Cấu trúc dữ liệu và thuật toán nguyễn văn núi chương 4 dothi

Một số khái niệm cơ bản trên đồ thị 3.. Biểu diễn đồ thị trong máy tính 4.. Một số bài toán ứng dụng đồ thị...  G là đồ thị có trọng số nếu các cạnh/cung của nó giá trị... MỘT SỐ KHÁI

Chương 4

MÔ HÌNH DỮ LIỆU ĐỒ THỊ

MỤC TIÊU

NỘI DUNG CHÍNH

1 Định nghĩa đồ thị

2 Một số khái niệm cơ bản trên đồ thị

3 Biểu diễn đồ thị trong máy tính

4 Cách duyệt (thăm) đồ thị

5 Một số bài toán ứng dụng đồ thị

1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

- Đồ thị là một cấu trúc rời rạc, ký hiệu G = <V, E>

 V là tập các đỉnh ( vertices) , mỗi đỉnh tương đương 1 phần tử

dữ liệu

 E là tập các cạnh/cung (Edges) - tập các cặp (u,v) mà u,v là

hai đỉnh thuộc V Biểu diễn mối quan hệ giữa các phần tử

4

3

4

3

5

Ví dụ:

G 1 =<V 1 , E 1 >

V 1 ={1, 2, 3, 4}

E 1 ={Tập cung}

={1  2, 1  3, 2  4, 3  2, 4  3}

G 2 = <V 2 , E 2 >

V 2 = {1, 2, 3, 4,5}

E 2 = {Tập cạnh}

={1  2, 1  3, 2  3, 2  4, 2  5, 3  4, 4  5}

PHÂN LOẠI ĐỒ THỊ

Dựa vào đặc tính của tập E, ta có:

 G là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh u và v bất kì có nhiều nhất

một cạnh

 G là đa đồ thị nếu giữa hai đỉnh u và v bất kì có thể có nhiều

hơn một cạnh

 G là đồ thị vô hướng nếu E gồm các cặp (u,v)=(v,u), gọi là

các cạnh

 G là đồ thị có hướng nếu E gồm các cặp (u,v)<>(v,u), gọi là

các cung

 G là đồ thị có trọng số nếu các cạnh/cung của nó giá trị

Một số ví dụ

– Hình 1: Đơn đồ thị, vô hướng

– Hình 2: Đơn đồ thị, có hướng

– Hình 3: Đa đồ thị, vô hướng

– Hình 4: Đa đồ thị, có hướng

Hình 1 Hình 2

Hình 3 Hình 4

2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRÊN ĐỒ THỊ

a) Cạnh liên thuộc, đỉnh kề, bậc

 Nếu e=(u,v) là 1 cạnh  E thì ta nói u,v kề nhau (adjacent)

và e là liên thuộc với u và v

 Nếu e = (u,v) là một cung thì ta nói u nối tới v và v nối từ u Cung e đi ra khỏi đỉnh u ( đỉnh đầu) và đi vào đỉnh v ( đỉnh cuối), ta cũng nói u kề v

 Bậc (degree) của v ( deg(v)) là số cạnh liên thuộc với v

1

4

1

4

b) Đường đi và chu trình

 Một đường đi P=(v1…vp) mà cạnh (vi-1vi)  E với i=2…p

 P gọi là đường đi đơn nếu tất cả các đỉnh trên đường đi không trùng nhau

 Đường đi con của P là một đoạn liên tục dọc theo P

 P gọi là chu trình nếu v1=vp

 Một đồ thị là liên thông nếu với mọi cặp đỉnh (u,v) đều có đường đi từ u đến v

2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRÊN ĐỒ THỊ

3 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRONG MÁY TÍNH

a) Ma trận kề

b) Danh sách kề

a) Ma trận kề

• Đánh số thứ tự các đỉnh của đồ thị từ 1 đến n

• Biểu diễn đồ thị bằng một ma trận vuông cấp n gọi là

ma trận kề:

 a[i,j]=1 nếu i kề j (tức (i,j) là cạnh/cung thuộc E

 a[i,j]=0 nếu i không kề j (tức (i,j) là cạnh/cung không thuộc E.)

* Ví dụ:

5

4

3

2

1

1

2

5

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

A =

1

2

5

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

A =

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

Nhận xét

- G là đồ thị vô hướng thì ma trận kề là đối xứng (a[i,j]=a[j,i])

 Trực quan, dễ cài đặt

 Kích thước luôn là N2 dẫn đến lãng phí đặc biệt lãng phí với

ma trận thưa nhiều đỉnh, ít cạnh/cung

 G là đồ thị có trọng số, thay giá trị 1 của ma trận kề bởi giá trị trọng số tương ứng => gọi là ma trận trọng số

b) Danh sách kề

- Với mỗi đỉnh u  V ta cho tương ứng một danh sách các đỉnh kề với u

- Ví dụ:

1

2

3

4

5

2

1

3

4

5

3 2

4

5

4 Các phép duyệt đồ thị

 Duyệt đồ thị? Mỗi đỉnh chỉ được thăm duy nhất 1 lần

 Các phương pháp duyệt đồ thị

loang

a) Duyệt theo chiều rộng chiều rộng

(BFS - Breath first search)

Giả sử u là đỉnh xuất phát Nguyên tắc duyệt:

thăm kề với các đỉnh này và tiếp tục lặp lại với các đỉnh mới

Tên gọi khác: Duyệt theo vết dầu loang

2

1

3 4

8

9

Giả sử đỉnh u  đỉnh 1,

=> Kết quả duyệt BFS là:

1 2  3 4 5  6  7 8

Ví dụ: Xét đồ thị như hình bên

b) Duyệt theo chiều sâu (DFS - Depth first search)

Giả sử u là đỉnh xuất phát

=> Nguyên tắc duyệt như sau:

 Thăm u, rồi thăm đến các đỉnh u1, u2,

…., uk kề u với điều kiện khi thăm đến

đỉnh ui (i = 1 k) thì một phép duyệt theo

chiều sâu xuất phát từ ui lại được thực

hiện

 Khi thăm đến đỉnh v mà mọi đỉnh kề v

đều đã được thăm thì quay lui đến đỉnh

v’ còn có đỉnh w chưa được thăm, một

phép duyệt theo chiều sâu xuất phát từ w

lại được thực hiện

 Phép duyệt kết thúc khi mọi đỉnh liên

thông với u đều được thăm

Ví dụ: Xét đồ thị như hình

2

1

3 4

8

9

Giả sử đỉnh u  đỉnh 1,

=> Kết quả duyệt là:

1 2  5 8 6  3  7 4

5 Bài toán cây khung

Định nghĩa:

Cho đồ thị G=<V,E> là đồ thị vô hướng; cây T=<V,F> trong đó F là tập con của E,

 T được gọi là cây khung của G nếu T liên thông và phi

chu trình

 Nếu G là đồ thị vô hướng có trọng số: Giá của cây khung

là tổng trọng số của các cạnh trong nó

Ví dụ

Nhận xét:

G là đồ thị vô hướng liên thông có thể có nhiều cây khung Nếu

G là đồ thị trọng số => tìm cây khung nhỏ nhất có ý nghĩa thực tiễn? Tìm như thế nào?