Hình học lớp 10 chương 1 bài hệ trục tọa độ

Trục và độ dài đại số trên trục aĐịnh nghĩa  Trục tọa độ hay gọi tắt là trục là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e.. Ta gọi số k đó l

u

2

A

1

A

A j

i

O

BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

I – TH T

1 Trục và độ dài đại số trên trục

a)Định nghĩa

 Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e

 Điểm O gọi là gốc tọa độ

 Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục

 Ta kí hiệu trục đó là O;e 

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục O;e  Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM k e. Ta gọi

số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

c) Cho hai điểm A và B trên trục O;e Khi đó có duy nhất số  a sao cho ABa e. Ta gọi số a là độ dài

đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a AB.

Nhận xét

Nếu AB cùng hướng với e thì ABAB, còn nếu AB ngược hướng với e thì AB AB.

Nếu hai điểm A và B trên trục O;e có tọa độ lần lượt là a và b thì  AB b a.

2 Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa Hệ trục tọa độ O;i , j gồm hai trục  O;i và O; j vuông góc với nhau Điểm gốc

O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ Trục  O;i được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục O; j được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i  j 1.

Hệ trục tọa độ O;i , j còn được kí hiệu là Oxy

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý Vẽ OA u và gọi A , A1 2 lần lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy Ta có OAOA1OA2 và cặp số duy nhất x; y để

OA x i , OA  y j Như vậy u x i y j.

Cặp số x y; duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết ux; y hoặc

u x; y Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u

Như vậy

u x; y  u x i y j

Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng

nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng

O

j i

1

1

y

x

O

O

nhau

Nếu ux; y và ux ; y  thì u u x x

y y









 Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy

được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó

Như vậy, cặp số x; y là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM x; y  Khi đó ta viết M x; y 

hoặc M x; y   Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M Hoành độ của

điểm M còn được kí hiệu là x , M tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y M

M x; yOM x i y j

Chú ý rằng, nếu MM1Ox, MM2Oy thì xOM , y1 OM 2

d) iên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A x ; y A A và B x y B; B Ta có

B A B A

3 Tọa độ của các vectơ u v, u v, k u 

Ta có các công thức sau:

Cho uu ;u1 2, v v ;v1 2

Khi đó:

 u v u1u ;v2 1v2;

 u v u1u ;v2 1v2;

 k u k u ;k u1 2, k .

Nhận xét Hai vectơ u u u1; 2 ,v v v1; 2 với v 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho

u k v và u2 k v2.

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng AB có A x y A; A ,B x y B; B . Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm

;

I I

I x y của đoạn thẳng AB là

b) Cho tam giác ABC có A x ; y A A , B x ; y B B , C x ; y C C. Khi đó tọa độ của trọng tâm G x ; y G G

của tam giác ABC được tính theo công thức

O i

j

1

M

;

M x y

2

M

3 3

II – D N TO N

 1 Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục  O;i

 Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:

 Trên trục  O,i , điểm M có tọa độ aOM a.i

 Trên trục  O,i , vecto u có tọa độ aOM a.i

 Vectơ AB có độ dài đại số là mAB ABmi

 Nếu a,b lần lượt là tọa độ của A,B thì AB b a

 Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là:

2

A B I

 Các tính chất:

+ AB BA

+ ABCD ABCD

+ A; B;C( O ; i ) : ABBC AC

A VÍ DỤ MINH HỌA

V dụ 1: Trên trục tọa độ  O;i cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt là 2 1 ; Tọa độ của vecto AB là:

i giải Chọn B

Ta có: AB   1 2 3 AB3i.

V dụ 2: Trên trục tọa độ  O;i cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt 3 và 5 Tọa độ trung điểm I của

AB là :

i giải Chọn D

Tọa độ điểm I là: 3 5 1

2

I

( )

x      .

V dụ 3: Trên trục O;i cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a;b;c Tìm điểm I sao cho

IA IB IC 0

A.

2

a b c

.

 

B.

3

a b c

.

 

3

a b c

.

 

3

a b c

.

 

i giải Chọn D

Gọi điểm I có tọa độ là x

IA a x IA ( a x )i;

IB b x IB ( b x )i;

IC c x IC ( c x )i;

    

    

    

0 3 0

3

IA IB IC ( a b c x )i

a b c

 

V dụ 4: Trên trục  O;i , cho ba điểm A,B,C lần lượt có tọa độ là 5 2 4 ; ; Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 2MA4MB3MC0

A.10

10 3

9

10

i giải Chọn C

Gọi điểm M có tọa độ là x

MA x MA ( x )i;

MB x MB ( x )i;

MC x MC ( x )i;

      

2MA4MB3MC   0 10 2x i 8 4x i 12 3 x i0

10

9

B BÀI TẬP TỰ ỆN

Câu 1: Trên trục  O;i , cho ba điểm A,B lần lượt có tọa độ là 2;6 Tìm tọa độ điểm I sao cho

3

IA  IB

Câu 2: Trên trục  O;i , cho ba điểm M , N lần lượt có tọa độ là 2 3; Độ dài đại số của MN là:

 2 D N 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy

 Phương pháp giải

 Để tìm tọa độ của vectơ a ta làm như sau

Dựng vectơ OM a Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy Khi đó

 1 2

a a ;a với a1OH , a2 OK

 Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA

 Nếu biết tọa độ hai điểm A( x ; y ), B( x ; y ) suy ra tọa độ A A B B AB được xác định theo công thức ABx Bx ; y A By A

(hoặc Oy )

A VÍ DỤ MINH HỌA

V dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M x; y  Tìm tọa độ của các điểm M1 đối xứng với

M qua trục hoành?

A.M1x; y  B.M1x; y C.M1 x; y D.M1x; y

i giải Chọn A

M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1x; y 

V dụ 2:Vectơ a  4; 0 được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A a  4i j B a  i 4j C a 4j D a 4i

i giải Chọn D

Ta có: a  4;0   a 4i 0j 4i

V dụ 3:Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hai vectơ u2; 1 và   v  1; 2đối nhau

B Hai vectơ u2; 1 và   v   2; 1đối nhau

C Hai vectơ u2; 1 và   v  2;1đối nhau

D Hai vectơ u2; 1 và   v 2;1 đối nhau

i giải Chọn C

Ta có: u2; 1     2;1 v u và v đối nhau

V dụ 4:Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm I và có A(1; 3) Biết điểm B thuộc trục

Ox và BC cùng hướng với i Tìm tọa độ các vectơ AC?

A.3 3;  B. 3 3; C.3;3 D. 3 0;

i giải Chọn C

Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt

phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ bên

Vì điểm A( ; ) suy ra 1 3 AB3, OB1

Do đó B ;     1 0 , C 4 0; , D 4 3;

Vậy AC3;3.

V dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD cạnh a

và BAD600 Biết A trùng với gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox và x B0, y B0 Tìm tọa độ các đỉnh

B và C của hình thoi ABCD

3 0

B ; , C a ;

3 0

B ; , C a ;



B ; , C a ; 

3

3

B ; , C a ; 

i giải Chọn A

Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

30 2

a

BI  AB sin BAI a sin 

2

AI  AB BI  a  

A ; , B ; , C a ; , D ; 



x

y

O C O

B

x

y

I

C A

B

D

B BÀI TẬP TỰ ỆN

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M2;3 Tìm tọa độ của các điểm M1 đối xứng với

M qua trục tung?

A.M3 2;  B.M2 3;  C.M 2; 3 D.M 2 3;

Câu 4: Trong hệ trục tọa độ O,i, j, cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i

cùng hướng với OC, j cùng hướng OA Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC

;a , a; , a;

Câu 5: Trong hệ trục tọa độ O,i, j, cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i

cùng hướng với OC, j cùng hướng OA Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

i giải

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm 0 3

6

a

G ; 

Câu 6: Trong hệ trục tọa độ O,i, j, cho hình thoi ABCD tâm O có AC8, BD6 Biết OC và i

cùng hướng, OB và j cùng hướng Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC

i giải

A 4 0 C 4 0 B 0 3 D 0 3 G 0 1

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có AD4 và chiều cao ứng với cạnh AD3, BAD600 Chọn

hệ trục tọa độ A;i, j sao cho i và AD cùng hướng, y B0 Tìm tọa độ các vecto

AB, BC , CD vàAC

Câu 8: Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ O,i, j, trong đó O là tâm lục giác đều , i

cùng hướng với OD, j cùng hướng EC Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6

i giải

ĐS: A 6 0; ,D 6 0; ,B 3 3 3; ,

C 3 3 3 F 3 3 3 E 3 3 3

C Đ P N PHẦN BÀI TẬP TỰ ỆN

D H ỚN D N I I C C C H CỦA PHẦN TỰ ỆN

 D N 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng uv, u v, k u

 Phương pháp

 Dùng công thức tính tọa độ của vectơuv, u v, k u

 Với u( x; y ) ;u'( x'; y') và số thực k , khi đó u v ( xx'; yy') và k.u( kx;ky )

A VÍ DỤ MINH HỌA

V dụ 1:Trong hệ trục O i j; ; , tọa độ của vec tơ i j là:

A 1;1 B  1; 0 C  0;1 D  1;1

i giải Chọn D

Ta có: i j      1;0  0;1  1;1

V dụ 2: Cho u3;2, v 1 6; Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.u v và a  4 4;  ngược hướng B.u, v cùng phương

C.uv và b6;24 cùng hướng D.2u v, v cùng phương

i giải Chọn C

Ta có u v  4 4; và u v 2;8.

Xét tỉ số 4 4

 uv và a  4 4;  không cùng phương Loại A Xét tỉ số 3 2



 u, v không cùng phương Loại B

Xét tỉ số 2 8 1 0



 uv và b6;24 cùng hướng

V dụ 3:Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A   1;3 ,B 4; 0 Tọa độ điểm M thỏa 3AM AB0 là

A M 4; 0 B M 5;3 C M 0; 4 D M0; 4 

i giải Chọn C

4

M M

y y

   





V dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A3;3 ,   B 1; 4 ,C 2; 5  Tọa độ điểm M thỏa mãn

2MABC 4CM là:

A 1 5;

6 6

M 

 

  B

;

M  

  C

;

M  

  D

;

M  

 

i giải Chọn C

1

6

M

M

x

y

 





B BÀI TẬP TỰ ỆN

Câu 9: Cho a x; 2 ,b  5;1 , c x;7 Vec tơ c2a3b nếu:

A x3 B x 15 C x15 D x5

Câu 10: Choa(0,1),b ( 1; 2),c  ( 3; 2).Tọa độ củau3a2b4c:

Câu 11: Cho a 3i 4j và b i j Tìm phát biểu sai:

A a 5 B b 0 C a b 2; 3  D b  2

Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A   1;3 ,B 4; 0 Tọa độ điểm M thỏa 3AM AB0 là

A M 4; 0 B M 5;3 C M 0; 4 D M0; 4 

Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy,cho hai điểm A ;  1 2 , B 2 3;  Tìm tọa độ đỉểm I sao cho IA2IB0.

A I 1 2; B 1 2

5

I ; .

  C

8 1 3

I ; .

  D I2;2.

Câu 14: Cho hai điểm A 1; 0 và B0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho AD 3AB là:

A 4; 6  B  2; 0 C  0; 4 D  4; 6

Câu 15: Cho a  5;0 , b 4;x Haivec tơ a và b cùng phương nếu số x là:

 D N 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình

 Phương pháp

Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức

+ M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra

+ G trọng tâm tam giác ABC suy ra

3

A B C G

2

A B C G

+ u x; y  u' x'; y'  x x'

y y'







A VÍ DỤ MINH HỌA

V dụ 1 :Trong hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A     3 5; , B ;1 2 , C 5 2; Tìm tọa độ trọng tâm G

của tam giác ABC?

A G 3; 3. B 9 9

2 2

G ; .

  C G 9 9; D G 3 3;

i giải Chọn D

3 1 5

3 3

3 3

5 2 2

3 3

G

G

x

G ; y

 



V dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A2 2;   , B 3 5; và trọng tâm là gốc tọa độ

 0 0

O ; Tìm tọa độ đỉnh C ?

A C 1 7; . B C2;2. C C 3; 5. D C ; 1 7

i giải Chọn A

Gọi C x y;

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên

2 3

0

1 3

0 3

x

x

  





V dụ 3: Cho M    2; 0 ,N 2; 2 ,P 1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC CA AB của ABC, ,  Tọa

độ B là:

A  1;1 B  1; 1 C 1;1 D 1; 1 

i giải Chọn C

Ta có: BPNM là hình bình hành nên 2 2 ( 1) 1

V dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M1; 1 ,  N 5; 3  và P thuộc trục Oy ,

trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox Toạ độ của điểm P là

A  0; 4 B  2; 0 C  2; 4 D  0; 2

i giải Chọn A

Ta có: P thuộc trục OyP 0;y , G nằm trên trục OxG x ; 0

G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:

1 5 0

2 3

0

3

x

x

 

 

      



 



Vậy P 0; 4

V dụ 5:Cho tam giác ABC với AB5 vàAC1 Tính toạ độ điểm Dlà của chân đường phân giác trong góc A , biết B( ;7 2),C( ; )1 4

A 1 11;

2 2

 

  B  2; 3 C  2; 0 D 11 1;

2 2

 

i giải Chọn B

Theo tính chất đường phân giác: DB AB 5 DB 5DC DB 5DC.

Gọi D x; y DB7  x; 2 y ; DC  1 x;4y

3

y

   

      

Vậy D( ; ) 2 3

V dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A3;1 , B 1 2;  và I1 1;  Xác định tọa độ các điểm C ,

D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O của hình

bình hành ABCD

B

D A

A. 3 7

2

O ; 

5 2 2

O ; 

5 2 2

O ; 

5 2 2

O ; 

i giải Chọn B

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên

3

A B C

2

A B C

Suy ra C ;1 4 

Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra

5 7

Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó

B BÀI TẬP TỰ ỆN

Câu 16: Cho hai điểm A 1; 0 và B0; 2  Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A 1; 1

2

  

1 1;

2

 

1

; 2 2

  

  D 1; 1 

Câu 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là A2; 2;

 3;5

B Tọa độ của đỉnh C là:

A  1; 7 B  1; 7 C  3; 5 D 2; 2 

Câu 18: Tam giác ABC có C 2; 4, trọng tâm G 0; 4 , trung điểm cạnh BC là M 2; 0 Tọa độ A

và B là:

A A4;12 ,  B 4; 6 B A 4; 12 ,  B 6; 4

C A4;12 ,  B 6; 4 D A4; 12 ,  B 6; 4

Câu 19: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C 2; 4, trọng tâm G 0 4; và trung điểm cạnh

BC là M 2 0; Tổng hoành độ của điểm A và B là

Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho B5; 4 ,   C 3; 7 Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là

Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2; 4 ,B 1; 4 , C 5;1 Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là

hình bình hành là:

A D8;1 B D 6; 7 C D2;1 D D 8;1

Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , gọi ', '' B B và B''' lần lượt là điểm đối xứng của B2; 7qua trục Ox ,

Oy và qua gốc tọa độ O Tọa độ của các điểm ', '' B B và B''' là:

A B' 2; 7 , B" 2; 7    và B"' 2; 7   B B'7; 2 , B" 2; 7    và B"' 2; 7  

C B' 2; 7 , B" 2; 7    và B"' 7; 2 D B' 2; 7 , B" 7; 2    và B"' 2; 7  

Câu 23: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A 0 3; , D 2 1; và I1 0;  là tâm của

hình chữ nhật Tìm tọa độ trung điểm của cạnh BC

A  1 2; B  2; 3.C  3; 2. D  4; 1.

 D N 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ Phân t ch một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

 Phương pháp

 Cho u( x; y ) ;u'( x'; y') Vectơ u' cùng phương với vectơ u  u0 khi và chỉ khi có số k

sao cho x' kx

y' ky





 



Chú ý: Nếu xy0 ta có u' cùng phương u x' y'

x y

 Để phân tích c c ;c 1 2 qua hai vectơ aa ;a1 2, bb ;b1 2 không cùng phương, ta giả sử

cxayb Khi đó ta quy về giải hệ phương trình 1 1 1

a x b y c

a x b y c

 





A VÍ DỤ MINH HỌA

V dụ 1: Cho A  1; 2 ,B 2; 6 Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm , , A B M thẳng hàng thì tọa độ

điểm M là:

i giải Chọn A

Ta có: M trên trục OyM 0;y

Ba điểm , ,A B M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM

Ta có AB  3; 4 , AM   1;y2 Do đó, AB cùng phương với

10

y

V dụ 2: Cho các vectơ a4; 2 ,  b   1; 1 , c 2;5 Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c, ta được:

b  a c B 1 1

2

b  a c D 1 1

b  a c

i giải Chọn A

Giả sử

1

4

m

m n

b ma nc

m n

n

  



  

   



b  a c

V dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A m  1; 1 , B 2; 2 2 m C m , 3;3 Tìm giá trị m để , , A B C là

ba điểm thẳng hàng?

A m2 B m0 C m3 D m1

i giải Chọn B

Ta có: AB 3 m;3 2 m, AC 4; 4