Trắc nghiệm nguyên hàm có lời giải

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.. Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F x ta được kết quả... Hướng dẫn giải Phươ

Ch đ ủ ề 4.1 NGUYÊN HÀM

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên ( ) K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x( )

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên ( ) K nếu F x'( ) = f x( ) với mọi x K∈

Định lí:

1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) K thì với mỗi hằng số C , hàm số

( ) ( )

G x =F x +C cũng là một nguyên hàm của f x trên ( ) K

2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) K thì mọi nguyên hàm của f x trên ( ) K đều

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên ( ) K đều có nguyên hàm trên K

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (u u x= ( ) )

dx x C= +

11

11

x dxα = xα+ +C α ≠ −

α +

11

u duα = uα+ +C α ≠ −

α +

∫1

1

tancos u du= u C+

∫2

1

cotsin x dx= − x C+

1

cotsin u du= − u C+

∫

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu ∫ f u du F u( ) = ( )+C và u u x= ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( ) ( ) '( ) ( ( ) )

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F x ta được kết quả.( )

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y x2 3x 1

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= +x 1) (x+2)

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) sin 2= x

C sin 2∫ xdx=cos 2x C+ D sin 2∫ xdx= −cos 2x C+ .

Hướng dẫn giải sin 2 1 sin 2 (2 ) 1cos 2

Hướng dẫn giải:

2

2

1( ) 1 t

x d

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.

Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số ( )f x = −e x e−x

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số ( ) 1

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số ( )f x = 5 3− x

f x dx= − − x − x C+

1 3 1 34

f x dx= − − x − x C+

C ( ) 1( ) 3

1 3 1 34

3 2

x e

A. ( ) sinF x = x x− cosx C+ B ( )F x =xsinx−cosx C+

C ( ) sinF x = x x+ cosx C+ D ( )F x =xsinx+cosx C+

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập d (F x( )) f x( )

dx − , CALC ngẫu nhiên tại một

số điểm x thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.0

( )

3

x x

A.F x( )=xtanx+ln | cos |x +C B ( )F x = −xcotx+ln | cos |x +C.

C ( )F x = −xtanx+ln | cos |x +C D ( )F x = −xcotx−ln | cos |x +C

Câu 31. Tính F x( )=∫x2cosxdx Chọn kết quả đúng

A. F x( ) (= x2 −2)sinx+2 cosx x C+ B F x( ) 2 sin= x2 x x− cosx+sinx C+

C F x( )=x2sinx−2 cosx x+2sinx C+ D F x( ) (2= x x+ 2) cosx x− sinx C+

Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u x dv= ; =sin 2xdx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập

Phương pháp tự luận: Tính '( )F x có kết quả trùng với đáp án chọn.

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa '( )F x = f x( )⇔F x'( )− f x( ) 0=

g x =∫ x dx

Hướng dẫn giải: A đúng B sai vì thiếu điều kiện α = −/ 1; C, D sai vì không có tính chất

Câu 36 Mệnh đề nào sau đây sai?

A. f x( ) =sinx+7 cosx B. f x( ) = −sinx+7 cosx.

C. f x( ) =sinx−7 cosx D. f x( ) = −sinx−7 cosx

Hướng dẫn giải: '( ) 7 cosF x = x+sinx

Câu 40. Kết quả tính 2 1 2

sin xcos x dx

A.tanx−cotx C+ B cot 2x C+

C.tan 2x x C− + D −tanx+cotx C+

tan cotsin xcos x dx cos x sin x dx x x C

Hướng dẫn giải: ( ) cos5 15 (sin ) 14

x y x

A.

2

3 6ln 12

1ln

x C x

x C

3

x

C x

+ +

C 1ln

x C

1ln

x C

Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2

12

f x

x x

=+ − là

x x

2 2cot

C= − π

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos sin= 2x x

A

3cos( )

C ∫ f x dx( ) =2cos4 x+3cos2x C+ D ∫ f x dx( ) =3cos4x−3cos2x C+

Hướng dẫn giải: 2sin cos3 (sin 4 sin 2 ) 1cos 2 1cos 4

Câu 62. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) sin sin 3= 3x x

A. ( ) 3 sin 2 sin 4 1 sin 6

Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) sin cos3= 3x x+cos sin 33x x.

(sin cos33x x+cos sin 3 3x x dx)

Câu 67. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( ) (= e−x+e x)2 thỏa mãn điều kiện (0) 1F = là

2

ln 12

x

2

ln 12

1

x x

e

f x

e

=+ .

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1

1

f x

x

=+ .

f x dx= − x + −x +C

8 43

f x dx= x + −x +C

43

f x dx= − −x +C

8 43

4

34

t tdt

t x

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.

F x = e x e+ x +C.Vậy A B+ =1

Câu 80. Tính F x( )=∫2 (3x x−2)6dx A x= (3 −2)8+Bx x(3 −2)7+C Giá trị của biểu thức 12A+11B là

1211

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

2

2(x−1)

2 x

-3 22

( 1)

3 x−2

+

5 24

( 1)

15 x−

28

( 1)

105 x−2

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

+ ++

-+

x x

1 xe (nhận 2 x từ u ) x2

2

x e

cos6

3

x

3sinsin

x e dx x

x dx

x +

∫ bằng

A.ln x3+ +1 C B.

3 4

44

x C

x x+

3ln(x + +1) C D

3 4

x C

x C

−

13(5 9 )117

x C

C

13(5 9 )13

x C

D

13(5 9 )9

x C

++

2 1

x x dx x

−+

Đặt

1ln

12

Hướng dẫn giải: Ta có '( ) (sin cos ) ' cos sin

sin cos sin cos

Câu 112. Kết quả tính

3 2

5 24

dx x

Hướng dẫn giải: ∫ (3x2+10x−4)dx x= +3 5x2−4x C+ , nên m=1

Câu 116. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số( ) f x( ) =sin 24( )x thoả mãn ( )0 3

Câu 119. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số ( )( ) f x =xcosx thỏa mãn F( )0 =1 Khi đó phát biểu

nào sau đây đúng?

Câu 120. Một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) sin 22

sin 2

ln ln sin 3sin 3

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 122. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1

sin cos sin cos sin 1 sin

−

2 1 sin sin 2 1 sin

cos( )sin

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.

Câu 128. Hàm số ( ) ln sinF x = x−cosx là một nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn giải: '( ) (sin cos ) ' cos sin

sin cos sin cos

12

x e dx x

Câu 131. Tính ∫ecos2xsin 2xdx bằng:

A.−e cos x2 +C B e−sin 2 x+C C e−2sin x+C D −e sin 2x+C

Hướng dẫn giải: ∫ecos2xsin 2xdx= −∫ecos2x d(cos )2x = −ecos2x+C

Câu 132. Tính ∫esin2xsin 2xdx bằng:

A.e sin x2 +C B e sin 2 x+C C e cos x2 +C D e 2sin x+C

Hướng dẫn giải: ∫esin2xsin 2xdx=∫esin2x d(sin2 x) e= sin2x+C

Câu 133. Kết quả ∫ecosxsinxdx bằng:

Hướng dẫn giải: ∫ecosxsinxdx= −∫ecosx d(cos )x = −ecosx+C.

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 134. Biết hàm số ( )F x = −x 1 2− x+2017 là một nguyên hàm của hàm số ( )

2( )

F x = x − +x +C

Hướng dẫn giải: 3 ( 2 )

22

32

31

t x

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

2

2

23

x

x +

2 32

x +1

Câu 141. Tính ∫x2cos 2xdx ax= 2sin 2x bx+ cos 2x c+ sinx C+ Giá trị của a b+ +4c bằng

A 0 B 3

34

−

2.

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

+

-Kết quả: 2cos 2 1 2sin 2 1 cos 2 1sin 2

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u=ln 2 ,x dv x dx= 3

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

−

20

−

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.

Kết quả ( )F x =∫(2x+1)sinxdx= −2 cosx x−cosx+2sinx C+ nên a b c+ + = −1

Câu 146. Cho hàm số ( )F x =∫xln(x+1)dx có (1) 0F = Khi đó giá trị của (0)F bằng

−

2.

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần vớiu=ln(x+1),dv xdx=

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp từng phần.

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

f x

x

=+ và có đồ thị đi qua điểm (0;1)A Chọn kết quả đúng

A. ( )

1

x e

(Chuyển (x+1)e x qua dv)

11

x

−+1

x e

−(nhận (x+1)e x từ u )

f x

x

=+

+

-Câu 149. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( ) ln= (x+ x2+1) thỏa mãn (0) 1F = Chọn kết quả

A. ( )F x =xtanx+ln | cos | 2017x + B ( )F x =xtanx−ln | cos | 2018x +

C ( )F x =xtanx+ln | cos | 2016x + D ( )F x =xtanx−ln | cos | 2017x +

Vì ( ) 2017F π = nên C=2017 Vậy ( )F x =xtanx+ln | cos | 2017x +

Câu 151. Tính F x( )=∫x(1 sin 2 )+ x dx Ax= 2+Bxcos 2x C+ sin 2x D+ Giá trị của biểu thức A B C+ +

bằng

A. 1

14

34

Tính ( ) cos2 (sin ) ln sin 1

cos sin 1 (sin 1)(sin 1) sin 1

A F x( )= −cosx+tanx+ 2 1− B ( ) cosF x = x+tanx+ 2 1−

C ( )F x = −cosx+tanx+ −1 2 D ( )F x = −cosx+tanx

  Vậy ( )F x = −cosx+tanx+ 2 1−

Câu 154. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) 2sin 5 3

Câu 156. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) f x = +a bcos 2x thỏa mãn (0)

F x = x+ D. F x( ) cot= x x− +2.

Hướng dẫn giải

2( ) ( ) tan tan