Sự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng (luận vă thạc sĩ)

Ki¸n thùc chu©n bà.. Khæng gian lçi àa ph÷ìng.. Nân trong khæng gian tuy¸n t½nh.. T½nh li¶n thæng... Vªyco A tròng vîitªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa A... Khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh X ÷ñc

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

Nguy¹n Minh Hi·n

SÜ TÇN T„I V€ TNH LI–N THÆNG CÕA TŠP NGHI›M

ÈI VÎI B€I TON TÜA C…N BŒNG V’CTÌ SUY RËNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2019

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

Nguy¹n Minh Hi·n

SÜ TÇN T„I V€ TNH LI–N THÆNG CÕA TŠP NGHI›M

ÈI VÎI B€I TON TÜA C…N BŒNG V’CTÌ SUY RËNG

Ng nh: To¡n gi£i t½chM¢ sè: 8460102

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc

TS BÒI TH˜ HÒNG

Th¡i Nguy¶n - 2019

Líi cam oan

Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l  trung thüc

v  khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c Nguçn t i li»u sû döng cho vi»c ho n

th nh luªn v«n l  nguçn t i li»u mð C¡c thæng tin, t i li»u trong luªn v«n

n y ¢ ÷ñc ghi rã nguçn gèc

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Nguy¹n Minh Hi·n

TS Bòi Th¸ Hòng

Líi c£m ìn

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä láng bi¸t

ìn s¥u s­c tîi Th¦y gi¡o - Ti¸n s¾ Bòi Th¸ Hòng, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îngd¨n, gióp ï, ch¿ b£o tªn t¼nh, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp tæi ho n

th nh luªn v«n n y

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n còng to n thº c¡cth¦y cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Vi»n To¡nhåc v  Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi ¢ truy·n thö cho tæi nhúng ki¸nthùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v  cho tæi nhúng þ ki¸n âng gâpquþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Cuèi còng, tæi xin gûi líi c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± ¢ quan t¥m gióp ï,

ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Nguy¹n Minh Hi·n

Möc löc

Líi cam oan i

Líi c£m ìn ii

Danh möc c¡c kþ hi»u, c¡c chú vi¸t t­t iv

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3

1.1 Tªp lçi v  mët sè t½nh ch§t 3

1.2 Khæng gian lçi àa ph÷ìng 5

1.3 Kh¡i ni»m ¡nh x¤ a trà 6

1.4 Mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà 8

1.4.1 Nân trong khæng gian tuy¸n t½nh 9

1.4.2 T½nh li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà 10

1.4.3 T½nh lçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà 14

Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i v  t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng 16

2.1 Mët sè ki¸n thùc mð ¦u 16

2.2 Sü tçn t¤i nghi»m 23

2.3 T½nh li¶n thæng 28

K¸t luªn 38

T i li»u tham kh£o 39

Danh möc c¡c kþ hi»u, c¡c chú vi¸t t­t

A ∩ B giao cõa hai tªp hñp A v  B

A\B hi»u cõa hai tªp hñp A v  B

A × B t½ch Descartes cõa hai tªp hñp A v  B

cl A bao âng tæpæ cõa tªp hñp A

co A bao lçi cõa tªp hñp A

int A ph¦n trong tæpæ cõa tªp hñp A

conv A bao lçi cõa tªp hñp A

Mð ¦u

B i to¡n c¥n b¬ng v²ctì câ nhi·u ùng döng quan trång trong vªt lþ, kinht¸, khoa håc, Lþ thuy¸t v· sü tçn t¤i cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n c¥nb¬ng v²ctì ¢ ÷ñc r§t nhi·u nh  to¡n håc nghi¶n cùu d÷îi gi£ thi¸t h mmöc ti¶u l  tüa lçi ho°c tüa lçi theo nân ([2], [3], [4]) N«m 2015, Han v Huang [4] nghi¶n cùu i·u ki»n v· sü tçn t¤i èi vîi tªp nghi»m húu hi»uy¸u v  tªp nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì suy rëng vîi gi£thi¸t h m möc ti¶u lçi theo nân N«m 2016, c¡c t¡c gi£ ¢ mð rëng k¸t qu£tr¶n cho lîp b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng [6] Ngo i vi»c nghi¶ncùu sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì ng÷íi ta cán quan t¥mnghi¶n cùu t½nh ch§t cõa tªp nghi»m cõa b i to¡n n y Trong sè c¡c t½nhch§t cõa tªp nghi»m th¼ t½nh li¶n thæng câ vai trá r§t quan trång, v¼ nâ

÷ñc b£o to n khi chuyºn qua ¡nh x¤ li¶n töc Ban ¦u, ng÷íi ta nghi¶ncùu t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m húu hi»u y¸u li¶n quan ¸n ¡nh x¤ ìntrà tø khæng gian húu h¤n chi·u n y sang khæng gian húu h¤n chi·u kh¡c[4] Sau â, c¡c b i to¡n n y ÷ñc mð rëng vîi khæng gian câ sè chi·u væh¤n [8] N«m 2016, Han v  Huang [6] nghi¶n cùu t½nh li¶n thæng cõa tªpnghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì suy rëng Sau â c¡c t¡c gi£ ¢ mðrëng k¸t qu£ tr¶n cho lîp b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng [6]

Möc ½ch cõa luªn v«n nh¬m tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡c k¸t qu£trong cæng tr¼nh [6] v· sü tçn t¤i v  t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi

b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng

Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v  t i li»utham kh£o

Ch÷ìng 1 cõa luªn v«n tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· tªp lçi, khæng gianlçi, ¡nh x¤ a trà v  mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà.

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y mët sè i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»m húu hi»um¤nh, nghi»m húu hi»u y¸u v  nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n tüa c¥n b¬ngv²ctì suy rëng Hìn núa t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡ntüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng công ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Gi£i t½ch a trà ÷ñc h¼nh th nh tø nhúng n«m 30 cõa th¸ k 20 do ch½nhnhu c¦u cõa c¡c v§n · n£y sinh tø thüc ti¹n v  cuëc sèng Tø kho£ng 10n«m trð l¤i ¥y vîi cæng cö gi£i t½ch a trà, c¡c ng nh to¡n håc nh÷ lþthuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n v  ph÷ìng tr¼nh suy rëng, lþ thuy¸t tèi ÷u, lþ thuy¸t i·u khiºn,tèi ÷u a möc ti¶u, khoa håc qu£n lþ v  to¡n kinh t¸, ph¡t triºn mët c¡chm¤nh m³ v  câ nhi·u ùng döng s¥u s­c Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh

b y mët sè ki¸n thùc v  k¸t qu£ quen bi¸t v· gi£i t½ch a trà ÷ñc tr½ch ra

tø cuèn s¡ch chuy¶n kh£o v· gi£i t½ch a trà [1] C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng

n y l  cì sð cho vi»c tr¼nh b y k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n ð ch÷ìng 2

Chùng minh L§y x, y ∈ A Khi â x, y ∈ Aα, vîi måi α ∈ I Do Aα l  lçivîi måi α ∈ I n¶n λx + (1 − λ)y ∈ Aα, vîi måi λ ∈ [0, 1], α ∈ I Do â

λx + (1 − λ)y ∈ A Vªy A l  tªp lçi

M»nh · 1.1.3 Gi£ sû Ai ⊆ X l  tªp lçi v  λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi

DoAil  tªp lçi n¶nλxi+(1−λ)yi ∈ Ai,vîi måiλ ∈ [0, 1], i ∈ {1, 2}, , m

Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, vîi måi λ ∈ [0, 1] Vªy A l  tªp lçi

ành ngh¾a 1.1.4 Gi£ sû X l  khæng gian tuy¸n t½nh, A l  mët tªp concõa X Khi â giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa A ÷ñc gåi l  bao lçi cõatªp A v  k½ hi»u l  co A

Nhªn x²t Tªp A lçi khi v  ch¿ khi A chùa t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa c¡cph¦n tû trong A

ành lþ 1.1.5 Gi£ sû A l  tªp con cõa khæng gian tuy¸n t½nh X Khi â

co A tròng vîi tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa tªp A, tùc l 

Chùng minh Ta câ co A l  tªp lçi V¼ A ⊂ co A n¶n co A chùa t§t c£ c¡c

tê hñp lçi cõa A Hìn núa tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa A l  lçi v  chùa A,

do â nâ chùa co A (v¼ co A l  tªp lçi nhä nh§t chùa A) Vªyco A tròng vîitªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa A

1.2 Khæng gian lçi àa ph÷ìng

ành ngh¾a 1.2.1 Gi£ sû X l  mët tªp hñp kh¡c réng Hå τ nhúng tªpcon cõa X ÷ñc gåi l  mët tæpæ tr¶n X n¸u

(i) Hai tªp ∅, X ·u thuëc hå τ;

(ii) τ k½n èi vîi ph²p giao húu h¤n, tùc l  giao cõa mët sè húu h¤n tªpthuëc hå τ th¼ công thuëc hå τ;

(iii) τ k½n èi vîi ph²p hñp b§t k¼, tùc l  hñp cõa mët sè húu h¤n hay

væ h¤n tªp thuëc hå τ th¼ công thuëc hå τ

C°p (X, τ ) ÷ñc gåi l  khæng gian tæpæ C¡c ph¦n tû thuëc X ta gåi l 

iºm v  c¡c tªp thuëc hå τ ÷ñc gåi l  tªp mð

ành ngh¾a 1.2.2 Gi£ sû τ, τ0 l  c¡c tæpæ tr¶n X N¸u τ ⊆ τ0, ta nâitæpæ τ y¸u hìn (thæ hìn) tæpæ τ0 hay tæpæ τ0 m¤nh hìn (màn hìn) tæpæ τ.Tr÷íng hñp khæng câ quan h» â, ta nâi hai tæpæ khæng so s¡nh ÷ñc

ành ngh¾a 1.2.3 Cho khæng gian tæpæ (X, τ ) v  A ⊆ X

(i) Tªp con U cõa khæng gian X ÷ñc gåi l  l¥n cªn cõa A n¸u U l  bao

Haus-ành ngh¾a 1.2.5 Cho X l  khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K

(i) Mët tæpæ τ tr¶n X ÷ñc gåi l  t÷ìng th½ch vîi c§u tróc ¤i sè cõa X

n¸u c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n væ h÷îng l  c¡c ¡nh x¤ li¶n töc

(ii) Mët khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh hay khæng gian v²ctì tæpæ tr¶ntr÷íng K l  mët c°p (X, τ ), trong â X l  khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K

v  τ l  mët tæpæ t÷ìng th½ch vîi c§u tróc ¤i sè cõa X

ành ngh¾a 1.2.6 Khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh X ÷ñc gåi l  khæng gianlçi àa ph÷ìng (v  tæpæ cõa nâ l  tæpæ lçi àa ph÷ìng), n¸u trong X câ mët

cì sð l¥n cªn cõa gèc gçm to n tªp lçi Hìn vªy, n¸u khæng gian lçi àaph÷ìng X çng thíi l  khæng gian Hausdorff th¼ X ÷ñc gåi l  khæng gianlçi àa ph÷ìng Hausdorff

V½ dö 1.2.7 Khæng gian ành chu©n, khæng gian Hilbert l  c¡c khæng gianlçi àa ph÷ìng Hausdorff

1.3 Kh¡i ni»m ¡nh x¤ a trà

Gi£ sû X v  Y l  hai tªp hñp K½ hi»u 2X l  tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa

X

ành ngh¾a 1.3.1 Mët ¡nh x¤ a trà F tø X v o Y m  ùng vîi méi ph¦n

tû x ∈ X cho mët tªp con cõa Y, ÷ñc kþ hi»u F : X → 2Y

Thüc ch§t, méi ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y ÷ñc °c tr÷ng bði mët tªpcon cõa X × Y, k½ hi»u l  gph F v  ÷ñc x¡c ành bði

ành ngh¾a 1.3.3 Cho X, Y l  c¡c khæng gian tuy¸n t½nh v  ¡nh x¤ atrà F : X → 2Y Ta nâi r¬ng

(i) F câ gi¡ trà lçi n¸u F (x) l  tªp lçi trong Y, vîi måi x ∈ X;

(ii) F l  ¡nh x¤ lçi n¸u gph F l  tªp lçi trong X × Y

ành ngh¾a 1.3.4 Cho X, Y l  c¡c khæng gian tæpæ v  F : X → 2Y l 

¡nh x¤ a trà Ta nâi r¬ng

(i) F câ gi¡ trà âng n¸u F (x) l  tªp âng trong Y, vîi måi x ∈ X;(ii) F l  ¡nh x¤ âng n¸u gph F l  tªp âng trong X × Y;

(ii) F l  ¡nh x¤ mð n¸u gph F l  tªp mð trong X × Y;

(iii) F l  ¡nh x¤ compact n¸u F (X) l  tªp compact t÷ìng èi trong Y.M»nh · 1.3.5 Gi£ sû X, Y l  c¡c khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh v  ¡nh x¤

a trà F : X → 2Y Khi â

(i) N¸u F l  ¡nh x¤ âng th¼ F câ gi¡ trà âng;

(ii) N¸u F l  ¡nh x¤ mð th¼ F câ gi¡ trà mð;

(iii) N¸u F l  ¡nh x¤ lçi th¼ F câ gi¡ trà lçi;

(iv) F l  ¡nh x¤ lçi khi v  ch¿ khi

(1 − t)F (x) + tF (x0) ⊆ F ((1 − t)x + tx0) vîi måi x, x0 ∈ X v  t ∈ [0, 1]

C¡c v½ dö d÷îi ¥y ch¿ ra r¬ng ¡nh x¤ a trà câ gi¡ trà lçi ch÷a ch­c l 

¡nh x¤ lçi v  ¡nh x¤ a trà câ gi¡ trà âng ch÷a ch­c l  ¡nh x¤ âng

V½ dö 1.3.6 Cho ¡nh x¤ a trà F : N∗ → 2R ành ngh¾a nh÷ sau

Hiºn nhi¶n F l  ¡nh x¤ a trà vîi gi¡ trà lçi Tuy nhi¶n F khæng l  ¡nh x¤lçi

l  tªp khæng âng trong R2 v  nh÷ vªy F khæng l  ¡nh x¤ âng.

ành ngh¾a 1.3.8 Cho X, Y l  c¡c khæng gian tæpæ nh x¤ bao âng cõa

F l  ¡nh x¤ a trà cl F : X → 2Y m  ç thà cõa nâ l  bao âng cõa ç thàcõa ¡nh x¤ F, tùc l 

óng

1.4 Mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà

Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y t½nh ch§t li¶n töc theo nân cõa ¡nhx¤ a trà v  t½nh lçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà C¡c kh¡i ni»m trong ph¦n

n y l  sü mð rëng cõa c¡c kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc, t½nh lçi cõa ¡nh x¤

a trà Tr÷îc ti¶n, ta tr¼nh b y kh¡i ni»m nân trong khæng gian tuy¸n t½nh

1.4.1 Nân trong khæng gian tuy¸n t½nh

ành ngh¾a 1.4.1 Cho Y l  khæng gian tuy¸n t½nh v  C l  mët tªp conkhæng réng trong Y Ta nâi r¬ng C l  nân câ ¿nh t¤i gèc trong Y n¸u

tc ∈ C, vîi måi c ∈ C v  t > 0

N¸u C l  nân câ ¿nh t¤i gèc th¼ C + x0 l  nân câ ¿nh t¤i x0

ành ngh¾a 1.4.2 Cho C l  nân trong khæng gian tuy¸n t½nh Y Ta nâir¬ng

(i) C l  nân lçi n¸u C l  tªp lçi;

(ii) C l  nân nhån n¸u l(C) = {0}, trong â l(C) = C ∩ (−C)

Nân C gåi l  âng n¸u C l  tªp âng trong Y Ta nâi C l  nân lçi ângnhån n¸u C l  nân lçi, âng v  nhån

D÷îi ¥y l  mët sè v½ dö v· nân trong khæng gian tuy¸n t½nh

V½ dö 1.4.3 1 Cho Y l  khæng gian tuy¸n t½nh Khi â 0 , Y l  c¡c nântrong Y v  ta gåi chóng l  c¡c nân t¦m th÷íng trong Y

2 Cho khæng gian tuy¸n t½nh Rn Khi â tªp

Rn+ = x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn : xi ≥ 0, i ∈ {1, 2, , n}

l  nân lçi âng nhån trong Rn v  ta gåi l  nân Orthant khæng ¥m trong Rn

3 Gåi C[0, 1] l  khæng gian tuy¸n t½nh c¡c h m sè x¡c ành v  li¶n töctr¶n o¤n [0, 1] vîi c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n væ h÷îng

(x + y)(t) = x(t) + y(t),(λx)(t) = λx(t)

Khi â tªp

C+[0, 1] = x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 vîi måi t ∈ [0, 1]

l  nân lçi âng nhån trong C[0, 1]

1.4.2 T½nh li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà

Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i kh¡i ni»m li¶n töc cõa ¡nh x¤ ìn trà giúa c¡c khænggian tæpæ

ành ngh¾a 1.4.4 Mët ¡nh x¤ ìn trà f : X → Y tø khæng gian tæpæ

X v o khæng gian tæpæ Y ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸u vîi måi tªp

mð V trong Y chùa f (x0), tçn t¤i l¥n cªn mð U trong X chùa x0 sao cho

f (U ) ⊆ V

Trong tr÷íng hñp F : X → 2Y l  ¡nh x¤ a trà tø khæng gian tæpæ X

v o khæng gian tæpæ Y, Berge ¢ ÷a ra kh¡i ni»m v· t½nh nûa li¶n töc tr¶n

v  nûa li¶n töc d÷îi cõa ¡nh x¤ a trà

ành ngh¾a 1.4.5 nh x¤ a trà F : X → 2Y ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc tr¶n(d÷îi) t¤i x0 n¸u vîi méi tªp mð V trong Y thäa m¢n F (x0) ⊆ V (t÷ìngùng, F (x0) ∩ V 6= ∅), tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V

vîi måi x ∈ U ∩ dom F

(ii) N¸u F l  C- li¶n töc tr¶n v  C- li¶n töc d÷îi t¤i x¯ çng thíi, th¼ tanâi F l  C- li¶n töc t¤i x¯

(iii) N¸u F l  C- li¶n töc tr¶n, C- li¶n töc d÷îi v  C- li¶n töc t¤i måi

iºm trong dom F, ta nâi F l  C- li¶n töc tr¶n, C- li¶n töc d÷îi v  C- li¶ntöc trong X

C¡c kh¡i ni»m nûa li¶n töc tr¶n v  nûa li¶n töc d÷îi theo ngh¾a Berge

l  ho n to n kh¡c nhau Do â kh¡i ni»m li¶n töc tr¶n theo nân v  li¶n töcd÷îi theo nân công ho n to n kh¡c nhau C¡c v½ dö d÷îi ¥y minh håa cho

Khi â d¹ d ng kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ a trà F l  nûa li¶n töc tr¶n t¤ix0 = 0,nh÷ng F khæng nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 = 0

Khi â d¹ d ng kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ a trà F l  nûa li¶n töc d÷îi t¤i

x0 = 0, nh÷ng F khæng nûa li¶n töc tr¶n t¤i x0 = 0

M»nh · sau ÷a ra i·u ki»n c¦n v  õ º ¡nh x¤ a trà li¶n töc theonân

M»nh · 1.4.9 Gi£ sû X l  khæng gian tæpæ, Y l  khæng gian tæpæ tuy¸nt½nh vîi thù tü sinh bði nân lçi C v  ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y vîi F (x0)

l  tªp compact trong Y Khi â

(i) F l  C- li¶n töc tr¶n t¤i x0 n¸u v  ch¿ n¸u vîi måi tªp mð V, F (x0) ⊆

V + C ·u tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ⊆ V + C, vîi måi

x ∈ U ∩ dom F

(ii) F l  C- li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¸u v  ch¿ n¸u vîi méi y ∈ F (x0) v  l¥ncªn V cõa y, tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ vîi måi

(iii) F l  C- li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¸u v  ch¿ n¸u vîi måi tªp mð G

thäa m¢n F (x0) ∩ (G + C) 6= ∅, luæn tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho

F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F

Chùng minh (i) Gi£ sû F l  C- li¶n töc tr¶n t¤i x0 L§y V l  tªp mð trong

Y sao cho F (x0) ⊆ V + C V¼ F (x0) compact n¶n tçn t¤i l¥n cªn V0 cõa 0

sao cho F (x0) + V0 ⊆ V + C V¼ F l  C- li¶n töc tr¶n t¤i x0 n¶n tçn t¤i l¥ncªn U cõa x0 sao cho

F (x) ⊆ F (x0) + V0 + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F

Tø â suy ra

F (x) ⊆ V + C + C = V + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F

Ng÷ñc l¤i, l§y W l  l¥n cªn mð b§t ký cõa0 trong Y °t V = F (x0) + W.Khi â V l  tªp mð thäa m¢n F (x0) ⊆ V + C Theo gi£ thi¸t, tçn t¤i l¥ncªn U cõa x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F Tø

â suy ra

F (x) ⊆ F (x0) + W + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F

i·u n y chùng tä F l  C- li¶n töc tr¶n t¤i x0

(ii) Gi£ sû F l  C- li¶n töc d÷îi t¤i x0 L§y y ∈ F (x0) tòy þ v  V l  l¥ncªn cõa y b§t ký °t W = y − V Khi â W l  l¥n cªn cõa 0 trong Y V¼

F l  C- li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¶n tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong X sao cho

F (x0) ⊆ F (x) + W − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F

V¼ y ∈ F (x0) n¶n y ∈ F (x) + W − C Ta câ thº vi¸t y = y∗ + w − c, ð

¥y y∗ ∈ F (x), w ∈ W v  c ∈ C Tø â k²o theo y∗ = y − w + c ∈ V + C

i·u n y chùng tä y∗ ∈ F (x) ∩ (V + C) Vªy F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ vîi måi

V¼ F (x0) compact n¶n tçn t¤i y1, y2, , yn ∈ F (x0) sao cho

Vîi i ∈ {1, 2, , n}, v¼ yi+ V l  l¥n cªn cõa yi ∈ F (x0) n¶n tçn t¤i l¥n cªn

Ui cõa x0 sao cho

F (x) ∩ (yi+ V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ Ui ∩ dom F

°t U = ∩ni=1Ui Khi â U l  l¥n cªn cõa x0 v 

F (x) ∩ (yi + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F v  i ∈ {1, 2, , n}

Ta chùng minh

F (x0) ⊆ F (x) + V − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F

Thªt vªy, l§y y0 ∈ F (x0) tòy þ Tø â suy ra

v  v0 ∈ V, c ∈ C sao cho y = yi0+ v0+ c Tø â suy ra y0 = y + v − v0− c ∈

F (x) + V − C Vªy F (x0) ⊆ F (x) + V − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F Chùng

tä F l  C- li¶n töc d÷îi t¤i x0

(iii) Gi£ sû F l  C- li¶n töc d÷îi t¤ix0 L§yG l  tªp mð b§t ký thäa m¢n

F (x0) ∩ (G + C) 6= ∅ Tø â suy ra tçn t¤i y0 ∈ F (x0) sao cho y0 = g + c,

ð ¥y g ∈ G v  c ∈ C V¼ G l  mð n¶n tçn t¤i l¥n cªn mð V cõa 0 sao cho

g + V ⊆ G Tø â suy ra g + c + V ⊆ G + C hay y0 + V ⊆ G + C M°tkh¡c y0 + V l  l¥n cªn cõa y0 n¶n theo (ii), tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 saocho F (x) ∩ (y0 + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F i·u n y k²o theo

F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F

Ng÷ñc l¤i, l§y y0 ∈ F (x0) v  V l  l¥n cªn mð cõa y0 Tø â suy ra y0 ∈

F (x0) ∩ (V + C) Theo gi£ thi¸t, tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ∩(V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F Theo (ii) ta suy ra F l  C- li¶n töcd÷îi t¤i x0

Nhªn x²t 1.4.10 (i) N¸uC = {0} v F (x0)l  tªp compact th¼ ành ngh¾a1.4.6 ph¦n (i) ð tr¶n çng nh§t vîi ành ngh¾a v· t½nh nûa li¶n töc tr¶n v nûa li¶n töc d÷îi cõa Berge Trong tr÷íng hñp Y l  khæng gian ành chu©n

v  F vøa {0}- li¶n töc tr¶n, vøa l  {0}- li¶n töc d÷îi t¤i x0 th¼ F li¶n töct¤i x0 theo kho£ng c¡ch Hausdorff

(ii) N¸u F l  ¡nh x¤ ìn trà th¼ tø ành ngh¾a ta th§y t½nh C- li¶n töctr¶n v  C- li¶n töc d÷îi tròng nhau v  khi â ta nâi F l  C- li¶n töc.(iii) Trong tr÷íng hñp Y = R, C = R+ v  n¸u ¡nh x¤ ìn trà F l  C-li¶n töc t¤i x0 th¼ F nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 theo ngh¾a thæng th÷íng N¸ul§y C = R− v  F l  C- li¶n töc t¤i x0 th¼ F nûa li¶n töc tr¶n t¤i x0

(iv) Tø m»nh · tr¶n ta câ thº nâi r¬ng mët ¡nh x¤ a trà F l  C- li¶ntöc tr¶n t¤i x0 n¸u F (x) khæng gi¢n ra qu¡ so vîi F (x0) + C khi x g¦n x0

v  F l  C- li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¸u F (x) khæng bà thu l¤i qu¡ nhä so vîi

F (x0) + C khi x g¦n x0

1.4.3 T½nh lçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà

ành ngh¾a 1.4.11 Cho D l  tªp kh¡c réng, lçi trong khæng gian ànhchu©n X, C ⊆ Y l  tªp âng, lçi, h¼nh nân nhån vîi ph¦n trong kh¡c réng

(iii) C- lçi n¸u vîi x1, x2 b§t ký thuëc D v  t ∈ [0, 1] ta câ

Nhªn x²t 1.4.12 N¸u Φ l  C- lçi th¼ Φ l  C- gièng nh÷ lçi

Nhªn x²t 1.4.13 Hiºn nhi¶n n¸u Φ l  C- lçi th¼ Φ l  C- tüa lçi tü nhi¶n.N¸u Φ l  C- tüa lçi ch½nh th÷íng th¼ Φ l  C- tüa lçi tü nhi¶n Lîp c¡c ¡nhx¤ C- tüa lçi tü nhi¶n rëng hìn lîp c¡c ¡nh x¤ C- lçi v  C- tüa lçi ch½nhth÷íng

Trong ph¦n n y, n¸u khæng câ tr÷íng hñp °c bi»t, ta k½ hi»u Λ, W, ∆,

X v  Y l  c¡c khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff Gi£ sû C ⊆ Y l  tªp

âng, lçi, h¼nh nân nhån vîi ph¦n trong kh¡c réng, R+ := {x ∈ R : x ≥ 0}

v  P ⊆ ∆ l  mët lçi, nân nhån Ta gåi BY l  h¼nh c¦u âng trong Y, Y∗ l khæng gian tæ pæ èi ng¨u cõa Y v  C∗ ÷ñc x¡c ành bði

C∗ := {f ∈ Y∗ : f (c) ≥ 0, vîi måi c ∈ C}

K½ hi»u tüa ph¦n trong cõa C∗ l  C#, ÷ñc x¡c ành bði

C# := {f ∈ Y∗ : f (c) > 0, vîi måi c ∈ C\{0}}