Dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân

Chính vì vậy, để nghiên cứu các hệ vi phân với ràngbuộc thỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn như trên đòi hỏi các nhà toán học phảikhảo sát lớp bài toán rộng hơn, đó là các bất đẳng thức vi biế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- 

-NGUYỄN THỊ VÂN ANH

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- 

-NGUYỄN THỊ VÂN ANH

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân

Mã số : 9.46.01.03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS Trần Đình Kế

Hà Nội - 2019

LỜI CAM ĐOAN 5

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20

1.1 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ 20

1.1.1 Nửa nhóm tuyến tính 20

1.1.2 Nửa nhóm phi tuyến 23

1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG 27 1.3 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 33

1.3.1 Một số vấn đề về giải tích đa trị 33

1.3.2 Ánh xạ nén và một số định lý điểm bất động 35

1.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ 36

1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 37

1.5.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 37

1.5.2 Một số bổ đề và định lý 38

1.5.3 Một số không gian hàm 39

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 41 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 41

2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 42

3

2.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ 48

2.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CHO NỬA DÒNG ĐA TRỊ SINH BỞI DVI 51

Chương 3 BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU 57 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 57

3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 58

3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC 69

3.4 ÁP DỤNG 74

Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-PARABOLIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU 78 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 79

4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 85

4.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC 94

4.4 ÁP DỤNG 99

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103 1 Những kết quả đã đạt được 103

2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo 103

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Dáng điệu nghiệmcủa các bất đẳng thức vi biến phân là công trình nghiên cứu của riêng tôi, hoànthành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đình Kế Các kết quả trong luận

án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một côngtrình nghiên cứu nào khác mà tôi biết

Hà Nội, ngày tháng năm 2019

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Vân Anh

5

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáocủa PGS.TS Trần Đình Kế Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâusắc tới Thầy vì sự tận tâm hướng dẫn mà Thầy dành cho tác giả trong suốt quátrình học tập Thầy đã luôn sẵn sàng đón nhận những ý kiến, luôn sát sao giảithích và chỉ dẫn cho tác giả Tác giả xin cảm ơn Thầy mỗi chiều thứ tư hàngtuần đã dành thời gian của mình, không ngần ngại chỉ bảo, chia sẻ, trao đổicác vấn đề mới, các phương pháp, đường hướng cho tác giả và cho nhóm nghiêncứu Ngoài những hành trang quý báu về mặt khoa học, sự động viên của Thầydành cho tác giả là nguồn động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu.Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đạihọc, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin và các thầy cô Bộ môn Giải tích, khoaToán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi tác giả học tập và công tác,

đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tác giả Tác giả xinđặc biệt cảm ơn TS Trần Thị Loan, PGS.TS Cung Thế Anh, TS Nguyễn NhưThắng, TS Dương Anh Tuấn vì sự khích lệ và sự tận tình góp ý luận án.Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô trong các Hội đồng, đãdành nhiều thời gian, công sức và tâm huyết để đóng góp những ý kiến quý báugiúp cho luận án của tác giả được hoàn thành tốt nhất

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn bè, những người cùngchung chí hướng, luôn giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu

Sau cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến gia đình, nơi luôndành cho tác giả tình yêu thương vô hạn Nếu không có sự gánh vác và san sẻ

từ gia đình, tác giả không thể có được những kết quả này

Nguyễn Thị Vân Anh

6

K(E) = {A ∈ P(E) : A là compact}

Kv(E) = {A ∈ P(E) : A là tập lồi và compact}L(E) không gian các toán tử tuyến tính, bị chặn trên

không gian Banach EC(X; Y ) không gian các hàm liên tục từ X vào Y

parabolic

7

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết định tính của phương trình vi phân (ODE) trải qua hơn mộtthế kỷ phát triển, đã chứng tỏ vai trò quan trọng của nó trong việc mô hìnhhóa và giải quyết nhiều bài toán của tự nhiên và kĩ thuật Trong những thập

kỉ cuối thế kỉ XX, phương trình vi phân đại số được quan tâm nghiên cứu vànhiều kết quả quan trọng đã được thiết lập (xem [12, 47]) Theo đó, các phươngtrình vi phân đại số (DAE) đã được sử dụng trong nghiên cứu bài toán về hệthống mạng điện, hệ cơ học có ràng buộc, các phản ứng hóa học, ở đó việc sửdụng phương trình vi phân thường không thể mô tả được hết các yếu tố ràngbuộc Tuy nhiên, khi nghiên cứu hệ động lực tiếp xúc có ma sát của vật thể đadiện hay các hệ lai ghép cơ học, các ODE và DAE lại trở nên hạn chế, do phátsinh điều kiện ràng buộc nằm ở dạng bất đẳng thức (ràng buộc một phía), vàđiều kiện về ngắt quãng trong cơ học tiếp xúc hoặc trong các bài toán kĩ thuậtchuyển mạch (xem [4, 22]) Chính vì vậy, để nghiên cứu các hệ vi phân với ràngbuộc thỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn như trên đòi hỏi các nhà toán học phảikhảo sát lớp bài toán rộng hơn, đó là các bất đẳng thức vi biến phân, trong đóbao gồm một lớp bài toán quan trọng là các hệ bù vi phân

Thuật ngữ bất đẳng thức vi biến phân (Differential variational inequality DVI) được sử dụng lần đầu tiên bởi Aubin và Cellina [5] năm 1984 trong cuốnsách chuyên khảo về bao hàm thức vi phân Trong đó các tác giả xét bài toán

(1)

với K là một tập lồi, compact khác rỗng trong Rn Bằng việc sử dụng hàm nón

8

pháp tuyến của tập K, bài toán trên được đưa về bao hàm thức vi phân







f0(t) ∈ F (x(t)),x(0) = x0

Từ đó, các tác giả đã sử dụng công cụ của giải tích đa trị để nghiên cứu tínhgiải được của bài toán (1) Đến năm 1997, bài toán bất đẳng thức vi biến phânđược mở rộng bởi Avgerinous và Papageorgiou trong bài báo [6] Hai nhà toánhọc đã nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn cho lớp DVI khi tập lồi, đóng, compact

K biến thiên theo thời gian t







−x0(t) ∈ NK(t)(x(t)) + F (t, x(t)), h.k.n t ∈ [0, b],x(0) = x(b)

ở đó NK(t)(x(t)) là nón pháp tuyến của tập lồi K(t) tại điểm x(t)

Một trong những công trình có ý nghĩa tiên phong trong nghiên cứu các DVImột cách có hệ thống là của nhóm tác giả J.S Pang và D.E Stewart năm 2008(xem [49]) Bằng việc xem xét bất đẳng thức vi biến phân là mô hình kết hợpgiữa phương trình vi phân có ràng buộc thỏa mãn một bất đẳng thức biến phân,các DVI đã cho phép mô tả các quá trình có sự kết hợp của hai yếu tố: yếu tốđộng lực và yếu tố ràng buộc dạng biến phân Bài toán DVI [49] đã được phátbiểu tổng quát với mô hình cụ thể như sau: Tìm cặp hàm (x, u), trong đó x làhàm liên tục tuyệt đối và u là hàm khả tích thỏa mãn hệ:

Từ đó dẫn đến hệ vi phân đối với x(·) liên kết với bất đẳng thức vi biến phân(2)-(3)

x0(t) ∈ f (t, x(t),SOL(K, F (t, x(t), ·))

Điều kiện cho bởi phương trình đại số

cho phép chúng ta xác định được điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên

Một trong những lớp bài toán đặc biệt của các bất đẳng thức vi biến phân

là bài toán bù vi phân, khi K = C là một nón Trong trường hợp này, bất đẳngthức vi biến phân (2)-(3) được viết dưới dạng

x0(t) = f (t, x(t), u(t)),

C 3 u(t) ⊥ F (t, x(t), u(t)) ∈ C∗,với C∗ là nón đối ngẫu của C

Công trình [49] của J.S Pang và D.E Stewart đã chỉ rõ được tầm quan trọngcủa các DVI trong rất nhiều lĩnh vực: động lực học tiếp xúc (Contact Dynamics),mạng điện (Electric Circuit), động lực học kinh tế (Economic Dynamics), bàitoán trò chơi vi phân Nash Bằng việc đề xuất mô hình (2)-(3), J.S Pang vàD.E Stewart đã đưa DVI trở thành mô hình tổng quát của nhiều bài toán quantrọng được nghiên cứu trước đó như phương trình vi phân đại số, bài toán bù

vi phân, bất đẳng thức biến phân tiến hóa,

Sau công trình của J.S Pang và D.E Stewart, đã có khá nhiều nghiên cứusâu sắc về DVI Các DVI cùng với những ứng dụng của chúng trở thành một vấn

đề mở thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học Công trình của Z Liu vàcác cộng sự năm 2013 đã nghiên cứu về bài toán tồn tại và tính rẽ nhánh toàncục của nghiệm tuần hoàn cho một lớp các bất đẳng thức vi biến phân trongkhông gian Euclid hữu hạn chiều bằng phương pháp bậc tô-pô cho ánh xạ đatrị (xem [37]) Một số kết quả về tính giải được và điều kiện rẽ nhánh cho cácDVI có thể được tham khảo trong các công trình [26, 35, 37, 41] Cùng với đó,Gwinner thu được các kết quả về tính ổn định cho một lớp mới các DVI (xem

[27]) Tính ổn định cấu trúc của một số lớp DVI cũng được nghiên cứu trong[25, 50] và các tài liệu tham khảo trong đó.

Các ứng dụng cụ thể của mô hình DVI cũng được các nhà toán học quantâm Công trình của Chen và Wang năm 2014 sử dụng mô hình DVI tổng quát

để khảo sát bài toán cân bằng Nash động với ràng buộc chia sẻ (xem [19]) Liênquan đến ứng dụng này là mô hình trò chơi vi phân Nash, mô hình được mởrộng từ bài toán cân bằng Nash (xem [10, 19, 52]) Chú ý rằng, đối với trườnghợp bài toán cân bằng Nash, người ta phải giải quyết bài toán điều khiển tối ưuđược thiết lập bởi hàm quan sát riêng lẻ (tương ứng cho một đối tượng đưa raquyết định) Tuy nhiên trên thực tế, có những tình huống đòi hỏi phải có nhiềuhơn một đối tượng tham gia quyết định, theo đó mỗi phương án quan sát đều

cố gắng đạt được trạng thái tối ưu thỏa mãn ràng buộc ở dạng phương trình viphân Từ đó, lý thuyết trò chơi vi phân được ra đời mà mô hình hóa toán họccủa nó chính là các DVI (có thể xem chi tiết trong [52]) Ngoài ra có thể kể đếncác ứng dụng của DVI mô tả các hệ lai ghép trong kỹ thuật với cấu trúc biếnthiên (xem [17, 20, 30]), động lực học chất rắn với tiếp xúc ma sát (xem [4, 49]),mạch điện có diode,

Bên cạnh những ứng dụng phong phú vừa được kể đến của các DVI hữuhạn chiều, việc xét bài toán DVI trên không gian vô hạn chiều cũng giữ một vaitrò quan trọng Điều này hoàn toàn tự nhiên do các bài toán nảy sinh trong kĩthuật, trong nghiên cứu giải phẫu, hệ động lực kinh tế, cơ học tiếp xúc, được

mô tả bởi các hệ phương trình đạo hàm riêng Có hai mô hình DVI vô hạn chiềuđược quan tâm nghiên cứu gần đây Mô hình thứ nhất là DVI với ràng buộcdạng elliptic, được mô tả bởi hệ

x0(t) − Ax(t) = f (t, x(t), u(t)), (5)Bu(t) + ∂φ(u(t)) 3 g(x(t), u(t)), (6)trong đó A và B là các toán tử trên các không gian vô hạn chiều, ∂φ là ký hiệudưới vi phân của phiếm hàm φ Chú ý rằng (6) có thể viết dưới dạng bất đẳngthức biến phân suy rộng

hBu(t) − g(x(t), u(t)), v − u(t)i + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, với mọi v ∈ D(φ) (7)

Khi B là toán tử đạo hàm riêng loại elliptic, bất đẳng thức biến phân (7) đãđược nghiên cứu trong [9] Trong trường hợp A và B là các toán tử đạo hàmriêng elliptic và φ là hàm trơn, (5)-(6) là một hệ phương trình đạo hàm riêngkiểu parabolic-elliptic, được sử dụng trong mô hình hóa các bài toán sinh-hóa[31], bài toán khôi phục hình ảnh [32],

Khác với mô hình DVI thứ nhất, mô hình DVI thứ hai chứa ràng buộc độnglực dạng parabolic, được xác định như sau

x0(t) − Ax(t) = f (t, x(t), u(t)), (8)

u0(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) 3 g(x(t), u(t)), (9)với A, B và φ được giả thiết như trong mô hình thứ nhất Trong mô hình này,(9) chính là một bất đẳng thức biến phân tiến hóa mà trường hợp tiêu biểu khi

B = −∆, g = g(t) và đã được nghiên cứu trong [8, 9] Cũng như đối với môhình parabolic-elliptic, khi φ là hàm trơn và A, B là các toán tử đạo hàm riêngelliptic, (8)-(9) là một hệ phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic-parabolic.Gần đây, một số kết quả về tính giải được của các DVI vô hạn chiều đã đượcthiết lập trong các công trình [42, 40,38, 39, 44,55] Nhìn chung, những kết quảnghiên cứu định tính cho các DVI vô hạn chiều chưa được biết đến nhiều.Một trong những vấn đề quan trọng liên quan đến hệ động lực liên kết vớicác DVI, đó là nghiên cứu dáng điệu của các hàm trạng thái của hệ khi biếnthời gian đủ lớn Theo hiểu biết của chúng tôi, các kết quả theo hướng này chocác DVI còn khá hạn chế Kết quả gần đây về dáng điệu nghiệm cho các DVItrong không gian hữu hạn chiều đã được công bố trong công trình [34] Còn rấtnhiều câu hỏi mở được đặt ra trong những nghiên cứu định tính với các DVI,bao gồm: tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, sự tồn tại tập hút toàn cụccho hệ động lực liên kết với DVI, sự tồn tại các lớp nghiệm đặc biệt của DVInhư nghiệm dao động, nghiệm phân rã, Đặc biệt, bài toán DVI trong khônggian vô hạn chiều hiện đang là vấn đề mới, có tính thời sự Khó khăn chínhtrong nghiên cứu các DVI vô hạn chiều nằm ở việc xác định tính giải được củabất đẳng thức biến phân (VI) đi kèm, sau đó là việc xác định tính chất của ánh

xạ nghiệm của nó Nếu ánh xạ nghiệm này không có tính chính quy, việc nghiên

cứu dáng điệu nghiệm cho hệ DVI sẽ không khả thi.

Từ những phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu dáng điệu nghiệmcho các bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm một số lớp tiêu biểu trong cả khônggian hữu hạn và vô hạn chiều

Trong nội dung luận án này, chúng tôi xét ba lớp bài toán DVI:

• Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều,

• Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong không gian vôhạn chiều, và

• Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong không gian vôhạn chiều

Mục tiêu chính của chúng tôi là nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các lớpbài toán nói trên thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị sinhbởi hệ động lực liên kết với các DVI Ngoài ra chúng tôi cũng chỉ ra điều kiện

đủ cho sự tồn tại nghiệm phân rã của hệ động lực sinh bởi một lớp các DVI

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích luận án: Nghiên cứu các vấn đề định tính của một số lớp DVI,bao gồm tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, dáng điệu nghiệmthông qua lý thuyết tập hút toàn cục và các lớp nghiệm đặc biệt nhưnghiệm phân rã

• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong trườnghợp được đưa về bao hàm thức vi phân Chúng tôi nghiên cứu một số lớpDVI hữu hạn chiều và hai lớp DVI vô hạn chiều dạng parabolic-elliptic,dạng parabolic-parabolic

• Phạm vi nghiên cứu:

? Nội dung 1: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

Đối với vấn đề nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biếnphân hữu hạn chiều, chúng tôi xét bài toán cụ thể như sau:

, F : Rn → Rm

, G : K → Rm là cáchàm liên tục với giả thiết F bị chặn đều và G là hàm đơn điệu trên K

Trong lý thuyết phương trình vi phân, hệ (10)-(12) được gọi là một hệ viphân với ràng buộc một phía (unilateral constrain) Bất đẳng thức vi biến phân(10)-(12) được mở rộng khi xét thêm điều kiện trễ lên hàm trạng thái x(·) Trongtrường hợp bài toán không có trễ, J.S Pang và các cộng sự đã giải quyết nhiềulớp bài toán liên quan đến vấn đề tồn tại nghiệm, tính duy nhất của nghiệm và

sự phụ thuộc nghiệm vào các dữ kiện ban đầu (xem [49, 18]) Những kết quả vềtính chính quy và ổn định cho lớp bài toán bù vi phân cũng được nghiên cứu bởiJ.S Pang và các cộng sự, tương ứng với trường hợp đặc biệt K = Rm

+, được ứngdụng rộng rãi trong kĩ thuật mạch điện (xem [15, 16, 20, 22, 30]) Trong nhữngcông trình này, công cụ chính được sử dụng là giải tích biến phân, phương pháplặp Euler, phương pháp lặp Newton, nhằm rời rạc hóa bài toán để vượt quacác điều kiện khi mà tính chính quy của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biếnphân bị phá vỡ

Trong bài toán (10) - (12), chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm, sựtồn tại nghiệm phân rã tốc độ mũ, và sự tồn tại tập hút của nửa dòng đa trịcho hệ động lực sinh bởi (10) - (12)

? Nội dung 2: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong không gian vôhạn chiều dạng parabolic-elliptic

Cho X là một không gian Banach và U là một không gian Banach phản xạ

Chúng tôi xét bài toán sau:

x0(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), t > 0, (13)Bu(t) + ∂φ(u(t)) 3 g(x(t), u(t)), t ≥ 0, (14)

ở đó (x(·), u(·)) nhận giá trị trong X × U ; hàm φ : U → R là hàm chính thường,lồi và nửa liên tục dưới trên U ; F : X × U → P(X) là một ánh xạ đa trị; A làtoán tử tuyến tính đóng sinh ra C0-nửa nhóm trên X; B : U → U∗ là một toán

tử tuyến tính liên tục được xác định thông qua phiếm hàm song tuyến tính,trong đó U∗ là không gian đối ngẫu của U

Trong trường hợp K là một tập lồi đóng trong U , φ = IK là hàm chỉ trêntập K, các không gian X = Rn

, U = Rm và F là hàm đơn trị thì bài toán (13) (15) có dạng bất đẳng thức vi biến phân được nghiên cứu trong [49] Gần đây,bài toán trên không gian vô hạn chiều với mô hình tương tự cũng được xemxét bởi Liu, Zeng, và Motreanu trong [39] Các tác giả đã nghiên cứu một lớpphương trình tiến hóa với ràng buộc ở dạng bất đẳng thức biến phân tổng quát

-x0(t) = Ax(t) + f (t, x(t), u(t)),hg(t, x(t), u(t)), v − u(t)i + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ],

x(0) = x0,trong đó x(t) ∈ E và u(t) ∈ K ⊂ E1 với E, E1 là các không gian Banach, K làmột tập lồi khác rỗng Trong công trình này, các kết quả về tính giải được vàtính chất của tập nghiệm với giả thiết tập K là compact được chứng minh Ởđây, điều kiện về tính compact của tập K đảm bảo rằng ánh xạ nghiệm của bấtđẳng thức biến phân có tính nửa liên tục trên Chúng ta biết rằng khi sử dụngnhững phương pháp giải tích nhằm đưa DVI về một phương trình vi phân hoặcbao hàm thức vi phân, tính chính quy của ánh xạ nghiệm như tính đo được,tính nén, tính liên tục là các điều kiện cần thiết

Liên quan đến bài toán của chúng tôi, có thể chỉ ra nhiều mô hình được sinhbởi các phương trình đạo hàm riêng khi X và U là các không gian vô hạn chiều

Cho X = U = L2(Ω) với Ω là một miền trong Rn Xét hệ phương trình kiểuparabolic-elliptic:

? Nội dung 3: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong không gian vôhạn chiều dạng parabolic-parabolic

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu một lớp bất đẳng thức vi biến phânkhi ràng buộc dạng biến phân có tính chất của một hệ động lực dạng parabolic.Bài toán DVI dạng parabolic-parabolic được mô tả như sau

x0(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), (19)

u0(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) 3 h(x(t)), (20)

trong đó x(t) ∈ X với X là một không gian Banach và u(t) được xét trên cáckhông gian Hilbert của bộ ba tiến hóa U ⊂ H = H0 ⊂ U0 Do sự xuất hiệncủa dưới vi phân ∂φ, bao hàm thức (20) được hiểu như một bất đẳng thức biếnphân tiến hóa Bài toán (19)-(21) được viết lại như sau

Hệ (22)-(23) được Morita và Ogawa nghiên cứu trong [45] Bằng cách đặt X =

H = L2(Ω), A = σ1∆, F (y, u) = −f (y) + u, B = −σ2∆, φ(u) = 1

2kuk2

H vàh(y) = f (y) ta thấy hệ (22)-(23) là một trường hợp đặc biệt của bài toán (19)-(20) Trường hợp riêng này tương ứng với φ là hàm trơn và A, B là các toán tửđạo hàm riêng elliptic

Kết quả gần đây về tính giải được của bài toán (19)-(21) được trình bàytrong công trình [44] Ngoài ra, theo khảo sát của chúng tôi, chưa có kết quảnào đề cập đến tính chất định tính của nghiệm đối với hệ (19)-(21) Trong luận

án này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tính giải được và sự tồn tại một tậphút toàn cục của một nửa dòng đa trị sinh bởi hệ động lực liên kết với (19)-(21)

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các công cụ của giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm (xem[46]), lý thuyết điểm bất động, lý thuyết ổn định để thực hiện các nội dungnghiên cứu nêu trên Ngoài ra đối với các nội dung cụ thể chúng tôi sử dụngmột số kỹ thuật tương ứng:

• Nghiên cứu tính giải được của các bài toán phi tuyến: Phương pháp ướclượng theo độ đo không compact [3] và các định lý điểm bất động.

• Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân thông quanghiên cứu sự tồn tại nghiệm phân rã, sử dụng các định lý điểm bất độngcho ánh xạ nén

• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục theo lược đồ của Melnik và Valero[43]

4 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố vàdanh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại cáckết quả về lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết độ đo không compact, ánh xạnén và các định lý điểm bất động, một số kiến thức về giải tích đa trị, lýthuyết ổn định của các hệ vi phân

• Chương 2: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều.Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính ổn định của nghiệm cho mộtlớp các bất đẳng thức vi biến phân với trễ hữu hạn Chúng tôi chỉ ra sựtồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với bất đẳngthức vi biến phân và sự tồn tại nghiệm phân rã

• Chương 3: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong khônggian vô hạn chiều Trong chương này, chúng tôi đưa ra lớp bất đẳng thức

vi biến phân dạng parabolic-elliptic và chứng minh kết quả về sự tồn tạinghiệm, sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởinghiệm của lớp bài toán này

• Chương 4: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong khônggian vô hạn chiều Trong chương này, chúng tôi xét một lớp bất đẳng thức

vi biến phân dạng parabolic-parabolic và chứng minh kết quả về tính giải

được, sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi nghiệmcủa lớp hệ này.

5 Ý nghĩa của các kết quả trong luận án

Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vàoviệc hoàn thiện lý thuyết về dáng điệu nghiệm cho các bất đẳng thức vi biếnphân, trong cả trường hợp hữu hạn chiều và vô hạn chiều

Các kết quả chính đạt được đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạpchí khoa học quốc tế uy tín (trong danh mục ISI), 1 bài báo ở dạng tiền ấnphẩm và đã được báo cáo tại:

• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm

1.1.1 Nửa nhóm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1 Một họ các ánh xạ S(t) ∈ L(E), 0 ≤ t < ∞, được gọi là nửanhóm tuyến tính trên E nếu nó thỏa mãn

(i) S(0) = I,

(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0

Định nghĩa dưới đây cho phép ta xác định toán tử sinh của một nửa nhómcho trước

Định nghĩa 1.1.2 Cho nửa nhóm tuyến tính một tham số {S(t)}t≥0 Khi đótoán tử tuyến tính A được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu

Định nghĩa 1.1.3 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh(C0-nửa nhóm) nếu

Đặc biệt, nếu ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm ổn định

mũ; nếu ω ≤ 0, M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co

Định nghĩa 1.1.6 Cho {S(t)}t≥0là một C0-nửa nhóm trên E Nửa nhóm {S(t)}t≥0

(c) nửa nhóm compact nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0

Nếu toán tử sinh của một nửa nhóm tuyến tính là toán tử bị chặn, nghĩa là

A ∈ L(E), nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi A được định nghĩa bởi

Khi đó

(i) D(A) = E và {etA}t≥0 là nửa nhóm compact.

(ii) {etA} là nửa nhóm khả vi

Đặc biệt, nếu E = Rn, do mọi toán tử tuyến tính trên E đều bị chặn nên Ađược biểu diễn thông qua ma trận cấp n × n Khi đó ta cũng có dạng biểu diễncủa nửa nhóm sinh bởi A theo biểu diễn chuỗi lũy thừa như trên Trường hợpnày được xem xét trong chương đầu tiên của luận án

Ví dụ 1.1.7 (1) Nửa nhóm tịnh tiến: Xét họ các toán tử tuyến tính

S(t) : E → E(S(t)f )(s) = f (t + s), s ∈ R+.Khi đó {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm và có toán tử sinh là

Af := f0,với miền xác định

(i) D(A) = {f ∈ Cub(R+) : f khả vi và f0 ∈ Cub(R+)}nếu E := Cub(R+)và

sao cho f (t) = (eλtkS(t)ξkL2 (Ω))2, trong đó λ là giá trị riêng đầu tiên củatoán tử −∆ với điều kiện biên Dirichlet Ta có

1.1.2 Nửa nhóm phi tuyến

Cho tập hợp D sao cho ∅ 6= D ⊂ E Dưới đây ta trình bày các khái niệm

về nửa nhóm phi tuyến không giãn, toán tử sinh của một nửa nhóm phi tuyến.Chú ý rằng một nửa nhóm là phi tuyến khi mỗi thành phần của nó không cònthuộc lớp các ánh xạ tuyến tính trên E

Định nghĩa 1.1.8 Một họ {S(t)}t≥0 các hàm S(t) : D → D được gọi là một nửanhóm các ánh xạ không giãn trên D nếu

S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0,S(0) = I,

lim

t→0 +S(t)x = x, ∀x ∈ D,kS(t)x − S(t)¯xk ≤ kx − ¯xk, ∀t ≥ 0, x, ¯x ∈ D

Nếu bất đẳng thức cuối cùng được thay bởi

kS(t)x − S(t)¯xk ≤ eωtkx − ¯xk, ∀t ≥ 0, x, ¯x ∈ D,

ta gọi {S(t)}t≥0 là nửa nhóm không giãn kiểu ω

Tương tự như trong trường hợp nửa nhóm tuyến tính, ta cũng có khái niệm

về toán tử sinh của một nửa nhóm phi tuyến Toán tử A0 được gọi là toán tửsinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu nó xác định bởi

A0x = lim

h→0 +S(h)x − x

với những x ∈ D sao cho giới hạn trên tồn tại.

Ta nêu ra định nghĩa về toán tử tăng trưởng và ω-tăng trưởng trên khônggian Banach E Trước hết, với X, Y là hai không gian tuyến tính, kí hiệu X × Y

là tích Cartesian của chúng Nếu T là một ánh xạ đa trị từ X vào Y , ta cóthể đồng nhất T với đồ thị của nó {(x, y) : x ∈ D(A), y ∈ T x} Ngược lạinếu T ⊂ X × Y thì ta xác định được ánh xạ đa trị T trên D(T ) ⊂ X bởi

T x = {y ∈ Y : (x, y) ∈ T }

Gọi E∗ là không gian đối ngẫu của E với chuẩn k · k∗, và h·, ·i là tích vô hướngcủa cặp đối ngẫu E, E∗ Ta kí hiệu J : E → P(E∗) là ánh xạ đối ngẫu của E,tức là

(iii) m-tăng trưởng nếu nó tăng trưởng và R(A + I) = E;

(iv) ω-m-tăng trưởng nếu nó là ω-tăng trưởng và m-tăng trưởng

Về mặt thuật ngữ, ta có thể gọi toán tử A tăng trưởng (ω-tăng trưởng,m-tăng trưởng, ω-m-tăng trưởng) trên E × E

Định nghĩa 1.1.10 Toán tử A : D(A) ⊂ E → P(E∗) (hay tập A ⊂ E × E∗)được gọi là

(i) đơn điệu nếu hx1− x2, y1− y2i ≥ 0, ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ A;

(ii) đơn điệu cực đại nếu nó không bị chứa trong bất kì một tập đơn điệu nàocủa E × E∗

Trong trường hợp E = H là một không gian Hilbert ta có mệnh đề nói lênmối liên hệ giữa toán tử m-tăng trưởng và toán tử đơn điệu cực đại.

Mệnh đề 1.1.11 (Định lý Minty) Cho H là một không gian Hilbert và A là mộttoán tử (đa trị) tăng trưởng trên H Khi đó A là m-tăng trưởng nếu và chỉ nếu

nó là toán tử đơn điệu cực đại

Ta thấy rằng nếu nửa nhóm không giãn {S(t)}t≥0 nhận A làm một toán tửsinh thì A có tính chất tiêu hao (xem [7]) Bây giờ để nói lên mối quan hệ giữanửa nhóm phi tuyến không giãn {S(t)}t≥0 và toán tử m-tăng trưởng, ta xét bàitoán Cauchy thuần nhất sau:

Định nghĩa 1.1.12 [9, trang 132] Một hàm x ∈ C([0, T ]; E) với x(0) = x0 đượcgọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1)-(1.2) nếu

kx(t) − uk ≤ kx(s) − uk +

Z t s

[x(τ ) − u, v]+dτ, 0 ≤ s ≤ t ≤ T, ∀(u, v) ∈ A.Mệnh đề sau được suy ra từ [9, Định lý 4.1]

Mệnh đề 1.1.13 Giả sử A là một toán tử ω-m-tăng trưởng Với mỗi x0 ∈ D(A),tồn tại nghiệm tích phân duy nhất của bài toán (1.1)-(1.2)

Khi đó ta định nghĩa họ các ánh xạ {SA(t)}t≥0 bởi

SA(t) : D(A) → D(A);

SA(t)x0 = {x(t, x0), với x là nghiệm tích phân của (1.1) − (1.2).}

Mệnh đề 1.1.14 {SA(t)}t≥0 được xác định ở trên là một nửa nhóm không giãnkiểu ω trên D(A) Khi đó {SA(t)}t≥0 là nửa nhóm sinh bởi toán tử đa trị −A.Mệnh đề dưới đây là trường hợp đặc biệt khi toán tử sinh của nửa nhóm làm-tăng trường, tuyến tính và có miền xác định trù mật.

Mệnh đề 1.1.15 Giả sử A là toán tử tuyến tính, m-tăng trưởng, có miền xácđịnh D(A) trù mật trong E Khi đó nửa nhóm sinh bởi −A là C0-nửa nhómtuyến tính không giãn trên E và ánh xạ S(t) là toán tử bị chặn với mỗi t ≥ 0.Định lý 1.1.16 (Định lý Komura) (i) Cho A là một toán tử đơn điệu cực đạitrên không gian Hilbert H Khi đó, D(A) là một tập con lồi, đóng của H

và D(SA) = D(A)

(ii) Giả sử C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và {S(t)}t≥0

là nửa nhóm không giãn trên C Khi đó, tồn tại duy nhất toán tử đơn điệucực đại A trên H sao cho D(A) = C và SA(t) = S(t) với mọi t ≥ 0

0 với x < 0

Một trong những lớp toán tử m-tăng trưởng là các toán tử dưới vi phân, vốnđược mở rộng từ khái niệm đạo hàm Gateaux của một ánh xạ Gọi H là mộtkhông gian Hilbert với tích vô hướng (·, ·) Giả sử φ : H → (−∞, +∞] là mộthàm chính thường (tức là D(φ) ∩ R 6= ∅), lồi và nửa liên tục dưới Khi đó tađịnh nghĩa dưới vi phân ∂φ : H → P(H) là hàm tập

∂φ(x) = {y ∈ H : φ(z) − φ(x) ≥ hy, z − xi với mọi z ∈ H}

Khi đó bởi [9, Mệnh đề 1.1, Định lý 2.8] và [53, Mệnh đề 2.2.2], ta suy racác mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.1.18 Hàm φ bị chặn dưới bởi một hàm affin, nghĩa là tồn tại số

α ∈ R và một phần tử x∗ ∈ H sao cho

φ(x) ≥ (x∗, x) + α

Mệnh đề 1.1.19 Dưới vi phân ∂φ là toán tử m-tăng trưởng trên H × H

Mệnh đề 1.1.20 Nửa nhóm phi tuyến {S(t)} sinh bởi −∂φ là đồng liên tục trên

H, tức là với mọi 0 < a < b và mọi tập D bị chặn trong H, tập S(·)D là một tậpđồng liên tục trong C([a, b]; H) Nếu tập mức Hr = {u ∈ H : kuk2H + φ(u) ≤ r}

là tập compact trong H với mỗi r > 0, thì nửa nhóm này là compact, tức là S(t)

là compact với mỗi t > 0

1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC

LƯỢNG

Độ đo không compact (measure of noncompactness - MNC) là một trongnhững khái niệm quan trọng trong lý thuyết giải tích đa trị Trong mục này, tađưa ra khái niệm về độ đo không compact, các tính chất của một độ đo khôngcompact và một số ước lượng liên quan (xem [3, 33])

Định nghĩa 1.2.1 Hàm β : Pb(E) → R+ được gọi là một độ đo không compacttrong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ Pb(E),trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω

Độ đo β được gọi là

(i) đơn điệu nếu Ω1, Ω2 ∈ Pb(E), Ω1 ⊂ Ω2 kéo theo β(Ω1) ≤ β(Ω2);

(ii) không suy biến nếu β({x} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi x ∈ E, Ω ∈ Pb(E);

(iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compacttương đối K ⊂ E và Ω ∈ Pb(E);

(iv) nửa cộng tính nếu β(Ω0 ∪ Ω1) ≤ max{β(Ω0), β(Ω1)} với mọi Ω0, Ω1 ∈

ta quan sát một tập bị chặn "gần với" một tập compact như thế nào

Từ cách xác định như trên, độ đo χ và β có mối liên hệ với nhau bởi

χ(B) ≤ β(B) ≤ 2χ(B)

Độ đo không compact Hausdorff còn được sử dụng để xác định một trongnhững đặc trưng quan trọng của toán tử tuyến tính trên không gian Banach

Đó là chuẩn toán tử theo độ đo như sau

Định nghĩa 1.2.3 Cho L : E → E là một toán tử tuyến tính bị chặn, B ⊂ E làhình cầu đơn vị trong E Khi đó

được gọi là χ-chuẩn của toán tử L

Ta có mệnh đề sau về ước lượng độ đo không compact của một tập bị chặnthông qua một dãy trong tập đó.

Mệnh đề 1.2.4 Cho Ω ⊂ E là một tập bị chặn Khi đó, với mọi  > 0, tồn tạimột dãy {xn} ⊂ Ω sao cho

χ(Ω) ≤ 2χ({xn}) + 

Ở phần tiếp theo trong mục này, ta kí hiệu J = [0, T ]

Định nghĩa 1.2.5 Cho D ⊂ L1(J ; E) Ta gọi D là tập bị chặn tích phân nếu tồntại hàm ν ∈ L1(J ) := L1(J ; R+) sao cho

kf (t)k ≤ ν(t),với mọi f ∈ D và với hầu khắp t ∈ J

Mệnh đề 1.2.6 ([33], Định lý 4.2.2) Nếu {wn} ⊂ L1(J ; E) bị chặn tích phân, thì

χn

Z t 0

wn(s)dso≤ 2

Z t 0

χ({wn(s)})ds,với t ∈ J

D(s)ds



≤ 4

Z t 0

q(s)ds

với t ∈ J , ở đây

Z t 0

D(s)ds =

Z t 0

ξ(s)ds : ξ ∈ D

.Chứng minh Với  > 0, tồn tại một dãy {ξn} ⊂ D sao cho

χ

Z t 0

D(s)ds≤ 2χn

Z t 0

ξn(s)dso+ ,

do Mệnh đề 1.2.4 Áp dụng Mệnh đề 1.2.6, ta có

χ

Z t 0

D(s)ds≤ 4

Z t 0

χ({ξn(s)})ds + 

≤ 4

Z t 0

q(s)ds + 

Do  là bất kì, ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.8 Giả sử các giả thiết của Mệnh đề 1.2.7 thỏa mãn Thêm vào đó,giả sử E là một không gian Banach phản xạ Khi đó ta có

χ

Z t 0

D(s)ds



≤ 2

Z t 0

χT(D) = ωT(D) + modT(D),thì χT là một độ đo không compact chính quy trên C(J; E)

Bây giờ cho E = Rn Xét không gian BC([0, ∞); Rn) các hàm liên tục bịchặn trên đoạn [0, ∞) lấy giá trị trong Rn Kí hiệu πT là toán tử hạn chế trênBC([0, ∞); Rn), tức là πT(x) là hạn chế của x trên J Khi đó

χ∞(D) = sup

T >0

χT(πT(D)), D ⊂ BC([0, ∞); Rn), (1.4)

là một độ đo không compact thỏa mãn các tính chất được đưa ra trong Địnhnghĩa 1.2.1, trừ tính chính quy Thật vậy, lấy {fk} ⊂ BC([0, ∞); Rn) như sau

do đó {fk} không là một dãy Cauchy trong BC([0, ∞); R Từ đó χT(πT({fk})) =

0với mọi T > 0, suy ra χ∞({fk}) = 0, nhưng fk không phải là một dãy compacttương đối

Chúng ta thiết lập một độ đo không compact trên không gian BC([0, ∞); Rn)

Ta gọi lại các độ đo không compact trên BC([0, ∞); Rn) (xem [10, Ví dụ 2.1.4])

χ∗(D) = χ∞(D) + d∞(D) (1.6)Khi đó χ∗ là một độ đo không compact trên BC([0, ∞); Rn) Ta sẽ chứng minhrằng độ đo χ∗ có tính nửa chính quy, tức là χ∗(D) = 0kéo theo D là tập compacttương đối trong BC([0, ∞); Rn)

Bổ đề 1.2.9 Độ đo không compact χ∗ có tính chất nửa chính quy

Chứng minh Cho D ⊂ BC([0, ∞); Rn) là một tập con bị chặn sao cho χ∗(D) =

0 Ta sẽ chỉ ra rằng D là một tập compact tương đối Lấy P BC([0, ∞); Rn) làkhông gian các hàm bị chặn, liên tục từng khúc trên R+, nhận giá trị trong Rn.Khi đó, P BC([0, ∞); Rn) là một không gian Banach với chuẩn

kxkP BC = sup

t≥0

kx(t)k,

và chứa không gian con đóng BC([0, ∞); Rn).

Với  > 0, vì d∞(D) = 0nên ta có thể chọn T > 0 sao cho supt≥T kx(t)k < /2với mọi x ∈ D Từ đó

Vì vậy x ∈ B∞(ˆxk, ) Ta có D ⊂ ∪N

i=1B∞(ˆxi, ) và do đó D là tập pact tương đối trong P BC([0, ∞); Rn) Để chỉ ra D cũng compact tương đốitrong BC([0, ∞); Rn), ta thấy rằng với mỗi {xn} ⊂ D, tồn tại một hàm x ∈

1.3.1 Một số vấn đề về giải tích đa trị

Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:

(i) nửa liên tục trên nếu F−1(V ) = {y ∈ Y : F (y) ∩ V 6= ∅} là tập con đóngcủa Y với mọi tập đóng V ⊂ E;

(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F−1(V ) là tập con đóng của Y với mọi tập đóngyếu V ⊂ E;

(iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F (y)} là tập đóng trong Y × E;

(iv) compact nếu F(Y ) compact tương đối trong E;

(v) tựa compact nếu ánh xạ hạn chế trên một tập con compact A ⊂ Y bất kì

là compact

Ta có kết quả sau về điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên của một ánh xạ

đa trị

Bổ đề 1.3.2 ([33, Định lý 1.1.12]) Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị đóng,tựa compact và có giá trị compact Khi đó G là nửa liên tục trên.

Bổ đề 1.3.3 ([11, Mệnh đề 2]) Cho E là một không gian Banach và Ω là mộttập khác rỗng của một không gian Banach X Giả sử rằng G : Ω → P(E) làánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact yếu Khi đó, G nửa liên tục trên yếu nếu

và chỉ nếu {xn} ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn) kéo theo tồn tại dãy concủa yn hội tụ yếu về y0 ∈ G(x0)

Sau đây, ta nhắc lại khái niệm hàm chọn và nêu một số kết quả được dùngtrong các chương sau của luận án

Định nghĩa 1.3.4 Hàm F : [0, T ] → K(E) được gọi là hàm đo được mạnh nếutồn tại một dãy các hàm đa trị bậc thang {Fn}∞n=1 sao cho

h(Fn(t), F (t)) → 0, khi n → ∞, h k n t ∈ J,trong đó h là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp trên K(E)

Định nghĩa 1.3.5 Hàm f : [0, T ] → E được gọi là hàm chọn đo được (tươngứng, đo được mạnh) của hàm đa trị F : [0, T ] → Kv(E) nếu f đo được (tươngứng, đo được mạnh) và

f (t) ∈ F (t) h.k.n t ∈ [0, T ]

Ta kí hiệu tập các hàm chọn đo được của F bởi SF

Định nghĩa 1.3.6 Một tập con D ⊂ L1(J ; E) được gọi là nửa compact nếu D bịchặn tích phân và D(t) = {f (t) : f ∈ D} là compact tương đối trong E với hầukhắp t ∈ J

Nhắc lại rằng nếu {fn} là một dãy nửa compact trong L1(J ; E) thì {fn}compact yếu (xem [33])

Định nghĩa 1.3.7 [33, Định nghĩa 1.3.3] Một họ đếm được các hàm {fn}∞n=1 ⊂ SFđược gọi là một biểu diễn Castaing của F nếu

∪∞n=1fn(t) = F (t) hầu khắp t ∈ J

Bổ đề sau được suy ra từ [33, Bổ đề 1.3.3].

Bổ đề 1.3.8 Nếu E là không gian Banach và F : J → K(E) là hàm đa trị đođược mạnh thì F có biểu diễn Castaing

1.3.2 Ánh xạ nén và một số định lý điểm bất động

Định nghĩa 1.3.9 Ánh xạ F : Z ⊆ E → P(E) được gọi là một ánh xạ nén theo

độ đo β (β-nén) nếu với tập bị chặn Ω ⊂ Z, bất đẳng thức

β(Ω) ≤ β(F (Ω))suy ra tính compact tương đối của Ω

Với β là một độ đo đơn điệu và không suy biến trong E, từ Hệ quả 3.3.1 vàMệnh đề 3.5.1 trong [33] ta có định lý điểm bất động sau

Định lý 1.3.10 Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của E và

F : M → Kv(M) là ánh xạ đóng và β-nén Khi đó, Fix(F ) := {x ∈ F (x)} làtập khác rỗng và compact

Các nguyên lý điểm bất động sau đây được coi là hệ quả của Định lý 1.3.10.Định lý 1.3.11 Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, compact trong E và

F : M → P(M) là một ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi Khi đó, Fix(F ) là tậpkhác rỗng

Định lý 1.3.12 Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của E và

F : M → M là một ánh xạ liên tục và β-nén Khi đó, Fix(F ) là một tậpcompact khác rỗng

Định lý điểm bất động sau đây là một trường hợp đặc biệt của [33, Hệ quả3.3.1]

Định lý 1.3.13 Cho M là một tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của khônggian Banach E và giả sử ánh xạ đa trị F : M → P(M) là một ánh xạ compact,nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact Khi đó Fix(F ) là một tập compactkhác rỗng

1.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ

Trong mục này, ta nhắc lại các khái niệm về nửa dòng đa trị và tập hút toàncục cho nửa dòng đa trị theo lược đồ của Melnik và Valero (xem [43]) Giả sử Γ

là một nửa nhóm con không tầm thường của nửa nhóm cộng tính các số thực

Nửa dòng đa trị G được gọi là ngặt nếu G(t1+ t2, w) = G(t1, G(t2, w)) với mọi

w ∈ E và t1, t2 ∈ Γ+ G được gọi là bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập bị chặn

B ⊂ E, tồn tại số T (B) > 0 sao cho γT (B)+ (B) là bị chặn Ở đây, γT (B)+ (B) làtập các quỹ đạo sau thời điểm T (B) : γT (B)+ (B) = S

t≥T (B)

G(t, B) G được gọi làtiệm cận trên nửa compact nếu với mỗi B là một tập đóng trong E sao cho với

T (B) > 0, γT (B)+ (B) bị chặn, thì mỗi dãy {ξn}, ξn ∈ G(tn, B) với tn → ∞ là tiềncompact trong E

Mệnh đề 1.4.2 [43, Mệnh đề 1] Giả sử G(t, ·) : E → P(E) là compact khi t = t1

với t1 ∈ Γ \ {0} nào đó Khi đó nửa dòng đa trị G là nửa compact tiệm cận trên.Định nghĩa 1.4.3 Một tập bị chặn B1 ⊂ E được gọi là tập hấp thụ của nửadòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại τ = τ (B) ≥ 0 sao cho

γτ (B)+ (B) ⊂ B1

Định nghĩa 1.4.4 Tập con A ⊂ E được gọi là tập hút toàn cục của nửa dòng

đa trị G nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1 A hút mọi tập B ∈ B(E), nghĩa là dist(G(t, B), A) → 0 khi t → ∞,với mọi tập bị chặn B ⊂ E, trong đó dist(·, ·) kí hiệu nửa khoảng cáchHausdorff của hai tập con trong E;

2 A là nửa bất biến âm, tức là A ⊂ G(t, A), ∀t ∈ Γ+.

Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ về sự tồn tại tập hút toàncục của một nửa dòng đa trị G

Định lý 1.4.5 Giả sử nửa dòng đa trị G thỏa mãn các tính chất:

1) G(t, ·) là nửa liên tục trên và có giá trị đóng với mỗi t ∈ Γ+;

2) G là tiêu hao điểm, tức là tồn tại K > 0 sao cho với w ∈ E, u(t) ∈ G(t, w),thì ku(t)kE ≤ K với t ≥ t0(kwkE);

3) G là tiệm cận trên nửa compact

Nếu G là bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút toàn cục compact A trong

E Hơn nữa, nếu G là một nửa dòng ngặt, thì A là bất biến, tức là A = G(t, A)với mỗi t ∈ Γ+

1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

1.5.1 Một số bất đẳng thức thường dùng

Ta đưa ra một vài bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong luận án: bấtđẳng thức Gronwall, bất đẳng thức Halanay ([28, 29]), bất đẳng thức Poincaré([48])

? Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đốitrên [0; T ] và thỏa mãn

dx

dt ≤ g(t)x + h(t), h.k.n t ∈ [0, T ],trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ] Khi đó

? Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho x(t) là một hàm khả tích,không âm trên [0; T ] và thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

?Bất đẳng thức Halanay: Giả sử f : [t0−τ, T ) → R+, 0 ≤ t0 < T < +∞thỏa mãn phương trình vi phân hàm sau

f0(t) ≤ −γf (t) + ν sup

s∈[t−τ,t]

f (s),với t ≥ t0, ở đó γ > ν > 0 Khi đó

f (t) ≤ κe−`(t−t0 ), t ≥ t0,

ở đây κ = sup

s∈[t 0 −τ,t 0 ]

f (s) và ` là một nghiệm của phương trình γ = ` + νe−`τ

?Bất đẳng thức Poincaré: Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn có đườngkính không quá d Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc k và d sao cho

trong X Khi đó tồn tại một hàm N : N → N và một dãy các tập của các sốthực không âm {α(n)k}N

Định lý 1.5.2 (Định lý Arzelà-Ascoli) Cho X là một không gian metric compact

và Y là một không gian metric đầy Khi đó, một tập con D của C(X; Y ) làcompact tương đối trong C(X; Y ) nếu và chỉ nếu nó đồng liên tục và có lát cắthoàn toàn bị chặn

3 H1(Ω)là không gian bao gồm tất cả những hàm u ∈ L2(Ω)sao cho ux i(x) ∈

L2(Ω), ∀1 ≤ i ≤ n và có chuẩn được cho bởi công thức

4 H1

0(Ω) là bao đóng của C0∞(Ω) trong chuẩn của H1(Ω);

5 H−1(Ω) là không gian đối ngẫu của H1

0(Ω)

Ngoài ra, ta cần sử dụng một số không gian hàm phụ thuộc thời gian sau:

1 Lp(0, T ; E), 1 ≥ p < ∞ là không gian với chuẩn

kuk =

Z T 0