(trường chuyên) 135 câu tích phân nguyên hàm năm 2018

Câu 69: Chuyên Hùng Vương-Gia LaiThể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giớihạn bởi các đường y x, trục Ox và hai đường thẳng x 1, x 4  khi quay quanh trục hoành được tính bởi công

Câu 1(Chuyên Đại Học Vinh)

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x 0, x 1, y 0   và y 2x 1 Thểtích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theocông thức

Phương pháp: Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x ; y g x     

và các đườn thẳng x a; x b a b    quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích

được tính theo công thức: b 2  2 

dxdx3x 1

Đáp án B

Phương pháp:

+) Đổi biến và đổi cận để đơn giản biểu thức cần tính tích phân

+) Sử dụng công thức tính tích phân của các hàm cơ bản để tính

Cách giải:

Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Biết 2  

dxdx2x 5

A 1log7

2 5 B

1 7ln

2 5 C

1 5ln

2 7 D

435



Đáp án B

Ta có

1 1

Ta có

2 2

3 3

a 11

D 16

Câu 19: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi

quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y f x ,   trục Ox và hai đường thẳng

x a, x b  xung quanh trục Ox

Đáp án A

0 2

2dx2x 1

Câu 23: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)

Với cách biến đổi u 1 3ln x thì tích phân

e 1

biết rằng  C đi qua điểm A 1;0  tiếp tuyến d tại A của  C cắt  C tại 2 điểm cóhoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị  C và 2 đườngthẳng x 0; x 2  có diện tích bằng 28

Đáp án D

Điểm A 1;0  thuộc đồ thị hàm số  C �a b c 0  

Phương trình tiếp tuyến tại A 1;0 là  d : y y ' 1 x 1         4a 2b x 1   

Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra  4a 2b x 1    ax4bx2c * 

Mà x 0, x 2  là nghiệm của (*) suy ra 4a 2b c  1

1

I x 1 2xdx2

 �  và u 2x 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?

2 2 1

I �u u 1 du

� rồi lưu vào A Xét hàm F(X) = A – XError: Reference source not found

(Do A a e b  ) bằng cách nhập hàm trên vào Mode 7, lấy star: - 4, end: 4, step: 1 Ta

Câu 30: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số y f x  liên tục trên

 a b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ; y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b ,     là

1

ln 1 ln 2 ln1 ln 2

21

Câu 34: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số dương a và hàm số y f x  liên tục

trên � thỏa mãn f x       �� Giá trị của biểu thức f x a x a  

Câu 35: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho hàm số y f x   liên tục trên �và có

đồ thị như hình vẽ bên Hình phẳng được đánh dấu trong hình bên có diện

x ln xdx ae b,a, b�

A 0 B 10 C 1

12

: Đáp án D

Phương pháp: Công thức từng phần:

b a

v2

bởi 2 đồ thị của 2 hàm số y x và y x 2.2   Diện tích của hình (H) bằng

A 7

6 B

92

 C 3

2 D

92

Đáp án A.

Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:

PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường y x , y2 1x 4

Câu 42: (Cụm 5 trường chuyên)Cho hàm sốy f x   liên tục trên  a; b Giả sử hàm

số u u x   có đạo hàm liên tục trên  a;b và u x �   ; x� a; b , hơn nữa f u liên tục trên đoạn  a; b Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Phương pháp: Tính tổng quát n I n In 1  bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính unvà sử

dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn un.

đề nào dưới đây đúng ?

x 5

dx a ln b2x 2



� với a, b là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 53: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho f x là hàm số liên tục trên   �và thỏa mãn điều kiện 1   3  

S e 1 dx



1 x 0

S�x e dx D

1 x 1

I�e dx bằng

A e2 1 B e 1 C

2

e 12

e2

Đáp án C

22f x 3f 1 x dx 1 xdx 2 f x dx 3 f 1 x dx 1

Cách giải:

1

1 0 0

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x  , trục hoành và hai

đường thẳng x a, x b a b    được tính theo công thức  b  

a

S�f x dxCách giải:

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x  , trục hoành và hai

đường thẳng x a, x b a b    được tính theo công thức b  

2 0

0 0

.cos x

x sinx cos x x sin x cos x

Câu 63: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Tích phân   2

Câu 64: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể

giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại các điểm x a, x b a b ,     có diện

tích thiết diện bị cắt bởi hai mặt phẳng vuông với trục Ox tại điểm có hoành độ

Câu 65:( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng

giới hạn bới các đường x y; y  x 2, x 0 quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào

sau đây ?

Xét phương trình hoành độ giao điểm  

Câu 67: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Cho parabol  P có đồthị như hình vẽ:

Tính diện tích giới hạn bởi  P và trục hoành

A 8

43

C 4 D 2

Đáp án B

Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính giới hạn của hình phẳng.Cách giải:

Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là y x 24x 3

Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 4x 3 0 x 1

x 3



�

   � � �Khi đó diện tích giới hạn bởi  P và trục hoành là 3 2 

Câu 69: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới

hạn bởi các đường y x, trục Ox và hai đường thẳng x 1, x 4  khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?

V�x dx C

4 2 1

V  �xdx D

4 1

V �xdx

Đáp án A

Câu 70: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay

quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x 24x 6 và y  x2 2x 6

1 0

cos x

1 6

24

Suy ra tổng của các nghiệm của phương trình g x   là -3.0

Câu 74: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số y f x   liên tục trên đoạn

 a;b Thể tích V của khối nón tròn xoay thu được khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi

đồ thị của y f x , x a, x b a b       khi quay xung quanh trục Ox tính bằng côngthức:

Câu 76: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm sốy x 24x 4, trục tung, trục hoành Giá trị của k để đường thẳng d đi qua

và hai đường thẳng x a; x b  được tính theo công thức : b  

a

S�f x dxCách giải: Phương trình đường thẳng d đi qua A 0; 4 có hệ số góc k  

Câu 77: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Cho hàm số y  f x  liên tục trên đoạn

 a; b Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ,    trục hoành và hai đường

thẳng x a, x b a b      Diện tích hình phẳng D được tính bởi công thức

Câu 80:(Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ): Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có

bán kính bằng 1 (hình vẽ) Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

có hoành độ x  � � 1 x 1 thì được thiết diện là một tam giác đều Tính thể tích V của vật thể đó

Câu 81: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Tích phân

0

1 dx2x  1

Câu 83: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 có

đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ Tính giá trị

f x 1+ 4 x khi 2 x 2 2x 1

khi 2 x 5 3

phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y xe , y 0, x 0, x 1 x    xung quanh trục Ox là

V �x e dx

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y f x , y g x , x a, x b        khi

quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: b 2  2 

a

V �f x g x dxCách giải:

Áp dụng công thức ta có thể tích hình phẳng bài cho là: 1 x 2 1 2 2x

Câu 87 (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Một cổng chào có dạng

hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m Người ta

căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình

giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình: x 2x x2 x 0.

x 3



�

  � ��Vậy diện tích hình phẳng cần tính là 3 3  2 3 3

Câu 92: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho hàm số f x  có đạo hàm f ' x  liên tục trên � và thỏa mãn f ' x � 1;1 với  � x  0; 2 Biết f 0    f 2  1. Đặt 2  

Phương pháp giải: Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Câu 96: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho hình phẳng H giới hạn bởi

trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol

đó tại điểm A(2;4), như hình vẽ bên Tính thể tích khối tròn xoay tạo

bởi hình phẳng H khi quay xung quanh trục Ox

Vì P đi qua ba điểm O 0;0 , A 2; 4    � Phương trình parabol là  P : y x 2

Tiếp tuyến của P tại điểm A(2;4) có phương trình là d : y 4x 4 

Hoành độ giao điểm của P và d là nghiệm phương trình: x2 4x 4 �x 2

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi 1  P , y 0, x 0, x 2   là

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H2  giới hạn bởi  d , y 0, x 1, x 2   là

2 3

2 2

� là diện tích hình thang cong ABMN.

Câu 99: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 1

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay

Cách giải

4 4

2

1 1

Câu 102: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho hình phẳng  D được giới hạn

bởi các đường x0,x,y 0 và y sinx Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành

khi quay  D xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

27

f x dx f x dx

23x 1

f x dx

3 1

x x

Câu 106: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các

đường thẳng x4,x và đường cong có phương trình 9 y2 8x

.2

nguyên , b là số nguyên dương và a

b là phân số tối giản Tính a b c 

Xét

3

2 2

1 1 2 2

0 0

Câu 109: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô

đậm trong hình vẽ bên Công thức tính S là

trên �\ 0  thỏa mãn: x f x2 2   2x 1 f x    x.f ' x  với 1  ��x \ 0  đồng thời

2 2

0

( 1) ln( 1)1

Câu 118: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay

xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y 0, y  x, y x 2 

Câu 121: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Biết

1 2 0

b5x 4 



� với a, b là các số nguyên dương và phân thức a

b là tối giản Tính giá trị của biểu

0

T 1 5 265

I �2ax b e   dx

A I x 2 x1 B x2 x1

I4



I2

không âm trên [0;1] thỏa mãn   4   2 2    3

Câu 126: (Chuyên Chu Văn An-2018)Cho hàm số f x xác định trên   R \ � thỏa 1mãn   2

Câu 130 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ): Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có

bán kính bằng 1 (hình vẽ) Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

có hoành độ x  � � thì được thiết diện là một tam giác đều Tính thể tích V của 1 x 1

Lấy nguyên hàm 2 vế được  

2 2

1dx2x 1

Câu 135: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục trên đoạn 6;5

có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ Tính giá trị

f x 1+ 4 x khi 2 x 2

2x 1 khi 2 x 53