Dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân (tt)

Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài Lý thuyết định tính các phương trình vi phân ODE là một trong những lýthuyết cơ bản của toán học được ra đời và phát triển từ rất sớm,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————— * ———————

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đình Kế

Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Minh Trí, Viện hàn lâm khoa học và công nghệViệt Nam, Viện toán học

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo, Trường Đại học Bách khoa Hà NộiPhản biện 3: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy, Trường Đại học Thương mại

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tạiTrường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội

hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Lý thuyết định tính các phương trình vi phân (ODE) là một trong những lýthuyết cơ bản của toán học được ra đời và phát triển từ rất sớm, cung cấp chochúng ta những mô hình diễn tả quá trình chuyển động của tự nhiên và kĩ thuật.Trong vài thập kỉ cuối thế kỉ XX, phương trình vi phân được mở rộng lên phươngtrình vi phân đại số và thu được rất nhiều đóng góp lớn của các nhà toán học.Theo đó, các phương trình vi phân đại số (DAE) đã khái quát hóa toán học cáchiện tượng trong nghiên cứu bài toán về hệ thống mạng điện, hệ cơ học có ràngbuộc, các phản ứng hóa học, mà ở đó tham số của phương trình vi phân thườngkhông đủ để mô tả Tuy nhiên, khi nghiên cứu hệ động lực tiếp xúc có ma sát củavật thể đa diện hay các hệ lai ghép cơ học, các ODE và DAE lại trở nên hạn chế,

do phát sinh điều kiện ràng buộc nằm ở dạng bất đẳng thức (ràng buộc một phía),

và điều kiện về ngắt quãng trong cơ học tiếp xúc hoặc trong các bài toán kĩ thuậtchuyển mạch Chính vì vậy, việc nghiên cứu các mô hình vi phân với ràng buộcthỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn như trên đòi hỏi các nhà toán học khảo sát lớp bàitoán rộng hơn: Bất đẳng thức vi biến phân, trong đó bao gồm một lớp bài toánquan trọng là các hệ bù vi phân

Thuật ngữ Bất đẳng thức vi biến phân (Differential variational inequality DVI) được sử dụng lần đầu tiên bởi Aubin và Cellina năm 1984 trong cuốn sáchchuyên khảo về bao hàm thức vi phân Trong đó các tác giả xét bài toán

-





∀t ≥ 0, x(t) ∈ K,supy∈Khx0(t) − f (x(t)), x(t) − yi = 0,x(0) = x0,

Từ đó, các tác giả đã sử dụng công cụ của giải tích đa trị để nghiên cứu tínhgiải được của bài toán (1) Đến năm 1997, bài toán bất đẳng thức vi biến phânđược mở rộng bởi Avgerinous và Papageorgiou Hai nhà toán học đã nghiên cứu

về nghiệm tuần hoàn cho lớp DVI khi tập lồi, đóng, compact K biến thiên theothời gian t



−x0(t) ∈ NK(t)(x(t)) + F (t, x(t)), h.k.n t ∈ [0, b],x(0) = x(b)

ở đó NK(t)(x(t)) là nón pháp tuyến của tập lồi K(t) tại điểm x(t)

Một trong những công trình có ý nghĩa tiên phong trong nghiên cứu các DVIsmột cách có hệ thống là của nhóm tác giả J.S Pang và D.E Stewart năm 2008.Bằng việc xem xét bất đẳng thức vi biến phân là mô hình kết hợp giữa phươngtrình vi phân có ràng buộc thỏa mãn một bất đẳng thức biến phân, các DVIs đãcho phép mô tả các quá trình có sự kết hợp của hai yếu tố: yếu tố động lực và yếu

tố ràng buộc dạng biến phân Bài toán DVIs đã được phát biểu tổng quát với môhình cụ thể như sau: Tìm hàm liên tục tuyệt đối x(·) sao cho tồn tại hàm khả tíchu(·) thỏa mãn hệ:

Điều kiện biên được tổng quát hóa bởi phương trình đại số

cho phép chúng ta đo được mối liên hệ giữa các giá trị trên biên Bài toán giá trịban đầu là một trường hợp riêng của bài toán có điều kiện biên tổng quát

Một trong những lớp bài toán quan trọng được sinh ra từ các DVIs là bài toán

bù vi phân (DCP), trong đó K = C được xét là một nón với đối ngẫu C∗, khi đóbất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.2) được viết ở dạng

x0(t) = f (t, x(t), u(t)),

C 3 u(t) ⊥ F (t, x(t), u(t)) ∈ C∗

Với công trình này, các tác giả đã chỉ rõ được tầm quan trọng của các bất đẳngthức vi biến phân trong rất nhiều lĩnh vực: động lực học tiếp xúc (Contact Dynam-ics), mạng điện (Electric Circuit), động lực học kinh tế (Economic Dynamics), bàitoán trò chơi vi phân Nash Bằng việc khái quát DVI bởi (2.1)-(2.2), J.S Pang

và D.E Stewart đã đưa DVI trở thành mô hình tổng quát của nhiều bài toán quantrọng được nghiên cứu trước đó như phương trình vi phân đại số, bài toán bù viphân, bất đẳng thức biến phân tiến hóa,

Từ sau công trình của J.S Pang và D.E Stewart, có rất nhiều nghiên cứu sâu

về DVI Các bất đẳng thức vi biến phân trở thành một vấn đề mở thu hút sự quantâm của nhiều nhà toán học cùng với các nghiên cứu ứng dụng Công trình củaLiu và các cộng sự năm 2013 đã nghiên cứu về bài toán tồn tại và tính rẽ nhánhtoàn cục của nghiệm tuần hoàn cho một lớp các bất đẳng thức vi biến phân trongkhông gian Euclide hữu hạn chiều bằng phương pháp bậc tô-pô cho ánh xạ đa trị.Một số kết quả về tính giải được và điều kiện rẽ nhánh cho các DVIs có thể đượctham khảo trong các công trình Cùng với đó là nghiên cứu áp dụng các kết quảcủa lý thuyết hàm đã được Gwinner thu được (2013) về tính ổn định cho một lớp

mới các DVI, cụ thể là sử dụng phương pháp đánh giá đơn điệu và kĩ thuật hội tụMosco.

Các ứng dụng cụ thể của các bài toán thực tế có mô hình ở dạng DVI cũng đượccác nhà toán học quan tâm, trong đó có công trình của Chen và Wang (2014) sửdụng mô hình DVI tổng quát để khảo sát bài toán cân bằng Nash động với ràngbuộc được chia sẻ Liên quan đến ứng dụng này là mô hình trò chơi vi phân Nash,

mô hình được mở rộng từ bài toán cân bằng Nash Chú ý rằng, đối với trường hợpcân bằng Nash, chúng ta phải giải quyết bài toán điều khiển tối ưu được thiết lậpbởi hàm quan sát riêng lẻ (tương ứng cho một đối tượng đưa ra quyết định) Tuynhiên trên thực tế, có những tình huống đòi hỏi phải có nhiều hơn một đối tượngtham gia quyết định, theo đó mỗi phương án quan sát đều cố gắng đạt được trạngthái tối ưu thỏa mãn ràng buộc ở dạng phương trình vi phân Từ đó, lý thuyếttrò chơi vi phân được ra đời mà mô hình hóa toán học của nó chính là các DVIs.Ngoài ra có thể kể đến các ứng dụng của DVIs cho các hệ kỹ thuật lai ghép với cấutrúc biến thiên, động lực học chất rắn với tiếp xúc ma sát, mạch điện có diode, Bên cạnh những ứng dụng phong phú vừa được kể đến của các DVI hữu hạnchiều, việc xét bài toán DVI trên không gian vô hạn chiều cũng giữ một vai tròquan trọng (mà ứng dụng trong các mô hình đạo hàm riêng cụ thể) Điều này hoàntoàn tự nhiên do các bài toán nảy sinh trong kĩ thuật, trong nghiên cứu giải phẫu,

hệ động lực kinh tế và khoa học vật lý được mô tả bởi phương trình/hệ phươngtrình đạo hàm riêng

Luận án đề cập đến một trong những vấn đề quan trọng liên quan đến hệ độnglực liên kết với các VIs, đó là nghiên cứu dáng điệu của các hàm trạng thái của hệkhi biến thời gian đủ lớn Các kết quả theo hướng này cho các DVIs chưa được biếtđến nhiều Kết quả gần đây về dáng điệu nghiệm cho các DVIs trong không gianhữu hạn chiều đã được công bố trong một số công trình, Liu (2013), Loi (2015) Còn rất nhiều câu hỏi mở được đặt ra trong những nghiên cứu định tính với cácDVIs, bao gồm: tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, sự tồn tại tập hút toàncục cho hệ động lực sinh bởi DVIs, các lớp nghiệm đặc biệt của DVIs như nghiệmdao động, nghiệm phân rã, Đặc biệt, DVIs trong các không gian vô hạn chiềuhiện đang là vấn đề mới, có tính thời sự Khó khăn chính trong nghiên cứu cácDVIs vô hạn chiều nằm ở việc xác định tính giải được của bất đẳng thức biến phân(VI) đi kèm, sau đó là việc xác định tính chất của ánh xạ nghiệm của nó Nếu ánh

xạ nghiệm không có tính chính quy, việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm cho hệ DVI

sẽ không khả thi

2 Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án

2.1 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu các vấn đề định tính của một số lớpDVIs, bao gồm tính giải được, dáng điệu nghiệm thông qua lý thuyết tập hút toàncục và các lớp nghiệm đặc biệt như nghiệm phân rã

2.2 Đối tượng nghiên cứu: Trong luận án này, tác giả xét ba lớp bài toán:

∗ Lớp thứ nhất: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

∗ Lớp thứ hai: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trongkhông gian vô hạn chiều

∗ Lớp thứ ba: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trongkhông gian vô hạn chiều.

2.3 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của luận án được thể hiện thôngqua các nội dung sau

∗ Nội dung 1: Sự tồn tại nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân

∗ Nội dung 2: Sự tồn tại nghiệm phân rã của các bất đẳng thức vi biến phân

∗ Nội dung 3: Sự tồn tại tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị liên kết vớicác bất đẳng thức vi biến phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các công cụ của giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm, lý thuyếtđiểm bất động để thực hiện các nội dung nghiên cứu nêu trên Ngoài ra đối vớicác nội dung cụ thể chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật tương ứng:

• Nghiên cứu tính giải được của các bài toán phi tuyến: Phương pháp ước lượngtheo độ đo không compact

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm phân rã cho lớp các bất đẳng thức vi biến phân:

sử dụng định lý về điểm bất động cho ánh xạ nén

• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục theo lược đồ của Melnik và Valero

4 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danhmục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

• Chương 2: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

• Chương 3: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong khônggian vô hạn chiều

• Chương 4: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong khônggian vô hạn chiều

Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kết quả cơ bản đã biết được sửdụng trong luận án

1.1 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất liên quan đếnnửa nhóm một tham số bao gồm nửa nhóm tuyến tính, nửa nhóm phi tuyến

1.1.1 Nửa nhóm tuyến tính

1.1.2 Nửa nhóm phi tuyến

1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo không compact và một sốước lượng liên quan đến độ đo không compact Hausdorff

1.3 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT

ĐỘNG

1.3.1 Một số vấn đề về giải tích đa trị

Trình bày về một số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị Trong đó có kháiniệm hàm chọn của hàm đa trị, sự tồn tại hàm chọn và một số kết quả then chốt.1.3.2 Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động

Trong mục này, chúng tôi trình bày về nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén.1.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ

Trong mục này, ta nhắc lại các khái niệm về nửa dòng đa trị và tập hút toàncục cho nửa dòng đa trị theo lược đồ của Melnik và Valero (1998)

1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số bất đẳng thức thường dùng như bấtđẳng thức Gronwall, bất đẳng thức Halanay, và các không gian hàm được sử dụngtrong luận án, bao gồm các không gian hàm liên tục, các không gian Sobolev, cáckhông gian hàm phụ thuộc thời gian,

có trễ Chúng tôi chỉ ra dáng điệu nghiệm thông qua việc chứng minh sự tồn tạinghiệm phân rã cấp độ mũ và sự tồn tại một tập hút toàn cục của nửa dòng đatrị sinh bởi hệ động lực liên kết với bất đẳng thức vi biến phân.

Nội dung của chương này dựa trên kết quả bài báo số [1] trong Danh mục côngtrình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án

ở đó x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ K với K là một tập con lồi đóng trong không gian Rm, xt

là hàm trễ của trạng thái; A, B, F, G và h là các ánh xạ cho trước

2.2 Sự tồn tại nghiệm

Kí hiệu

J = [0, T ], CT = C([0, T ]; Rn), Cτ = C([−τ, 0]; Rn), C = C([−τ, T ]; Rn).Chúng tôi đưa ra các giả thiết sau để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán.(H1) Toán tử A là tuyến tính trên Rn

(H2) Ánh xạ B : Rn × Cτ → Rn×m là liên tục sao cho tồn tại các hằng số dương

ηB, ζB thỏa mãn:

kB(v, w)k ≤ ηB(kvk + kwkCτ) + ζB,với mọi v ∈ Rn, w ∈ Cτ

(H3) Hàm F : Rn → Rm liên tục và tồn tại số ηF dương sao cho kF (v)k ≤ ηF với

mọi v ∈ Rn

(H4) Hàm số G : K → Rm là liên tục thỏa mãn

1) G đơn điệu trên K, nghĩa là:

hu − v, G(u) − G(v)i ≥ 0, ∀u, v ∈ K;

2) tồn tại v0 ∈ K sao cho

kvk ≤ ηG(1 + kzk), ∀v ∈ SOL(K, z + G(·)) (2.5)

Đặt

U (z) = SOL(K, z + G(·)), z ∈ Rm.Khi đó theo bổ đề 2.1 toán tử U : Rm → P(Rm) có giá trị lồi, đóng và có tínhchất nửa liên tục trên

Bây giờ ta định nghĩa Φ : Rn × Cτ → P(Rn) như sau:

Φ(v, w) = {B(v, w)y + h(v) : y ∈ U (F (v))} (2.6)Khi đó ánh xạ đa trị hợp thành Φ có tính chất nửa liên tục trên

Từ các thiết lập như trên, bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) được chuyển

về bao hàm thức vi phân sau

x0(t) ∈ Ax(t) + Φ(x(t), xt), t ∈ J, (2.7)

Kí hiệu

PΦ(x) = {f ∈ L1(J ; Rn) : f (t) ∈ Φ(x(t), xt)}, với x ∈ C (2.10)Cho y ∈ CT và ϕ ∈ Cτ, ta định nghĩa hàm y[ϕ] ∈ C như sau

y[ϕ](t) = y(t), nếu t ∈ [0, T ],

ϕ(t), nếu t ∈ [−τ, 0]

Xét toán tử trên các không gian hàm được xây dựng bởi nửa nhóm sinh bởi A

W : L1(J ; Rn) → CTW(f )(t) =

Bổ đề 2.3 Toán tử W được xác định bởi (2.11) là một toán tử compact

Bổ đề 2.4 Giả sử các điều kiện (H1)-(H5) được thỏa mãn Khi đó toán tử nghiệm

F là compact và có đồ thị đóng

Định lí 2.1 Giả sử rằng (H1)-(H5) được thỏa mãn Khi đó bài toán (2.7)-(2.8)

có ít nhất một nghiệm trên [−τ, T ] Hơn nữa, tập nghiệm của (2.7)-(2.8) là mộttập compact trong C Từ đó suy ra tính giải được của bất đẳng thức vi biến phân(2.1)-(2.3) trong C × L1([0, T ]; K)

2.3 Sự tồn tại nghiệm phân rã

Trong phần này, chúng tôi chứng minh bài toán có một nghiệm phân rã với tốc

độ mũ Với mỗi số dương γ và hàm ϕ ∈ Cτ, kí hiệu

Bϕγ(R) = {x ∈ C([0, ∞); Rn) : x(0) = ϕ(0), eγtkx(t)k ≤ R với mọi t ≥ 0}.Khi đó, Bϕγ(R) cùng với chuẩn supremum k · kBC là một không gian con đóngcủa BC([0, ∞); Rn) và Bϕγ(R) là không gian các hàm phân rã tốc độ mũ trongBC([0, ∞); Rn) Ta sẽ xét toán tử nghiệm F trên Bϕγ(R) Để đưa ra được sự tồntại nghiệm có tính phân rã, các giả thiết (H1), (H2) và (H5) được thay thế bởinhững giả thiết mạnh hơn:

(H1*) Toán tử A là tuyến tính trên Rn sao cho tồn tại a > 0 : h−Az, zi ≥ akzk2

Kí hiệu phép chiếu Π : BC([−τ, ∞]; Rn) × L1loc(R+; R) → BC([−τ, ∞]; Rn) xácđịnh bởi Π(x, u) := x

Định lí 2.2 Giả sử rằng (H1*)-(H2*), (H3)-(H4), (H5*) thỏa mãn và tồn tạimột số γ > 0 sao cho

ηG(1 + ηF)ηB(1 + eγτ) + ηh + γ < a

Khi đó tập nghiệm S của DVI (2.1)-(2.3) là khác rỗng Hơn nữa Π(S) là một tậpcompact, khác rỗng trên BC([−τ, ∞]; Rn) và

eγtkx(t)k = O(1) khi t → ∞,với mọi x ∈ Π(S)

2.4 Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi DVI

Ta định nghĩa nửa dòng đa trị sinh bởi hệ động lực liên kết với (2.1)− (2.3) nhưsau

G : R+ × Cτ → P(Cτ)

G(t, ϕ) = {xt : x[ϕ] là một nghiệm của (2.1) − (2.3) trên [−τ, T ] với mọi T > 0},

ta thấy rằng

G(t1 + t2, ϕ) = G(t1, G(t2, ϕ)), với mọi t1, t2 ∈ R+, ϕ ∈ Cτ.Với mỗi ϕ ∈ Cτ, ta kí hiệu

Bổ đề 2.6 Giả sử (H1)-(H5) được thỏa mãn Khi đó G(t, ·) là một ánh xạ đa trịcompact với mỗi t > τ

Hệ quả 2.1 Giả sử (H1)-(H5) được thỏa mãn Khi đó nửa dòng đa trị G là nửacompact tiệm cận trên

Bổ đề 2.7 Giả sử các (H1)-(H5) được thỏa mãn Khi đó G(t, ·) là nửa liên tụctrên với mỗi t ≥ 0

Bổ đề 2.8 Giả sử (H1*) và (H2)-(H5) được thỏa mãn Nếu ta có ước lượng sau

2ηBηG(1 + ηF) + ηh < a,thì tồn tại một tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G

Định lí 2.3 Giả sử (H1*), (H2)-(H5) được thỏa mãn Khi đó tồn tại một tậphút toàn cục cho nửa dòng đa trị G sinh bởi (2.1)-(2.3) nếu ta có ước lượng dướiđây

2ηBηG(1 + ηF) + ηh < a

Chương 3

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-ELLIPTIC

TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi trình bày về bất đẳng thức vi biến phân dạngparabolic-elliptic (DVI-PE) trong không gian vô hạn chiều Kết quả thu được baogồm tính giải được và sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinhbởi DVI-PE

Nội dung chính của chương được trình bày dựa trên bài báo số [2] trong danhmục các công trình khoa học liên quan đến luận án

3.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Cho (X, k · kX) là một không gian Banach và (U, k · kU) và một không gianBanach phản xạ với không gian đối ngẫu U∗, chúng tôi xét bài toán sau

x0(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), x(t) ∈ X, t ≥ 0, (3.1)B(u(t)) + ∂φ(u(t)) 3 g(x(t), u(t)), u(t) ∈ U, t ≥ 0, (3.2)

ở đó x là hàm trạng thái lấy giá trị trong X, u là hàm điều khiển lấy giá trị trong

U , φ : U → R là một hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới

3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Sau đây, chúng tôi đưa ra các giả thiết cho bài toán (3.1) - (3.3)

(A) Toán tử A là toán tử sinh của một C0-nửa nhóm {S(t)}t≥0

(B) Toán tử B : U → U∗ được xác định bởi

hu, Bvi = b(u, v), ∀u, v ∈ U,

ở đó b : U × U → R là hàm song tuyến tính trên U × U sao cho tồn tại sốdương ηB thỏa mãn

b(u, u) ≥ ηBkuk2U, ∀u ∈ U

(F) Ánh xạ đa trị F : X ×U → P(X) là nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact.Hơn nữa

(1) Nếu nửa nhóm S(·) không có tính compact, thì F thỏa mãn ước lượngtheo độ đo

χ(F (C, D)) ≤ pχ(C) + qU (D)với mọi tập bị chặn C ⊂ X và D ⊂ U , ở đây p, q là các hằng số dương; χ

và U lần lượt là các độ đo không compact Hausdorff trên các không gian

X và U