Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THƠM DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THƠM

DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ

DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH

SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC

SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THƠM

DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ

DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH

SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC

SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC CƠ SỞ Ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học

Mã số:8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Hữu Châu

Thái Nguyên - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giả luận văn

Phan Thị Thơm

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài: “Dạy học nội dung ứng dụng nguyên

lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở”, tôi đã nhận được sự hướng

dẫn, giúp đỡ, động viên của các cá nhân và tập thể Tôi xin được bày tỏ sự cảm

ơn sâu sắc nhất tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Hữu Châu,

người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng đào tạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu, các GV tổ Toán - Tin trường THCS Trần Đăng Ninh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giả

Phan Thị Thơm

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv

DANH MỤC CÁC BẢNG iv

DANH MỤC HÌNH VẼ vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Năng lực 4

1.2 Năng lực toán học 7

1.3 Năng lực suy luận 9

1.3.1 Đặc trưng chung của suy luận 9

1.3.2 Suy luận suy diễn 11

1.3.3 Suy luận quy nạp 12

1.4 Nguyên lý Dirichlet 14

1.4.1 Nội dung nguyên lý Dirichlet 14

1.4.2 Ví trí của nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chương trình trung học cơ sở 15

1.4.3 Ý nghĩa của việc vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại 16

1.4.4 Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng

minh sự tồn tại rèn luyện được năng lực suy luận toán học cho học

sinh THCS 18

1.5 Thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong việc rèn luyện năng lực suy luận toán học tại trường THCS hiện nay 21

1.5.1 Mục đích, mẫu khảo sát 21

1.5.2 Phương pháp điều tra 21

1.5.3 Phương pháp xử lý số liệu 22

1.5.4 Kết quả nghiên cứu 22

1.5.5 Kết luận 23

1.6 Kết luận chương 1 24

Chương 2: RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHO HS THCS 26

2.1 Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 26

2.2 Rèn luyện cho HS các quy tắc suy luận logic 31

2.3 Rèn luyện cho học sinh biết phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong bài toán 33

2.4 Xây dựng hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại 36

2.4.1 Xây dựng bài toán số học 36

2.4.2 Xây dựng bài toán hình học 42

2.5 Kết luận chương 2 50

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 51

3.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 51

3.2 Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm 51

3.2.1 Nội dung thực nghiệm sư phạm 51

3.2.2 Kế hoạch thực nghiệm sư phạm 52

3.2.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 52

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 53

3.3.1 Quy trình tổ chức thực nghiệm sư phạm 53

3.3.2 Phân tích chất lượng học sinh trước khi tiến hành thực nghiệm 54

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 54

3.4.1 Phân tích định tính 54

3.4.2 Phân tích định lượng 55

3.4.3 Kết luận chương 3 57

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Tình hình thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận

Toán học 22Bảng 3.1 Kết quả học tập học kỳ I năm học 2018 - 2019 của hai lớp 8A3

và 8A4 trường THCS Trần Đăng Ninh 54Bảng 3.2 Kết quả điểm kiểm tra của HS hai lớp 8A3 và lớp 8A4 trường

THCS Trần Đăng Ninh 55

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Các thành phần của năng lực 5

Hình 1.2 Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục 6

Hình 1.3 Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học 8

Hình 1.4 17

Hình 2.1 36

Hình 2.2 42

Hình 2.3 44

Hình 2.4 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 tác động đến tất cả các ngành, các lĩnh vực trong xã hội Nền giáo dục nước nhà cũng đứng trước những cơ hội và thử thách to lớn Câu hỏi lớn của ngành giáo dục được đặt ra là: cần phải giáo dục

và đào tạo ra con người như thế nào để phù hợp với cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 và xu thế phát triển của nhân loại giúp cho đất nước Việt Nam tránh

bị tụt hậu, vươn ra ngang tầm với thế giới Trả lời câu hỏi trên không chỉ là công việc của các cấp lãnh đạo mà còn của từng giáo viên, những người trực tiếp “nhào nặn” những sản phẩm con người của tương lai Trong khi những lao động chân tay dần được thay thế bởi máy móc thì con người cần được trang bị tốt những năng lực mà máy móc khó có thể thay thế Một trong những năng lực như thế là năng lực suy luận Toán học

Ngày 17 tháng 9 năm 2017, tại trường quốc tế Châu Á Thái Bình Dương (APC), đã diễn ra ngày hội toán học với tâm điểm là buổi tọa đàm “Học toán để

làm gì” Theo GS Vũ Hà Văn, cơ bản có bốn động cơ học toán Một là học toán

cho cuộc sống hàng ngày, tức là cộng trừ nhân chia, tính chi phí, lãi suất, phần

trăm… Hai là toán giải trí, toán thể thao, tức là toán olympic Loại toán này

giúp người giải rèn khả năng vượt qua khó khăn, có cảm giác sung sướng khi

giành chiến thắng Ba là, học toán để thông minh hơn, để rèn luyện tư duy logic Cuối cùng, học toán để làm việc kiếm tiền Năng lực suy luận logic là

một trong các năng lực mà toán học có thể rèn luyện, một năng lực cần thiết trong thời đại “kết nối”

Trong thực tế, câu hỏi: liệu có tồn tại hay không, liệu vấn đề đấy có xảy ra hay không… khiến cho chúng ta mất thời giờ hơn là câu hỏi: phải làm công việc ấy, phải giải quyết vấn đề ấy như thế nào Bởi một vấn đề phải có “tồn tại, xảy ra” thì mới có “làm thế nào” Để trả lời câu hỏi này chúng ta cần rất nhiều thông tin, dùng các quy luật suy luận để kiểm chứng Trong phạm vi toán trung

học cơ sở, có một nguyên lý được sử dụng để trả lời câu hỏi vấn đề có tồn tại hay không, đó là nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet được nhà toán học người Đức Johann Dirichlet đề xuất Nguyên lý được phát biểu ở dạng đơn giản như sau: “Nếu nhốt ba con thỏ vào hai cái chuồng thì có ít nhất một chuồng nhốt hai con thỏ” Nhiều bài toán tưởng chừng như đi vào ngõ cụt đối với các phương pháp thông thường thì khi vận dụng nguyên lý Dirichlet ta được lời giải hay và đẹp Trong kỳ thi tìm kiếm tài năng toán học trẻ năm 2019 (VMS),

có nhiều bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet để tìm kiếm lời giải

Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về năng lực suy luận toán học, nguyên lý Dirichlet đồng thời đề xuất các biện pháp nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại cho HS THCS và góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán trong trường trung học cơ sở

3 Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể: Quá trình dạy học môn Toán ở trung học cơ sở

3.2 Đối tượng: Rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại

3.3 Phạm vi: Luận văn tập trung đề xuất các biện pháp rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS THCS khá, giỏi thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại

4 Giả thuyết khoa học

Nếu áp dụng các biện pháp rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS THCS thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại thì chất lượng dạy và học môn Toán được nâng cao

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về năng lực suy luận toán học

Tìm hiểu thực trạng của việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại ở trường THCS

Tìm hiểu và đề xuất các biện pháp nâng cao năng lực suy luận Toán học cho HS THCS thông qua dạy học nội dung ứn dụng nguyên lý Dirichlet

Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi của các biện pháp sư phạm đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Đề tài có sử dụng phối hợp các phương pháp: Phân tích, tổng hợp, thu thập thông tin, nghiên cứu tài liệu…về hệ thống các lý luận chung về năng lực toán học, năng lực suy luận toán học Nghiên cứu tài liệu về lý luận dạy học, nghiên cứu, phân tích các thuật ngữ, ký hiệu toán học, biểu tượng toán học trong chương trình trung học cơ sở

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn: Điều tra thực trạng dạy học Toán có vận dụng nguyên lý Dirichlet

Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: nghiên cứu vở viết, bài kiểm tra của học sinh để tìm hiểu năng lực suy luận Toán học của HS

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực

Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh

“competentia” Ngày nay, khái niệm năng lực được hiểu nhiều nghĩa khác nhau Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một công việc

Năng lực bao gồm các kiến thức, kỹ năng cũng như quan điểm và thái độ

mà một cá nhân có để hành động thành công trong các tình huống mới

Năng lực là “khả năng giải quyết” và mang nội dung khả năng và sự sẵn sàng để giải quyết các tình huống

Theo John Erpenbeck, “năng lực được tri thức làm cơ sở, được sử dụng như khả năng, được quy định bởi giá trị, được tăng cường qua kinh nghiệm và được thực hiện hóa qua ý chí”

Weinert (2001) định nghĩa: “năng lực là những khả năng nhận thức và kỹ năng vốn có hoặc học được của cá thể nhằm giải quyết các vấn đề xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, ý chí, ý thức xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề trong những tình huống thay đổi một cách thành công và có trách nhiệm”

Theo Từ điển Bách khoa Việt nam: “Năng lực là đặc điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo - tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn - một hay một số dạng hoạt động nào đó”

Theo PGS.TS Hoàng Hòa Bình, năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể Hai đặc trưng cơ bản của năng lực là: Được bộc lộ, thể hiện qua hoạt động; Đảm bảo hoạt động có hiệu quả, đạt kết quả mong muốn

Như vậy, năng lực là khả năng thực hiện thành công và có trách nhiệm các nhiệm vụ giải quyết các vấn đề trong các tình huống xác định cũng như các tình huống thay đổi trên cơ sở huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính tâm lý khác như động cơ, ý chí, quan niệm, giá trị…, suy nghĩ thấu đáo và sự sẵn sàng hành động

Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng Cấu trúc chung của năng lực (năng lực hành động) được mô tả

là sự kết hợp của bốn năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể

Hình 1.1 Các thành phần của năng lực

Năng lực chuyên môn: là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn Nó được tiếp nhận thông qua việc học nội dung - chuyên môn và chủ yếu gắn với các khả năng nhận thức và tâm lý vận động

Năng lực phương pháp: là khả năng đối với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết nhiệm vụ và vấn đề Năng lực phương pháp bao gồm năng lực phương pháp chuyên và phương pháp chuyên môn Trung tâm của phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử

lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức Nó được tiếp nhận qua việc học phương pháp luận - giải quyết vấn đề

Năng lực xã hội: là khả năng đạt được mục đích trong những tình huống giao tiếp, ứng xử xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự

Năng lực hành động

Năng lực chuyên môn

Năng lực phương pháp

Năng lực

cá thể

Năng lực

xã hội

phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác Nó được tiếp nhận qua việc học giao tiếp

Năng lực cá thể: là khả năng xác định, đánh giá được cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của cá nhận, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các thái độ và hành vi ứng xử Nó được tiếp nhận qua việc học cảm xúc - đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách nhiệm

Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn mục tiêu giáo dục theo Tổ chức Giáo dục, Khoa học và Văn hóa Liên hợp quốc (UNESCO):

Hình 1.2 Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục

Mô hình năng lực theo OECD: Trong các chương trình dạy học hiện

nay của các nước thuộc khối OEDC, người ta sử dụng mô hình đơn giản hơn, phân chia năng lực thành hai nhóm chính: các năng lực chung và các năng lực chuyên môn

Nhóm năng lực chung bao gồm:

 Sử dụng một cách tương tác các phương tiện thông tin, giao tiếp và các phương tiện làm việc (ví dụ như ngôn ngữ, công nghệ);

 Tương tác trong các nhóm xã hội không đồng nhất;

Các thành phần năng lực Các mục tiêu giáo dục

theo UNESCO

Năng lực chuyên môn Học để biết Năng lực phương pháp Học để làm Năng lực xã hội Học để cùng chung sống Năng lực cá thể Học để tự khẳng định

 Khả năng hành động tự chủ

Năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt Ví dụ mô hình năng lực trong môn Toán (theo chuẩn của Đức năm 2012) bao gồm các năng lực sau:

 Các năng lực toán học chung: lập luận toán học; giải quyết các vấn đề toán; mô hình hóa toán học; sử dụng các cách trình bày biểu đồ, đồ thị, bảng biểu, sử dụng các kí hiệu, công thức, các yếu tố kỹ thuật; giao tiếp toán học

 Các tư tưởng toán học chủ đạo: thuật toán và số học; đo lường; không gian và hình học; quan hệ hàm số; dữ liệu và ngẫu nhiên [3]

1.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học Hiệp hội giáo viên Toán của Mĩ mô tả: “Năng lực Toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán” Ở Việt Nam trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới quan niệm về năng lực toán học của các nhà giáo dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam)

Theo Blohm & Jensen (2007): “Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định” Theo Niss (1999): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)”

Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai cụm Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn

đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau

Hình 1.3 Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học

Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học thông qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học; năng lực học tập độc lập và hợp tác” [10]

Một trong những mục tiêu chung của Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12

Năng lực giải quyết vấn đề toán học

Năng lực

tư duy toán học

Năng lực biểu diễn

Năng lực

sử dụng ngôn ngữ

và kí hiệu hình thức

Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học

Năng lực giao tiếp toán học

năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) là hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

1.3 Năng lực suy luận

1.3.1 Đặc trưng chung của suy luận

Sự hiểu biết của con người về thời gian khách quan được phản ánh bằng các khái niệm và phán đoán Con người không những biết kết hợp các khái niệm với nhau để xây dựng phán đoán, mà còn sử dụng các phán đoán để rút ra phán đoán mới Hầu hết các luận điểm khoa học được phát hiện nhờ hình thức này của tư duy Dựa vào các tri thức đã biết con người rút ra tri thức mới theo các quy tắc xác định

Suy luận là hình thức của tư duy nhờ đó rút ra phán đoán mới từ một hay nhiều phán đoán theo các quy tắc logic xác định

Bất kỳ suy luận nào cũng bao gồm tiền đề, lập luận và kết luận

Tiền đề: là một hay một số phán đoán đã được thực tiễn thừa nhận hoặc được khoa học chứng minh là đúng Trên cơ sở giá trị đúng của các tiền đề có thể rút ra các phán đoán mới, chứa đựng tri thức mới mà bản thân riêng rẽ từng tiền đề không thể có được

Lập luận: là phương pháp logic rút ra kết luận từ các tiền đề Các phương pháp logic này không chỉ thể hiện trình tự sắp xếp các phán đoán thuộc tiền đề

mà còn bao gồm cả những quy luật mà những quy tắc logic chi phối trình tự sắp xếp để đưa ra phán đoán mới một cách tất yếu

Kết luận: là phán đoán mới thu được từ các tiền đề thông qua lập luận Kết luận có nhiều dạng khác nhau, có kết luận phù hợp, có kết luận không phù hợp với hiện thực khách quan, có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất yếu từ những lập luận logic của các tiền đề

Nếu ký hiệu tiền đề hay tập hợp tiền đề là X X1, 2, ,X n và kết luận là Y , chúng ta có thể viết dưới dạng X X1, 2, ,X n Y

Nếu X X1, 2, ,X n Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ quả logic

Ký hiệu suy luận logic:

X X1 , 2 , ,X n

Y Trong tiếng Việt, phán đoán đứng trước các từ “nên”, “cho nên”, “do đó”,

“vì vậy”, “suy ra”… và đứng sau các từ “vì”, “bởi vì”, … là tiền đề Ngược lại, phán đoán đứng sau các từ “nên”, “cho nên”, “do đó”, “vì vậy”,… và đứng trước các từ “vì”, “bởi vì”,… là kết luận

Nắm vững cách biểu thị đó giúp chúng ta nhận biết nhanh chóng tiền đề

và kết luận khi phân tích bất cứ một suy luận nào Bởi vì, trong thực tế khi nói

và viết chúng ta không bao giờ biểu thị thành một suy luận, mà chỉ biểu thị bằng ngôn ngữ tự nhiên dựa trên cơ sở của các từ đã nêu trên

Quan hệ suy diễn logic giữa các tiền đề và kết luận được quy định bởi mối liên hệ giữa các tiền đề về mặt nội dung Nếu các phán đoán không có liên

hệ về mặt nội dung thì không thể lập luận và rút ra kết luận Tính chân thực của kết luận phân tích và tính chân thực của các tiền đề và tính đúng đắn logic của mối liên hệ nội dung giữa các tiền đề Trong quá trình lập luận để thu được tri thức chân thực mới cần tuân theo hai điều kiện: Thứ nhất, các tiên đề của suy luận phải chân thực; thứ hai, phải tuân theo các quy tắc logic của lập luận

Suy luận là hình thức phản ánh các sự vật, hiện tượng của thế giới khách quan và các quy luật vận động của chúng vào ý thức chủ quan của con người

Vì các sự vật, hiện tượng nằm trong các mối liên hệ và quan hệ qua lại với nhau, phụ thuộc vào các quy luật, cho nên không những tồn tại khả năng, mà còn tồn tại cả tính tất yếu nhận thức được các sự vật và hiện tượng, các mối liên

hệ và quan hệ qua lại có tính quy luật của chúng trên cơ sở hiểu biết các sự vật

và hiện tượng khác Mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tượng của thế giới bên ngoài, còn tính tất yếu logic lại bị quy định bởi tính tất yếu khách quan Do đó, mối liên hệ qua lại phổ biến, có tính quy luật giữa các sự vật và hiện tượng của

thế giới khách quan là cơ sở quyết định sự vận động của tư tưởng từ cái đã biết tới cái chưa biết trong quá trình lập luận tri thức mới

Trong logic toán người ta sử dụng công cụ hình thức của toán học để tiến hành suy luận Ở một số phần của logic hình thức, chúng ta có thể sử dụng công cụ đó để rút ra tri thức mới và có thể xác định tính chân thực của tri thức mới đó

Căn cứ vào cách thức lập luận, suy luận được chia ra thành suy luận suy diễn, suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy Bài toán “Ứng dụng nguyên lý Dirichlet” thường sử dụng nhiều đến suy luận suy diễn và suy luận quy nạp nên trong khuôn khổ của đề tài, tác giả chỉ trình bày về năng lực suy diễn và năng lực quy nạp

1.3.2 Suy luận suy diễn

Suy luận suy diễn: là suy luận mà kết luận được rút ra bằng cách đi từ cái chung đến cái riêng, từ cái toàn thể đến cái bộ phận Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ các mệnh đề đã có được thực hiện theo các quy tắc logic Suy diễn gồm có suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp

Suy diễn trực tiếp là suy diễn trong đó kết luận được rút ra từ một tiền đề Suy diễn gián tiếp là suy diễn trong đó kết luận được suy ra từ hai hay nhiều tiền đề có mối liên hệ logic với nhau Đơn vị nhỏ nhất của suy diễn gián tiếp là “tam đoạn luận” Một “tam đoạn luận” gồm ba phán đoán đơn (hai phán đoán tiền đề và một phán đoán kết luận)

Các quy tắc của suy luận suy diễn

- Quy tắc khẳng định (modus ponens)

p q





- Quy tắc tam đoạn luận (Syllogism)





p q p q





1.3.3 Suy luận quy nạp

Quy nạp là quá trình hoạt động logic để rút ra kết luận bằng cách đi từ cái riêng đến cái chung, từ cái bộ phận đến cái toàn thể Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét, kiểm tra để rút ra kết luận Do vậy, kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng, có thể sai, có tính ước đoán

Cơ sở khách quan của suy diễn quy nạp là sự thống nhất biện chứng của thế giới vận động, phát triển không ngừng, một thế giới vừa mang tính đa dạng thể hiện qua sự khác biệt giữa các sự vật, hiện tượng vừa là sự thống nhất toàn vẹn trong tính chất, cũng như trong các quy luật phát triển của nó Vì vậy, cái chung tồn tại trong mỗi cái riêng, mọi cái riêng trừu tượng cái cá biệt, đơn lẻ,

đặc thù của mình làm nên cái chung Do đó, nhận thức cái chung phải thông qua nhận thức cái riêng, cái đơn lẻ, phải thông qua suy luận quy nạp

Sơ đồ của suy luận quy nạp

Kết luận: Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương

Suy luận quy nạp được phân thành các dạng: Quy nạp hoàn toàn; quy nạp không hoàn toàn; quy nạp toán học

Quy nạp hoàn toàn là một suy luận logic mà kết luận về một dấu hiệu xác định của một tập hợp được rút ra từ kết luận dấu hiệu đó đúng đối với tất cả các đối tượng của tập hợp đang xét

Quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể đã được xét đến Kết luận của phép suy luận quy nạp không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết Sơ đồ

Quy nạp toán học

Đối với tập hợp các đối tượng được sắp xếp hoàn toàn theo một trật tự nào

đó và được ký hiệu theo chỉ số thứ tự ta có thể thực hiện phương pháp quy nạp toán học và kết luận thu được là hoàn toàn đúng

Để chứng minh tập hợp A gồm vô hạn đếm được phần tử có tính chất P, ta tiến hành như sau:

Bước 1: Kiểm tra thấy phần tử đầu tiên của tập hợp có tính chất P

Bước 2: Giả sử tính chất P đúng với phần tử thứ k (k = 1, 2, …, n)

Bước 3: Ta chứng minh tính chất P đúng với phần tử thứ k + 1

Suy ra tính chất P đúng với mọi phần tử của tập A

1.4 Nguyên lý Dirichlet

1.4.1 Nội dung nguyên lý Dirichlet

Trong thực tế cuộc sống, có những vấn đề ta chỉ cần biết có tồn tại hay không mà không nhất thiết phải biết chính xác đó là cái gì Nhà toán học Đức Johann Dirichlet (1805 - 1859) đã đưa ra nguyên lý đơn giản nhưng có những ứng dụng không ngờ Nguyên lý này thường được gọi là nguyên lý ngăn kéo hay nguyên lý Dirichlet

Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ

Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Nếu nhốt n.m + r (m, n, r là các số nguyên dương) con thỏ vào n cái chuồng thì phải có ít nhất một chuồng chứa không ít hơn m + 1 con thỏ

Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì

1.4.2 Ví trí của nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chương trình trung học cơ sở

Từ ngày 24 tháng 3 năm 2019, Hội Toán học Việt Nam đã tổ chức kỳ thi

“Tìm kiếm tài năng toán học trẻ 2019 (MYTS - 2019)” giành cho học sinh từ lớp 3 đến lớp 9 trong toàn quốc Cuộc thi đã nhận được sự hưởng ứng nhiệt tình từ các lớp học sinh Trong hệ thống bài toán mà Hội toán học đưa ra thì đề thi của tất cả lớp từ lớp 4 đến lớp 9 đều có bài sử dụng nguyên lý Dirichlet Bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải tuy HS đã được làm quen sớm từ chương trình Tiểu học Xong nó vẫn chỉ là một chương trình lồng ghép một cách nhẹ nhàng khi bồi dưỡng học sinh giỏi

Với cách phát biểu dễ hiểu đối với ngay cả học sinh lớp 3, “có ba con thỏ nhốt vào hai chuồng thì tồn tại 1 chuồng nhốt ít nhất 2 con thỏ” thì đối với học sinh THCS, các em đã có đủ công cụ hỗ trợ suy luận: số học, hình học, đại số, bài toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet trở thành bài toán thú vị với cách chứng minh không theo mô tuýp riêng

Đối với chương trình THCS, nguyên lý Dirichlet không được phát biểu một cách chính thức trong sách giáo khoa xong được viết thành các chuyên đề “Ứng dụng nguyên lý Dirichlet” trong các tài liệu chuyên toán từ lớp 6 đến lớp 9 mà các trường THCS chất lượng cao thường sử dụng trong quá trình giảng dạy Tuy là một chủ đề riêng trong tài liệu chuyên toán nhưng bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet lại xuất hiện đan xen trong từng chương mới trong chương trình lớp 7, lớp 8, lớp 9 đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức mới học về

số học, hình học, đại số trong chương kết hợp với nguyên lý Dirichlet để giải toán Trong cuộc sống, vấn đề tồn tại hay không tồn tại là vấn đề rất quan trọng, phải xác định được là có tồn tại vấn đề thì mới tìm cách giải quyết vấn

đề Trong Toán học, nguyên lý Dirichlet là một cách giúp các em xác định sự tồn tại của vấn đề Do đó, học sinh cần được biết, hiểu và vận dụng được nguyên lý Dirichlet

1.4.3 Ý nghĩa của việc vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại

Khi gặp một vấn đề trong cuộc sống, câu hỏi vấn đề này liệu có tồn tại phương án giải quyết không thường được chúng ta đặt ra đầu tiên, trước khi bắt tay vào thực hiện? Trong toán học, câu hỏi liệu có tồn tại hay không tồn tại nghiệm của bài toán thường được đặt ra đầu tiên Để trả lời câu hỏi: “liệu có tồn tại không” thì ứng dụng nguyên lý Dirichlet là một lựa chọn không tồi Nguyên lý Dirichlet có thể giải quyết bài toán chứng minh sự tồn tại trong tất cả các chủ điểm của chương trình toán trung học cơ sở: số học, hình học, đại số

Ví dụ 1.1 Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho 29k có 5 chữ số tận cùng là 00001

Rõ ràng đây là một bài toán chứng minh số học, dường như tất cả các phương pháp số học đều đi vào ngõ cụt Việc chỉ ra một số k cụ thể thỏa mãn

đề bài là điều rất khó với sức của con người, tất nhiên máy tính có thể làm được nhưng cũng mất nhiều thời gian Nhưng nếu chỉ cần chỉ ra rằng có một số k

nào đó mà thỏa mãn đề bài thì việc sử dụng nguyên lý Dirichlet là ý tưởng tuyệt vời

Giải

Xét dãy số gồm 100000 số sau: 2 100000

cho 100000 có không quá 99999 loại số dư (do không có số nào trong dãy chia hết cho 100000) Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất hai số trong dãy có cùng

số dư trong phép chia cho 100000 Giả sử đó là 29t và 29h, 1   h t 100000 Khi đó 29t 29h chia hết cho 100000, suy ra 29 (29h t h  1) chia hết cho

Các bài toán số học, hình học, đại số có những cách giải đặc trưng Tuy nhiên, khi giải toán chứng minh sự tồn tại thì các cách giải đặc trưng đó rất khó

đi đến kết quả, những tính chất đặc trưng chỉ là một công cụ, một khâu trong việc sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải toán

Ví dụ 1.2

Cho 13 điểm phân biệt nằm trong hay trên cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 3cm

Đây là bài toán có nội dung hình học, các ý tưởng hình học để chứng minh tồn tại đều bế tắc Các tính chất có thể sử dụng là: Tìm độ dài chiều cao tam giác đều khi biết độ dài cạnh, chứng minh tứ giác nội tiếp, tính chất trọng tâm tam giác Chúng là những tính chất có thể sử dụng trong quá trình tìm lời giải bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet

Giải

Chia tam giác ABC đã cho thành 12 phần như hình vẽ

Hình 1.4

Mỗi phần là một tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính 3

Như vậy có 13 điểm đặt trong 12 hình tứ giác, theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai điểm cùng nằm trong một hình Khoảng cách giữa hai điểm này không lớn hơn độ dài đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác là 3

1.4.4 Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại rèn luyện được năng lực suy luận toán học cho học sinh THCS

Trước hết, chúng ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.3 Chứng minh rằng trong 6 số bất kỳ luôn tồn tại hai số có hiệu

chia hết cho 5

Phân tích

- Xác định đối tượng của bài toán: Số tự nhiên, tính chia hết

- Xác định số lượng của từng loại đối tượng: 6 số, tính chia hết cho 5

- Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân thành hai tập hợp: Tập hợp A gồm 6 số tự nhiên bất kỳ Tập B gồm các số dư {0, 1, 2, 3, 4} khi chia một số bất kỳ cho 5

- So sánh số phần tử của hai tập hợp để gán mỗi tập hợp với “thỏ”, hoặc

“chuồng” Ta coi yếu tố “thỏ” là “số dư khi chia 6 số cho 5” còn yếu tố

“chuồng” là tập các loại số dư {0, 1, 2, 3, 4}

Vận dụng các quy tắc suy diễn để giải toán

Sử dụng quy tắc khẳng định

p q





* Tiền đề:

6 con thỏ xếp vào 5 cái chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa hai con

6 số dư khi chia 6 số cho 5 xếp vào 5 chuồng được đánh số {0, 1, 2, 3, 4}

Kết luận: Có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 5

* Tiền đề:

Hai số có cùng số dư khi chia cho 5

Hai số có cùng số dư khi chia cho k thì hiệu chia hết cho k

Kết luận: hai số có hiệu chia hết cho 5

Giải

Thực hiện phép chia 6 số tự nhiên đã cho cho 5 thì được 6 số dư thuộc tập hợp {0, 1, 2, 3, 4}

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số đã cho có cùng loại số dư khi chia cho 5 Hiệu hai số đó chia hết cho 5

Khai thác

Từ bài toán đơn giản trên, kết quả dễ nhìn thấy, ta tiếp tục đặt ra nhiều tình huống khác nhau để học sinh có thể từ suy luận quy nạp bài toán tổng quát hơn nhằm hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa hai đối tượng: Số số tự nhiên và tính chia hết

- Trong 7 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số tự nhiên có hiệu chia hết cho những số nào?

- Cần có ít nhất bao nhiêu số tự nhiên để từ các số đó ta có thể lấy được hai số bất kỳ có hiệu chia hết cho 10?

- Trong 25 số tự nhiên bất kỳ, ta luôn rút được hai số tự nhiên có hiệu chia hết số tự nhiên nào?

- Tổng quát:

+ Với n là số tự nhiên khác 0, cần ít nhất bao nhiêu số tự nhiên mà trong

đó luôn tồn tại hai số tự nhiên có hiệu chia hết cho n

+ Cho n số tự nhiên khác 0, tìm số tự nhiên lớn nhất chắc chắn bị chia hết bởi hiệu của hai số tự nhiên nào đó trong n số đã cho

Suy luận quy nạp: Chứng minh rằng trong n + 1 số tự nhiên cho trước

luôn tồn tại hai số tự nhiên có hiệu chia hết cho n (n khác 0)

Tiếp tục vận dụng tính chất: Số tự nhiên chia cho 1000 dư 1 thì có ba chữ

số tận cùng là 001 ta thu được bài toán

Ví dụ 1.4 Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 2019k có ba chữ

số tận cùng là 001

Phân tích

- Xác định đối tượng của bài toán: Số tự nhiên có dạng 2019k, tính chia hết

- Xác định số lượng của từng loại đối tượng: 1000 số, tính chia hết cho 1000

- Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân thành hai tập hợp: Tập hợp A gồm 1000 số tự nhiên 2 1000

{1, 2, 3, 4, …, 999} khi chia số bất kỳ của tập

A cho 1000

- So sánh số phần tử của hai tập hợp để gán mỗi tập hợp với “thỏ”, hoặc

“chuồng” Ta coi yếu tố “thỏ” là “số dư khi chia 1000 số cho 1000” còn yếu tố

“chuồng” là tập các loại số dư {1, 2, 3, 4,…, 999}

Vận dụng các quy tắc suy diễn để giải toán

Quy tắc khẳng định

p q





Tiền đề:

1000 con thỏ xếp vào 999 cái chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa hai con

1000 số dư khi chia 1000 số trong dãy 2 1000

vào 999 chuồng được đánh số {0, 1, 2, 3, …, 999}

Kết luận: Có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 1000

Quy tắc tam đoạn luận

Nếu có một số tự nhiên chia 1000 dư 1 thì số đó có tận cùng là 001

Kết luận: nếu có hai số có dạng 2019k có hiệu chia hết cho 1000 thì có một số có dạng 2019k có tận cùng là 001

Giải

Xét dãy số gồm 1000 số sau: 2 1000

2019, 2019 , , 2019 Do (2019, 1000) = 1 nên khi chia 1000 số này cho 1000 có không quá 999 loại số dư Theo nguyên

lý Dirichlet, có ít nhất hai số trong dãy có cùng số dư trong phép chia cho 1000 Giả sử đó là 2019t và 2019h, 1   h t 999 Khi đó 2019t 2019h chia hết cho 1000, suy ra 2019 (2019h t h  1) chia hết cho 1000

1.5 Thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong việc rèn luyện năng lực suy luận toán học tại trường THCS hiện nay

1.5.1 Mục đích, mẫu khảo sát

Để đánh giá thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong việc rèn luyện năng lực suy luận Toán học tại trường THCS hiện nay, chúng tôi đã tiến hành khảo sát, điều tra 50 HS và 20 GV Toán tại trường THCS Trần Đăng Ninh, THCS Phùng Chí Kiên

1.5.2 Phương pháp điều tra

Dùng phiếu hỏi gửi trực tiếp đến các GV và HS Để thuận tiện cho việc thống kê kết quả, chúng tôi chia thành 3 nhóm câu hỏi đối với GV và một nhóm câu hỏi đối với HS Ba nhóm câu hỏi đối với GV gồm có: bộ thứ nhất gồm 1 câu khảo sát năng lực suy luận của HS hiện nay; bộ thứ hai gồm 3 câu khảo sát việc thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận Toán học hiện này; bộ thứ ba gồm 2 câu khảo sát xem việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên

lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại có thực sự rèn luyện được năng lực suy luận Toán học không Nhóm câu hỏi đối với HS khảo sát việc các em có được thực hiện rèn luyện năng lực suy luận Toán học thường xuyên không, hứng thú của các em khi học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet

Phỏng vấn và quan sát: Chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn một số người tham gia, quan sát thái độ của GV khi trả lời phiếu hỏi

1.5.3 Phương pháp xử lý số liệu

Tính tỉ lệ phần trăm từ đó rút ra nhận xét và tổng hợp để đưa ra nhận định khái quát

1.5.4 Kết quả nghiên cứu

+ Năng lực suy luận Toán học của HS hiện nay

Theo phiếu khảo sát GV thì 80% GV của trường nhận định rằng năng lực suy luận của HS ở mức độ trung bình , 20% GV nhận định ở mức độ tốt

Theo phiếu khảo sát HS thì 10% HS lúng túng không biết trình bày bắt đầu từ đâu, 18% HS trình bày bài toán dễ dàng, 72% HS còn cảm thấy khó khăn khi lập luận giải toán

Điều này cho thấy năng lực suy luận Toán học của HS chưa tốt nên khi trình bày lời giải bài toán còn gặp nhiều khó khăn

+ Tình hình thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận Toán học hiện nay

Bảng 1.1 Tình hình thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận Toán học

Ý kiến trả lời

Không Thỉnh

thoảng

Thường xuyên

1 Mức độ thường xuyên chú ý rèn luyện năng

lực suy luận Toán học cho HS 0% 20% 80%

2 Mức độ rèn luyện các loại quy tắc suy luận

3 Mức độ rèn luyện năng lực suy luận quy

Kết quả cho thấy phần lớn các thầy cô đã thường xuyên chú ý đến việc rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS Đây như là sự khẳng định lại tầm quan trọng của việc rèn luyện năng lực suy luận Toán học cho HS

+ Dạy học nguyên lý Dirichlet có rèn luyện được năng lực suy luận Toán học của HS không?

100% thầy cô khẳng định rằng dạy học nội dung nguyên lý Dirichlet rèn luyện được tốt năng lực suy luận Toán học của HS

Tuy nhiên, 100% các thầy cô khẳng định rằng khi rèn luyện năng lực suy luận Toán học cho HS thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet gây ra nhiều khó khăn khi giảng dạy: Chuẩn bị bài tốn thời gian hơn,

HS vận dụng các thao tác tư duy chưa thành thục, HS chưa nắm vững các quy tắc suy luận logic, nội dung dạy học nhiều trong thời gian ngắn

Những khó khăn mà GV mắc phải khi rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet là cơ sở

để chúng tôi đề ra các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy + Khi được hỏi về mức độ yêu thích chuyên đề ứng dụng nguyên lý Dirichlet thì 16% HS trả lời không thích, 52% HS trả lời bình thường, 32% trả lời thích

20% HS không nêu các suy luận để tìm lời giải, 50% thỉnh thoảng, 30%

HS thường xuyên nêu các suy luận tìm lời giải

50% HS không suy luận quy nạp khi giải toán, 26% HS thỉnh thoảng, 24%

HS thường xuyên suy luận quy nạp khi giải

Điều đó cho thấy HS vẫn chưa hình thành thói quen rèn luyện năng lực suy luận Toán học khi giải toán

1.5.5 Kết luận

Từ những kết quả khảo sát nói trên, chúng tôi rút ra một số nhận xét sau:

- Khi giải một bài toán chứng minh sự tồn tại, HS chưa biết cách tìm ra yếu tố “chuồng” và “thỏ” để áp dụng nguyên lý Dirichlet, chưa biết cách vận dụng các quy tắc suy luận logic để trình bày, lý giải bài toán

- GV đã nỗ lực điều hành, định hướng và tổ chức quá trình lĩnh hội tri thức bằng phương pháp dạy học tích cực nhưng nhìn chung, việc phát huy tính tích cực, chủ động của HS chưa thật hiệu quả

- GV chưa chú ý nhiều đến cách suy luận tìm ra lời giải bài tập của HS cũng như cho HS tự đưa ra các dạng bài tập sau mỗi bài toán có thể nghiên cứu sâu

- Việc rèn luyện năng lực suy luận logic toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung chứng minh sự tồn tại là cần thiết

- GV cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho HS các thao tác tư duy

- Việc rèn luyện các quy tắc suy luận logic chưa được GV chú trọng

- Thời gian giảng dạy ít trong khi nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet

đa dạng Điều này đòi hỏi có hệ thống bài toán tương đối đầy đủ với các kịch bản có sẵn nhằm tối ưu hóa thời gian giảng dạy trên lớp của GV

Như vậy, với tình hình thực tế và qua kết quả khảo sát đối với HS và GV, ta

có thể thấy rằng hầu hết GV và HS đều nhận thấy rằng việc rèn luyện năng lực suy luận Toán học cho HS là rất cần thiết Nếu phát huy được năng lực suy luận Toán học cho HS sẽ giúp HS dễ dàng hiểu bài, lập luận trình bày bài toán một cách dễ dàng Và để rèn luyện được năng lực này cho HS bản thân GV phải có

sự tìm tòi đưa ra hệ thống các bài tập phù hợp để rèn luyện cho các em HS

1.6 Kết luận chương 1

Trong chương 1, từ việc trình bày khái niệm năng lực, năng lực toán học, chúng tôi đã trình bày về năng lực suy luận toán học - một trong tám thành tố của năng lực toán học Nguyên lý Dirichlet là nội dung hay và khó xuất hiện trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chúng tôi trình bày

về nội dung nguyên lý Dirichlet, tầm quan trọng của ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại và vị trí của nguyên lý trong chương trình Toán THCS Chúng tôi cũng đã lý giải việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet có thể rèn luyện được năng lực suy luận toán học cho học sinh

Bằng việc tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet và việc rèn luyện năng lực suy luận toán học thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet, chúng tôi nhận thấy dạy học nội dung ứng

dụng nguyên lý Dirichlet rèn luyện được năng lực suy luận toán học của học sinh và việc rèn luyện năng lực suy luận toán học thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet là cần thiết Việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn trong chương này là những cơ sở quan trọng để đề xuất một số biện pháp sư phạm phát triển năng lực suy luận toán học nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học của học sinh THCS

Chương 2 RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG

GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHO HS THCS

Nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại trong chương trình trung học cơ sở là một trong những nội dung khó HS không chỉ phải nắm vững nội dung nguyên lý và các quy tắc suy luận logic mà còn phải thành thạo các kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy

2.1 Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy

Để rèn luyện cho HS khả năng dự đoán đưa ra các giả thuyết các tính chất, quy luật, lập luận khi giải các bài tập việc rèn luyện cho HS các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, tổng quát hóa…là cần thiết

- Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần

- Tổng hợp là dùng trí óc để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể

Tuy là những thao tác trái ngược nhau, phân tích và tổng hợp là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất trong tư duy

Khi giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp để xem xét bài toán thuộc loại gì, cần huy động kiến thức nào, có thể dùng phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm lời giải Khi tìm được lời giải của các bài toán bộ phận, phải tổng hợp lại để được lời giải của bài toán đang xét

- So sánh là xác định sự giống và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng

- Tổng quát hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng đến việc khảo sát một tập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập ban đầu làm tập con

bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát Nhờ tổng quát hóa, có thể đề xuất được những giả thuyết, những dự đoán Tổng quát hóa một bài toán có thể đưa tới một bài toán rộng hơn

- Đặc biệt hóa là suy luận chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp con của tập hợp ban đầu Đặc biệt hóa có tác dụng để kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường hợp riêng hoặc

dự đoán, có thể đúng, có thể sai, nhưng nó góp phần tìm tòi cái mới

Có thể cho HS rèn luyện các thao tác tư duy theo các bước sau:

Bước 1: Xác định yếu tố “chuồng” và “thỏ” trong bài toán

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Nghiên cứu sâu lời giải

Ví dụ 2.1 Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 đặt 5 điểm Chứng

minh rằng luôn tìm được hai điểm trong số các điểm trên có khoảng cách không vượt quá 2

Tổng hợp

GV: Xác định các đối tượng xuất hiện trong bài toán

HS: 5 điểm đặt trong hình vuông và khoảng cách giữa hai điểm trong 5 điểm đã cho

GV: Khoanh vùng kiến thức của bài toán

HS: Bài toán liên quan đến hình vuông, chứng minh sự tồn tại

GV: Có thể dùng những phương pháp nào để giải bài toán

HS: Có thể dùng nguyên lý Dirichet, phương pháp phản chứng

Phân tích

GV: Nếu sử dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại, ta cần xác định được yếu tố “thỏ” và “chuồng” Theo em yếu tố “thỏ” ở bài toán là gì? HS: Yếu tố “thỏ” là 5 điểm

GV: Bài toán liên quan đến hình vuông, nhìn số 2 chúng ta liên tưởng đến điều gì?

HS: 2 là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1

GV Hình vuông có cạnh bằng 2, 2 là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1, giữa hai độ dài này có liên quan gì đến nhau không? HS: Hình vuông có độ dài cạnh 1 có độ dài cạnh bằng một nửa độ dài cạnh hình vuông ban đầu

GV: Từ các phân tích trên, ta thấy cần phải phân chia hình vuông thành một số phần, yếu tố “chuồng” chính là số phần đó Các em đã tìm được yếu tố

“chuồng” chưa? Yếu tố “chuồng” trong bài toán là gì?

HS: Yếu tố “chuồng” trong bài toán là 4 hình vuông nhỏ khi chia đều hình vuông ban đầu thành 4 phần bằng nhau

GV: Tiếp theo thầy trò sẽ cùng tìm cách trình bày lời giải (trình bày tiếp

ở mục 2.2)

Tương tự hóa

GV: Như vậy, hình vuông là hình tứ giác đều trong bài toán chúng ta đã chia hình vuông thành bốn phần bằng nhau bằng cách nối hai trung điểm của hai cặp cạnh đối diện Cùng tính chất đều như hình vuông là tam giác đều, ngũ giác đều Hãy đặt lại bài toán với hình gốc là hình tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2 với cùng cách chia hình (bằng cách nối các trung điểm 3 cạnh)

HS Trong tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2 đặt 6 điểm bất kỳ Chứng minh rằng luôn tìm được 2 điểm trong 6 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá 1

HS: Trong hình vuông có cạnh bằng 2 đặt 13 điểm Chứng minh rằng luôn tồn tại 4 điểm trong đó luôn có khoảng cách đến nhau không vượt quá 2 Trong hình vuông có cạnh bằng 2 đặt 17 điểm Chứng minh rằng luôn tồn tại 5 điểm trong đó luôn có khoảng cách đến nhau không vượt quá 2

Quy nạp

GV: Hãy phát biểu bài toán tổng quát

HS: Trong hình vuông có cạnh bằng 2 đặt 4n+1 điểm Chứng minh rằng luôn tồn tại n+1 điểm trong đó luôn có khoảng cách đến nhau không vượt quá 2

Thay đổi cách chia hình vuông

GV: Trong bài toán chúng ta đã chia hình vuông thành 4 phần bằng nhau bằng cách chia mỗi cạnh thành hai phần bằng nhau Bài toán sẽ thay đổi ra sao nếu ta chia hình vuông có độ dài cạnh bằng 3 thành 3 phần

HS: Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 3 đặt 10 điểm Chứng minh rằng luôn tìm được hai điểm có khoảng cách đến nhau không vượt quá 2 GV: Hãy đặt lại bài toán bằng cách chia cạnh hình vuông có độ dài cạnh bằng a thành 4, 5 phần bằng nhau

HS: Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng a đặt 17 điểm Chứng minh rằng luôn tìm được hai điểm có khoảng cách đến nhau không vượt quá 2

4

a

Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng a đặt 26 điểm Chứng minh rằng

luôn tìm được hai điểm có khoảng cách đến nhau không vượt quá 2

5

a

Quy nạp

GV: Hãy tổng quát hóa bài toán

HS: Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng a đặt n2  1 điểm Chứng minh rằng luôn tìm được hai điểm có khoảng cách đến nhau không vượt quá a 2

n

Trong hình vuông có cạnh a, đặt m điểm điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minh rằng có ít nhất n trong số m điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính

2