Xây dựng một số bài toán theo dạng thức pisa trong đánh giá hiểu biết toán của học sinh lớp 9 trung học cơ sở

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ ĐÀM HẠNH PHƯƠNG XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO DẠNG THỨC PISA TRONG ĐÁNH GIÁ HIỂU BIẾT TOÁN CỦA HỌC SINH LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ Ngành: Lý l

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ ĐÀM HẠNH PHƯƠNG

XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO

DẠNG THỨC PISA TRONG ĐÁNH GIÁ HIỂU BIẾT TOÁN CỦA HỌC SINH LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ ĐÀM HẠNH PHƯƠNG

XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO

DẠNG THỨC PISA TRONG ĐÁNH GIÁ HIỂU BIẾT TOÁN CỦA HỌC SINH LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ

Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN TRUNG

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùng lặp với các luận văn trước đây Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là các nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 26 tháng 4 năm 2019

Tác giả

Vũ Đàm Hạnh Phương

Tác giả xin cảm ơn quý thầy, cô trong Ban Giám hiệu, tổ Khoa học tự nhiên trường THCS Nam Hoà, huyện Đồng Hỷ, tỉnh Thái Nguyên đã giúp đỡ

và tạo điều kiện trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm

Tuy đã có nhiều cố gắng, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và bạn đọc

Thái Nguyên, ngày 26 tháng 4 năm 2019

Tác giả

Vũ Đàm Hạnh Phương

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU, HÌNH VẼ v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Khách thể, đối tượng nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Đóng góp của luận văn 4

8 Cấu trúc của luận văn 5

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Tổng quan nghiên cứu vấn đề 6

1.2 Mối quan hệ giữa Toán học với thực tiễn 10

1.2.1 Nguồn gốc thực tiễn của Toán học 10

1.2.2 Vai trò của toán học đối với đời sống thực tiễn 11

1.2.3 Các bình diện vận dụng toán học vào thực tiễn 15

1.3 Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) 16

1.3.1 Các lĩnh vực đánh giá trong PISA 16

1.3.2 Đánh giá hiểu biết toán của học sinh trong PISA 19

1.4 Thực trạng đánh giá hiểu biết Toán của học sinh thông qua các bài toán dạng thức PISA ở một số trường THCS hiện nay 41

1.5 Kết luận chương 1 48

Chương 2 XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO DẠNG THỨC PISA TRONG ĐÁNH GIÁ HIỂU BIẾT TOÁN CỦA HỌC SINH

LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ 50

2.1 Định hướng xây dựng bài toán theo dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết toán của học sinh lớp 9 Trung học cơ sở 50

2.2 Xây dựng một số bài toán lớp 9 Trung học sơ sở theo dạng thức PISA 55

2.1.1 Bài 1: Chinh phục đỉnh fansipan 56

2.2.2 Bài 2: Nói chuyện qua facebook 57

2.2.3 Bài 3: Xe máy 59

2.2.4 Bài 4: Vé xem phim 61

2.2.5 Bài 5: Giải thi đấu cầu lông 62

2.2.6 Bài 6: Biểu đồ 64

2.2.7 Bài 7: “Sử dụng thang an toàn” 65

2.2.8 Bài 8: “Thuyền vượt qua sông” 67

2.3 Sử dụng một số bài toán theo dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết Toán của học sinh lớp 9 THCS 67

2.3.1 Sử dụng một số bài toán theo dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết Toán của HS lớp 9 THCS thông qua hoạt động nhóm 68

2.3.2 Sử dụng một số bài toán theo dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết Toán của HS lớp 9 THCS thông qua thảo luận trên lớp 71

2.3.3 Sử dụng một số bài toán theo dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết Toán của HS lớp 9 THCS thông qua việc cho bài kiểm tra và bài tập về nhà 73

2.4 Kết luận chương 2 74

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 75

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 75

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 75

3.3 Tổ chức thực nghiệm 76

3.3.1 Chọn lớp thực nghiệm 76

3.3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 77

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 79

3.4.1 Phân tích định tính 79

3.4.2 Phân tích định lượng 80

3.5 Theo dõi sự tiến bộ của một nhóm HS 81

3.5.1 Lựa chọn mẫu 81

3.5.2 Phân tích kết quả theo dõi 83

3.6 Kết luận chương 3 86

KẾT LUẬN 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 PHỤ LỤC

Programme for International Student Assessment - Chương trình đánh giá học sinh quốc tế

Sách giáo khoa Trung học cơ sở Thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm trang

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU, HÌNH VẼ

Danh mục các bảng

Bảng 1.1 Danh sách các trường có GV, HS đóng góp ý kiến về thực trạng 41

Bảng 1.1 Mức độ hứng thú của HS với các bài toán dạng thức PISA 43

Bảng 1.2 Bảng thống kế về mức độ cần thiết của hiểu biết Toán trong cuộc sống 45

Bảng 1.3 Bảng thống kê về nhu cầu hiểu biết về những ứng dụng thực tế của Toán học thông qua các bài toán dạng thức PISA 45

Bảng 1.4 Bảng thống kê kết quả kiểm tra của học sinh 47

Bảng 1.5: Tổng hợp kết quả thăm dò ý kiến HS 47

Bảng 3.1 Thống kê kết quả học tập của HS nhóm TN và ĐC trước khi TNSP 76

Bảng 3.2 Phân bố điểm của nhóm TN và nhóm ĐC sau khi TNSP 80

Bảng 3.3 Phân bố tần suất luỹ tích hội tụ lùi sau khi TN 80

Bảng 3.4: Số liệu thống kê của lớp 9B (TN) và lớp 9D (ĐC) 81

Bảng 3.5: Kết quả số liệu thống kê của hai lớp 9B và 9D 81

Danh mục các hình, biểu Hình 1.1 Các thành phần của miền nhận thức toán học 22

Hình 1.2 Quy trình toán học hóa 30

Biểu đồ 1.1 Mức độ quan tâm tới bài toán dạng thức PISA 42

Biểu đồ 1.2: Mức độ quan tâm tới bài toán dạng thức PISA của GV 42

Biểu đồ 1.3 Biều đồ đánh giá mức độ khó của môn Toán 46

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ so sánh kết quả học tập môn Toán ở lớp 9 của HS hai lớp 9B và 9D 77

Biểu đồ 3.2 Đường biểu diễn tần suất luỹ tích hội tụ lùi sau khi TN 80

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, tiếp cận hướng đến một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại, cập nhật kịp xu hướng của các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới Mục tiêu lớn hiện nay của nền giáo dục nước ta hiện nay, một trong số đó là hoạt động giáo dục phải gắn liền với thực tiễn Điều này đã được cụ thể hóa và quy định trong Luật

Giáo dục (năm 2005) tại chương 1, điều 3, khoản 2: “Hoạt động giáo dục phải

thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” Chính vì vậy, việc dạy học môn Toán nói riêng và

việc dạy học nói chung, việc vận dụng kiến thức vào thực tế có vai trò cấp thiết

và mang tính thời sự Tuy nhiên, trong dạy học môn Toán ở bậc Trung học hiện nay có một thực tế đó là việc đưa những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn chưa được chú ý quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên Vì nhiều nguyên nhân khác nhau, GV môn Toán thường chỉ tập trung vào những vấn đề, những bài toán trong phân phối chương trình toán học mà chưa quan tâm nhiều đến những nội dung tích hợp liên môn và ứng dụng trong thực tế Vì vậy mà việc rèn luyện cho HS năng lực vận dụng những kiến thức đã được học để giải quyết những bài toán có nội dung tích hợp và trong thực tiễn còn hạn chế

Mục tiêu giáo dục THCS là “Giáo dục trung học cơ sở nhằm giúp học

sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ cơ sở và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp

để tiếp tục học trung học phổ thông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.” [32] Như vậy, mục tiêu của giáo dục THCS nói chung, một trong số

đó là phải có những am hiểu ban đầu về kĩ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học nâng cao lên, học trường nghề hoặc trực tiếp hướng tới cuộc sống lao động sản xuất, nghĩa là hướng vào thực tiễn Do vậy, cần chủ động tăng cường dạy

học theo hướng tích hợp trao đổi, vậng dụng kiến thức với thực tiễn, nhất là đối với môn toán để khi hoàn thành bậc học THCS, HS có thể vận dụng kiến thức

đã học vào giải quyết các tình huống gặp trong thực tế cuộc sống Ngoài ra, kiến thức đại số các lớp cuối cấp THCS có nhiều tiềm năng giáo dục HS ý thức học tập Toán học, khả năng vận dụng vào thực tiễn

Trên thế giới, trong quá trình giảng dạy Toán, hầu hết các nước đều chủ trương tăng cường thực hành, giảm tải lý thuyết hàn lâm và không ngừng vận dụng vào toán học và thực tiễn Những bài toán có nội dung thực tiễn đã được nhiều nước sử dụng vào trong các kì thi ở bậc phổ thông, điển hình là Anh, Nga, Pháp, Đức, Đặc biệt, vào những năm đầu của thế kỷ XXI, các nước trong tổ chức OECD đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA cho HS phổ thông ở lứa tuổi 15 Không kiểm tra nội dung cụ thể trong chương trình học ở nhà trường phổ thông, mà PISA tập trung đánh giá năng lực khả năng vận dụng những tri thức vào vấn đề giải quyết những tình huống được đặt ra trong thực tiễn Nói cách khác, PISA đánh giá việc HS vận dụng những kiến thức, kĩ năng đọc để hiểu các tài liệu khác nhau mà HS có khả năng sẽ gặp trong cuộc sống hàng ngày; khả năng vận dụng kiến thức Toán học vào tình huống liên quan đến toán học; khả năng vận dụng kiến thức khoa học để hiểu và giải quyết các tình huống khoa học Theo PISA, việc khả năng học sinh biết vận dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập qua một quá trình có tên gọi là

“toán học hóa” Trong hai năm 2012 và 2015 Việt Nam tham gia PISA đều cho thấy kết quả của một chặng đường nỗ lực đổi mới của nền giáo dục nước nhà Việt Nam nằm trong các nước có thu nhập thấp trên thế giới tham gia vào chương trình, không vì vậy mà học sinh Việt Nam không vượt qua mọi khó khăn về điều kiện chất lượng giáo dục và cuộc sống để học và đạt kết quả tốt Thế hệ học sinh tuổi 15 vẫn phát huy được truyền thống hiếu học của con người Việt Nam Trên con đường hội nhập với các quốc gia khác trên thế giới, giáo dục của Việt Nam cũng vừa tham gia vào quá trình đánh giá PISA năm

2018 Do đó, việc quan tâm đến quá trình đánh giá hiểu biết Toán của học sinh phổ thông vào tình huống thực tiễn cho là một trong các vấn đề mang tính thời

sự và cấp thiết

Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán 9 ở trường THCS hiện nay vẫn còn nhiều những bất cập trong các phương pháp giảng dạy, truyền thụ những tri thức cho HS Mặc dù vậy, trong quá trình dạy GV đã vận dụng nhiều phương pháp nhưng việc tiếp thu tri thức của HS vẫn còn nhiều hạn chế, chưa được phát huy hết những đặc điểm nổi bật môn Toán Do đó, việc xây dựng các bài toán theo dạng thức PISA để vận dụng trong đánh giá hiểu biết Toán cho HS là một trong những nhiệm vụ cần được quan tâm

Với những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài “Xây dựng một số bài toán theo

dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết Toán của học sinh lớp 9 THCS”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực tiễn, xây dựng một số bài toán theo dạng thức PISA phù hợp với bối cảnh sống của HS và sử dụng vào việc đánh giá hiểu biết Toán của HS lớp 9 trong quá trình dạy học ở trường THCS

3 Khách thể, đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học toán cho HS ở trường THCS

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài toán dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết Toán của học sinh lớp 9 khi dạy học ở trường THCS

4 Giả thuyết khoa học

Nếu khai thác, xây dựng và sử dụng một số bài toán theo dạng thức PISA một cách phù hợp thì sẽ đánh giá được hiểu biết toán của học sinh lớp 9 trong dạy học ở trường THCS và tăng cường cho HS khả năng giải quyết các tình huống thực tiễn, giúp môn Toán ở bậc Trung học cơ sở hấp dẫn hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về hiểu biết Toán, bài toán dạng thức PISA Điều tra, khảo sát, phân tích chương trình THCS hiện nay và tìm hiểu thực trạng sử dụng các bài toán PISA trong dạy học môn Toán của GV THCS

5.2 Xây dựng một số bài toán theo dạng thức PISA có nội dung phù hợp với bối cảnh thực tiễn của học sinh nhằm đánh giá hiểu biết Toán của HS lớp 9

5.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng và đánh giá tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu những tài liệu về lí

luận dạy học môn Toán ở bậc THCS.Nghiên cứu chương trình, giáo trình, tài liệu hướng dẫn về mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn để xác định mức độ nội dung và yêu cầu về mặt kiến thức, kĩ năng giải bài tập mà HS cần nắm vững Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến chương trình PISA dành cho lứa

tuổi 15, các luận văn có nội dung phù hợp với hướng nghiên cứu của đề tài

6.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Phát phiếu điều tra, đánh giá việc

vận dụng các bài toán PISA và ứng dụng thực tiễn vào việc giảng dạy môn

Toán ở lớp 9

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại

trường THCS để xem xét tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu đã được đề xuất Phân tích các số liệu điều tra thực trạng và số liệu thực nghiệm

sư phạm bằng phương pháp thống kê toán học

7 Đóng góp của luận văn

- Góp phần làm sáng tỏ cách thức đánh giá hiểu biết Toán của học sinh

lớp 9 thông qua các bài toán dạng thức PISA Làm rõ thêm tính vận dụng và ý nghĩa của các bài toán thực tiễn cho HS

- Nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường THCS Kết quả luận văn có thể

sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và HS trong quá trình giảng dạy

và học tập ở trường THCS

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

- Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Chương 2 Xây dựng một số bài toán theo dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết Toán của học sinh lớp 9 THCS

- Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Luận văn có 05 phụ lục và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tổng quan nghiên cứu vấn đề

Cũng như các khoa học khác, Toán học là một khoa học suy diễn, nó có nguồn gốc từ thực tiễn, lấy thực tiễn làm thước đo chân lý và là nơi để bộc lộ sức mạnh vốn có của nó Các nhà toán học I I Blekman và A D Mưskix cho rằng:

"Loại bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể sống

chỉ còn bộ xương không, không có tí thịt dây thần kinh hoặc mạch máu nào”

[20, tr 33] Đánh giá tầm quan trọng của toán học đối với các hiện tượng vật lý, hiện tượng tự nhiên của môi trường sống xung quanh, Herbert Fremont cho rằng:

"Hãy tưởng tượng xem làm sao có thể miêu tả và làm việc với các liên hệ vật lý

mà không có ngôn ngữ đặc trưng của đại số, làm sao ta có thể điều tra, khai thác các cấu trúc thiên nhiên cũng như các đồ vật do con người tạo ra mà không

có những khái niệm hình học…" [14, tr 3] Tính trừu tượng hóa cao độ là một

đặc trưng của toán học, khiến cho toán học đi vào các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống Chính vì càng trừu tượng sẽ có nhiều khả năng ứng dụng cụ thể, do vậy toán học càng ngày càng xâm nhập vào những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, tạo nên xu thế toán học hóa của nền khoa học kĩ thuật, nền công nghệ hiện đại, làm cho toán học trở thành nữ hoàng của các ngành khoa học Các

nghiên cứu khoa học đã chỉ rõ: “Toán học nêu ra những mô hình khá tổng quát

và đủ rõ ràng để nghiên cứu thực tiễn xung quanh ta Đây chính là ưu điểm và sức mạnh của toán học so với các khoa học khác Mô hình toán học là điểm xuất phát và là yếu tố quan trọng của việc toán học hóa tình huống thực tiễn" Không

chỉ cung cấp các con số, các công thức, các hình học mà đặc biệt quan trọng là Toán học còn cung cấp "phương pháp toán học" cho các ngành khoa học khác, thể hiện qua việc mô hình hóa các lớp đối tượng mà nó nghiên cứu Điều này làm cho các ngành khoa học có sử dụng toán học phát triển như vũ bão, đang dần từng bước chuyển từ khoa học mô tả sang khoa học chính xác

Thời gian vừa qua đã có nhiều công trình nghiên cứu về các ứng dụng

thực tế của Toán học từ các tạp chí, luận văn, luận án, sách như “Niềm vui toán

học: Khám phá toán học quanh ta” của Theoni Pappas (2010); “Rèn luyện kỹ năng vận dụng bài toán thực tế dạng mở cho học sinh THCS trong dạy học Số học và Đại số” của Bùi Huy Ngọc (2001)“Con số trong đời sống quanh ta”

của Trương Quang Đệ (2004) cùng một số các nội dung trong các giáo trình

Phương pháp dạy học môn Toán (Phần đại cương) của Nguyễn Bá Kim, Vũ

Dương Thuỵ (1997), Có thể tổng kết nhanh một số luận văn, luận án tiêu biểu nghiên cứu về vấn đề Toán học với thực tế bao gồm:

Luận án "Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học số học và

đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THCS" [30] đã chỉ ra được một số trường hợp điển hình trong vận dụng toán

học vào thực tiễn, một số thành tố của cấu trúc năng lực vận dụng toán học vào vào thực tiễn của HS, một số biện pháp khai thác nội dung thực tế trong dạy học Số học và Đại số nhằm tăng cường năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của HS như: Chú ý khai thác các ví dụ và tình huống thực tế trong xây dựng và củng cố các kiến thức, thực hiện các hoạt động ngoại khóa toán học có nội dung liên quan đến vận dụng toán học vào thực tiễn, khai thác ứng dụng toán học vào các bộ môn khác gắn với thực tế (vật lý, hóa học, lịch sử, địa lý,…), tăng cường rèn luyện các kĩ năng thực hành toán học gần gũi với thực tế đời sống, tăng cường khai thác các bài toán có lời văn mang nội dung thực tế

Luận văn “Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào

dạy môn toán đại số nâng cao 10 - THPT” [31] Trong luận văn, tác giả đã làm

sáng tỏ tầm quan trọng của toán học, vai trò của toán học đối với đời sống thực tiễn, đối với khoa học kĩ thuật và với khoa học khác Luận văn đã nêu bật được ứng dụng và vận dụng toán học trong giảng dạy toán học ở trường THPT, cụ thể là môn đại số 10 nâng cao Đề ra được phương pháp chung thực hiện cách giải các bài tập toán trong ứng dụng thực tế gắn liền với kiến thức đã được học trong môn toán, nên xây dựng được mối liên hệ giữ toán học với thực tiễn trong

hoạt động dạy và học qua các khái niệm, định lí, dạy học bài tập Về thực tiễn, luận văn đã soạn một số giáo án cụ thể theo tinh thần vận dụng qua đó làm sáng

tỏ phân tích nội dung toán học với thực tiễn và nguồn gốc thực tiễn của toán học có tác động qua lại với nhau Dạy thử nghiệm những bài toán trên đối với những học sinh ở trường mình công tác, đề ra được phương hướng có tính khả thi để thực hiện tốt việc gắn liền dạy học toán với đời sống thực tiễn

Luận văn “Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức

toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn” [5] đã làm rõ

được vai trò quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn Vai trò này được cụ thể hoá bằng việc phân tích, nhận xét từng vấn đề, từng khía cạnh trong việc vận dụng Toán học vào thực tiễn Luận văn đã phân tích rõ thực trạng của vấn đề rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn bằng việc khảo sát Chương trình, sách giáo khoa trước đây, hiện tại cũng như sách giáo khoa thí điểm sau này

Đề tài đã xây dựng được những quan điểm chỉ đạo cho việc xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học toán ở trường THPT và những gợi ý

về phương pháp dạy học những bài tập đó trên cơ sở tôn trọng Chương trình, sách giáo khoa Toán và kế hoạch dạy học hiện hành Và đã xây dựng được một

hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán ở trường THPT

Bên cạnh các nghiên cứu về dạy học toán gắn với thực tiễn theo các hướng trên, hiện nay vấn đề khai thác các yếu tố thực tiễn đã bắt đầu được quan tâm và đưa vào trong các đề thi, trong đó có chương trình Đánh giá học sinh quốc tế (Programme for International Student Assessment - PISA) Các bài toán trong đánh giá PISA gắn liền với các tình huống thực tiễn nhằm đánh giá khả năng toán học của HS Ở Việt Nam, các bài toán PISA cũng đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu và đạt được những kết quả nhất định Có

thể kể đến một số nghiên cứu như: “Chương trình đánh giá học sinh quốc tế

(PISA) (Mục đích, tiến trình thực hiện, các kết quả chính” của Nguyễn Thị

Phương Hoa trên Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội số 25/2000;

“PISA và một quan niệm mới về đánh giá trong giáo dục” của Nguyễn Thị

Phương Hoa, Lê Diễm Phúc, Nguyễn Thị Thu Hà trên Tạp chí Khoa học Đại

học Quốc gia Hà Nội; “Phát triển năng lực khoa học tự nhiên cho học sinh

trung học cơ sở trong dạy học môn khoa học tự nhiên thông qua sử dụng bài tập tiếp cận theo chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA” của Nguyễn Thị

Diễm Hằng trên Tạp chí Giáo dục, số Đặc biệt tháng 6/2018; hay “Chương trình

đánh giá học sinh quốc tế PISA” của Đỗ Tiến Đạt trên Kỷ yếu Hội thảo Quốc

gia về giáo dục Toán học phổ thông năm 2011

Trong luận án "Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống

thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học đại số và giải tích" [4]

bên cạnh việc trình bày về quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống của học sinh phổ thông, tác giả cũng đã cung cấp cho giáo viên thông tin về PISA và

bổ sung các bài toán có nội dung thực tiễn trong các chủ đề Đại số - Giải tích theo tư tưởng của PISA làm tư liệu trong dạy học nhằm góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học

Luận văn “Khai thác những tư tưởng, bài toán của PISA vào dạy học

môn Toán (bậc Trung học) theo hướng tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn” [26] trình bày những vấn đề tổng quan về Pisa cũng như tiềm năng khai

thác tư tưởng, bài toán của Pisa vào dạy học môn Toán ở bậc trung học Đã xác định được những tư tưởng chính của Pisa, trên cơ sở đó đề xuất các định hướng, biện pháp khai thác những tư tưởng, bài toán của Pisa vào dạy học Toán Luận văn cũng đã đề xuất được những biện pháp khai thác tư tưởng, bài toán của PISA vào dạy học môn toán theo hướng tăng cường liên hệ giữa toán học với thực tế như: Giúp giáo viên có hiểu biết cơ bản về PISA, tăng cường nhận thức của giáo viên, sinh viên sư phạm ngành toán về tầm quan trọng của ứng dụng toán học vào thực tế, bổ sung những ví dụ, bài tập có nội dung thực

tế vào hệ thống ví dụ, bài tập trong SGK, tăng cường đưa những bài tập có nội dung thực tế vào kiểm tra, đánh giá, xây dựng những bài tập có hệ thống câu hỏi nội dung thực tế dùng cho ôn tập cuối chương, cuối năm, cuối cấp

Ngoài ra còn có một số công trình nghiên cứu khác có liên quan Như vậy có thể thấy vấn đề khai thác các yếu tố thực tiễn trong các bài toán PISA được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu và đạt được những kết quả nhất định, tuy nhiên việc khai thác một số bài toán theo dạng thức PISA trong đánh giá hiểu biết Toán của học sinh THCS vẫn là khoảng trống trong nghiên cứu khai thác các bài toán theo dạng thức PISA hiện nay

1.2 Mối quan hệ giữa Toán học với thực tiễn

1.2.1 Nguồn gốc thực tiễn của Toán học

Các vấn đề thực tiễn mà loài người cần tìm hiểu để cải thiện cuộc sống chính là nguồn gốc của toán học cũng như các ngành khoa học khác Sự phát triển toán học có nền tảng xuất phát từ nhu cầu của thực tiễn Theo chiều hướng ngược lại thì toán học cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống, sản xuất và các ngành khoa học kỹ thuật khác Lịch sử của Toán học đều gắn liền cùng với sự phát triển của loài người, xuất phát từ đời sống thực tiễn hầu hết những khái niệm được hình thành, từ nhu cầu tìm tòi và khám phá cuộc sống của con người Một số khái niệm được đưa ra không hẳn đã có những ứng dụng trong thực tế nhưng lại là cầu nối hay một công cụ tính toán dẫn đến những định luật và định lý vô cùng quan trọng Thời xưa khi chưa có sự hỗ trợ của máy móc nên bản thân các bài toán phát sinh chỉ là các bài đơn giản, số lượng tính toán là cỡ nhỏ, vì vậy những công cụ tính toán để sử dụng cũng là những công thức vô cùng sơ khai và đơn giản như phép cộng, phép chia, …

Ví dụ trong một mảnh vườn, một người trồng hoa cố gắng trang hoàng cho cái vườn thật đẹp, vì vậy tất cả các loại hoa anh trồng đều rất thẳng hàng

và thẳng cột Sau gần 7 ngày hoàn thành rất vất vả, chợt nhìn lại thành quả của mình, anh không biết đã trồng được bao nhiêu loại hoa Anh ta sẽ phải đếm từng gốc cây cho đến hết vườn khi các khái niệm về số đếm, phép nhân, phép cộng chưa ra đời Hay sự ra đời ngành hình học thời Ai Cập cổ đại có một dẫn chứng kinh điển cho việc đấy chính là việc chia ruộng cho người dân

Nếu không có sự ra đời các khác niệm chiều rộng, chiều dài, số đo góc, diện tích và thể tích, có lẽ những người Ai Cập muốn chia ruộng một cách công bằng là rất khó Hoặc để đo chiều cao của một cái cột hoặc chiều cao một toà nhà không lẽ ta phải chèo lên tận đỉnh cột (toà nhà) để đo? Việc đo sẽ trở nên

vô cùng dễ dàng khi có sự xuất hiện của các kiến thức về ứng dụng của lượng giác và tam giác đồng dạng

Trên đây là những ví dụ rất đơn giản và đời thường cho thấy phần nào mối tương quan giữa toán học và cuộc sống Ngày nay, toán học trở nên phức tạp và trừu tượng hơn, cùng với sự hỗ trợ của máy tính, phạm vi ứng dụng của Toán học cũng rộng lớn hơn nhiều Vì vậy các công cụ tính toán và các khái niệm mới cũng hết sức trừu tượng (nên khó có thể tìm một ứng dụng tự nhiên của nó trong đời sống hằng ngày, chúng ta có thể chỉ ra nó ứng dụng vào công việc gì mà khó có thể giải thích cụ thể xem nó ứng dụng như thế nào) Ví dụ: Việc lập bản đồ thế giới trên quả cầu tròn hay trên mặt phẳng, hai công việc tưởng chừng như giống nhau nhưng thật sự không đơn giản để tạo ra được sự tương đồng về khoảng cách, tỉ lệ xích, vị trí tương đối giữa các đối tượng trên bản đồ

1.2.2 Vai trò của toán học đối với đời sống thực tiễn

Chúng ta đã biết rằng: Toán học không phải là những công thức vô nghĩa mà Toán học gắn liền với sự phát triển của con người Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, những bài toán đã được đặt ra từ quá trình sản xuất đến giải quyết các bài toán dự đoán tự nhiên, vũ trụ, Toán học luôn là một điều

bí ẩn và vĩ đại, cũng vô cùng say mê và vô cùng cuốn hút nhiều nhà toán học theo đuổi nó Những câu hỏi như “nó như thế nào, nó ứng dụng ra sao” sẽ luôn là những câu hỏi ở phía trước để những người yêu toán thực sự tìm đến

nó Khi sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật cùng với sự tiến hóa của loài người, đầu óc con người ngày càng thông minh và nhạy bén, đôi khi chúng ta làm việc, hành động và suy nghĩ là theo các phản xạ tự nhiên, không điều kiện,

mà chúng ta không biết được rằng đó là Toán học, đó là thứ mà hàng nghìn năm trước loài người không thể thực hiện được vì chưa biết được các nguyên

lý và khái niệm toán học của nó Những cái đơn giản và sơ cấp thì được chúng ta thực hiện hàng ngày, thành thục mà con người dễ bỏ qua việc nhận biết nó có phải là toán học hay không, những cái phức tạp hơn thì được chúng ta sử dụng các máy móc và các thiết bị hiện đại mà không biết bao nhiêu tư duy về thuật toán và các công trình toán học ẩn chứa trong nó

Ta thấy rằng vật lí liên hệ mật thiết với toán học Cơ học vật lý và thiên văn đi tìm hiểu sâu vào bản chất của các quy luật của tự nhiên do có sự trợ giúp của các phương pháp toán học, và ta có thể dự đoán trước được các kết quả còn

ẩn sau giới hạn của sự hiểu biết Dựa trên lý thuyết sự tồn tại, nhờ vận dụng quy luật toán học mà Leverier và Adam (thế kỷ 19), Lorentz (thế kỷ 20) đã xác định được hai hành tinh mới: Hải Vương Tinh và Diêm Vương tinh Lý thuyết này đã được quan sát thiên văn xác nhận sau đó Bằng phương pháp vật lý toán, Macxoen đã xác định được sự tồn tại của áp lực ánh sáng và rồi sau đó Lêbedép đã xác nhận kết quả đó bằng thực nghiệm Các thành tựu to lớn như năng lượng nguyên tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện đều gắn liền với sự phát triển của ngành toán học như hình học phi Ơclid, đại số, hàm phức, hàm thực, phương trình vi phần, xác suất thông kê v.v Hay lý thuyết về các dạng không gian của không gian hình học được áp dụng trong điện động học và điện

kỹ thuật Những định lý tổng quát của hàm phức là cơ sở của lý thuyết thủy động học và khí động học mà đây là hai ngành lý thuyết cơ sở của kỹ thuật hàng hải và hàng không Những thành tựu to lớn trong thời đại chúng ta ngày nay như năng lượng điện tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện tử,… đều gắn liền với sự phát triển của những ngành toán học như đại số tổ hợp, xác suất thống

kê, hàm số phức, giải tích hàm, hình học ơ clít, hình học aphin,… Cơ học và vật lý học không thể phát triển được nếu không có toán học Những điều đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng kỹ thuật mới là bên cạnh những ứng dụng

của toán học vào kỹ thuật và sản xuất thông qua vật lý và cơ học thì những ứng dụng thông qua điều kiện học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng Trong hóa học và sinh học trước đây chỉ thỉnh thoảng có dùng đến toán, nhưng chỉ dùng đến toán học cổ điển như giải tích, phương trình vi phân, thống kê Hiện nay đã có những bộ phận hóa học và sinh học đã sử dụng những nội dung hiện đại của toán học như tôpô học, thông tin học, máy tính điện tử… Bằng các phương pháp toán học, người ta có thể dự đoán được ngày càng chính xác hơn các tính chất của nhiều hợp chất hóa học, hoặc có thể tính được công thức của hợp chất có một số đặc tính định trước Những bí mật của sự sống, những vấn

đề khó khăn nhất về tính di truyền, cơ cấu hoạt động của thần kinh và những vấn đề sinh lý sinh vật, việc tính toán sinh con theo ý muốn…đã và đang được nghiên cứu bằng những phương tiện toán học tinh vi, hiện đại Những ứng dụng thông qua điều khiển học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng

Có thể nói bất kỳ tiến bộ nào của tự động hoá cũng không thể tách rời những thành tựu của toán học Ví dụ như việc thiết kế và sử dụng các máy tự động, các hệ thống điều khiển và liên lạc đòi hỏi phải dựa trên những thành tựu của logic toán, thông tin học, đại số, lý thuyết độ tin cậy Đặc biệt phương pháp

mô hình được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả đối với các quá trình điều khiển Trên mô hình người ta có thể nghiên cứu vài giờ một quá trình diễn biến hàng năm, nghiên cứu những quá trình không thể làm thí nghiệm trên vật thực, do đó

có thể dự đoán và khống chế được chúng

Một lĩnh vực không thể không nhắc đến trong cuộc sống đã chịu sự xâm nhập của phương pháp toán học và điều khiển học là Y học - Ngành khoa học có lịch sử rất lâu đời và cũng tích lũy được nhiều kinh nghiệm phong phú Trải qua hàng nghìn năm, y học đã biết đến hàng triệu căn bệnh khác nhau, đã có rất nhiều phương pháp chữa trị bệnh khác nhau và cũng đã có rất nhiều sách ghi lại tỉ mỉ căn bệnh và thay đổi trạng thái cơ thể của người bệnh Nhưng những tài liệu đó vẫn chưa được khai thác hết, bằng chứng là không thiếu những trường hợp thầy

thuốc đoán nhầm bệnh vì phương pháp chẩn đoán chưa hoàn hảo hoặc bó tay trước các bệnh nan y trước đây như suy thận, bệnh tim Thời nay, nhờ có các trang thiết bị máy móc hiện đại và phương pháp tính toán, việc sử dụng các phương pháp thống kê toán học và máy tính điện tử có thể giúp con người khai thác triệt

để các kinh nghiệm và chẩn đoán bệnh một cách chính xác và hiệu quả hơn Y học

đã thành công rất nhiều trong các lĩnh vực như ghép thận, ghép tim, ghép gan…

Một lĩnh vực khác thể hiện toán học đã đưa lại nhiều kết quả đáng kể là kinh tế học Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lý sản xuất Ai cũng biết rằng, không phải chỉ cần có kĩ thuật cao, máy móc hiện đại

là sản xuất tốt mà trọng tâm của vấn đề là phải biết tổ chức và quản lý sản xuất một cách khoa học để phát huy được đầy đủ, hiệu quả của kĩ thuật và máy móc ấy Đứng trước một vấn đề tổ chức sản xuất người ta có thể đưa ra rất nhiều phương

án giải quyết khác nhau và đương nhiên bao giờ cũng chọn phương án tốt nhất Bài toán về "sự lựa chọn" ấy đã được một số nhà khoa học chú ý nghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết Kết quả là đã ra đời một môn khoa học về các vấn đề đó gọi là vận trù học Thực tế cho thấy vận trù học và các phương pháp toán nói chung có tác dụng rất lớn đối với sản xuất, đồng thời có thể áp dụng trong hầu hết các lĩnh vực kinh

tế, công nghiệp, nông nghiệp, giao thông vận tải… Trong công nghiệp đưa vào lý thuyết chương trình tuyến tính để đặt kế hoạch sản xuất hợp lý nhằm tập trung thiết bị, tiết kiệm thời gian, giảm nguyên liệu…

Một lĩnh vực nữa cho thấy toán học và cuộc sống có mối quan hệ mật thiết với nhau đó là trong các vấn đề tổ chức và quản lý sản xuất Thông thường trước mọi vấn đề quản lý sản xuất người ta có thể đưa ra nhiều phương án Vậy làm thế nào để có thể chọn được phương án tốt nhất (Optiman)? Ngày nay có

cả một khoa học về vấn đế đó là vận trù học, nó sử dụng rộng rãi các thành tựu của các ngành toán học mới như: Lý thuyết chương trình tuyến tính, lý thuyết

đô thị, lý thuyết trò chơi

Những ví dụ trên đây cho ta thấy một điều rõ ràng là toán học chính là cuộc sống, toán học và cuộc sống luôn đi liền với nhau Mục đích của toán học

là cải thiện cuộc sống, nhu cầu cuộc sống là động lực để toán học phát triển

1.2.3 Các bình diện vận dụng toán học vào thực tiễn

Về đặc điểm môn Toán, phải kể tới tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng Tính trừu tượng của Toán học và của môn Toán trong nhà trường do chính đối tượng của toán học quy định Theo Nguyễn Bá Kim [22] việc vận dụng toán học vào thực tiễn trong toán học diễn ra trên các bình diện khác nhau, trên nhiều cấp độ khác nhau, cần rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những bình diện khác nhau gồm:

- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: thể hiện mức độ thông hiểu tri thức toán học Không thể hình dung một người hiểu những tri thức toán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán

- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác nhau: thể hiện vai trò công cụ của toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn

- Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống: Là mục tiêu quan trọng của môn Toán Nó cũng cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống

Ví dụ: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ 1 lô hàng ở cảng Hải Phòng Sau 3 giờ có

thêm năm cần cẩu bé (công suất bé hơn) cùng làm việc Cả bảy cần cẩu làm việc

3 giờ nữa thì xong Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc? Biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong bốn giờ xong việc

Theo đầu bài, hai cần cẩu lớn làm trong 6h, còn 5 cần cẩu bé làm trong

3h thì xong việc Do đó ta có phương trình: 12 15 1

x  y  (1) Nếu bảy cần cẩu cũng làm từ đầu thì 4h xong việc Do đó ta lại có phương trình: 2 3 1

4

x y (2) Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được (x;y) = (24;30)

Trả lời: Một cần cẩu lớn làm một mình 24h thì xong việc

Một cần cẩu bé làm một mình 30h thì xong việc

Từ đó, vận dụng vào trong nông nghiệp có thể áp dụng chương trình tuyến tính để cải tiến các kế hoạch trồng trọt, chăn nuôi, nhằm nâng cao mức thu hoạch

Như vậy, toán học có vai trò to lớn đối với sự phát triển của các ngành khoa học, kĩ thuật khác, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất Còn một đặc điểm rất quan trọng của tình hình khoa học hiện nay là: Song song với việc phân hóa theo chuyên môn, đang hình thành một xu hướng tổng hợp, thống nhất các khoa học lại Nổi bật một nét mới là các khoa học ngày càng

"toán học hóa" có nghĩa là ngày càng được sử dụng rộng rãi hơn các phương pháp toán học Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các khoa học với nhau thúc đẩy cùng phát triển Ngày nay, các phương pháp toán học không phải là chỉ được sử dụng trong vật lý, cơ học và các kĩ sư mới cần đến toán mà còn có

cả các nhà sinh vật học, các thầy thuốc, các nhà ngôn ngữ học, kinh tế học, văn học… cũng cần đến toán Theo dự đoán của một số nhà bác học thì trong một tương lai không xa, cả sử học và pháp lý học cũng có thể toán học hóa

1.3 Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA)

1.3.1 Các lĩnh vực đánh giá trong PISA [1]

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA được xây dựng và điều phối bởi tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế (OECD) vào cuối thập niên 90 thế kỷ

XX và hiện vẫn diễn ra đều đặn Khảo sát PISA được thiết kế nhằm đưa ra đánh giá có chất lượng và đáng tin cậy về hiệu quả của hệ thống giáo dục PISA cũng

hướng đến thu nhập thông tin cơ bản về ngữ cảnh dẫn đến những hệ quả giáo dục trên Càng ngày PISA càng thu hút được sự quan tâm và tham gia của nhiều nước trên thế giới Do đó, PISA không chỉ đơn thuần là một chương trình nghiên cứu đánh giá chất lượng giáo dục của OECD mà trở thành xu hướng đánh giá quốc tế, tư tưởng đánh giá của PISA trở thành tư tưởng đánh giá học sinh trên toàn thế giới Các nước muốn biết chất lượng giáo dục của quốc gia mình như thế nào, đứng ở đâu trên thế giới này đều đăng ký tham gia PISA

Khảo sát PISA đánh giá học sinh ở độ tuổi 15 (15 năm 3 tháng đến 16 năm 2 tháng), thấp nhất từ lớp 7 trở lên, độ tuổi được xem là kết thúc chương trình giáo dục bắt buộc ở hầu hết các quốc gia Đây là một cuộc khảo sát theo

độ tuổi chứ không theo cấp bậc hoặc lớp học Mục đích của cuộc khảo sát là nhằm đánh giá xem học sinh đã được chuẩn bị để đối mặt với những thách thức của cuộc sống xã hội hiện đại ở mức độ nào trước khi bước vào cuộc sống

PISA được tiến hành dưới sự phối hợp quản lí của các nước thành viên OECD, cùng với đó là sự hợp tác ngày càng nhiều của các nước không thuộc OECD, được gọi là “các nước đối tác” Tổ chức OECD giám sát chương trình thông qua ban điều hành PISA (PGB) và quản lí chương trình thông qua cơ quan thư kí đặt trụ sở tại Pari Trong mỗi kì PISA, OECD lại chọn ra một nhà thầu quốc tế, quá trình chọn lựa này mang tính cạnh tranh và được diễn ra công khai

Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế PISA là một nỗ lực hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ chức OECD để đánh giá các học sinh ở tuổi 15 được chuẩn bị tốt như thế nào để đáp ứng những thách thức của các

xã hội ngày nay Đánh giá PISA chọn một tiếp cận rộng cho việc đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức trong các nhiệm vụ và thách thức thường ngày Các kỹ năng này phản ánh khả năng của học sinh tiếp tục việc học trong suốt cuộc đời của mình bằng cách áp dụng những gì các em học được ở nhà trường vào trong các

môi trường ngoài nhà trường, bằng cách đánh giá các lự chọn và quyết định của mình Đánh giá này được chung sức định hướng bởi các nước tham gia, đưa những quan tâm chiến lược của các quốc gia gần lại với nhau với tinh hoa khoa học ở mức độ quốc gia và quốc tế

OECD/PISA kết hợp đánh giá các lĩnh vực cụ thể như đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa học với các lĩnh vực quan trọng xuyên suốt chương trình, đó cũng là một ưu tiên giữa các nước OECD với nhau Những lĩnh vực này được phủ thông qua một đánh giá về học tự điều chỉnh và công nghệ thông tin, được bổ sung vào năm 2003 bằng một đánh giá về các kỹ năng giải quyết vấn đề Các kết quả sẽ được kết hợp với các thông tin về hoàn cảnh của học sinh, gia đình và nhà trường được thu thập bằng các bảng hỏi

PISA đặt nền tảng trên mô hình học tập suốt đời ở đó kiến thức và các kỹ năng mới cần thiết cho việc thích nghi thành công với một thế giới đang thay đổi

là không ngừng đạt được trong suốt cuộc sống PISA tập trung vào những việc

mà học sinh 15 tuổi sẽ cần trong tương lai và tìm kiếm để đánh giá những gì các

em có thể làm được với những gì đã học được Như vậy, PISA đánh giá kiến thức của học sinh, và cũng xem xét khả năng của các em để phản ánh và để áp dụng kiến thức và kinh nghiệm của mình vào các vấn đề thực tế

Ví dụ: Để hiểu và đánh giá những lời khuyên có tính khoa học về an

toàn thực phẩm, một câu trả lời tốt không những chỉ cần biết một vài sự kiện

cơ bản về thành phần của các chất dinh dưỡng mà còn có khả năng áp dụng

những thông tin đó Thuật ngữ“hiểu biết” được dùng để tóm gọn khái niệm

rộng hơn này về kiến thức và kỹ năng

PISA được thiết kế để thu thập thông tin kịp thời và hiệu quả theo các chu kỳ ba năm Nó thể hiện các dữ liệu về đọc hiểu, hiểu biết toán và khoa học của học sinh, các trường và các quốc gia Nó cung cấp những kiến thức sâu sắc

về các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển của các kỹ năng ở nhà và ở trường

Nó xem xét những yếu tố này tương tác như thế nào và những thực hiện nào cho phát triển chiến lược

PISA 2003 mở rộng khuôn khổ cho đánh giá hiểu biết toán sâu hơn, cũng như khuôn khổ cho một đánh giá mới về giải quyết vấn đề như là một năng lực xuyên suốt chương trình Trong mỗi lĩnh vực, khuôn khổ đánh giá xác định nội dung học sinh cần đạt được, những quá trình học sinh cần thể hiện và những tình huống mà kiến thức và kỹ năng được áp dụng Cuối cùng, nó minh họa các lĩnh vực này và các khía cạnh của chúng với các nhiệm vụ mẫu Khảo sát được thực hiện ở 43 nước vào lần đánh giá đầu tiên năm 2000, 41 nước ở lần đánh giá thứ hai vào năm 2003, 57 nước vào lần đánh giá thứ ba vào năm 2007, 62 nước tham gia lần đánh giá thứ tư năm 2009, Các bài kiểm tra được tổ chức một cách tiêu biểu cho khoảng từ 4,500 đến 10,000 học sinh của mỗi nước

1.3.2 Đánh giá hiểu biết toán của học sinh trong PISA [413]

Lĩnh vực PISA đánh giá hiểu biết toán học của học sinh liên quan đến những năng lực của các học sinh để phân tích, lý do và ý tưởng giao tiếp một cách hiệu quả khi họ đặt ra, xây dựng, giải quyết và giải thích vấn đề toán học trong một loạt các tình huống PISA đánh giá tập trung vào các vấn đề thế giới thực, di chuyển vượt ra ngoài các loại tình huống và các vấn đề thường gặp trong các lớp học của nhà trường Trong thực tế, công dân thường xuyên phải đối mặt với tình huống khi mua sắm, đi du lịch, nấu ăn, xử lý tài chính cá nhân của họ, đánh giá các vấn đề chính trị,… Trong đó, việc sử dụng số lượng hoặc không gian lý luận hoặc năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, xây dựng hoặc giải quyết một vấn đề Sử dụng toán học như vậy là dựa trên các kỹ năng học và thực hành thông qua các loại của những vấn đề thường xuất hiện trong sách giáo khoa nhà trường, lớp học Tuy nhiên, PISA yêu cầu khả năng áp dụng những kỹ năng trong một bối cảnh cấu trúc, hướng dẫn không rõ ràng, và nơi học sinh phải đưa ra quyết định về những kiến thức có thể có liên quan và hữu ích có thể được áp dụng như thế nào

Kết quả PISA về mức độ hiểu biết toán học của học sinh 15 tuổi có thể được coi như thông tin phản ánh về công dân và người tiêu dùng thông minh Công dân trong mỗi quốc gia ngày càng phải đối mặt với vô số các nhiệm vụ liên quan đến định lượng, không gian, xác suất hoặc khái niệm toán học Hiểu biết toán học tập trung vào năng lực của học sinh 15 tuổi để sử dụng kiến thức toán học và sự hiểu biết để giải quyết những vấn đề này và thực hiện các kết quả bài toán

Các chuyên gia OECD/PISA định nghĩa: “Hiểu biết toán học là năng lực

của một cá nhân cho phép xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống đưa ra những phán xét có cơ sở và gắn kết với toán học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá nhân với tư cách là một công dân

có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh” Như vậy, thuật ngữ hiểu

biết toán học dùng để chỉ năng lực sáng tạo những kiến thức và kỹ năng toán học, khả năng áp dụng toán học vào thực tế Thông qua các kiến thức nền tảng, học sinh có thể giải quyết các vấn đề, tình huống, yêu cầu thực tế, trong đó:

- Thuật ngữ “hiểu biết toán” được chọn để nhấn mạnh kiến thức toán

được đặt vào việc sử dụng có tính vận hành trong vô vàn tình huống khác nhau theo các cách thay đổi, phản ánh và sâu sắc Dĩ nhiên để những việc sử dụng như vậy là có thể phát triển được, nhiều kiến thức và kỹ năng toán học nền tảng được cần đến, và những kỹ năng như vậy tạo thành một phần của định nghĩa của chúng ta về hiểu biết toán Hiểu biết theo nghĩa ngôn ngữ học bao hàm nhưng không được thu hẹp về một vốn từ vựng phong phú và một kiến thức thực lực về các quy tắc ngữ pháp, ngữ âm, chính tả… Để giao tiếp, con người kết hợp những yếu tố này theo những cách sáng tạo khi đáp ứng mỗi tình huống thực tế mà họ phải đối mặt Cũng như vậy, hiểu biết toán không thể quy gọn về

mà phải bao hàm các kiến thức về các thuật ngữ toán học, sự kiện và các quy trình, cũng như các kỹ năng trong việc thể hiện những phép toán nào đó và tiến hành các phương pháp Hiểu biết toán gắn liền với việc kết hợp sáng tạo các thành phần này trong khi đáp ứng các đòi hỏi đặt ra bởi tình huống bên ngoài

- Thuật ngữ "sử dụng và tham gia với" có nghĩa là sử dụng toán học và

giải quyết vấn đề toán học, và cũng ngụ ý một sự tham gia rộng hơn cá nhân thông qua giao tiếp, liên quan đến, đánh giá, và thậm chí còn đánh giá bậc cao

và thưởng thức toán học Do đó định nghĩa hiểu biết toán học bao gồm việc sử dụng chức năng của toán học trong một nghĩa hẹp, cũng như chuẩn bị để nghiên cứu thêm và các yếu tố thẩm mỹ và giải trí của toán học

- Câu “cuộc sống của cá nhân đó” bao gồm hiểu biết toán là khả năng

để đặt, thiết lập, giải quyết, và giải thích các vấn đề bằng cách dùng toán học theo nhiều tình huống và bối cảnh khác nhau Bối cảnh thay đổi từ những cái

có tính toán học thuần túy đến những bối cảnh mà mới thoạt đầu ta không thấy có cấu trúc toán học nào hiện diện hay rõ ràng, người đặt và người giải quyết vấn đề phải giới thiệu cấu trúc toán học một cách thành công Cũng quan trọng để nhấn mạnh rằng định nghĩa này không chỉ quan tâm đến việc biết toán ở một mức tối thiểu nào đó; mà còn là việc làm và sử dụng toán trong các tình huống từ đời sống thường ngày đến những tình huống không quen thuộc, từ đơn giản đến phức tạp

Các thái độ và cảm xúc liên quan đến toán học như tự tin, tò mò, các cảm giác về sở thích và phù hợp, mong ước để làm và hiểu các sự việc, không phải là các thành phần của định nghĩa về hiểu biết toán nhưng dẫu sao chúng vẫn là những đóng góp cho định nghĩa Về nguyên tắc là có thể đạt được hiểu biết toán mà không có những thái độ và cảm xúc như vậy Tuy nhiên, trong thực tế, không có vẻ như là hiểu biết như thế sẽ được tận dụng và đưa vào thực hành bởi những ai không có tí gì về tự tin, tò mò, các cảm giác thích thú

và phù hợp, mong ước để làm và hiểu các sự việc mà chứa đựng các thành phần toán học Người ta thừa nhận sự quan trọng của các thái độ và cảm xúc này như là những tương quan của hiểu biết toán Chúng không phải là một bộ phận của đánh giá hiểu biết toán, nhưng sẽ được đề cập trong những thành phần khác của OECD/PISA

Việc xem toán học như là một ngôn ngữ kéo theo học sinh phải học và thiết kế những khía cạnh liên quan đến bài làm toán (các thuật ngữ, các sự kiện, các dấu hiệu và các ký hiệu, các quy trình và kỹ năng trong việc thể hiện các phép toán nào đó trong những lĩnh vực hẹp của toán học cụ thể, và cấu trúc của những ý tưởng đó trong mỗi lĩnh vực hẹp), và các em cũng phải học để sử dụng các ý tưởng như vậy để giải quyết các vấn đề không quen thuộc trong nhiều tình huống được xác định theo các chức năng xã hội

1.3.2.1 Tổ chức của lĩnh vực [413]

Khuôn khổ toán học PISA đưa ra lý do và mô tả về một đánh giá lĩnh vực mà các em học sinh 15 tuổi có thể xử lý toán học theo một cách có cơ sở khi các mặt với các vấn đề thực tế, hay theo một nghĩa rộng hơn, là một đánh giá về học sinh 15 tuổi hiểu biết một cách toán học như thế nào Để mô tả phạm vi được đánh giá rõ

ràng hơn, chúng ta cần phân biêt ba thành phần sau: các bối cảnh hay các tình

huống mà những vấn đề được xác định từ đó, nội dung toán học phải được sử dụng

để giải quyết các vấn đề, được tổ chức bằng những ý tưởng bao quát, và quan trọng nhất là: các năng lực được kích hoạt để nối kết với cuộc sống thực tế, ở đó các vấn

đề được sản sinh ra, và với toán học các vấn đề được giải quyết

Những thành phần này được trình bày theo dạng trực quan ở sơ đồ dưới đây:

Hình 1.1 Các thành phần của miền nhận thức toán học

Phạm vi hiểu biết toán học của một con người chỉ được nhìn thấy thông qua cách người đó sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn

đề Các vấn đề (và các lời giải của chúng) có thể xảy ra trong nhiều “bối cảnh hay tình huống” tùy vào kinh nghiệm của một cá nhân Các vấn đề trong OECD/PISA được rút ra từ đời sống thực tế theo hai cách

- Thứ nhất, các vấn đề tồn tại trong một số bối cảnh rộng phù hợp với cuộc sống của học sinh Các bối cảnh lập nên một phần của thế giới hiện thực

và được chỉ ra bởi một hình chữ nhật lớn nằm phía trái bên trên của hình

- Thứ hai, trong bối cảnh đó, các vấn đề có một tình huống cụ thể hơn

Nó được biểu thị bằng một hình chữ nhật bên trong hình chữ nhật các bối cảnh

Thành phần thứ hai của thế giới hiện thực có thể xem khi nghĩ về hiểu biết toán là nội dung toán học mà một người nào đó có thể sử dụng để giải

quyết một vấn đề Nội dung toán học có thể được minh họa bởi bốn phạm trù

bao trùm các dạng vấn đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày, và chúng dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người Với những mục đích của đánh giá PISA, những

nội dung đó được gọi là “các ý tưởng bao quát”: số lượng, không gian và hình,

thay đổi và các mối quan hệ và sự không chắc chắn Điều đó là một cái gì khác

với một tiếp cận về nội dung quen thuộc với quan điểm dạy toán và các mạch kiến thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường Tuy nhiên các ý tưởng bao quát bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà học sinh dự kiến phải được học Các ý tưởng bao quát được trình bày trong hình chữ nhật lớn ở phía phải bên trên của sơ đồ Từ các ý tưởng bao quát người ta rút ra nội dung cần dùng để giải quyết vấn đề Nội dung được biểu thị bởi hình chữ nhật nhỏ trong hình chữ nhật các ý tưởng bao quát Các mũi tên đi từ “tình huống” và

“nội dung” đến vấn đề chỉ ra cách làm thế nào thế giới hiện thực (bao gồm toán học) tạo nên một vấn đề

Những quá trình toán học mà học sinh áp dụng khi các em nổ lực giải

quyết các vấn đề dùng được hiểu là các năng lực toán học Ba cụm năng lực

gói gọn các quá trình nhận thức khác nhau cần để giải quyết nhiều dạng vấn đề Những cụm này phản ánh cách các quá trình toán học tiểu biểu được huy động khi giải quyết các vấn đề nảy sinh khi học sinh tương tác với thế giới của mình

Như vậy, thành phần quá trình của khuôn khổ này được trình bày trước hết ở hình chữ nhật lớn, thể hiện các năng lực toán học chung, còn hình chữ nhật nhỏ chỉ ba cụm năng lực Những năng lực cụ thể cần thiết để giải quyết một vấn đề liên quan đến bản chất của vấn đề, và các năng lực được huy động

sẽ được phản ánh trong lời giải được tìm thấy Sự tương tác này được thể hiện bằng mũi tên từ cac cụm năng lực đến vấn đề và lời giải của nó Mũi tên còn lại

đi từ các cụm năng lực đến định dạng bài toán Các năng lực được huy động trong giải quyết một vấn đề được liên hệ với dạng của bài toán và những đòi hỏi chính xác của nó Chúng ta nên chú ý rằng ba thành phần vừa được trình bày về bản chất là khác nhau Trong khi các bối cảnh và tình huống xác định lĩnh vực của các vấn đề thực tế, các ý tưởng bao quát phản ánh cách chúng ta xem xét thế giới bằng “lăng kính toán học”, các năng lực là hạt nhân của hiểu biết toán Chỉ khi các năng lực xác định được huy động bởi học sinh thì các em mới có thể tự mình giải quyết các vấn đề đã đặt ra Đánh giá hiểu biết toán của học sinh bao gồm việc đánh giá lĩnh vực gì mà học sinh có được các năng lực toán để có thể áp dụng một cách hiệu quả trong các bối cảnh có vấn đề

1.3.2.2 Các bối cảnh và các tình huống [413]

Một khía cạnh quan trọng của hiểu biết toán học là sự gắn kết với toán học: dùng và làm toán trong nhiều bối cảnh khác nhau Người ta nhận ra rằng trong việc đương đầu với các vấn đề dẫn đến một đối xử toán học, việc lựa chọn các phương pháp và biểu diễn toán học thường phụ thuộc vào các bối cảnh mà các vấn đề được thể hiện Các bối cảnh là một phần của thế giới của học sinh trong các nhiệm vụ được xảy ra Nó được đặt ở một khoảng cách nhất

định với các học sinh Với OECD/PISA, bối cảnh gần nhất là cuộc sống cá

nhân của học sinh đó; kế đến là cuộc sống nhà trường, cuộc sống nghề nghiệp

và thời gian rảng rỗi, tuân thủ theo cộng đồng và xã hội địa phương khi tham gia vào cuộc sống thường ngày Xa rời nhất là các bối cảnh khoa học Bốn loại bối cảnh sẽ được xác định và sử dụng cho các vấn đề được giải quyết: cá nhân, giáo dục / nghề nghiệp, công chúng và khoa học Tình huống của một câu hỏi

là sự thể hiện cụ thể trong một bối cảnh Nó bao gồm tất cả những yếu tố chi tiết được sử dụng để thiết lập vấn đề

Ví dụ 1.3: Tài khoản tiết kiệm

"100 triệu VNĐ được ký gửi ở một tài khoản tiết kiệm ở ngân hàng Có hai lựa chọn: Có thể nhận lãi suất 4% hằng năm hoặc nhận ngay một phần thưởng 100.000VNĐ của ngân hàng và lãi suất 3% hằng năm Lựa chọn nào là tốt hơn sau 1 năm? Sau 2 năm?"

Bối cảnh của câu hỏi này là “tài chính và ngân hàng”, đó là một bối cảnh

từ xã hội và cộng đồng địa phương mà OECD/PISA phân loại là “công chúng” Tình huống của câu hỏi liên quan đến tiền tệ (VNĐ) và lãi suất cho một tài khoản tiết kiệm Chú ý rằng loại vấn đề này có thể là một phần của kinh nghiệm hay thực hành thực sự của người tham gia vào cuộc sống thực tế Nó

đưa ra một tình huống đích thực để sử dụng toán học, do việc áp dụng toán học

trong tình huống này có thể được dẫn dắt trực tiếp đến việc giải quyết vấn đề Điều này có thể tương phản với các bài toán thường thấy ở các sách toán ở trường học, ở đó mục đích chính là thực hành toán học có liên quan hơn là sử

dụng toán học để giải quyết một vấn đề thực tế Tính đích thực này trong việc

sử dụng toán là một khía cạnh quan trọng của việc thiết kế và phân tích các câu hỏi của OECD/PISA, nó liên quan chặt chẽ với định nghĩa hiểu biết toán.Chúng

ta cũng nên chú ý rằng cũng có những yếu tố hư cấu của vấn đề - VNĐ là không có thật Yếu tố hư cấu này được giới thiệu để bảo đảm học sinh từ các quốc gia nhất định không phải chịu những bất lợi không công bằng

Bối cảnh và tình huống của một vấn đề có thể được xem xét theo khoảng cách giữa vấn đề và toán học có liên quan Nếu một nhiệm vụ chỉ liên quan đến các đối tượng toán học, các ký hiệu và cấu trúc, và không đả động gì đến các yếu tố bên ngoài thế giới toán học, tình huống của nhiệm vụ được xem như là nội tại toán học và nhiệm vụ đó sẽ được phân loại là tình huống “khoa học” Những loại tình huống như vậy sẽ được đưa vào OECD/PISA một cách hạn chế, ở đó sự liên kết mật thiết giữa vấn đề và toán học cơ bản được thể hiện tường minh trong tình huống có vấn đề Một cách tiêu biểu hơn, các vấn đề gắn liền với kinh nghiệm hằng ngày của học sinh không được phát biểu một cách tường minh dưới dạng toán học Các vấn đề đó chỉ các đối tượng thực tế Những tình huống nhiệm vụ được gọi là “bên ngoài toán học”, và học sinh phải chuyển thể các tình huống vấn đề này thành một dạng toán học Nói chung, OECD/PISA chú trọng vào các nhiệm vụ có thể được gắn liền với một vài bối cảnh thực tế và thu được một tình huống đích thực để sử dụng toán có ảnh hưởng đến lời giải cách giải thích của nó

Tóm lại, OECD/PISA đặt cái giá trị nhất của nó vào các nhiệm vụ có thể được gắn kết với nhiều bối cảnh thực tế, và có một tình huống ở đó việc dùng toán để giải quyết vấn đề là đích thực Các vấn đề với tình huống bên ngoài toán học mà ảnh hưởng đến lời giải và cách lý giải của nó được chọn lựa như là một cỗ máy để đánh giá hiểu biết toán, bởi vì những vấn đề này hầu hết giống với những gì mà chúng ta gặp phải trong cuộc sống hằng ngày

1.3.2.3 Các mạch kiến thức toán trong PISA [413]

Danh sách các ý tưởng bao quát sau đây được sử dụng trong OECD/PISA nhằm đáp ứng những đòi hỏi về phát triển có tính lích sử, phủ được phạm vi và phản ánh các mạch kiến thức toán chính của chương trình ở nhà trường gồm:

- Đại lượng: Ý tưởng bao quát này tập trung vào nhu cầu đại lượng hóa

để tổ chức cuộc sống Những khía cạnh quan trọng bao gồm một hiểu biết về kích cỡ tương ứng, việc nhận ra một quy luật về số, và việc sử dụng các số để

trình bày các đại lượng và các thuộc tính số của các đối tượng trong thế giới

thực tiễn (đếm và đo đạc) Hơn nữa, đại lượng liên quan đến quá trình và hiểu

về số được trình bày cho chúng ta theo nhiều cách Một khía cạnh quan trọng của việc quan tâm đến đại lượng là tư duy định lượng Các thành phần chính của tư duy định lượng là ý nghĩa số, biểu diễn các số theo nhiều cách khác nhau, hiểu ý nghĩa của các phép toán, có một cảm giác về tầm quan trọng của

số, các tính toán tế nhị một cách toán học, các tính nhẩm và ước lượng

- Không gian và hình: Các quy luật được thâm nhập ở mọi nơi: trong

ngôn ngữ nói, âm nhạc, video, giao thông, xây dựng nhà cửa và nghệ thuật Các hình được xem như là các quy luật: nhà cửa, nhà cơ quan, cầu cống, sao biển, bông tuyết, kế hoạch thành phố, giao lộ, tinh thể và bóng hình Các quy luật hình học có thể phục vụ như là những mô hình đơn giản tương đối của các loại hiện tượng, và việc nghiên cứu là có thể và là mong muốn ở mọi trình độ (Grunbaum, 1985).Việc nghiên cứu về hình và các phép dựng đòi hỏi xem xét các cái giống nhau và khác nhau khi phân tích các thành phần của dạng và nhận

ra các hình trong những biểu diễn khác nhau và trong các không gian khác chiều Việc nghiên cứu các hình có nối kết chặt chẽ với khái niệm về “nắm bắt không gian” Điều đó có nghĩa là học để biết, để khám phá và làm chủ, để sống, thở và di chuyển với hiểu biết nhiều hơn về không gian chúng ta đang sống (Freudenthal, 1973) Để đạt được điều đó đòi hỏi phải hiểu các tính chất của các đối tượng và các vị trí tương đối của chúng Chúng ta phải cảnh giác về việc chúng ta thấy các vật như thế nào và tại sao chúng ta thấy chúng như chúng ta đang thấy Chúng ta phải học để điều khiển không gian, các phép dựng hình và các hình Điều đó có nghĩa là việc hiểu mối quan hệ giữa các hình

và các hình ảnh hay các biểu diễn ảo, chẳng hạn như giữa một thành phố thực

và các ảnh hay các bản đồ của cùng một thành phố Nó bao gồm việc hiểu các đối tượng trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn như thế nào trong không gian hai chiều, các bóng được thành lập như thế nào và phải được lý giải, theo quan điểm nào và nó vận hành ra sao

- Thay đổi và các mối quan hệ: Mỗi hiện tượng tự nhiên là một sự biểu

hiện của thay đổi, và thế giới chung quanh chúng ta thể hiện vô số các mối quan hệ thường xuyên và tạm thời giữa các hiện tượng Ví dụ là các tổ chức sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình của các mùa, thủy triều lên

và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ số chứng khoán Một số trong các quá trình thay đổi này liên quan đến và có thể được

mô tả hay được mô hình hóa bởi những hàm số trực tiếp: tuyến tính, mũ, tuần hoàn hay logistic, có thể là rời rạc hay liên tục Nhưng nhiều mối quan hệ lại rơi vào những phạm trù khác nhau, và việc phân tích dữ liệu thường là chính yếu để xác định loại quan hệ mà nó đại diện Các mối quan hệ toán học thường lấy hình của các phương trình hay bất phương trình, nhưng các quan hệ có bản chất chung hơn (như: tương đương, chia được, bao hàm, để đề cập nhưng ít) cũng có thể xuất hiện Tư duy hàm, đó là tư duy theo nghĩa của và về các mối quan hệ là một trong những mục đích có tính nguyên tắc cơ bản của dạy toán (MAA, 1923) Các mối quan hệ có thể cho ta nhiều biểu diễn khác nhau, bao gồm ký hiệu, đại số, đồ thị, bảng và hình Các biểu diễn khác nhau có thể phục

vụ cho những mục đích khác nhau và có những tính chất khác nhau Do đó sự chuyển dịch giữa các biểu diễn khác nhau thường là chìa khóa quan trọng trong việc xử lý các bối cảnh hay các nhiệm vụ

- Tính không chắc chắn: Xã hội thông tin hiện nay cung cấp một sự phong

phú về thông tin, thường được trình bày chính xác, khoa học và với một mức độ chắc chắn Tuy nhiên, trong cuộc sống hằng ngày chúng ta thường gặp những kết quả bầu cử không chắc chắn, những cái cầu bị sập, suy thoái của thị trường chứng khoán, dự báo thời tiết không đáng tin cậy, dự đoán sai về phát triển dân

số, những mô hình kinh tế không hiệu quả, và những biểu hiện khác của tính

không chắc chắn trong thế giới của chúng ta Tính không chắc chắn được dự

định để đè xuất hai chủ đề liên quan: dữ liệu và cơ hội Những hiện tượng này

tương ứng với các chủ đề toán trong xác suất và thống kê Những kiến nghị gần đây liên quan đến chương trình toán nhà trường đều được nhất trí cao về việc thống kê và xác suất nên chiếm một vị trí nổi bật hơn trong chương trình Những khái niệm và hoạt động toán quan trọng trong lĩnh vực này là thu thập dữ liệu, phân tích dữ liệu và trình bày/trực quan hóa, xác suất và đưa ra kết luận

Với bốn mạch kiến thức này, nội dung toán học được tổ chức thành một

số các lĩnh vực đủ để bảo đảm trải rộng các câu hỏi xuyên suốt chương trình, nhưng đồng thời một số đủ nhỏ để tránh một sự phân chia quá chi tiết mà có thể

đi ngược lại trọng tâm vào các vấn đề dựa trên các bối cảnh thực Khái niệm cơ bản về một ý tưởng bao quát là một tập bao gồm những hiện tượng và khái niệm có ý nghĩa và có thể được gắn kết trong và xuyên suốt một số lớn các bối cảnh khác nhau Về bản chất, mỗi ý tưởng bao quát có thể được thừa nhận như

là một khái niệm chung gắn liền với một số lĩnh vực nội dung được khái quát hóa Điều đó dẫn đến việc chúng ta không thể phân chia rạch ròi các ý tưởng bao quát với nhau Hơn nữa, mỗi ý tưởng đại diện cho một quan điểm nào đó

mà có thể được hiểu là hạt nhân hay trọng tâm, và vùng mờ nhạt bên ngoài cho phép giao với các ý tưởng bao quát khác Về nguyên tắc, bất kỳ ý tưởng bao quát nào cũng giao với các ý tưởng bao quát khác

1.3.2.4 Quy trình toán học hóa tình huống thực tiễn trong PISA [413]

OECD/PISA kiểm tra các năng lực của học sinh để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải

và lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh Giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi học sinh sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được qua các kinh nghiệm học đường và cuộc sống Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các học sinh dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là “toán học hóa” Cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán học OECD/PISA được thể hiện bằng

sự mô tả 5 bước của toán học hóa Những bước này được chỉ ra ở Hình 1.2

Hình 1.2 Quy trình toán học hóa

Trong đó, (1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;(2) Tổ chức

nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp;(3) Không ngừng biên tập thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn

đề thực tế thành một bài toán mà đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế; (4) Giải quyết bài toán; và (5) Làm cho lời giả toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải

Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tế sang toán học Quá trình này bao gồm các hoạt động như: xác định toán học phù hợp tương với một vấn đề được đặt ra trong thực tế; biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp; hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học; tìm những quy luật, mối quan

hệ và những bất biến; nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết; chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô hình toán

Một khi học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học Học sinh sẽ đặt những câu hỏi như: “Liệu có… không?”, “Nếu như vậy, thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi có thể tìm…?”, bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết Các em sẽ nổ

lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn Phần này của quá trình toán học hóa được gọi chung là phần suy diễn của quy trình mô hình hóa (Blum, 1996; Schupp, 1988) Tuy nhiên, những quá trình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm: dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau; dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán; hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán; kết hợp và tích hợp các mô hình; lập luận; tổng quát hóa

Bước (hay những bước) cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận toàn

bộ quá trình, Phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nhưng

nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là: hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học; phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả; giao tiếp quá trình đó và lời giải; phê phán mô hình và các hạn chế của nó

Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1.2 bằng số (5), ở đó quá trình toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời giải thực tế, và ở đó lời giải được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc

1.3.2.5 Hiểu biết toán của học sinh trong PISA [413]

Một cá nhân phải tham gia vào toán học hóa thành công trong nhiều bối cảnh, các tình huống bên trong hay bên ngoài toán học, và những ý tưởng bao quát cần có được một số các năng lực toán học Mỗi năng lực này có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các năng lực khác nhau, theo cả hai kỹ năng cụ thể và mức độ thành thạo đòi hỏi Để xác định và kiểm tra những năng lực này, OECD/PISA

đã quyết định sử dụng tám năng lực toán học đặc trưng theo công trình của Niss (1999) và các đồng nghiệp Đan Mạch của ông gồm: