Phương trình x2+ 7 =yn 47

2.4.1 Mở đầu 47

2.4.2 Phương pháp đường cong Frey 51

2.4.3 Phương pháp Kraus 53

2.4.4 Một vài ví dụ 55

2.5 Phương trình x2+C =yn 56

2.5.1 Mở đầu 56

2.5.2 Phương trình x2+C =yn 59

2.5.3 Một vài ví dụ 64

2.5.4 Một số kết quả tiêu biểu 65

2.6 Kết luận chương II 66

KẾT LUẬN 68

Tài liệu tham khảo 68

MỞ ĐẦU

Khái niệm phương trình Diophantine bắt nguồn từ Diophantus of Alexandria(khoảng năm 250- tr.CN), một trong những nhà toán học vĩ đại nhất Hy Lạpthời bấy giờ, là người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các lời giảicủa phương trình nghiệm nguyên Ông đã viết 3 công trình, trong đó công trìnhquan trọng nhất là quyển “Arithmetic”, công trình này có liên hệ với lý thuyết

số cũng như khác biệt với sự tính toán và bao trùm nhiều vấn đề của đại sốhiện nay Lúc đó Diophantus đã giới thiệu một hệ thống các ký hiệu đại số tốthơn và nhiều hơn trước đây Trong quyển sách này ông đã sử dụng những kýhiệu toán học đầu tiên mặc dù các ký hiệu này mang tính chất sơ khai của việcrút gọn các ký tự hơn là các ký hiệu đại số của toán học hiện đại Đặc biệt các

ký hiệu được dùng để đại diện thường xuyên xuất hiện như là lũy thừa bậc 6của ẩn số Ông nổi bật trong lịch sử khoa học như là một thiên tài vĩ đại Mộtphương trình Diophantine hay phương trình vô định được giải với các nghiệm

là các ẩn có giá trị nguyên

Vấn đề cơ bản khi nghiên cứu phương trình Diophantine cho trước là phươngtrình đó có nghiệm hay không, và trong trường hợp có nghiệm, nó có bao nhiêunghiệm Một vấn đề rất quan trọng nữa có mối liên hệ mật thiết với vấn đề trên

đó là các nghiệm đó có tính được không hay chỉ đưa ra dạng tổng quát của cácnghiệm

Giả sử f(x) là đa thức với hệ số nguyên có bậc m ≥2 , n là một số nguyênlớn hơn 1 Từ công trình của Siegel, chúng ta biết phương trình Diophantine

f(x) =yn

chỉ có hữu hạn nghiệm khi (m, n) 6= (2,2) Nhiều công trình đã nghiên cứuphương trình trên hoặc các trường hợp đặc biệt của nó, trong đó có rất nhiềutài liệu nói về phương trình dạng:

ax2+bx+c=dy2, x, y, n ∈Z, n ≥3

với a, b, c, d là các số nguyên cho trước

Đặc biệt, xét phương trình Diophantine

x2+C =yn x, y, n ∈Z, n ≥ 3

với C là một số nguyên dương

Với mong muốn hệ thống lại các vấn đề liên quan đến việc giải phương trìnhtrên theo một trình tự nhất định, chúng tôi chọn đề tài “Một số vấn đề về phươngtrình Diophantine x2+C =yn, trong đó x, y, n ∈Z, n ≥3 ” làm đề tài cho khóa

luận tốt nghiệp của mình Trong đề tài này, chúng tôi sẽ trình bày lại một sốkết quả của J.H.E Cohn, S.Siksek và J.E.Cremona đối với phương trình trên vàxây dựng một vài trường hợp riêng của các kết quả này.

Lời giải đầu tiên cho phương trình trên có lẽ là vào năm 1850 của V.A.Lebesgue cho trường hợp C = 1, theo đó phương trình không có nghiệm khôngtầm thường Ông đã giả thiết là có các số nguyên dương x, y và n ≥ 3 sao cho

x2+ 1 =yn, sau đó làm việc trên vành Gauss các số nguyên và ước lượng 2-adiccác giá trị khác nhau và cuối cùng dẫn đến mâu thuẫn

Vào năm 1923, Nagell đã giải phương trình với các trường hợp C= 3, C = 5,

vì thế mà phương trình trên còn được gọi là phương trình Lebesgue – Nagell.Sau đó Ljunggren cũng đã hoàn thành lời giải của phương trình với C = 2 và

nó chỉ có duy nhất một nghiệm là 52+ 2 = 33, tiếp theo trường hợp C = 4 cũngđược Nagell giải xong với các nghiệm là 22+ 4 = 23, 112+ 4 = 53 Chỉ khi đếnJ.H.E Cohn, có nhiều trường hợp đã biết được đề cập lại, chẳng hạn, kết quảcủa Ljunggren với trường hợp C = 2, đã được Nagell đề cập lại (để ý rằng hiệnnay đã có một chứng minh rất sơ cấp của Sury), còn các kết quả của Nagell lạiđược Rebeboim sưu tập lại

Bước ngoặc quan trọng đó là sự xuất hiện công trình của J.H.E Cohn, ông

đã hoàn thành lời giải cho 77 giá trị của C trong khoảng 1 ≤ C ≤ 100 Vớiphương pháp nghiên cứu sơ cấp và khéo léo, với hướng là không sử dụng cáccông cụ mạnh về xấp xỉ Diophantine Công trình cũng bao gồm các kết quả liênquan đến phương trình đã có trước đó

Giá trị nhỏ nhất của C đã không được J.H.E Cohn đề cập là trường hợp

C = 7 Sự khó khăn đến từ thực tế đó là 23 = 1 +√−7
1−√−7
trongtrường Q√−7, điều mà sau này sẽ được đề cập

Trường hợp C = 74,86 đã được Mignotte và Weger hoàn thành lời giải.(quả thực Cohn đã giải 2 trường hợp này của phương trình trừ trường hợp

p = 5, (khó khăn của trường hợp này là do lớp các số của trường đồng dưphức chia hết 5) Bennett và Skinner đã áp dụng modular để tiếp cận lời giảicủa phương trình trong trường hợp C = 55 và 95 19 trường hợp còn lại là

C = 7,15,18,23,25,28,31,39,45,47,60,63,71,72,79,87,92,99,100 là rõ ràngvượt quá phạm vi sơ cấp của Cohn và đã được giải vào năm 2004 bởi Bugeaud,Mignotte và Siksek

Điểm xuất phát để nghiên cứu phương trình trên là sự mở rộng trường K

sinh bởi √−C , theo đó chúng ta giả sử n là số nguyên tố lẻ và ký hiệu lại là p.Giả sử (x, y, p) là nghiệm của phương trình trên, ta viết

x+√−C
x − √

−C
=yp

Chúng ta muốn kết luận rằng cả x+√−C và x − √

−C là một p- lũy thừa trong

K, nhưng đáng tiếc điều này không thể xảy ra

Một vấn đề đầu tiên đó là khi x+√−C và x − √

−C không nguyên tố cùngnhau, chúng ta chỉ có thể kết luận cả hai số là hầu hết p – lũy thừa Xét ước

chung lớn nhất trong vành đại số các số nguyên K của x+√−C và x − √

Vấn đề thứ ba là trường hợp khi K = Q√−1 hoặc K = Q√−3 khi đótrong K tồn tại các đơn vị khác ±1

Phương pháp chính được sử dụng để giải quyết phương trình trên là dạngtuyến tính trong logarithms (giới hạn p) và tiếp cận modular Qua đó, một sốgiá trị nhỏ của p biến đổi thành họ phương trình Thue và các công cụ chuyểnđổi từ phương trình trên sang phương trình Thue khá nổi tiếng Ví dụ trong 19giá trị còn lại của C, ước lượng dạng tuyến tính với 3 biến là cần thiết (khôngthể 2 biến) và hướng tốt nhất là của Mignotte và dẫn đến ước lượng cao hơn đốivới p (trong phạm vi các giá trị củaC) bao gồm các giá trị giữa 108 và 2.4x109.Sau đó Mignotte sử dụng phương pháp modular để giải phương trình với 19 giátrị còn lại đã đề cập ở trên Chẳng hạn, một kết quả tiêu biểu:

Định lý 0.1 Phương trình Diophantine x2+ 7 =yn với x, y, n là các số nguyêndương, n ≥ 3 chỉ có các nghiệm sau đây:

(x, y, n)∈ {(1,2,3) ; (3,2,4) ; (5,2,5) ; (11,2,7) ; (181,2,15)}

Định lý trên cho thấy phương trình x2+ 7 = yn với x, y, n là các số nguyêndương, n ≥3 chỉ có nghiệm không ngoài nghiệm của phương trình x2+ 7 = 2n.Một số kết quả sớm hơn của phương trình này đã được Lebesgue, Siksek vàCremona tìm ra

Rất nhiều nhà toán học cũng đã nghiên cứu các dạng mở rộng khác nhau củaphương trình trên, Cohn đã chỉ ra được nếu C = 22k+1 thì phương trình chỉ cónghiệm khin = 3 và trong trường hợp này có 3 bộ nghiệm Cohn cũng đã chỉ ratrong trường hợpC = 22k là không quá khó Arif và Abu Muriefah dự đoán rằngchỉ có các nghiệm cho bởi(x, y) = (22k ,22k+1)và (x, y) = (11.2k−1 ,5.22(k−1)/3) vớinghiệm sau tồn tại khi và chỉ khi (k, n) = (3M+ 1,3) với M là số nguyên không

âm nào đó Một phần kết quả của dự đoán trên đã được hai tác giả chứng minh

và phần còn lại được Le và Siksek kết thúc

Luca đã chứng minh được dự đoán của Abu Muriefah và Arif về lời giải củaphương trình x2 + 32m = yn nhưng cuối cùng Luca chỉ giải được trường hợp

C = 2a3b với điều kiện giả thiết là x, y nguyên tố cùng nhau, ở đây a, blà các sốnguyên dương bất kỳ

Arif và Abu Muriefah đã chứng minh rằng nếu C = 32k+1 thì phương trìnhtrên có chính xác một họ nghiệm Trường hợp C= 32k đã được chứng minh bởiLuca với điều kiện x, y nguyên tố cùng nhau

Abu Muriefah đã chứng minh rằng nếu C = 52k thì phương trình trên có thể

có nghiệm chỉ nếu 5 chia hết cho x và p không chia hết k với mọi số nguyên tố

lẻ p chia hết n Arif và Abu Muriefah đã chứng minh rằng nếu C = 52k+1 thìphương trình không có nghiệm nào với mọik không âm và hơn nữa, họ thu đượckết quả với C=q2k với q là một số nguyên tố lẻ

Cho q là một số nguyên tố lẻ không đồng dư với 7(mod8), Arif và AbuMuriefah đã chứng minh rằng nếu C = q2k+1 , n ≥ 5 và nguyên tố cùng nhauthì số lớp của Q [√−q] , có chính xác hai nghiệm

Trong trường hợp rất đặc biệt khi C là bình phương của một số nguyên tố

lẻ, Le đã đưa ra một trường hợp phức tạp hơn nhưng với điều kiện rất mạnh củanghiệm (x, y, n) của phương trình là điều kiện cho giả thiết là U CLN(x, y) = 1.Trên cơ sở các kết quả nghiên cứu của J.H.E Cohn, S Siksek và J.E Cre-mona, chúng tôi sẽ trình bày lại một cách hệ thống và xây dựng một vài trườnghợp riêng của các kết quả đó

• Luận văn nghiên cứu những kết quả của phương trình x2+C =yn với một

số trường hợp C = 5; C = 2m; C = 7

• Luận văn nghiên cứu những kết quả của phương trình x2+C =yn với C

là số nguyên dương tùy ý

Tổng hợp và hoàn thiện những kết quả đã có từ các bài báo, tài liệu khoa học

có liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu Đưa ra các ví dụ cho các kết quả đãtrình bày

Sử dụng phương pháp của Đại số số học, Lý thuyết trường, Lý thuyết chia hếttrong vành Z và các kiến thức liên quan Luận văn đã xây dựng và trìnhbày lại một cách có hệ thống các kết quả có được khi nghiên cứu các vấn đềliên quan đến phương trình Diophantine x2+C = yn, cho nên có thể xem luậnvăn này như một tài liệu tham khảo hữu ích khi nghiên cứu về phương trìnhnghiệm nguyên Ngoài ra, luận văn còn cung cấp đến người đọc một cách tiếpcận khác khi nghiên cứu phương trình nghiệm nguyên ngoài những kiến thức

về số học, chẳng hạn như thay việc nghiên cứu phương trình trên Z bằng việc

mở rộng vành, trường số với nhiều công cụ mạnh của Đại số số học, hay nhưphương pháp tiếp cận hình học bằng việc đưa ra sự liên hệ giữa nghiệm củaphương trình với đường cong Frey, tiếp cận qua phương trình Thue,

Luận văn này được trình bày theo cấu trúc gồm 2 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trìnhbày về các tính chất chia hết, đồng dư trong vành số nguyên Z, lý thuyết vềthặng dư bình phương, mở rộng vành Z√C và trường Q √C và một số tínhchất cơ bản của trường Q√C

Chương 2: Phương trình Diophantine x2+C = yn Trong chương nàychúng tôi trình bày một số các kết quả đã có của các tác giả J.H.E Cohn, S.Siksek và J.E Cremona về phương trình trên, bên cạnh đó chúng tôi cũng đã

chứng minh được phương trình không có nghiệm nguyên trong trường hợpC = 5

và xây dựng một số kết quả riêng của phương trình x2+C =yn

Sau cùng, chúng tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS NguyễnTrọng Hòa đã sao sát, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn chúng tôi ngay từ khi tiếnhành đề tài này đến khi hoàn thành

Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Toán, Phòngsau đại học trường Đại học Quy Nhơn và các bạn học viên lớp cao học K13 đãgiúp đỡ, động viên chúng tôi trong quá trình thực hiện đề tài này

Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ hết sứcnhiệt tình của thầy TS Nguyễn Trọng Hòa nhưng vì thời gian cũng như nănglực còn một số hạn chế nhất định nên chắc chắn luận văn này cũng không thểtránh khỏi một số sai sót, chúng tôi kính mong quý thầy cô giáo cùng bạn đọcgóp ý chân thành để đề tài được hoàn thiện hơn Chúng tôi xin chân thành cảmơn

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Vành số nguyên Z

1.1.1 Lý thuyết đồng dư - một số định nghĩa và tính chất

cơ bản

Định nghĩa 1.1 Với các số nguyêna và b,a 6= 0, chúng ta nói rằng a chia hếtb

(hay b chia hết cho a, b là bội của a, a là ước (nhân tử) của b) nếu có số nguyên

c sao cho b=ac, ký hiệu là b .a hay a | b.

Vì 0 =a.0 với mọi số nguyên a nên a |0, ∀a ∈Z, a 6= 0

Từ định nghĩa ta suy ra ngay các tính chất đơn giản sau:

(i) Nếu a |b , b 6= 0 thì |a| ≤ |b|;

(ii) Nếu a |b và a |c thì a |αb+βc với mọi số nguyên α, β;

Chúng ta có kết quả sau đây gọi là thuật toán chia hết, nó có vai trò rất quantrọng trong số học.

Định lý 1.2 Với mọi số nguyên dươnga và b tồn tại duy nhất một cặp số không

âm (q, r) sao cho b =aq+r, r < a

Chú ý 1.3 Thuật toán chia hết trên có thể mở rộng cho các số nguyên Vớimọi số nguyên a, b , a 6= 0 luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên (q, r) saocho b =aq+r với |r| ≤ a

Với số nguyên dương k, ký hiệu Dk là tập tất cả các ước nguyên dương của

k Rõ ràng Dk là tập hợp hữu hạn Khi đó với các số nguyên dương m, n, phần

tử lớn nhất của tập Dm∩ Dn gọi là ước chung lớn nhất của m và n và được kýhiệu là U CLN(m, n)

Nếu Dm∩ Dn ={1} chúng ta có U CLN(m, n) = 1, ta nói m, nlà nguyên tố cùngnhau

Các tính chất sau đây được suy ra từ định nghĩa:

(ii) Nếu d |mi, ∀i= 1,2,3, , s thì d U CLN(m1, m2, , ms).

Định nghĩa 1.5 Với số nguyên dương k ký hiệu Mk là tập hợp tất cả các bộicủa k và Dk là tập tất cả các ước của k đã đề cập ở trên Rõ ràng Mk là tập vôhạn Với các số nguyên s, t cho trước, số nhỏ nhất trong tập hợp Ms∩ Mt gọi làbội chung nhỏ nhất của s và t và được ký hiệu là BCN N[s, t]

Các tính chất sau đây được suy ra ngay từ định nghĩa:

(i) Nếu m =BCN N[s, t], m=ss0= tt0 thì U CLN(s0, t0) = 1;

(ii) Nếu m0 là bội chung của s, t và m0 =ss0 =tt0, U CLN(s0, t0) = 1 thìm0=m;

(iii) Nếum0 là bội chung của s, t thì m |m0;

Tính chất sau đây về liên hệ giữa ước chung lớn nhất và và bội chung nhỏ nhất

Mệnh đề 1.6 Với mọi số nguyên dương m, n ta có hệ thức liên hệ

mn=U CLN(m, n)BCN N[m, n].

Dễ dàng thấy rằng nếu m |s , n |s ⇒ BCN N[m, n]|s

Sau đây chúng ta sẽ trình bày một số định nghĩa và tính chất cơ bản của lýthuyết đồng dư trong vành các số nguyên Z

Định nghĩa 1.7 Cho a, b, n là các số nguyên, với n 6= 0 Chúng ta nói a và b

đồng dư modulo n nếu n (a − b) , ký hiệu là a ≡ b(modn)

Quan hệ ” ≡” trên tập Z gọi là quan hệ đồng dư Nếu n không chia hết a − b

ta nói a và b không đồng dư theo modulo n

Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa:

(i) a ≡ a(modn)

(ii) Nếu a ≡ b(modn) và b ≡ c(modn) thì a ≡ c(modn)

(iii) Nếua ≡ b(modn) thì b ≡ a(modn).

(iv) Nếu a ≡ b(modn) và c ≡ d(modn) thì a+c ≡ b+d(modn)

(v) Nếu a ≡ b(modn), khi đó với mọi số nguyên k thì ka ≡ kb(modn)

(vi) Nếu a ≡ b(modn) và c ≡ d(modn) thì ac ≡ bd(modn)

(vii) Nếu ai≡ bi(modn), i= 1,2,3, , k thì a1a2 ak ≡ b1b2 bk(modn)

Đặc biệt nếu a ≡ b(modn) thì với mọi số nguyên dương k, ta có ak ≡

bk(modn)

(viii) Chúng ta cóa ≡ b(modmi), i= 1,2, , knếu và chỉ nếua ≡ b(modBCN N[m1, m2, , mk])

Đặc biệt, nếu m1, m2, , mk là các số đôi một nguyên tố cùng nhau thì a ≡

b(modm i), i= 1,2, , k nếu và chỉ nếu a ≡ b(modm 1 m 2 mk))

Thật vậy, từa ≡ b(modmi), i= 1,2, , k suy rami|a − b với mọii= 1,2, , k Vì

thế a − b là bội chung của m1, m2, , mk và do đóBCN N[m1, m2, , mk] (a − b)

Điều này có nghĩa là a ≡ b(modBCN N[m 1 , m 2 , , mk])

Ngược lại, từ a ≡ b(modBCN N[m1, m2, , mk]) và mi|BCN N[m1, m2, , mk]

chúng ta thu được a ≡ b(modmi), i= 1,2, , k

Định lý 1.8 Choa, b, nlà các số nguyên,n 6= 0 sao choa=nq1+r1,b=nq2+r2,

0≤ r1, r2< |n| Khi đó a ≡ b(modn) khi và chỉ khi r1= r2

Trong nhiều trường hợp chúng ta phải tìm nghiệm của hệ phương trình

đồng dư tuyến tính dạng aix ≡ bi(modmi), i = 1,2, , n Với điều kiện chẳng

hạn như U CLN(ak, mk) = 1, i = 1,2, , n hệ trên trở thành dạng đơn giản hơn

x ≡ c i(modm i), i= 1,2, , n

Việc giải lớp hệ phương trình trên nhờ đến vai trò quan trọng của định lý nổi

tiếng sau đây:

Định lý 1.9 (Định lý thặng dư Trung hoa) Cho m1, m2, , mr là r số

nguyên dương khác 1 và đôi một nguyên tố cùng nhau Khi đó với mọi số nguyên

khác 0 a1, a2, , ar hệ phương trình đồng dư tuyến tính x ≡ ai(modmi), i =

1,2, , r có nghiệm và với hai nghiệm bất kỳ đều đồng dư modulo m =m1m2 mr

Định lý 1.10 (Định lý Fermat nhỏ) Cho a là một số nguyên dương và p làmột số nguyên tố, U CLN(a, p) = 1 Khi đó ap−1 ≡1 (modp).

Hệ quả 1.11 Cho a là một số nguyên dương và p là một số nguyên tố Khi đó

1.1.2 Số nguyên tố - định lý cơ bản của số học

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày về số nguyên tố và một số tính chấtquan trọng cũng như định lý cơ bản của số học

Để đơn giản chúng ta xét khái niệm số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên

N Trong tập số tự nhiên, số 0 có vô số ước, đó là tất cả các số tự nhiên khácnó; số 1 chỉ có một ước duy nhất là chính nó; còn mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 baogiờ cũng có hai ước là 1 và chính nó, các ước như thế gọi là các ước tầm thường.Chúng ta hãy quan tâm đến các số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước tầmthường, các số loại này có vai trò quan trọng trong lý thuyết số

Định nghĩa 1.15 Số tự nhiên lớn hơn 1 không có ước nào khác ngoài 1 vàchính nó được gọi là số nguyên tố

Từ định nghĩa ta thấy, tập các số tự nhiên được chia thành ba bộ phận:

Như vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn nên không thể có một bảng tất

cả các số nguyên tố Nếu chúng ta đánh số các số nguyên tố theo thứ tự tăngdần p1 = 2, p2 = 3, , pn < pn+1, thì cho đến nay người ta vẫn chưa tìm đượcmột biểu thức tổng quát nào cho số nguyên tố pn thứ n theo chỉ số n của nó.Trong thực tế khi cần, chúng ta có thể lập một bảng gồm tất cả các số nguyên

tố không vượt quá một số tự nhiên A >1 cho trước Để làm được việc này, nhàtoán hoc Ơratosten đã đưa ra một phương pháp gọi là phương pháp sàng

Bổ đề 1.18 Một hợp số a có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá √a

Chú ý 1.19 Từ bổ để trên, ta suy ra một dấu hiệu về số nguyên tố: Nếu số tựnhiên a >1 không có một ước nguyên tố nào trong khoảng từ 1 đến √a thì a là

số nguyên tố

Bổ đề 1.20 Với số tự nhiên a và số nguyên tố p thì hoặc a nguyên tố với p

hoặc a chia hết cho p

Bổ đề 1.21 Nếu một tích các số tự nhiên chia hết cho số nguyên tố p thì phải

có ít nhất một thừa số của tích chia hết cho p

Hệ quả 1.22 Nếu số nguyên tố p là ước của một tích các số nguyên tốp1p2 pn

thì p phải trùng với một trong số các số nguyên tố của tích đó

Định lý 1.23 (Định lý cơ bản) Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích đượcthành tích những thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không

kể đến thứ tự của các thừa số

1.1.3 Một số hàm số học

1.1.3.1 Hàm số học

Chúng ta sẽ trình bày một số hàm số học thường gặp và một số tính chất

cơ bản của các hàm số đó trong lý thuyết số học

Một hàm số học là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức và xác định trên tập

số nguyên dương

Hàm số học f không đồng nhất bằng 0, được gọi là có tính nhân nếu

f(mn) = f(m)f(n), với U CLN(m, n) = 1 Hàm số học f không đồng nhấtbằng 0, được gọi là có tính nhân đầy đủ nếu f(mn) = f(m)f(n), với mọi sốnguyên dương m, n

Hiển nhiên, hàm có tính nhân đầy đủ là hàm có tính nhân Hàm f có tính nhânthì f(1) = 1

Có nhiều hàm số học không chính qui Bởi thế người ta thường không xét hàm

f(n) =f(pα1

1 )f(pα2

2 ) f (pαk

k )Định lý 1.25 Nếu f có tính nhân thì hàm thì

g(n) =X

d|n

f(d)

cũng có tính nhân

Định lý 1.26 Nếu hàm số họcf có tính nhân vàf(pm)→0 khipm → ∞, trong

đó p là số nguyên tố và m là số nguyên dương thì f(n)→0 khi n → ∞

1.1.3.2 Hàm Euler

Phi - hàm Euler, ký hiệu ϕ, được xác định bởi ϕ(n) là số các số nguyêndương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n

Định lý 1.27 Phi - hàm Euler có tính chất nhân

Định lý 1.28 Nếupnguyên tố vàαlà số nguyên dương thìϕ(pα) =pα



1− 1p



1.1.4 Dạng phân tích tiêu chuẩn của số nguyên

Trong sự phân tích số a > 1 thành một tích những thừa số nguyên tố cóthể xảy ra nhiều thừa số lặp lại Gọi p1, p2, , pk là các ước nguyên tố đôi mộtkhác nhau của a và α i, 1 ≤ i ≤ k là các nhân tử cùng là p i trong sự phân tích

k phải có điều kiệnαi ≥1, nghĩa là các số nguyên tốpi, i= 1,2, , k

phải có mặt thực sự trong sự phân tích của a Trong nhiều trường hợp, để chothuận tiện, người ta còn viết sự phân tích củaa a= pα1

Hệ quả 1.35 Cho a và b là hai số tự nhiên khác 0, nguyên tố cùng nhau Khi

ấy, số tự nhiên d là ước của tích ab khi và chỉ khi d =rs, trong đó r là ước của

a, s là ước của b với r và s nguyên tố cùng nhau

Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một ứng dụng của dạng phân tích tiêu chuẩntrong việc xác định ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các số nguyêndương Giả sử p 1 , p 2 , , p n là tất cả các ước nguyên tố phân biệt của ít nhất mộttrong hai số a, b Ta có thể viết

Nếu f là một đa thức với các hệ số nguyên thì phương trình trên gọi là phươngtrình diophantine đại số (hay ngắn gọn là phương trình diophantine) Bộ n số(xo1, xo2, , xon)∈Zn thỏa phương trình trên gọi là nghiệm của phương trình.Một phương trình có ít nhất một nghiệm được gọi là phương trình giải được.Trong phạm vi của luận văn, chúng ta chỉ nghiên cứu một dạng của phươngtrình diophantine, đó là phương trình dạng

x2+C =yn

trong đó C là số nguyên dương, n là số tự nhiên và n ≥3

1.1.6 Thặng dư bình phương và ứng dụng

1.1.6.1 Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa 1.37 Cho a, m, n là các số nguyên dương và U CLN(a, m) = 1,

số a được gọi là một thặng dư bậc n modulo m nếu phương trình đồng dư

xn ≡ a(modm) có nghiệm Ngược lại, ta nói a không thặng dư bậcn modulom.Khi n= 2 thì ta nói a là một thặng bình phương modulo m

Kí hiệu 1.38 (Ký hiệu Legendre) Cho a là một số nguyên, p là một số

nguyên tố, ký hiệu Legendre



a p

được xác định như sau



a

p



=  1 nếu a là thặng dư bình phương modulo p

−1 nếu ngược lại

Bổ đề 1.39 Cho p là số nguyên tố lẻ,a là số nguyên không chia hết cho p Khi

đó phương trình x2 ≡ a(modp) hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm không đồng

dư nhau modulo p

Chứng minh Giả sử phương trình có nghiệm x ≡ xo(modp), khi đó x2o ≡

a(modp) suy ra (−xo)2 ≡ a(modp) mà −xo không đồng dư với xo (modp)

Do đó −x o cũng là nghiệm và không đồng dư với x o (modp)

Ta chứng minh phương trình trên không còn nghiệm nào khác Thật vậy giả sửngược lại phương trình có nghiệm x1, suy ra x21 ≡ a(modp) Do đó x21 − x 2

o ≡

0 (modp), suy ra (x1− xo) (x1+xo) .p Vậy x

1 =±xo.Định lý 1.40 Cho p là số nguyên tố lẻ, khi đó trong các số 1,2, , p −2, p −1

có đúng p −1

2 thặng dư bình phương (modp)

Chứng minh Để tìm tất cả các thặng dư moduloptrong các số 1,2, , p−2, p−1,trước tiên ta bình phương các số đó và xét các thặng dư dương bé nhất modulo

p của các kết quả nhận được Các thặng dư dương bé nhất này là tất cả cácthặng dư bình phương trong các số từ 1 đến p −1 Giả sử a là một thặng dưnhư vậy Vì phương trình đồng dưx2 ≡ a(modp) có đúng hai nghiệm, nên trong

số p −1 bình phương đang xét, phải có hai bình phương thặng dư a Do đó sốthặng dư bình phươngđúng bằng p −1

2 .

Định lý 1.41 (Tiêu chuẩn Euler) Giả sửplà số nguyên tố lẻ,a là số nguyên

dương không chia hết cho p Khi đó



a p



= 1 Khi đó đồng dư x2 ≡ a(modp)

có nghiệm x=xo Theo định lý Fermat bé, ta có

ap−12 = (x2o)

p−1

2 =xp−1o ≡1 (modp)Bây giờ ta xét trường hợp



a p

được (p −1)!≡ ap−12 (modp) Từ định lý Wilson ta có −1≡ ap−12 (modp).

Định lý đã được chứng minh

Những tính chất sau đây cho phép tính được dễ dàng ký hiệu Legendre

Định lý 1.42 Giả sử p là một số nguyên tố lẻ và a, b là các số nguyên khôngchia hết cho p Khi đó:

(i) Nếu a ≡ b(modp) thì



a p



=



b p





=



ab p





=



b p



(ii) Từ tiêu chuẩn Euler ta có



≡ bp−12 (modp),



ab p

 

b p

(modp)

Vì giá trị của ký hiệu Legendre chỉ có thể là ±1 nên ta có đẳng thức cầnchứng minh



=



a p

 

a p



= 1

Định lý trên cho thấy rằng tích của hai thặng dư bình phương hoặc củakhông hai thặng dư bình phương là một thặng dư bình phương, tích của mộtthặng dư bình phương và một không thặng dư bình phương là một không thặng

dư bình phương

2 thì



a p



= (−1)s

Chứng minh Trong số các thặng dư dương bé nhất của các số nguyêna,2a, ,p −1

2 a,giả sử u1, u2, , us là các thặng dư lớn hơn p

2 và v1, v2, , vt là các thặng dư béhơn p

2 Vì U CLN(ja, p) = 1 với mọi j, 1 ≤ j ≤

p −2

2 , nên tất cả các thặng dưdương bé nhất nói trên đều nằm trong tập hợp 1,2, , p −1

Rõ ràng không có hai số ui nào cũng như không có hai số vj nào đồng dư vớinhau modulo p Thật vậy, nếu ngược lại, ta sẽ có đồng dư ma ≡ na(modp) với

m, ndương nào đó không vượt quá p −1

2 Vì U CLN(a, p) = 1 nên m ≡ n(modp).Điều này mâu thuẫn

Tương tự cũng không có bất kỳ số p − u i nào đồng dư với v j modulo p Vậy tacó

(p − u1) (p − u2) (p − us)v1v2 vt ≡



p −12



! (modp)

Mặt khác vì u1, u2, , us, v1, v2, , vt là các thặng dư dương bé nhất của các số

! ≡



p −12

Như vậy 2 là thặng dư bình phương của mọi số nguyên tố dạngp ≡ ±1 (mod8)

và là không thặng dư bình phương của mọi số nguyên tố dạng p ≡ ±3 (mod8).Chứng minh Áp dụng tiêu chuẩn Gauss, ta cần tính số thặng dư dương bé nhấtlớn hơn p

phần nguyên của x) Như vậy ta có  2

1.1.6.2 Luật thuận nghịch bình phương

Giả sử p, q là các số nguyên tố lẻ khác nhau và ta đã biết rằng p có là thặng

dư bình phương modulo q hay không Nhờ vậy, liệu ta có thể nói được gì về việc

q có thặng dư bình phương modulo p hay không

Luật thuận nghịch bình phương sẽ cho ta câu trả lời về vấn đề này Để chứng

minh luật thuận nghịch bình phương, trước hết ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 1.46 Giả sử p là số nguyên tố lẻ và a là một số lẻ không chia hết cho p

Khi đó



a p



= (−1)T (a,p)

trong đó T(a, p) =

p−1 2P

j=1



ja p



Chứng minh Giả sửu1, u2, , un là các thặng dư bình phương nhỏ nhất lớn hơn

p

2 và v1, v2, , vn là các thặng dư bình phương dương nhỏ nhất nhỏ hơn

p

2 củacác số a,2a, ,p

2a Theo thuật toán chia, ta có

ja =p



ja p

+rj

trong đó rj là một uj hoặc vj Như vậy,

+

 

q p

các số y

+



= p −1

2 .

q −12

Do đó

T (q, p) +T (p, q) = p −1

2 .

q −12Theo (1.46) ta suy ra



p q

 

q p



= (−1)T (q,p) = (−1)T (q,p)+T (q,p) = (−1)p−12

q−1 2

T r(α+β) =T r(α) +T r(β)

N(α.β) =N(α).N(β)Với mọi α ∈ K, α là một nghiệm của đa thức bậc hai với hệ số hữu tỉ

(X − α) (X − α) =X2− T r(α)X+N(α)

Đa thức này có hai nghiệm α và α với các hệ số là T r(α) và N(α)

Hệ số của đa thức này có thể không thuộc Z Ta có định nghĩa "số nguyên"trong K như sau

Định nghĩa 1.53 Một phần tử α ∈ K được gọi là một số nguyên của K nếu

đa thức trên có hệ số là những số nguyên, hay nói cách khác α là số nguyên của

nếu C ≡1(mod4)

Tiếp theo, chúng ta đề cập đến khái niệm chia hết trong OK.

Định lý 1.56 Với m ∈Z, α = a+bω ∈Z [ω], m| α khi và chỉ khi m| a và m| b

Định nghĩa 1.60 Ta nói một phần tử 06=α ∈ OK là bất khả qui nếu α không

là phần tử đơn vị và mọi sự phân tích α = β.γ trong OK thì hoặc β hoặc γ làphần tử đơn vị

Định lý 1.61 Nếu α ∈ OK và N(α) là số nguyên tố trong Z thì α bất khả qui

Chú ý rằng nếu N(α) là số nguyên âm mà |N(α)| nguyên tố thì định lýtrên vẫn đúng, ví dụ như trong vành Z√3, chuẩn của phần tử 1 + 2√3 là

−11, vì vậy 1 + 2√3 là bất khả qui trong Z√3 Tuy nhiên điều ngược lại củađịnh lý trên là không đúng, chẳng hạn trong vành Z√−14, N(3) = 9 khôngnguyên tố trong Z nhưng 3 là phần tử bất khả quy trong Z√−14 Thật vậy,

giả sử 3 = α.β trong Z√

−14 với α, β không phải là các phần tử đơn vị Suy

ra 9 = N(α).N(β) ∈ Z, khi đó N(α), N(β) phải là 3 , nhưng phương trình

3 = a2 + 14b2 không có nghiệm nguyên, tức là không có phần tử nào trong

Trong một vài trường bậc hai như Q [i] hay Q√2, các số nguyên của chúng

có sự phân tích duy nhất thành tích các phần tử bất khả qui, tuy nhiên, với K

là một trường bất kỳ, thì sự phân tích thành tích các phần tử bất khả qui trong

OK là không duy nhất, chẳng hạn trong Z√−14

3.3.3.3 = 5 + 2√−14

5−2√−14

Rõ ràng số các nhân tử bất khả qui ở hai vế là khác nhau, và tất cả các nhân

tử ấy đều bất khả qui trong Z√

−14 Chính vì điều trên, nên thay vì làm việctrên các phần tử của OK khi mà tính duy nhất của việc phân tích thành tíchcác phần tử bất khả qui bị phá vỡ, chúng ta sẽ xây dựng một lý thuyết tổngquát trên các ideal của OK

Chúng ta sẽ ký hiệu các ideal bởi các chữ cái a, b,p,

Định lý 1.63 Mọi ideal trong OK là hữu hạn sinh và có tối đa hai phần tửsinh

Với tập hữu hạn các phẩn tửα1, α2, , αm ∈ OK, ideal sinh bởi chúng ký hiệulà

(α1, α2, , αm) :={α1γ1+α2γ2+ +αmγm: γi∈ OK}=α1.OK+α2.OK+ +αm.OK.

và không phân biệt thứ tự viết các phần tử sinh

Định lý 1.64 Cho a = (α 1 , α 2 , , α m) và b = (β 1 , β 2 , , β n) là hai ideal trong

OK, khi đó các điều sau là tương đương:

(i) a⊂b

(ii) Mỗi αi∈b

(iii) Mỗi αi là một tổ hợp tuyến tính của các βj

Hệ quả 1.65 Với ký hiệu như định lý trên, ta có a = b khi và chỉ khi mỗi αi làmột tổ hợp tuyến tính của các β j và mỗi β j là một tổ hợp tuyến tính của các α i.

Định lý 1.66 Nếu một ideal của OK chứa hai phần tử nguyên tố cùng nhaucủa Z thì nó là ideal đơn vị, đặc biệt, một ideal là đơn vị nếu nó chứa hai phần

tử mà chuẩn của chúng là nguyên tố cùng nhau trong Z

Định lý 1.67 Mọi ideal trong OK chứa tập sinh các phần tử của Z là idealchính

Định lý 1.68 Với α, β ∈ OK, (α) = (β) khi và chỉ khi α và β sai khác nhaumột phần tử đơn vị trong phép nhân trong OK

Định nghĩa 1.69 Với các ideal a , b trong OK, tích ab là tập tất cả các tổnghữu hạn Pr

Và phép nhân với ideal đơn vị (1) là phép nhân đồng nhất

Hệ quả 1.73 Với ideal a = (α1, α2, , αm) và ideal chính (γ) thì

(γ).a= (α 1 γ, α 2 γ, , α m γ)

Định nghĩa 1.74 Với ideal a, ideal liên hợp của nó được ký hiệu là a =

{α:α ∈ a}

Định lý 1.75 Nếu a = (α1, α2, , αm) thì a = (α1, α2, , αm)

Đặc biệt, nếu a = (α) là ideal chính thì a = (α) cũng là ideal chính

Và với mọi ideal a , b, ab = ab và a = a

Định nghĩa 1.76 Ký hiệu a|b nếu b = ac với c là ideal nào đó Ta nói a chiahết b hay b là bội của a hay a là một nhân tử, ước của b

Tính chất quan trọng nhất đó là tính chia hết của các ideal, với các idealchính, nó phản ánh chính xác tính chia hết của các phần tử sinh như nhữngphần tử của OK

Định lý 1.81 Mọi ideal chính khác không đều bỏ được, tức là với 06=γ ∈ OK

và với các ideal a ,b, nếu a (γ) = b (γ) thì a = b

Hệ quả 1.82 Mọi ideal khác không của OK là nhân tử của ideal chính kháckhông đều bỏ được

Định lý 1.83 Với mọi ideal a của OK, tích aa là một ideal chính

Định lý 1.84 Cho a = (α, β) là ideal với hai phần tử sinh Khi đó

Định lý 1.86 Với các ideal a, bcủa OK, a|b khi và chỉ khi a⊃b

Hệ quả 1.87 Các ước của ideal a là ideal c thỏa mãn c⊃a

Đặc biệt, α ∈a khi và chỉ khi a|(α)

Định nghĩa 1.88 Tổng của hai ideal a và b được định nghĩa như sau:

a+ b ={x+y:x ∈a;y ∈ b}

và gọi Na là chuẩn của ideal a.

Từ định nghĩa trên, ta có chuẩn của ideal tương thích với chuẩn của phần

tử trong ideal chính, tức là nếu a = (α) thì Na=|N(α)|

Định lý 1.92 Với các ideal khác không a và b, Nab= Na.Nb

Hệ quả 1.93 Với các ideal khác không a và b, nếu a|b thì Na| Nb trong Z

Hệ quả 1.94 Với ideal khác không a, mọi ước của nó đều có chuẩn bé hơnchuẩn của a

Định lý 1.95 Ideal liên hợp của một ideal nguyên tố cũng là ideal nguyên tố

Chú ý 1.96 Với a là ideal khác không trong OK, thì OK/a là hữu hạn

Định lý 1.97 Với p là ideal khác không trong OK, các điều sau là tương đương:

(i) p là ideal nguyên tố khác không

(ii) p là ideal tối đại

(iii) p là ideal chính và khi p = ab thì hoặc a = (1) hoặc b = (1)

Định lý 1.98 Một ideal có chuẩn là một số nguyên tố trong Z là một idealnguyên tố

Định lý 1.99 Nếu p là ideal nguyên tố và p|ab thì p|a hoặc p|b

Hệ quả 1.100 Nếu p là ideal nguyên tố và p|a1a2 ar thì ∃i sao cho p|ai

Định lý 1.101 Mọi ideal khác không và khác đơn vị đều phân tích được thànhtích các ideal nguyên tố và sự phân tích này là duy nhất nếu không xét đến thứ

tự các nhân tử trong tích

Tức là nếu a = p1p2 pr = q1q2 qs, trong đó pi, qj là các ideal nguyên tố Khi

đó số ideal nguyên tố ở cả hai sự phân tích là như nhau và pi = qi sau khi sắpxếp các tích trên theo một thứ tự thích hợp

Định lý 1.102 Tồn tại duy nhất sự phân tích các phần tử của OK khi và chỉkhi mọi ideal trong OK là ideal chính

Tiếp theo chúng ta sẽ đề cập đến cấu trúc của ideal nguyên tố trong OK Định lý 1.103 Mọi ideal nguyên tố trongOK chia hết duy nhất một số nguyên

tố, tức là nếu p là ideal nguyên tố thì p|(p) , với p là số nguyên tố trong Z+

Hệ quả 1.104 Mọi ideal nguyên tố trong OK có chuẩn p hoặc p2 với p là sốnguyên tố

Định lý 1.105 ChoK = Q√C là một trường bậc hai, trong đó C là số khôngchính phương và OK = Z [ω], với f(X) là đa thức bậc hai nhận ω và ω làm cácnghiệm

tương thích với cách phân tích f(X) thành các nhân tử (modp)

(i) Nếu f(X) (modp) là bất khả quy thì (p) là nguyên tố trong OK với chuẩn

là p2

(ii) Nếu f(X) = (X − C) (X − C0) (modp) với C 6= C0(modp) thì (p) = ppvới p6= p và hai ideal này đều có chuẩn là p

(iii) Nếu f(X) = (X − C)2(modp) thì (p) = p2 và Np=p

Đặc biệt, các ideal nguyên tố trong OK có chuẩn nguyên tố ngoại trừ các idealnguyên tố chính (p), với p là số nguyên tố sao cho f(X) (modp) là bất khả qui.Chú ý rằng số mũ củap trong các chuẩn của ideal nguyên tố trong phép chiacho (p) tương thích với bậc của nhân tử bất khả qui của f(X) (modp)

Hệ quả 1.106 Nếu (p) không phải là ideal nguyên tố trong OK thì f(X) ( mod

p) có nghiệm, với nghiệmc( modp) bất kỳ (p, ω − c) là một trong các ideal nguyên

tố chia hết (p)

Định lý 1.107 Nếu a là ideal nguyên tố khác không trong OK và α là phần tửkhác không bất kỳ của a thì a = (α, β) với β là phần tử thích hợp nào đó của a

1.3 Kết luận

Trong chương này chúng tôi đã trình bày một số vấn đề liên quan đến lýthuyết đồng dư trong Z, một số hàm số học, dạng phân tích tiêu chuẩn của sốnguyên, khái niệm phương trình Diophantine, lý thuyết thặng dư bình phương

và một số tính chất cơ bản Tiếp đến là việc mở rộng vành các số nguyên Z√C

và trường Q√C, làm cơ sở cho việc nghiên cứu các phương trình Diophantinedạng x2+C =yn trong chương II

Phương trình x 2 + C = y n

2.1 Mở đầu

Trong những năm qua, nhiều trường hợp đặc biệt của phương trìnhx2+C =

yn, trong đó x, y là các số nguyên dương và n ≥3 đã được quan tâm Tuy nhiênphần lớn các kết quả vớin tổng quát mới thực sự được khởi nguồn gần đây Mộtnghiên cứu sớm nhất đó là sự khẳng định của Fermat, người đã chỉ ra rằng khi

C = 2, n = 3 phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất làx= 5, y = 3 và đã đượcEuler giải quyết xong Kết quả đầu tiên chon tổng quát được V.A.Lebesgue giớithiệu và ông đã chứng minh được khiC = 1 phương trình trên không có nghiệm.Nagell cũng đã chứng minh được phương trình cũng không có nghiệm khiC = 3

và C = 5 nhưng không chứng minh được khiC = 2 Ljunggren đã tổng quát hóakết quả của Fermat và cũng đã chứng minh được khiC = 2 phương trình không

có nghiệm khác nghiệm x= 5 Một kết quả khác cũng được Nagell tìm ra đượcrằng khi C = 4 chỉ có các nghiệm là x = 2, x = 11 Chao Ko đã chứng minh

x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình trong trường hợp C =−1, một kếtquả đã được tìm thấy sau nhiều năm theo sự phỏng đoán của Catalan Từ [17]cho thấy đó là sự mở rộng của sự phân tích kỹ kết quả trong [18] cho trường hợp

C tùy ý có hữu hạn nghiệm, điều mà có thể tính toán một cách hiệu quả theo

ý nghĩa thông thường, đó là có thể tìm ra tất cả các nghiệm bằng cách xét tất

cả các giá trị của x trên biên K[C], điều mà có thể tính toán một cách chi tiết.Trong thực hành, phạm vi áp dụng của phương pháp bị giới hạn bởi kích thướcrất lớn của K mở rộng, nhưng nó cũng đã đưa ra một phương pháp về mặt lýthuyết để giải quyết vấn đề Trong trường hợpn chẵn thì phương trình được giảiquyết một cách tương đối dễ, khi đó C là hiệu bình phương của hai số nguyênkhác nhau Với n lẻ, không mất tính tổng quát ta chỉ xem xét các số nguyên tố

lẻ p, do vậy, từ đây chúng ta sẽ xem xét phương trình trên với n =p là một sốnguyên tố lẻ Chúng ta sẽ chỉ xét những giá trị C dương, trong lý thuyết, nhiều

áp dụng sau này cũng xét đến trường hợp C < 0 nhưng lý do để hạn chế cho

33

trường hợpC >0 dưới đây sẽ rõ ràng hơn Nó là đủ để tìm ra những giá trị riêngcủax Trong trường hợp đặc biệt p= 3, đã được giải quyết rất nhiều và một vàikết quả cũng đã được biết đến trong các trường hợp đặc biệt p= 5 và p= 7 [3].Phương pháp cho C = 1,2,4 bao gồm 2 phần Trước hết sử dụng tính duy nhấttrong sự phân tích thành các nhân tử nguyên tố trong các trường Q√−1 và

có nghiệm Theo các tài liệu tham khảo đã dẫn, có một vài kết quả cho trườnghợp p tổng quát Trong mục này, chúng tôi đã cố gắng tập hợp một vài kết quả

đã biết lại với nhau và chứng minh một vài điều mới bằng các kỹ thuật mới Một

số ví dụ ở mục 4 được trình bày một cách tự nhiên và nó cũng không yêu cầu tất

cả các kết quả đều mới Phần 5 bao gồm tất cả những kết quả mà chúng tôi đãtìm được cách chứng minh với những giá trị của C nhỏ hơn 100 và đưa ra kết quảtrong 77 trường hợp trong các trường hợp đó và có hơn một nửa xuất hiện là mới

Trước hết, chúng ta đi tìm các nhân tử của phương trình trong trường bậchai ảo chứa √−C sao cho x+√−C
x − √

−C
=yp, khi đó rõ ràng rằng nếu

a, b là những số nguyên và

±x+√−C = a+b √

−C
p (2.1)thì khi đó, x sẽ là nghiệm với y = a2 +b2C Do vậy (2.1) là điều kiện cần đểphương trình có nghiệm Đây sẽ là một trường hợp nếu:

(1) C 6≡3(mod4)

(2) Không xuất hiện vấn đề về các đơn vị

(3) Sự phân tích nhân tử trong trường là duy nhất

(4) C là một số không chính phương và

(5) Các nhân tử ±x+√−C không có nhân tử chung

Nhưng trong trường hợp nào (2.1) là điều kiện đủ để phương trình có nghiệm

Từ điều này có khả năng xem xét tất cả mọi giá trị của C Chúng ta sẽ chứng

x2+C...

1.1.3.1 Hàm số học

Chúng ta trình bày số hàm số học thường gặp số tính chất

cơ hàm số lý thuyết số học

Một hàm số học hàm nhận giá trị thực phức xác định tập

số nguyên... data-page="34">

1.3 Kết luận< /h3>

Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến lýthuyết đồng dư Z, số hàm số học, dạng phân tích tiêu chuẩn sốnguyên, khái niệm phương trình Diophantine,