Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng (tt)

Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng convexificator l mët cæng cö tèt º thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u khæng trìn... Chó þ r¬ng, d÷îi vi ph¥n MichelPenot l mët d÷îi vi ph¥nsuy rëng... Vi»c nghi¶n

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

TR†N THÀ MAI

I—U KI›N C†N V€ Õ CHO NGHI›M

HÚU HI›U CÕA B€I TON C…N BŒNG VECTÌ

QUA D×ÎI VI PH…N SUY RËNG

TÂM TT LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

THI NGUY–N - 2019

Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i:

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS é V«n L÷u

Ph£n bi»n 1:

Ph£n bi»n 2:

Ph£n bi»n 3:

Luªn ¡n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p tr÷íng håp t¤i:

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n.

V o hçi gií ng y th¡ng n«m 2019

Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i th÷ vi»n::

- Th÷ vi»n Quèc gia Vi»t Nam;

- Trung t¥m håc li»u  ¤i håc Th¡i Nguy¶n;

- Th÷ vi»n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m  ¤i håc Th¡i Nguy¶n.

Mð ¦u

B i to¡n c¥n b¬ng (equilibrium problem) ÷ñc E Blum v  W Oettli ÷a

ra l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1994 v  nhanh châng h§p d¨n nhi·u nh  to¡n håcnghi¶n cùu do ph¤m vi ùng döng rëng lîn cõa nâ B i to¡n c¥n b¬ng vectì

âng mët vai trá quan trång trong gi£i t½ch phi tuy¸n, nâ cho ta mët mæ h¼nhto¡n håc hñp nh§t bao gçm nhi·u b i to¡n kh¡c nhau nh÷: B i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n vectì; B i to¡n tèi ÷u vectì; B i to¡n iºm b§t ëng; B ito¡n bò vectì; B i to¡n c¥n b¬ng Nash vectì, C¡c l¾nh vüc nghi¶n cùu cõa

b i to¡n c¥n b¬ng vectì bao gçm: i·u ki»n tèi ÷u; Sü tçn t¤i nghi»m; Thuªtto¡n; T½nh ch§t tªp nghi»m; T½nh ên ành nghi»m; ë nh¤y nghi»m, .Trong nhúng n«m g¦n ¥y, nhi·u nghi¶n cùu trong gi£i t½ch khæng trìn ¢tªp trung ph¡t triºn c¡c lo¤i d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau C¡c d÷îi vi ph¥n l nhúng cæng cö tèt º nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷uvîi c¡c h m khæng trìn C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c

dú li»u khæng trìn ¢ v  ang ph¡t triºn m¤nh m³ d÷îi c¡c ngæn ngú d÷îi viph¥n h m lçi, d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich, Treiman

v  d÷îi vi ph¥n suy rëng Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng (convexificator)

l  mët cæng cö tèt º thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u khæng trìn Kh¡i ni»m d÷îi

vi ph¥n suy rëng lçi, compact l¦n ¦u ti¶n ÷ñc ÷a ra bði V.F Demyanov(1994) V Jeyakumar v  D.T Luc (1999) ¢ ÷a ra kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥nsuy rëng âng, khæng lçi cho h m væ h÷îng v  Jacobian x§p x¿ cho h m vectì.Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng l  têng qu¡t hâa mët sè kh¡i ni»m d÷îi

vi ph¥n ¢ bi¸t nh÷ c¡c d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich,Treiman, Mët sè c¡c nh  khoa håc Vi»t Nam ¢ câ nhúng âng gâp ¡ng

kº trong vi»c nghi¶n cùu b i to¡n c¥n b¬ng vectì v  b i to¡n b§t ¯ng thùc

bi¸n ph¥n nh÷ c¡c gi¡o s÷ Ho ng Töy, inh Th¸ Löc, Phan Quèc Kh¡nh,Ph¤m Húu S¡ch, é V«n L÷u, L¶ Dông M÷u, Nguy¹n æng Y¶n v  nhi·ugi¡o s÷ kh¡c.

i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì v  b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n vectì ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu F Giannessi,

G Mastroeni v  L Pellegrini (2000) ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì trong khæng gian húu h¤n chi·u C¡c

i·u ki»n tèi ÷u trong (Yang v  Zeng (2008), Yang (1993)) ÷ñc chùng minhb¬ng c¡ch thi¸t lªp sü t÷ìng ÷ìng giúa b i to¡n tèi ÷u vectì v  b i to¡nb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì ¢ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu gi£iquy¸t c¡c v§n · tçn t¤i nghi»m v  i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c lo¤i nghi»m cõa

b i to¡n c¥n b¬ng vectì X.H Gong (2010) ¢ thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u d÷îingæn ngú d÷îi vi ph¥n Clarke v  d÷îi vi ph¥n x§p x¿ cho c¡c nghi»m húuhi»u y¸u, nghi»m húu hi»u Henig, nghi»m si¶u húu hi»u v  nghi»m húu hi»u

to n cöc cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì vîi r ng buëc tªp X.H Gong (2012) ¢chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u cõa

b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc nân vîi vîi c¡c h m kh£ vi Fr²chet.X.X Long v  c¡c cëng sü (2011) ¢ chùng minh c¡c i·u ki»n tèi ÷u chonghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì

câ r ng buëc nân, r ng buëc tªp vîi c¡c h m kiºu d÷îi g¦n lçi (nearly subconvexlike) Chó þ r¬ng, d÷îi vi ph¥n MichelPenot l  mët d÷îi vi ph¥nsuy rëng Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»uHenig v  si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc qua d÷îi

C-vi ph¥n MichelPenot l  mët v§n · c¦n thi¸t v  ¥y l  mët nëi dung ÷ñcnghi¶n cùu trong luªn ¡n

Y Feng v  Q Qui (2014) ¢ nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡nc¥n b¬ng vectì câ r ng buëc trong khæng gian Banach D.V Luu v  D.D.Hang (2014) ¢ d¨n i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»mhúu hi»u, nghi»m húu hi»u to n cöc cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥nvectì c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp vîi c¡c h mLipschitz àa ph÷ìng qua d÷îi vi ph¥n Clarke, d÷îi vi ph¥n MichelPenot.D.V Luu v  D.D Hang (2015) chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u

ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vîi r ng buëcc¥n b¬ng qua d÷îi vi ph¥n Clarke Chó þ r¬ng, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n vectì l  mët tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì.

Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng trìn câ r ng buëc nân, r ng buëc

¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng l  mët v§n · c¦nthi¸t v  ¥y l  mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n

Trong nhúng n«m g¦n ¥y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u khængtrìn ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ nghi¶n cùu qua c¡c d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau ¢

¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ µp v  s¥u s­c Khi c¡c h» sè cõa h m möc ti¶u v  c¡c

h m r ng buëc nhªn gi¡ trà kho£ng, ta nhªn ÷ñc c¡c b i to¡n tèi ÷u gi¡ tràkho£ng i·u ki»n tèi ÷u v  èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ tràkho£ng ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu H.C Wu (2008) ¢ d¨n c¡c

i·u ki»n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ tràkho£ng kh£ vi vîi c¡c r ng buëc b§t ¯ng thùc trong khæng gian húu h¤nchi·u Jayswal v  cëng sü (2016) ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u v  c¡c ành

lþ èi ng¨u cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng vîi r ng buëc b§t

¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng trong khæng gian húuh¤n chi·u Vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n Fritz John v  KarushKuhnTuckercòng vîi c¡c ành lþ èi ng¨u y¸u v  m¤nh kiºu MondWeir v  kiºu Wolfecho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc

v  r ng buëc tªp trong khæng gian Banach d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n suyrëng l  mët v§n · c¦n thi¸t v  ¥y công l  mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùutrong luªn ¡n

Möc ½ch cõa luªn ¡n l  thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥nb¬ng vectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp quad÷îi vi ph¥n MichelPenot, mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa d÷îi vi ph¥n suy rëng;chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u ki»n õ cho b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n vectì vîi r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v  r ng buëc tªpqua d÷îi vi ph¥n suy rëng; thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v  KarushKuhnTucker, c¡c i·u ki»n õ v  c¡c ành lþ èi ng¨u kiºu MondWeir v kiºu Wolfe cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng ÷ñc thi¸t lªp

Nëi dung ch½nh cõa luªn ¡n bao gçm:

a) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»uHenig àa ph÷ìng v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ngvectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp trong khænggian Banach vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng v  i·u ki»n ch½nh quy kiºuAbadie qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot còng vîi v½ dö minh håa cho k¸t qu£thu ÷ñc

b) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v  KarushKuhnTucker chonghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng trìn

câ r ng buëc ¯ng thùc, r ng buëc nân lçi a di»n v  r ng buëc tªp qua d÷îi

vi ph¥n suy rëng Vîi i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz, tø

i·u ki»n c¦n Fritz John chóng tæi chùng minh ÷ñc c¡c i·u ki»n KarushKuhnTucker vîi c¡c v½ dö cö thº minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc C¡c

i·u ki»n õ ÷ñc chùng minh vîi nhúng i·u ki»n v· t½nh lçi suy rëng cho

dú li»u cõa b i to¡n

c) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n Fritz John v  KarushKuhnTucker cho nghi»mLU-tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng vîi c¡c r ng buëc

¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp trong khæng gian Banach quad÷îi vi ph¥n suy rëng vîi c¡c nghi»m l  ch½nh quy theo ngh¾a Ioffe (1979).Vîi gi£ thi¸t v· t½nh lçi suy rëng, c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m LU-tèi ÷u

÷ñc chùng minh Thi¸t lªp c¡c ành lþ èi ng¨u m¤nh v  y¸u cho c¡c b ito¡n èi ng¨u kiºu MondWeir v  kiºu Wolfe Mët sè v½ dö ÷ñc cung c§p

º minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc

Luªn ¡n bao gçm ph¦n mð ¦u, bèn ch÷ìng, k¸t luªn chung, danh möcc¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n v  danh möc c¡c

t i li»u tham kh£o

C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i:

- Seminar Tèi ÷u, Vi»n To¡n håc v  Khoa håc Ùng döng Th«ng Long, KhoaTo¡n - Tin, ¤i håc Th«ng Long, H  Nëi;

- Seminar Nghi¶n cùu sinh cõa Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤ihåc Th¡i Nguy¶n

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc cì sð

º tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu v· i·u ki»n tèi ÷u v  c¡c ành lþ

èi ng¨u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng trìn, chóng tæi c¦n sû döng kh¡ini»m, t½nh ch§t cõa c¡c d÷îi vi ph¥n v  mët sè cæng cö c¦n thi¸t kh¡c TrongCh÷ìng 1, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc bê trñ c¦n thi¸t cho c¡c ch÷ìng sau cõaluªn ¡n

• Möc 1.1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· b i to¡n c¥n b¬ng vectì, b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i to¡n tèi ÷u vectì

• Möc 1.2: Tr¼nh b y kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa mët sè d÷îi viph¥n v  mèi quan h» giúa chóng

• Möc 1.3: Tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ væ h÷îng hâa cõa Gong (2010)

• Möc 1.4: Mët sè kh¡i ni»m cõa h m lçi suy rëng ÷ñc nh­c l¤i º thi¸tlªp c¡c i·u c¦n õ tèi ÷u cho b i to¡n

Ch֓ng 2

i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n

b¬ng vectì qua d÷îi vi ph¥n

MichelPenot

Trong ch÷ìng n y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ c¡c r ngbuëc vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n MichelPenot ÷ñc thi¸t lªp Tø k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y chóng tæi suy ra ÷ñc mët

sè k¸t qu£ trong Gong (2010) v  Long còng cëng sü (2011)

Nëi dung cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc tr¼nh b y düa tr¶n nëi dung b i b¡o cõaD.V Luu v  T.T Mai [A2] (trong Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶nquan ¸n luªn ¡n) «ng trong t¤p ch½ Numerical Functional Analysis andOptimization, 39 (2018), No 16, 1833-1854 (SCI-E)

2.1 i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng

v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng

2.1.1 i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng

Cho X l  khæng gian Bannach thüc vîi C l  tªp con kh¡c réng trong X;

Q v  S l¦n l÷ñt l  c¡c nân lçi trong Rr v  Rm; F : X × X → Rr l  mëtsong h m vectì; g : X → Rm v  h : X → R` l  c¡c r ng buëc, gi£ sû vîi tªpch§p nhªn K = x ∈ C : gi(x) ≤ 0,vîi måi i ∈ I; hj(x) = 0,vîi måi j ∈ L ,vîi gi, hj (i ∈ I := {1, 2, , m} , j ∈ L := {1, 2, , `}) l  c¡c h m sè thücx¡c ành tr¶n X v  h m vectì F = (F1, F2, , Fr)

°t Fx(y) := F (x, y), Fk,x(y) = Fk(x, y),vîi måi k ∈ {1, 2, , r} v  x²t tªp

Q# = {y∗ ∈ Y∗ : hy∗, yi > 0, ∀y ∈ Q\ {0}} ;

Q∗ = {y∗ ∈ Y : hy∗, yi ≥ 0, ∀y ∈ Q}

ành ngh¾a 2.2 Vectì x ∈ K gåi l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n(CVEP) n¸u vîi méi mët l¥n cªn V cõa 0, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa 0sao cho

coneF (x, K) ∩ (U − Q) ⊆ V

Gi£ thi¸t 2.1 C¡c h m Fx, gi(∀i ∈ I(x)) l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x, hj

(∀j ∈ L) l  kh£ vi Fr²chet t¤i x v  nân Q câ cì sð l  B

ành ngh¾a 2.3 ¤o h m theo ph÷ìng MichelPenot cõa h m f t¤i x theoph÷ìng υ ∈ X ÷ñc ành ngh¾a bði

,

H(x) = [

X

º chùng minh i·u ki»n c¦n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho b i to¡n(CVEP), chóng tæi ÷a v o i·u ki»n ch½nh quy (CQ) sau ¥y

C(K; x) ⊆ T (K; x)

Mët i·u ki»n c¦n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u Henig

àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.1 Gi£ sû x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa (CVEP);

Fx(x) = 0; H(x) l  tªp âng y¸u*; Thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nhquy (CQ) Khi â, tçn t¤i µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ L) v  h m li¶ntöc, thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n

(α) n¸u y2 − y1 ∈ Q\ {0} th¼ Λ(y1) < Λ(y2);

(β) tçn t¤i β0 > 0 sao cho Λ(−b) ≤ −β0, vîi måi b ∈ B

(ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗

Trong tr÷íng hñp ¡nh x¤ Fx l  kh£ vi ch°t, i·u ki»n c¦n cho nghi»m húuhi»u Henig àa ph÷ìng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.3 Cho x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n(CVEP) v  thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1 Gi£ sû Fx kh£ vi ch°t vîi

¤o h m ch°t DsFx(x) Khi â,

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

(ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗, trong

â intQ∗ l  ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh cõa Y∗

ành lþ v· i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u Henig ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.4 Gi£ sû x ∈ K v  thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1 Th¶m núa, tçn t¤i

Λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

Hìn núa, gi£ sû C-lçi, ¡nh x¤ Λ ◦ Fx l  ∂M P-gi£ lçi t¤i x tr¶n C, c¡c ¡nh x¤

gi(i ∈ I(x)) l  ∂M P-tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, , h` tüa tuy¸nt½nh t¤i x tr¶n C Khi â, vectì x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP)

ành lþ sau ÷ñc ph¡t biºu trong tr÷íng hñp X, Y l  c¡c khæng gian húuh¤n chi·u

(ii) tªp C-lçi; ¡nh x¤ Λ◦Fx l  ∂C-gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi(i ∈ I(x))

l  ∂M P-tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n

C Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP)

Vîi X, Y l  c¡c khæng gian væ h¤n chi·u v  F l  kh£ vi ch°t, ta câ ành lþsau

ành lþ 2.6 Cho x ∈ K Gi£ sû Fx kh£ vi ch°t t¤i x; gi(∀i ∈ I(x)) l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x; hj (∀j ∈ L) l  kh£ vi Fr²chet t¤i x v 

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

(ii) tªp C-lçi; ¡nh x¤ λ ◦ Fx gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi(∀i ∈ I(x)) l 

∂M P-tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n

C Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP)

Nhªn x²t 2.1 N¸u Q câ cì sð B l  tªp âng bà ch°n th¼ i·u ki»n λ ∈ Q4(B)trong c¡c ành lþ 2.5 v  ành lþ 2.6 câ thº ÷ñc thay bði λ ∈ int Q∗

2.1.2 i·u ki»n KarushKuhnTucker cho nghi»m si¶u húu hi»u àa

ph֓ng

i·u ki»n c¦n tèi ÷u cho nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n(CVEP) ÷ñc ph¡t biºu qua ành lþ sau

ành lþ 2.7 Cho x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa (CVEP) Gi£

sû Fx(x) = 0; H(x) l  tªp âng y¸u*; Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy(CQ) thäa m¢n Khi â, tçn t¤i µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ L) v  h mli¶n töc, thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α), (β) trong ành lþ 2.1 saocho

(ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗

Vîi X, Y l  c¡c khæng gian væ h¤n chi·u v  F kh£ vi ch°t, ta câ ành

lþ sau

ành lþ 2.9 Gi£ sû x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n(CVEP) v  c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1 thäa m¢n Hìn núa, gi£ sû r¬ng Fx

kh£ vi ch°t t¤i x vîi ¤o h m ch°t DsFx(x) Khi â,

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

Sû döng c¡c k¸t qu£ trong Möc 2.1.1, ta nhªn ÷ñc c¡c i·u ki»n õ tèi

÷u t÷ìng ùng cho c¡c nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP)

2.2 p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i

to¡n tèi ÷u vectì

C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»ucõa b i to¡n (CVVI) l¦n l÷ñt ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.10 Cho x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ho°c nghi»m si¶uhúu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVVI) Gi£ sû H(x) l  tªp âng y¸u*;Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n Khi â,

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

(ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗, trong

â intQ∗ l  ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh trong Y∗

C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»ucõa b i to¡n (CVOP) l¦n l÷ñt ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.11 Cho x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ho°c nghi»m si¶uhúu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVOP) Gi£ sû H(x) l  tªp âng y¸u*;Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n, trong â Fx ÷ñc thaybði f Khi â,

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) v  mët h m li¶ntöc thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α), (β) trong ành lþ 2.1 sao cho