Mô hình toán học về dòng chảy hở một chiều suy rộng

Mục tiêu nghiên cứu Luận án nghiên cứu xây dựng phương trình một chiều 1D, nhưng tổng quát hơn phương trình 1D cổ điển, cho phép mô tả dòng chảy có tốc độ theo phương thẳng đứng ở đáy l

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐÀ NẴNG – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tác giả Các kết quả nghiên cứu và các kết luận trong luận án này là trung thực, và có tính mới chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào, không sao chép dưới bất kỳ hình thức nào từ bất kỳ một nguồn nào Việc tham khảo các nguồn tài liệu đã được thực hiện trích dẫn đầy đủ và ghi nguồn tài liệu tham khảo theo đúng quy định

Ngày tháng năm 2019

Tác giả luận án

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Những đóng góp mới của luận án 2

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ DÒNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ 3

1.1 Một số thành tựu nghiên cứu về dòng chảy một chiều trong sông 3

1.1.1 Phương trình dòng chảy một chiều 3

1.1.2 Phân loại dòng chảy 4

1.1.3 Các nghiên cứu về dòng chảy một chiều 4

1.1.4 Giải phương trình Saint-Venant bằng phương pháp sai phân 11

1.1.5 Phương pháp thể tích hữu hạn giải hệ phương trình Saint-Venant 18

1.1.6 Phương pháp đặc trưng giải phương trình Saint-Venant 21

1.1.7 Phương pháp phần tử hữu hạn giải phương trình Saint-Venant 23

1.2 Kết luận chương 1 31

1.2.1 Những thành quả đã đạt được 31

1.2.2 Những tồn tại và phương hướng nghiên cứu 31

Chương 2 MÔ HÌNH TOÁN DÕNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU SUY RỘNG KHI CÓ KỂ ĐẾN VẬN TỐC CHIỀU ĐỨNG Ở ĐÁY LÒNG DẪN 34

2.1 Mô hình rối chiều dài xáo trộn 34

2.2 Cơ sở lý luận và giả thiết 35

2.3 Thiết lập phương trình một chiều suy rộng 36

2.4 Biến đổi hệ phương trình vi phân về dạng vectơ 58

2.5 Rời rạc theo thời gian 60

2.6 Rời rạc theo không gian 60

2.7 Phương trình ma trận phần tử 65

2.8 Phương trình ma trận tổng thể 65

2.9 Lập trình bằng ngôn ngữ Fortran 90 67

2.10 Kết luận chương 2 70

Chương 3 THÍ NGHIỆM BẰNG MÔ HÌNH VẬT LÝ 71

3.1 Mô tả sơ bộ máng kính thí nghiệm 71

3.2 Đập lường đo lưu lượng tổng 71

3.3 Máng lường đo lưu lượng phần dòng chảy kênh hở 73

3.4 Chuẩn bị các dụng cụ thí nghiệm 74

3.5 Chọn và bố trí các vị trí đo sâu 75

3.6 Bơm cấp lưu lượng tổng từ bể chứa tuần hoàn 75

3.7 Khống chế lưu lượng vào đường hầm, đo lưu lượng dòng chính 76

3.8 Đo chiều sâu và lưu tốc dòng chảy tại các mặt cắt 76

3.9 Phân tích sai số phép đo chiều sâu và lưu tốc 78

3.10 Kết Luận chương 3 83

Chương 4 KIỂM CHỨNG THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH 84

4.1 Các dữ liệu đầu vào 84

4.2 Kết quả tính toán bằng mô hình toán, so sánh với thực đo trên mô hình vật lý 86

4.3 So sánh trường hợp có vận tốc đứng và không có vận tốc đứng 89

4.4 Giới thiệu về HEC-RAS 92

4.5 Mô tả bài toán được thiết lập trong HEC-RAS 94 4.6 Giới thiệu về ANSYS Fluent 96

4.7 Mô tả bài toán được thiết lập trong ANSYS Fluent 98 4.8 So sánh chương trình tính TG1D, HEC-RAS, ANSYS Fluent với kết

quả thực đo trên mô hình vật lý 103 4.9 Kết luận chương 4 107

Kết luận và kiến nghị 108 Danh mục các công trình khoa học đã được công bố của tác giả

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.7 Đường đặc trưng trong dòng chảy xiết (Fr>1) và chảy êm (Fr<1) 22

Hình 3.1 Cắt dọc thượng lưu và cắt ngang máng kính 72 Hình 3.2 Bình đồ bể cấp nước và máng kính phía thượng lưu 72

Hình 3.5 Máng lường thành mỏng hình thang đo lưu lượng 74 Hình 3.6 Thí nghiệm cấp lưu lượng Q=0.075 (m3/s) 81 Hình 3.7 Thí nghiệm cấp lưu lượng Q=0.08 (m3/s) 81

Hình 4.5 Chiều sâu h tính toán bằng mô hình toán, so sánh với thực đo khi

Hình 4.12 Lược đồ sai phân Preissmann trong mô hình HEC-RAS 94

Hình 4.13 Thông số mặt cắt ngang kênh trong mô hình HEC-RAS 95

Hình 4.14 Nguồn bổ sung tại nút 46 trong mô hình HEC-RAS 95

Hình 4.16 Phân bố áp suất ở lưu lượng tổng 0.075 (m3/s) tính bằng Ansys 101 Hình 4.17 Phân bố vận tốc ở lưu lượng tổng 0.075 (m3/s) tính bằng Ansys 101 Hình 4.18 Phân bố áp suất khi lưu lượng tổng 0.08 (m3/s) tính bằng Ansys 101 Hình 4.19 Phân bố vận tốc khi lưu lượng tổng 0.08 (m3/s) tính bằng Ansys 102 Hình 4.20 Phân bố áp suất khi lưu lượng tổng 0.09 (m3/s) tính bằng Ansys 102 Hình 4.21 Phân bố vận tốc khi lưu lượng tổng 0.09 (m3/s) tính bằng Ansys 102 Hình 4.22 Phân bố áp suất khi lưu lượng tổng 0.1 (m3/s) tính bằng Ansys 103 Hình 4.23 Phân bố vận tốc khi lưu lượng tổng 0.1 (m3/s) tính bằng Ansys 103 Hình 4.24 Chiều sâu nước khi lưu lượng tổng Q=0.075(m3/s) 104 Hình 4.25 Chiều sâu nước khi lưu lượng tổng Q=0.08(m3/s) 104

Hình 4.26 Chiều sâu nước khi lưu lượng tổng Q=0.09(m3/s) 105 Hình 4.27 Chiều sâu nước khi lưu lượng tổng Q=0.095(m3/s) 105 Hình 4.28 Chiều sâu nước khi lưu lượng tổng Q=0.1(m3/s) 106

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Phân bố vận tốc u 46

Bảng 2.2 Phân bố vận tốc u (tiếp theo) 46

Bảng 2.3 Giá trị 46

Bảng 2.4 Giá trị (tiếp theo) 47

Bảng 2.5 Giá trị hay 47

Bảng 2.6 Giá trị hay (tiếp theo) 47

Bảng 2.7 Giá trị 47

Bảng 2.8 Giá trị (tiếp theo) 48

Bảng 2.9 Giá trị 48

Bảng 2.10 Giá trị (tiếp theo) 48

Bảng 2.11 Giá trị 49

Bảng 2.12 Giá trị (tiếp theo) 49

Bảng 2.13 Giá trị E 49

Bảng 2.14 Giá trị E (tiếp theo) 50

Bảng 2.15 Giá trị 50

Bảng 2.16 Giá trị (tiếp theo) 50

Bảng 2.17 Giá trị 50

Bảng 2.18 Giá trị (tiếp theo) 51

Bảng 2.19 Giá trị 51

Bảng 2.20 Giá trị (tiếp theo) 51

Bảng 2.21 Giá trị 51

Bảng 2.22 Giá trị (tiếp theo) 52

Bảng 2.23 Giá trị 52

Bảng 2.24 Giá trị (tiếp theo) 52

Bảng 2.25 Giá trị 52

Bảng 2.26 Giá trị (tiếp theo) 53

Bảng 2.27 Giá trị u 53

Bảng 2.28 Giá trị u (tiếp theo) 53

Bảng 2.29 Giá trị 53

Bảng 2.30 Giá trị (tiếp theo) 53

Bảng 2.31 Đạo hàm riêng của A và theo x 54

Bảng 2.32 Giá trị u^2 54

Bảng 2.33 Giá trị u^2 (tiếp theo) 54

Bảng 2.34 Giá trị 54

Bảng 2.35 Giá trị (tiếp theo) 55

Bảng 2.36 Đạo hàm riêng của B theo x 55

Bảng 2.37 So sánh các số hạng 55

Bảng 2.38 So sánh các số hạng (tiếp theo) 55

Bảng 3.1 Số đọc kim đo khống chế 74

Bảng 3.2 Kết quả đo độ sâu mực nước 76

Bảng 3.3 Độ sâu mực nước chi tiết giữa mặt cắt 4 và 6 77

Bảng 3.4 Sai số chiều sâu trường hợp Q1 = 45(l/s), Q2 = 30(l/s) 78

Bảng 3.5 Sai số chiều sâu trường hợp Q1 = 50(l/s), Q2 = 30(l/s) 78

Bảng 3.6 Sai số chiều sâu trường hợp Q1 = 60(l/s), Q2 = 30(l/s) 79

Bảng 3.7 Sai số chiều sâu trường hợp Q1 = 65(l/s), Q2 = 30(l/s) 79

Bảng 3.8 Sai số chiều sâu trường hợp Q = 100(l/s), Q1 = 70(l/s) 80

Bảng 3.9 Sai số chiều sâu trường hợp Q = 105(l/s), Q1 = 75(l/s) 80

Bảng 3.10 Sai số vận tốc trường hợp Q = 75(l/s) và Q = 80(l/s) 82

Bảng 3.11 Sai số vận tốc trường hợp Q = 90(l/s) và Q = 95(l/s) 82

Bảng 3.12 Sai số vận tốc trường hợp Q = 100(l/s) và Q = 105(l/s) 83

Bảng 4.1 Điều kiện ban đầu 84

Bảng 4.2 Điều kiện ban đầu (tiếp theo) 86

Bảng 4.3 Điều kiện biên chiều sâu h và lưu lượng Q dòng trên 86

a= m/s2 Gia tốc đứng tại đáy

w* m/s Điều kiện biên vận tốc đứng tại đáy

q m3/s/m Lưu lượng phân bố bổ sung và hệ số

β Hệ số tỉ lệ của lưu tốc nhập (xuất) so với lưu tốc trung bình

{Y} Vec tơ vế phải phần tử

{YY} Vec tơ vế phải tổng thể

L m Nửa chiều dài phần tử, khoảng cách 2 nút

<> Tích phân

dkbd Điều kiện ban đầu

có vật nhô lên ở đáy lòng dẫn; đây là những trường hợp mà hệ phương trình Venant cổ điển chưa mô tả được

Saint-2 Mục tiêu nghiên cứu

Luận án nghiên cứu xây dựng phương trình một chiều (1D), nhưng tổng quát hơn phương trình 1D cổ điển, cho phép mô tả dòng chảy có tốc độ theo phương thẳng đứng ở đáy lòng dẫn bằng mô hình một chiều; đáp ứng một số bài toán trong thực tế, như lòng dẫn có nước trồi, đáy lòng dẫn có vật nhô cao

Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin và lập trình bằng ngôn ngữ Fortran 90 để lập chương trình giải phương trình một chiều đã xây dựng

Kiểm nghiệm thuật toán và chương trình tính

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là dòng chảy hở một chiều

Phạm vi nghiên cứu: Thành lập hệ phương trình suy rộng cho dòng chảy hở một chiều khi có vận tốc thẳng đứng ở đáy lòng dẫn bằng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin Xây dựng thí nghiệm nhằm kiểm chứng thuật toán và chương trình tính

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tổng hợp và phân tích tài liệu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết, biến đổi toán học, tích phân để xây dựng phương trình 1D suy rộng

Phân tích ưu nhược điểm của các phương pháp giải số, tiến hành chọn phương pháp giải số là phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin để giải bài toán nghiên cứu

Lập trình trên máy tính; nghiên cứu thuật toán và thiết lập chương trình tính: Xây dựng chương trình tính dựa trên thuật toán giải: phương pháp số phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin có độ chính xác cao (bậc 3) để nhận nghiệm số trị đã thiết lập

Thực nghiệm để có số liệu đối chiếu với lời giải số, kiểm tra tính đúng đắn của mô hình toán, thuật toán và chương trình tính đã thiết lập ở trên bằng thí nghiệm thực hiện trên mô hình vật lý

5 Những đóng góp mới của Luận án

1) Luận án đã xây dựng được hệ phương trình 1 chiều suy rộng khi có xét đến vận tốc tương đối lớn theo phương thẳng đứng ở đáy lòng dẫn

2) Luận án đã xây dựng được thuật toán và chương trình tính để giải hệ phương trình 1 chiều suy rộng theo phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin

có độ chính xác bậc 3 theo thời gian

Luận án đã thực hiện thí nghiệm bằng mô hình vật lý trong máng thủy lực trong điều kiện dòng chảy 1 chiều có vận tốc theo phương thẳng đứng ở đáy lòng dẫn Số liệu thí nghiệm được dùng để kiểm chứng kết quả của thuật toán và chương trình tính, được đặt tên là TG1D Số liệu thí nghiệm còn đóng góp trong nghiên cứu cấu trúc của dòng chảy 1 chiều có vận tốc tương đối lớn theo phương thẳng đứng ở đáy lòng dẫn

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ DÕNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ

Bài toán dòng chảy hở một chiều đóng vai trò quan trọng trong tính toán

thủy lực trong sông, hồ, biển; đặc biệt là dòng chảy kiệt và dòng chảy lũ trong

sông khi chưa tràn bờ

1.1 Một số thành tựu nghiên cứu về dòng chảy một chiều trong sông

1.1.1 Phương trình dòng chảy một chiều

Dựa vào định luật bảo tồn khối lượng, động lượng và năng lượng,

Saint-Venant (1871) đã đưa ra hệ hai phương trình vi phân dạng đầy đủ mô tả chuyển

động không ổn định thay đổi chậm một chiều [11], [52], [86], [72] dựa trên một số

giả thiết sau:

- Dòng chảy là một chiều, tức là dòng chảy xét với vận tốc trung bình trên

mặt cắt ngang

- Độ cong của đường dòng là nhỏ và gia tốc theo phương thẳng đứng là

không đáng kể (phân bố áp suất theo quy luật của thuỷ tĩnh)

- Biến đổi của chiều sâu dòng chảy theo thời gian là từ từ

- Độ dốc trung bình của đáy sông đủ nhỏ sao cho cos 1 với là góc giữa

đường đáy và đường nằm ngang

- Ảnh hưởng của ma sát ở biên và kết cấu rối có thể xét đến theo phương

pháp đã sử dụng khi nghiên cứu sức cản của chuyển động ổn định Hệ phương

trình nhận được như sau:

(1.1) (1.2)trong đó:

Q là lưu lượng nước (m3/s)

q là lưu lượng bên bổ sung (m3/s/m)

1.1.2 Phân loại dòng chảy

Dòng chảy trong kênh, sông có thể được phân loại theo nhiều cách [8], [11] dựa trên các tiêu chuẩn khác nhau Theo số Reynolds, chúng được phân biệt thành hai trạng thái là chảy tầng và chảy rối Theo tính chất có thay đổi hay không thay đổi theo thời gian của các yếu tố chuyển động, chúng được phân thành hai loại là dòng chảy không ổn định và dòng chảy ổn định Căn cứ vào tính chất có thay đổi hay không thay đổi dọc theo chiều dòng chảy của các đặc trưng dòng chảy, dòng chảy ổn định lại được phân thành hai loại là dòng chảy không đều và dòng chảy đều Căn cứ vào số Froude, chúng được phân thành hai trạng thái chảy êm và xiết

1.1.3 Các nghiên cứu về dòng chảy một chiều

Bài toán dòng chảy một chiều trong kênh, sông đã thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu thủy lực từ nhiều năm qua [17], [40], [42], [46], [59], [66], [84], [95]

Mô hình toán học một chiều trong sông đã được nhiều tác giả xây dựng với giả thiết xem dòng chảy chủ yếu là dọc theo trục sông Một số nhà nghiên cứu [J.J Stoker, 1957; V.T Chow, 1959; T Strelkoff, 1969; B.C Yen, 1973; J.A.Cunge và cộng sự, 1981] nhận được hệ phương trình Saint Venant mô tả dòng chảy một

chiều bằng cách sử dụng các thủ tục khác nhau [52]

Bakhmeteff (1932) đã đề xuất một hệ thống phân loại đối với đường mặt

nước cho dòng chảy ổn định không đều, được đưa vào trong tất cả các sách giáo khoa về các loại đường mặt nước Hệ thống này rất hữu ích cho sự hiểu biết các đường mặt nước, nhưng bản thân việc phân loại là rất hiếm khi được sử dụng trong thực tế kỹ thuật Các đường mặt nước được phân loại theo độ dốc đáy, độ dốc phân giới và chiều sâu nước, như đưa ra trong hình 1.1 [71]

Hình 1.1 Đường mặt nước dòng không đều

Ghi chú trong hình 1.1:

E là năng lượng đơn vị của mặt cắt:

(1.3)

ic dốc phân giới; y là chiều sâu dòng không đều; y0 là chiều sâu dòng đều; yc

là chiều sâu phân giới; Fr là số froude

Phương pháp diễn toán dòng không ổn định bằng cách xấp xỉ sóng khuếch tán được Hayami (Nhật Bản) đề xuất vào năm 1951 Cơ sở của phương pháp sóng khuyếch tán là coi trung tâm của sóng lũ dịch chuyển với vận tốc trung bình của sóng động học, đồng thời phần mặt và đuôi sóng sẽ khuếch tán từ trung tâm của nó

ra ngoài với vận tốc càng lớn nếu sóng lũ càng dốc [11]

Cụ thể là: Đối với sóng khuếch tán, độ dốc ma sát được xấp xỉ:

Vào cuối những năm 1960, một số nhà nghiên cứu đã cố gắng thu hẹp khoảng cách giữa thủy lực kênh hở và cơ học chất lỏng và để có được phương trình dòng chảy trong kênh hở tốt hơn Về mặt khái niệm, các thủ tục khá đơn giản: Bước 1: Tích phân phương trình Navier Stokes dạng điểm với phương trình liên tục tương ứng trong mặt cắt (hoặc trên độ sâu) Bước 2: phương trình từ bước 1sẽ được thực hiện thông qua quá trình trung bình thời gian để mang lại phương trình dòng chảy trong kênh hở C.L.Chen và V.T Chow (1971) đã đưa ra một kết quả tích phân, không có trung bình thời gian, cho dòng chảy trong kênh hở không

ổn định T Strelkoff (1969) đã đưa ra một tích phân toàn diện hơn cho chất lỏng đồng nhất không nén được B.C Yen (1973) thực hiện một phương trình mở rộng hơn cho dòng chảy kênh hở không ổn định nói chung của chất lỏng đồng nhất cũng như không đồng nhất Cả Strelkoff và B.C Yen đã chỉ ra các giả thiết thường được

sử dụng ở phương trình dòng chảy trong kênh hở không ổn định một chiều, các phương trình Saint-Venant Cả hai cũng nhấn mạnh sự khác biệt giữa phương trình động lực và phương trình năng lượng Để chứng minh rằng phương trình dòng

chảy kênh hở thường được sử dụng được đơn giản hóa, trường hợp đặc biệt của phương trình kênh hở chung thống nhất, B.C Yen (1975) bắt nguồn từ phương trình liên tục, động lực, và năng lượng cho thấy phù hợp với một số trường hợp đặc biệt và cho thấy các giả thiết tham gia vào nhiều phương trình thường được sử dụng [82], [83]

J.H Daluz Vieira (1983) nghiên cứu lời giải số của phương trình Venant được so sánh với các phép xấp xỉ sóng động học, khuếch tán và trọng lực, cho một dải số Froude và sóng động học liên tục, với hai điều kiện biên dưới khác nhau: (1) dòng phân giới; và (2) gradient độ sâu bằng 0 Đối với mỗi điều kiện biên dưới, các giải pháp sóng động học, khuếch tán và trọng lực có thể được sử dụng để ước lượng lời giải phương trình Saint-Venant [35]

Saint-H.W Shen và B.C Yen (1984) cho rằng các thành tựu lớn nhất trong việc nghiên cứu dòng chảy trong kênh hở sau khi tài liệu cổ điển của tiến sĩ V.T Chow được thực hiện đó là việc sử dụng máy tính kỹ thuật số tốc độ cao và dung lượng lớn Nhiều giải pháp đồ họa rõ ràng và phương pháp có hiệu quả sản sinh các lời giải gần đúng (V.T Chow, năm 1959, pp 249-284 và pp 341-349) cho dòng chảy đổi dần Các máy tính đặc biệt phù hợp để cung cấp các giải pháp thử sai Sự nổi tiếng mô hình HEC2 được phát triển bởi trung tâm kỹ thuật thủy văn, tập đoàn kỹ thuật quân đội Mỹ Mô hình này là nhằm mục đích giải quyết nhiều trường hợp khác nhau Nhiều mô hình đơn giản đã được phát triển bởi công ty tư vấn và các

cơ quan chính phủ T.E Croley (1977) cung cấp một số chương trình tính nhỏ tuyệt vời cho tính toán thủy văn, thủy lực khác nhau Ngoài ra, một số sách giáo khoa có sẵn trong đó tóm tắt thủ tục tính toán cho cả hai dòng kênh hở ổn định và không ổn định: K Mahmood và V Yevjevich (1975), WA.Miller và V Yevjevich (1975), M.B Abbott (1979), J.A Cunge và cộng sự (1981) Một số đóng góp đáng

kể đã được thực hiện bởi J.A Liggett và D.A Woolhiser (1967), R.A Baltzer và

C Lai (1968), T Strelkoff (1970), M Amein và C.S Fang (1970), E.B Wylie (1970), và Amorochode Vries (1971), L Becker và W.W.G Yeh (1972), D.N Contractor và J.M Wiggert (1972), Fread (1973), A.S.Sevuk và B.C Yen (1973),

B.C Yen (1979), R.K Price (1974), J.P.Bennett (1975), J.G.Grijsen và C.B Vreugdenhil (1976), V.S Rao et al V.M Ponce và D.B Simons (1977), D.L Fread và G.F.Smith (1978), V.M Ponce (1978), K Sivaloganathan (1978), và J.J.Zovne và C.S Martin (1979) [19], [21], [22], [23], [28], [30], [33], [34], [44], [45], [64], [67], [70], [71], [73], [74], [83], [85], [88], [101]

Nguyễn Thế Hùng (1989) nghiên cứu các đặc trưng thủy động lực học dòng chảy hở hai chiều đứng Bằng cách đưa vào thành phần giả nén trong phương trình liên tục đã tạo được điều kiện thuận lợi cho việc giải số; đã chứng minh được điều kiện biên tiêu tán của hệ phương trình dòng chảy hở hai chiều đứng khi biên cố định hoặc di chuyển bé theo thời gian Bài toán được giải bằng phương pháp phần

tử hữu hạn Galerkin Nguyễn Thế Hùng (2001), ứng dụng phương pháp sai phân

và phần tử hữu hạn giải mô hình thuỷ động lực học số trị hai chiều ngang [5], [7]

Lê Văn Nghị, Trần Đình Hợi, Nguyễn Thế Hùng (2004) nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn hai giai đoạn với độ chính xác cao giải hệ phương trình Reynolds hai chiều đứng [1]

Xingwei Chen, Yee Meng Chiew, M.ASCE (2004) nghiên cứu về mặt lý thuyết và thực nghiệm các phân phối vận tốc của dòng chảy rối trong kênh hở có dòng thấm vào đáy, nhận được một công thức phân phối vận tốc theo luật logarit sửa đổi Phân phối tốc độ đo thực nghiệm xác minh tính chính xác của công thức phân phối lý thuyết Các dữ liệu cho thấy một sự gia tăng đáng kể trong tốc độ gần đáy và giảm vận tốc gần mặt nước, dẫn đến sự hình thành của một phân phối tốc

độ đồng đều hơn [105]

Xavier Litrico, Vincent Fromion, Jean Pierre Baume, Carina Arranja, Manuel Rijo (2005) nghiên cứu một phương pháp dựa trên mô hình thủy lực cổ điển (phương trìnhSaint-Venant) để thiết kế điều khiển tự động hiệu quả cho hồ, kênh thủy lợi Phương pháp này được áp dụng trên một kênh thí nghiệm đặt tại Bồ Đào Nha Mô hình thủy lực phi tuyến đầy đủ được kiểm định, thử nghiệm bằng cách sử dụng một trạng thái ổn định đơn giản, sau đó nó được xác nhận ở các điều kiện thủy lực khác nhau [102]

Xavier Litrico, Vincent Fromion (2006) điều tra sự kiểm soát của chế độ dao động xảy ra trong kênh hở, do sự phản xạ của sóng truyền trên biên Các chế

độ này được thể hiện tốt bởi phương trình Saint-Venant tuyến tính hóa, một tập hợp các phương trình vi phân từng phần hyperbol mô tả động lực học của dòng chảy kênh hở một chiều xung quanh chế độ ổn định cho trước [103]

Hitoshi Sugiyama, Daisuke Hitomi, Takuya Saito (2006) nghiên cứu sự rối trong một kênh hỗn hợp uốn cong với một mặt cắt hình chữ nhật là một trong những trường hợp phức tạp nhất vì nó là do tác dụng của một số loại lực, bao gồm lực ly tâm, lực đẩy và ứng suất cắt được tạo ra bởi sự truyền tải động lượng giữa kênh chính và vùng lũ Phân tích số được thực hiện cho phát triển rối đầy đủ trong một khúc kênh hở hỗn hợp uốn cong bằng cách sử dụng một mô hình đại số ứng suất Reynolds [53]

Jing Yan, Hong-Wu Tang, Yang Xiao, Kai-Jie Li, Zhi-Jun Tian (2011), nghiên cứu hiện tượng nhịp vận tốc có thể xảy ra trong một phần hoặc trong toàn

bộ của trường dòng chảy hở do hiệu ứng lưu lượng thứ cấp Dựa trên các thí nghiệm máng hình chữ nhật và máy đo tốc độ Doppler Laser, ảnh hưởng của khoảng cách đến tường bên và tỷ lệ giảm vận tốc được nghiên cứu [60]

Zhihua Xie, Binliang Lin, Roger A Falconer (2012) nghiên cứu mô phỏng xoáy lớn để điều tra cấu trúc rối của dòng chảy kênh hở trong kênh phức hợp bất đối xứng, mô hình quy mô lưới nhỏ động lực đã được sử dụng [110]

Li Liu, Chengyu Yang, Qinghua Wei ( 2012 ) dựa trên phân tích số liệu vận tốc tức thời thu được, xác nhận sự ngẫu nhiên của sự di chuyển của nước và đáp ứng được quá trình ngẫu nhiên Mối quan hệ giữa biên độ xung, số Reynolds và số Froude đáp ứng được xu hướng của đường cong hàm mũ, tức là với biên độ xung trung bình lớn, số Reynolds và số Froude lớn hơn, và nó dẫn tới sự thay đổi kết cấu của dòng chảy tương ứng Biên độ xung theo hướng chiều sâu phân phối theo một đường cong mũ, như tăng độ sâu nước, biên độ xung tăng lên Sự dao động của vận tốc đóng một vai trò quan trọng trong xung vận tốc và tốc độ bắt đầu của

sự xói mòn của dòng trầm tích, sự xói mòn bờ sông và sự sụp đổ của đê bị hư hại, nên nghiên cứu về biên độ xung là rất cần thiết [63]

I.M.H Rashwan (2013) nghiên cứu sử dụng phương trình động lượng để xây dựng phương trình nước nhảy xảy ra trong một đoạn kênh hở hình bán nguyệt Phương trình chỉ ra rằng các độ sâu trước và sau nước nhảy phụ thuộc độ sâu phân giới [75]

M Greco, D Mirauda, A Volpe Plantamura (2014) áp dụng mô hình Entropy lên sông, trình bày các khía cạnh liên quan đến các vấn đề lý thuyết và thực tiễn hữu ích cho phân phối vận tốc mặt cắt ngang Tỷ lệ giữa vận tốc trung bình và vận tốc tối đa phụ thuộc vào hình thái nhánh cục bộ và vẫn còn khá đều giữa các mặt cắt tương tự [49]

Xiao-guang Liu và Yu-hong Zeng (2016) nhận thấy thảm thực vật trong các

hệ thống sông ngòi đóng một vai trò quan trọng trong các khía cạnh môi trường và sinh thái Thực vật có thể gây ra sự tiêu hao năng lượng qua lực kéo do sự tương tác giữa thực vật và dòng chảy, và hệ số cản phi thứ nguyên (Cd) có tầm quan trọng rất lớn trong việc hiểu và dự đoán lực kéo Hiện nay hệ số Cd đã được xác định thông qua các thí nghiệm mô hình và tài liệu phổ biến về lưu lượng kênh ngầm dưới đáy với thực vật cứng Một phương pháp xử lý dữ liệu đã được giới thiệu để tìm kiếm một dự đoán thực nghiệm cho Cd [104]

Cornelius E Agua, Asmund Hjulstad, Geir Elseth, Bernt Lie (2017) đề xuất một thuật toán cải tiến về tính chính xác của tốc độ dòng chảy được tính toán dựa trên cơ cấu thủy lực và phương pháp bán kính- độ dốc thủy lực Một mô hình xác định tốc độ dòng chảy trong dòng gia tốc cũng được phát triển Trong thuật toán được đề xuất, tham số được sử dụng để điều chỉnh các mô hình tốc độ dòng chảy thu được bằng cách so sánh độ sâu của chất lỏng được đo với độ sâu mô phỏng dựa trên các phương trình Saint-Venant một chiều Kết quả cho thấy một cải tiến

độ chính xác từ ± 2,3% đến ± 0,8% so với đo lường tốc độ dòng chảy bằng phương pháp ống Venturi [31]

1.1.4 Giải phương trình Saint-Venant bằng phương pháp sai phân

Trong phương pháp sai phân trực tiếp, nghiệm được xác định tại các điểm lưới cố định trên mặt phẳng (x,t) [71]

Phương pháp để giải phương trình Saint-Venant phức tạp nhiều hơn việc giải phương trình sóng động học Hiện tại có một số phương pháp giải khác nhau,

có thể chia thành hai nhóm: các phương pháp hiện, các phương pháp ẩn [71], [77]

Khi các sai phân trong không gian được tính toán, câu hỏi đặt ra là giá trị trong bước thời gian j-1 hay bước thời gian j nên được sử dụng Nếu các giá trị trong bước thời gian j-1 được sử dụng, đây là sai phân hiện Nếu các giá trị bước thời gian j được sử dụng, ta có sai phân ẩn Sai phân ẩn ổn định hơn sai phân hiện,

và bước thời gian lâu hơn có thể được sử dụng Sai phân hiện đơn giản trong lập trình Sơ đồ tính cho sai phân hiện Crank-Nicholson được cho như hình 1.2 [71]

Hình 1.2 Sơ đồ sai phân hiện Crank-Nicholson

Hình 1.2 là một sơ đồ sai phân hiện, nó là sơ đồ sai phân trung tâm Nó dựa trên 3 điểm không gian ở bước thời gian j-1 và 1 điểm không gian trung tâm tại bước thời gian j

Thông thường, các gradient được tính như là một sự kết hợp của các giá trị tại bước thời gian j và bước thời gian j-1 Một trọng số sẽ được sử dụng, nơi lời giải cuối cùng là lần các gradient tại bước thời gian j, cộng thêm (1- ) lần các gradient tại bước thời gian j-1 Điều này có nghĩa =1, là một giải pháp ẩn, và =

0 là giải pháp hiện Nếu từ 0 đến 1, các giá trị tại cả hai bước thời gian sẽ được

sử dụng Phương pháp này sẽ vẫn còn được cho là ẩn Chương trình DAMBRK sử

dụng một giá trị mặc định là 0,6 cho , tương đương với việc sử dụng 60% giá trị tại bước thời gian j và 40% giá trị tại bước thời gian j-1 Cả hai phương pháp này được mô tả như sau [71], [99]

1.1.4.1 Phương pháp sai phân hiện

Sai phân hiện dễ dàng giải số hơn so với sai phân ẩn Lưu lượng nước ban đầu ở các mặt cắt sông là được biết, vì vậy, tính toán bắt đầu với bước thời gian tiếp theo Đối với mỗi mặt cắt ngang i, lưu lượng có thể được tính từ các lưu lượng tại bước thời gian trước Điều này được lặp lại cho tất cả các mặt cắt ngang, và các lưu lượng tại bước thời gian j được tính bởi một phép quét Sau đó, các tính toán tiến đến các bước thời gian tiếp theo

Những gì cần thiết là công thức để tính lưu lượng nước tại bước thời gian j

là một hàm của các lưu lượng tại bước thời gian j-1 Điều này thu được bằng cách sai phân hóa phương trình liên tục và phương trình động lượng:

Phương trình động lượng Saint -Venant có thể được sai phân hóa là:

(1.13)

Ở đây

(1.14)

Công thức (1.13) có thể được giải để tìm Ui, j:

(1.15) Phương pháp Mac Cormack là phương pháp hiện lần đầu đươc giới thiệu vào năm 1969 Sử dụng bài toán vòi phun để minh họa phương pháp Mac Cormack Phương pháp Mac Cormack, dựa vào sự khai triển chuỗi Taylor theo thời gian Phương trình (1.16) là chuỗi Taylor cắt cụt có độ chính xác bậc nhất [61]

(1.16) Tuy nhiên là một đạo hàm trung bình thời gian lấy giữa thời gian t và

t + t, phương trình (1.16) trở nên có độ chính xác bậc hai Đạo hàm trung bình thời gian trong phương trình (1.16) đươc đánh giá theo ý tưởng dự báo - hiệu chỉnh như sau:

Bước dự báo:

Chúng ta lặp lại phương trình liên tục (1.17), ở dưới đây:

(1.17) Trong phương trình (1.17), tính toán những đạo hàm không gian từ giá trị trường dòng đã biết tại thời gian t bằng cách sử dụng sai phân tiến Như vậy ta có:

(1.18) Giá trị dự báo của mật độ xác định từ hai số hạng đầu tiên của chuỗi Taylor như sau:

(1.19)

Bước hiệu chỉnh:

Trước hết chúng ta nhận đươc giá trị dự báo của đạo hàm thời gian bởi thay thế những giá trị dự báo của vào phương trình (1.17), sử dụng sai phân lùi

(1.20) Bây giờ tính toán đạo hàm trung bình thời gian như trung bình số học giữa phương trình (1.18) và (1.20), tức là:

(1.21) trong đó những giá trị số đối với hai số hạng trên vế phải của phương trình (1.21) đến từ phương trình (1.18) và (1.20), tương ứng Cuối cùng chúng ta nhận đươc giá trị hiệu chỉnh của từ phương trình (1.19)

1.1.4.2 Phương pháp sai phân ẩn

Thủ tục bắt đầu với sự sai phân hóa của từng số hạng vi phân của phương trình liên tục và phương trình động lượng trong không gian và thời gian theo hình 1.3

Hình 1.3 là sơ đồ sai phân ẩn Preissmann Sơ đồ Preissmann dựa trên hai điểm ở bước thời gian trước và hai điểm ở bước thời gian sau

(1.22)

(1.23)trong đó trọng số ẩn là

Hình 1.3 Sơ đồ sai phân ẩn bốn điểm Preissmann

(1.24)

Số hạng tổn thất ma sát được sai phân hóa bằng cách giải phương trình của Manning:

(1.25) Các biến ở đây là trung bình giữa mặt cắt i và i-1

Các thủ tục tương tự được sử dụng cho phương trình liên tục:

(1.26) (1.27) Năm 1961, Preissmann đưa ra sơ đồ sai phân ẩn 4 điểm mà sau này được

mô tả nhiều trong các tài liệu của Cunge, M.B Abbott, Amein và Fang Theo sơ

đồ này các đại lượng h, Q đều cùng được đánh giá tại một điểm lưới Các quy luật bảo toàn viết cho một mắt lưới mà điểm đặc trưng nằm giữa mắt lưới với với hai trọng số , ψ [3]

M.B Abbott và Ionescu (1967) đã đưa ra một sơ đồ tính xen kẽ h, Q gồm 8 điểm cùng tham gia trong tính toán (4 điểm cho lớp thời gian n và 4 điểm cho lớp

n + 1 từ điểm i-l đến i+2), i và i+1 là trung tâm Khoảng cách từ i-1 đến i là x [3]

Hình 1.4 Lược đồ sai phân Abbott và Ionescu

Liggett và Woolhiser (1967) đã so sánh một số sơ đồ hiện như sơ đồ cóc nhảy (Leap-frog), sơ đồ Lax-Wendroff với phương pháp đường đặc trưng lưới động và lưới cố định và cũng so sánh với sơ đồ sai phân ẩn Các tác giả này đã kết luận rằng nhược điểm chủ yếu của các sơ đồ hiện là bước thời gian tính toán bị hạn chế, mặc dù các sơ đồ này có thể dự tính được những thay đổi cục bộ [3]

Vreugdenhil (1973) đã dùng một sơ đồ sai phân ẩn chữ nhật tính xen kẽ mực nước H và lưu lượng Q; xem mặt cắt như một nút tính toán, còn mắt lưới tính toán là hình chữ nhật mà mực nước được tính tại điểm giữa, còn lưu lượng được tính tại các nút Phương trình liên tục được viết cho mỗi mắt lưới với lưu lượng vào ra tính qua phương trình động lực Các mắt lưới được nối với nhau qua luật cân bằng lưu lượng Các đại lượng tính toán được cân bằng giữa lớp thời gian t và t + t qua trọng số ổn định nằm giữa 0,5 và 1 [3]

Francesco Greco và Lorenzo Panattoni (1974) nghiên cứu một phương pháp ẩn để giải phương trình Saint-Venant Phương pháp này đã được dùng cho một ứng dụng liên quan đến sông Arno Phương pháp này khai thác sự tuyến tính trong lưu lượng của phương trình khối lượng, bằng các phương tiện

mà nó có thể thể hiện lưu lượng như là một hàm của mực nước và sử dụng điều này cho phương trình chuyển động [43]

Vulli L Gupta; Syed M Afaq; John W Fordham; James M Federici (1979) hướng dẫn mô hình hóa dòng chảy không ổn định Trình bày trong tài liệu là một nghiên cứu trường hợp của mô hình một chiều của chế độ dòng chảy không ổn định đa dạng không gian trên sông, sử dụng phương trình liên tục và động lượng Saint-Venant Các sơ đồ sai phân hữu hạn được so sánh liên quan đến hiệu quả của chúng trong việc mô phỏng chế độ dòng chảy Đáp ứng mô hình đã được kiểm tra với lưu ý đối với những thay đổi trong sáu tham số, cụ thể là: (1) kích thước lưới; (2) dòng bên hoặc tỷ lệ chảy ra; (3) mô tả rời rạc và tổng hợp của các yếu tố thủy lực; (4) mô tả rời rạc và tổng hợp của độ dốc đáy; (5) Hệ số nhám của lòng suối;

và (6) cường độ của tham số trọng số [98]

Ireneusz Stepien(1983) nghiên cứu giải pháp số cho phương trình vi phân Saint-Venant Dòng chảy không ổn định dưới nhà máy thủy điện trên sông Vistula,

Ba Lan, đã được nghiên cứu Phương pháp sai phân ẩn bốn điểm đã được sử dụng

để giải phương trình Saint-Venant Kết quả của các thí nghiệm số được so sánh thành công với hàng loạt ghi nhận dòng chảy tại một số đồng hồ đo độ sâu kiểm

soát trên 60 km dài của sông Vistula [58]

Mieczyslaw Chalfen và Andrzej Niemiec (1986) nghiên cứu lời giải cho phương trình Saint-Venant với điều kiện ban đầu và biên đặc biệt Lời giải này đã được sử dụng để chứng minh tính chính xác của các giải pháp số Sơ đồ Preissmann nói chung được sử dụng để tìm lời giải xấp xỉ Các tác giả tìm điều kiện ổn định cho sơ đồ này Việc áp dụng phương pháp này để nghiên cứu lũ sông Nysa [69]

VRSAP, viết tắt của "Vietnamese River System and Plain", là một mô hình toán thủy lực một chiều, do giáo sư Nguyễn Như Khuê xây dựng vào cuối thập niên 1970 Mô hình VRSAP có thể được áp dụng cho hệ thống sông tự nhiên hoặc kênh dẫn kết hợp với các ô ruộng hai bên bờ [4]

KOD1 của GS-TSKH Nguyễn Ân Niên Đây là phần mềm dựa trên sơ đồ sai phân hiện Phần giao diên, nối kết GIS và Database đang trong giai đoạn nâng cấp

và hoàn thiện Mặc dù thời gian tính nhanh nhưng nhiều khi gặp vấn đề cân bằng toàn cục ảnh hưởng tới độ chính xác của kết quả Trước đây khi tốc độ xử lý của máy tính còn chậm thì thuật toán hiện còn hữu ích KOD1 chủ yếu được một số cán

bộ của Viện Khoa học thủy lợi sử dụng [4]

Nguyễn Tất Đắc (2005) nghiên cứu mô hình toán cho dòng chảy và chất lượng nước trên hệ thống kênh sông, tập trung phân tích các sơ đồ sai phân, các cách truy đuổi và trên cơ sở đó xây dựng lời giải số cho mô hình thủy lực riêng của tác giả theo sơ đồ sai phân Preissmann Chương trình SAL với các phiên bản khác nhau (như FWQ87, SAL790, TLUC, SAL1193, SAL99, SALBOD, VRSAP_SAL, ) được công bố trong quá trình xây dựng và hoàn thiện đã được sử dụng để giải nhiều bài toán thực tiễn về truyền triều và xâm nhập mặn trên nhiều hệ thống sông khác nhau [3]

Vincenzo Casulli và Ralph T Cheng (1990) phân tích ổn định và sai số cho một số phương pháp sai phân khi áp dụng với những phương trình nước nông một chiều [96]

Trần Đình Hợi, Lê Văn Nghị (2002) trình bày phương pháp áp dụng mô

hình thuỷ lực một chiều mô phỏng dòng không ổn định để xác định khả năng lấy nước trên hệ thống Phương pháp có ưu điểm là xem xét được bức tranh toàn cảnh của dòng chảy trên hệ thống cũng như chi tiết tại từng đoạn, từng điểm tính toán trong toàn bộ quá trình mô phỏng Giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng cách sai phân hoá hệ phương trình, sử dụng sơ đồ sai phân trung tâm có trọng

số Sau khi biển đổi và rút gọn lại sẽ thu được hệ phương trinh tuyến tính cho từng đoạn sông [14]

P Glaister (2005) nghiên cứu sơ đồ sai phân hữu hạn bảo toàn cho lời giải của phương trình dòng nước nông một chiều trong kênh hở Các kết quả số được trình bày và so sánh cho các phiên bản khác nhau của các sơ đồ khi áp dụng cho một bài toán kiểm tra vấn đề trong một kênh với bề rộng, số hạng ma sát và chiều sâu thay đổi Điều này bao gồm sự cân nhắc về ảnh hưởng của việc sửa đổi một phần của cân bằng thông lượng như một nguồn [48]

Vũ Đức Thái - viện công nghệ thông tin (2011) nghiên cứu ứng dụng mạng

nơ ron tế bào CNN trong việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp sai phân, đề xuất nghiên cứu giải phương trình dòng chảy một chiều: Nghiên cứu mô hình toán học, thiết kế mẫu, chứng minh sự ổn định của mạng với tập mẫu tìm được Chứng minh sự tương đương toán học giữa mô hình sai phân và mô hình CNN Mô phỏng tính toán theo thuật toán CNN trên Matlab, thiết

kế mạch và cấu hình trên chip EP2C35 tạo thành mạng CNN cho bài toán; so sánh kết quả tính trên máy PC và tính bằng mạng CNN xây dựng trên chip FPGA [15]

1.1.5 Phương pháp thể tích hữu hạn giải hệ phương trình Saint-Venant

Phương pháp thể tích hữu hạn (FVM) là một kỹ thuật rời rạc phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là phát triển từ các định luật bảo toàn trong vật lý FVM sử dụng công thức tích phân thể tích của bài toán với một tập các phân hoạch thể tích hữu hạn cho việc rời rạc hóa phương trình, áp dụng định lý Green chuyển tích phân kép thành tích phân đường

Ví dụ:

Xét phương trình dòng chảy 2 chiều ngang:

(1.31) trong đó:

h là chiều sâu dòng chảy; u, v là vận tốc theo hướng x,y

; là các độ dốc đáy theo hướng x;y

; là các độ dốc ma sát theo hướng x;y

Tích phân phương trình (1.31) và biến đổi, ta được:

(1.34) Với H={F,G}

{N} là vec tơ đơn vị pháp tuyến hướng ngoài mặt p ; {Nds}={dy,-dx}T

Viết lại (1.34):

(1.35) ABCD là vùng giữa của i-1, i, i+1; j-1, j, j+1

…

(1.36) trong đó αi; βi là hệ số trọng số có thể lấy trị số trong khoảng [0, 1], trị số trung bình là 0.5

Hình 1.5 Sơ đồ thể tích hữu hạn

Dễ nhận thấy rằng phương trình (1.35), sau khi thay thế các trị số (1.36) có dạng phương trình vi phân thường:

(1.37) trong đó:

áp dụng cho phương trình dòng chảy kênh hở Hơn nữa, tính chính xác của chương

A

FAB; GABD

Pi,j

j+1

j-1

trình và sự ổn định được cải thiện bằng cách sử dụng một cách tiếp cận gián tiếp cục bộ, có tính đến số CFL cục bộ [26]

E Blade, M Gómez Valentín, J Dolz, JL Aragón Hernández, G Corestein,

M Sánchez Juny (2012) nghiên cứu tích phân của sơ đồ thể tích hữu hạn 1D và 2D để tính toán dòng chảy trong các kênh tự nhiên Một loạt các mô hình mô phỏng lũ có sẵn hiện nay, một số trong số chúng sử dụng cách tiếp cận 1D và những mô hình khác là 2D, nhưng cũng có một số mô hình cho phép thực hiện các

mô phỏng 1D-2D tích hợp [25]

1.1.6 Phương pháp đặc trưng giải phương trình Saint-Venant

Người đầu tiên áp dụng phương pháp đặc trưng hiện trong bài toán dòng chảy một chiều là J.J Stoker Phương pháp này đơn giản, thuận tiện, nhưng do độ

ổn định tính toán, bước thời gian bị hạn chế bởi điều kiện Courant-Lêvi Một số tác giả như Amein Fletcher, J.A.Liggett đã tích phân phương trình trên các đường đặc trưng với các lưới biến đổi, nên bước thời gian có mở rộng nhưng phải dùng

kỹ thuật nội suy làm ảnh hưởng tới độ chính xác và đặc biệt không thuận tiện cho

hệ kênh sông có hình dạng biến đổi mà ta hay gặp trong thực tiễn Nhược điểm này

đã được R.A Baltzer và C Lai khắc phục bằng lưới đặc trưng cố định, tuy nhiên vẫn cần những thủ tục nội suy hoặc lặp đối với các đại lượng cần tính toán [3]

Nội dung của phương pháp đặc trưng là biến đổi hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng thành hệ phương trình vi phân thường theo một hướng đặc trưng nào đó và tìm lời giải bài toán theo hệ phương trình vi phân thường này, từ đó ta

dễ dàng thấy được bản chất vật lý của hiện tượng nghiên cứu

Hình 1.6 Hướng tốc độ đặc trưng λ

Hệ phương trình Saint-Venant [80]

= 0 (1.38) Lập phương trình đặc tính theo cách dùng đạo hàm theo hướng

Trong mặt phẳng (x,t) chọn hướng λ bất kỳ [9]:

(1.39)

Hình 1.7 Đường đặc trưng trong chảy xiết (Fr > 1) và chảy êm (Fr < 1) [9]

Và phương trình Saint-Venant viết dạng đặc trưng [9]:

(1.40) (1.41) trong đó:

g là gia tốc trọng lực (m/s2)

t là thời gian (s); x là tọa độ dọc theo hướng chiều dài dòng chảy (m) Lấy dấu cộng với đường đặc trưng thuận (đường liền); lấy dấu trừ với đường đặc trưng nghịch (đường đứt)

Yao Hsin Hwang (2013) nghiên cứu một phương pháp phân mảnh đặc trưng mới được phát triển cho phương trình Saint-Venant Trái ngược với các phương pháp phân mảnh lưới cố định thông thường hoặc di chuyển, công thức này được xây dựng bởi việc phân bổ lại các phân mảnh tính toán dọc theo các đường

cong đặc trưng [107]

1.1.7 Phương pháp phần tử hữu hạn giải phương trình Saint-Venant

Phương pháp phần tử hữu hạn trong cơ học chất lưu đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trên toàn thế giới từ nhiều năm qua [27], [68], [76]

Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không Nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942) Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có một quan điểm chung, đó là chia miền liên tục thành những miền con rời rạc Hrennikoff rời rạc miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia những miền tính thành những phần tử tam giác cho phương trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ Sự đóng góp của Courant là phát triển, thu hút một số nhà khoa học nhanh chóng đưa ra kết quả cho các phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic được phát triển bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin Sự phát triển chính thức của phương pháp phần tử hữu hạn được bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley (xem Early Finite Element Research at Berkeley) trong những năm 1960 trong ngành xây dựng Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học chặt chẽ vào năm 1973 với việc tổng kết trong cuốn "An

Analysis of The Finite element Method" của Strang và kể từ đó phương pháp phần

tử hữu hạn được tổng quát hóa thành một ngành của toán ứng dụng, một mô hình

số học cho các hệ thống tự nhiên, được ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật, ví dụ như điện tử học và động lực học chất lỏng [32], [54], [87]

Nội dung phương pháp phần tử hữu hạn là chia miền bài toán thành nhiều miền con và tìm hàm xấp xỉ trên các miền con còn gọi là các phần tử (element) với thỏa mãn điều kiện cân bằng và liên tục giữa các phần tử Phương pháp phần tử hữu hạn thường dựa trên phương pháp biến phân Rayleigh-Ritz, và Galerkin

Phương pháp Galerkin sử dụng trong cơ chất lưu là một trong những phương pháp quan trọng nhất được sử dụng trong phân tích phần tử hữu hạn Các hàm trọng số là ψj (x) là các hàm nội suy Công thức Galerkin của phương trình F(p(x), p'(x))=0 là:

Thomas J.R Hughes, Wing Kam Liu, Thomas K Zimmermann (1981) nghiên cứu cách thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn đối với các dòng nhớt không nén được trong mô tả Lagrange-Euler hỗn hợp [93]

J Donea, L Quartapelle, S Giuliani và H Laval (1984) nghiên cứu lời giải của vấn đề bình lưu-khuếch tán bằng phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp Taylor-Galerkin, gần đây đã được đề xuất cho rời rạc không gian và thời gian của phương trình hyperbolic, được sử dụng để đưa ra phương án số chính xác và hiệu quả cho các giải pháp của vấn đề khuếch tán-bình lưu phụ thuộc thời gian Hai chiến lược số khác sẽ được thảo luận: cái đầu tiên là thích hợp cho vấn đề không

ổn định, trong khi cái thứ hai là phù hợp với các tình huống trong đó một trạng thái

ổn định cuối cùng đạt được [37]

V Selmin, J Donea và L Quartapelle (1985) nghiên cứu phương pháp Taylor-Galerkin cho rời rạc thời gian và không gian của vấn đề giá trị biên ban đầu hỗn hợp Rời rạc trong thời gian được thực hiện trước khi xấp xỉ không gian bằng

cách sử dụng sơ đồ Ơle mức 2 chuẩn suy rộng chính xác bậc 2 và bậc 3 với sự trợ giúp của khai triển chuỗi Taylor trong bước thời gian Các phương trình ở dạng yếu sau đó rời rạc không gian bằng phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin thông thường để có được một lớp tham số tự do mới, một bước Sơ đồ ẩn tuyến tính cho lời giải của các vấn đề hyperbolic phi tuyến Kết quả số cho phương trình Burgers nhớt trong một và hai chiều được trình bày để minh họa thuộc tính của sơ đồ Taylor-Galerkin được đề xuất Các sơ đồ phần tử hữu hạn mới đã được xây dựng

để giải quyết vấn đề bình lưu phi tuyến Để cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn cũng hiệu quả trong các lời giải của phương trình hyperbolic [81]

Ify L Nwaogazie (1985) nghiên cứu WICFEM - một chương trình Fortran cho các lời giải của phương trình dòng chảy Saint-Venant Một chương trình Fortran dựa trên các thuật toán kết hợp của phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin

và kỹ thuật lặp Newton-Raphson cho đồng thời các lời giải của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbol phi tuyến một chiều và hai chiều, cho hệ thống dòng chảy được mô tả Một sự kết hợp của hàm cơ sở tuyến tính và sai phân tiến cho các đạo hàm thời gian được kết hợp trong chương trình Điều kiện để đạt được sự ổn định không điều kiện và tốc độ hội tụ nhanh chóng cho tích phân quy định theo thời gian được giải thích Nghiên cứu bao gồm các thông số hình học sửa đổi, vì không có thông số hình học kênh, sông giống nhau và ứng dụng điển hình để dự báo lũ sông [55] Năm 1986, ông nghiên cứu chương trình mô phỏng sóng động học cho các con sông tự nhiên, là một trường hợp riêng của phương trình dòng chảy Saint-Venant Một mô hình phần tử hữu hạn Galerkin một chiều cho mô phỏng lũ sông độ dốc lớn được trình bày, dựa trên sự chuyển đổi của phương trình

vi phân từng phần phi tuyến tính của bảo tồn khối lượng đến phương trình vi phân thường tương đương của nó; các sơ đồ sai phân tiến được sử dụng cho miền thời gian; và phương pháp lặp Newton-Raphson được thực hiện để giải quyết Chương trình viết bằng Fortran IV sử dụng một hàm cơ sở tuyến tính Năm 1987, ông phân tích so sánh một số mô hình dòng chảy hiện và ẩn Việc thực hiện số và phân tích giá trị của bốn mô hình dòng chảy được trình bày Những mô hình được xây dựng

từ các phương trình nổi tiếng của Saint-Venant Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin và phương pháp lặp Newton-Raphson đượcsử dụng cho các lời giải của các mô hình chiều sâu và vận tốc của dòng chảy [55], [56], [57]

J Donea, L Quartapelle, và V Selmin (1987) phân tích rời rạc thời gian trong lời giải phần tử hữu hạn của các vấn đề hyperbolic Vấn đề rời rạc thời gian của các phương trình hyperbolic khi phần tử hữu hạn được sử dụng để đại diện cho

sự phụ thuộc không gian được kiểm tra Một phân tích phương trình sửa đổi cho thấy rằng thuật toán bước thời gian chính xác bậc hai cổ điển [38]

Litsa Anastasiadou Partheniou và George A Terzidis (1988) nghiên cứu một mô hình phần tử hữu hạn tiêu tán cho dòng chảy mặt tự do Công thức Galerkin cổ điển dường như không phù hợp để mô phỏng dòng chảy kênh hở khi tính không liên tục được giới thiệu trong phạm vi dòng chảy Một công thức số dư trọng số dựa trên hàm trọng số không liên tục được trình bày, cung cấp kết quả tốt hơn so với xấp xỉ Galerkin tiêu chuẩn [65]

R Szymkiewicz (1991) nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn giải phương trình Saint-Venant trong kênh hở Sử dụng phương pháp trung bình hóa để loại bỏ dao động kiểu '2 x' là dao động do cách thức xấp xỉ các số hạng phi tuyến,

do đó đảm bảo một lời giải ổn định và giảm dao động cho kết quả Một ví dụ từ một mạng lưới kênh nước thực sự được phân tích và kết quả thu được được so sánh với quan trắc Kết quả cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp hiệu quả cho lời giải của dòng chảy không ổn định trong các kênh hở Các thuật toán lời giải đề xuất là rõ ràng và đơn giản Phương pháp phần tử hữu hạn có thể áp dụng thành công cho các vấn đề thực tế như là một thay thế cho các sơ đồ sai phân nổi tiếng [90]

George E Blandford và Lindell E Ormsbee (1993) nghiên cứu một mô hình phần tử hữu hạn sóng khuếch tán cho mạng lưới kênh Một thuật toán tính toán cho lời giải mạng lưới kênh lăng trụ dựa trên xấp xỉ sóng khuếch tán của dòng kênh được trình bày Phần tử hữu hạn được sử dụng cho xấp xỉ không gian tuyến