Đáp án đề thi kết thúc học phần TCC3 (HUBT)

Đề thi có đáp án toán cao cấp kết thúc học phần trường HUBT Tính thể tích V của vật thể được giới hạn bởi. Giải phương trình vi phân Tìm cực trị của hàm Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi

Đáp án đề thi kết thúc học phần TCC3

Đề 1

1

Giải:

{

⇔{ ⇔ {

l{ điểm dừng

Kết hợp (*) ( )

2 Tính ∬ { |

Giải: y x ⇔ x y y x ⇔ x y y x ⇔ x y

Miền D như hình vẽ Từ hình vẽ thấy là:

{ ; {

∬ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

| ( ) |

3 Tính thể tích V của vật thể được giới hạn bởi:

Giải: ∬ ∫

∫ ∫

∫ ( ) |

∫

( ) |

4 Giải phương trình vi phân

Giải: Ptđt ⇔

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:

Nghiệm riêng được tìm dư i dạng

Trong đó là nghiệm riêng của pt (*)

là nghiệm riêng của pt (**)

+ Giải (*): Tính

và thay vào (*) được:

,

+ Giải (**): Tính

và thay vào (**) được: ,

⇔

Vậy nghiệm tổng quát của ptvp đã cho l{

Đề 2 1

Giải: ĐK:

{ ⇔{

⇔ {

⏞

{ { l{ điểm dừng

( ) ( ) nên có cực trị có cực tiểu

2 Tính ∬ với D được giới hạn bởi

Giải: Miền D được giới hạn bởi

Điểm cắt: {

⇔ { √ √ { √ √

Miền D: { √ √

∬ ∫ √ √ ∫

∫ √ √ | ∫ √ √

* + | √

√ | √

√

3 Xem phương trình √ (1)

ĐK

+ Nếu thỏa mãn ptvp nên nó là nghiệm + Nếu , chia 2 vế của (1) cho √ ta được: √ √ (2)

Đặt √ √ √ Thay vào (2) ta được: (3)

Ta giải ptvp thuần nhất tương ứng: (4)

(4)⇔ | | | |

Bây giờ ta coi và tìm nghiệm của (3) dưới dạng

Thay u, u’ vào (4) ta được: ⇔ ⇔ ⇔

| |

Vậy, √ ( | | ) ⇔ ( | | )

4 -Trên miền D mở:

{

⇔ ⏞

{

⇔{

; { { l{ đ dừng

{

- Trên biên của D: ⇔ (*)

Đặt {

⇔ {

l{ phương trình tham số của (*)

Vì

khi

: {

{

Tức là:

khi t

⇔ {

⇔ {

{

2 Tính ∬ với D được giới hạn bởi

Giải: Điểm cắt: {

⇔ {

{

Vẽ đồ thị hai hàm đã cho trên hệ trục tọa độ 0xy, ta Có miền D như sau: D: {

Tính ∬ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ |

∫ ( ) |

3 Xét ptvp: (*)

Đặt

(*) là ptvp toàn phần tức là ( (

∫ ∫

4 Tính ∭ √

Với V xác định bởi √ ;

Giải: Đổi biến trong tọa độ cầu: { x rcos

cos | |

Miền V : {

l{ điểm dừng

{

2 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên miền D là tam

tăng trên đoạn [0, 2]:

+ Trên 0A: nên Z là hàm

giảm trên đoạn [0,3]:

Vẽ đồ thị hai hàm trên hệ trục tọa độ 0xy

Miền D: {

∬ ∫ ∫ ∫

Bây giờ ta tìm nghiệm riêng của (*):

Rõ ràng (không trùng nghiệm kép) nên ta tìm nghiệm dạng:

-Trên biên của D:

+Trên 0A:

là điểm dừng; ó ự đạ ngoài ra:

+Trên CB: { đ ể ừ hàm có cực đại: ngoài ra

+Trên 0C: là điểm dừng hàm có cực đại:

+Trên AB: là điểm dừng hàm có cực đại:

Từ các giá trị đã tìm ra ở trên, ta có:

2 Tính ∬ √

Giải: Vẽ đồ thị hai hàm ⇔

và (*)

trên hệ trục tọa độ ta có 2 điểm cắt: {

⇔ {

{

Miền D là viên phân nhỏ: {

√

Chuyển sang tọa độ cực

, { (thay tọa độ cực vào (**)) và | |

√ ∬ √ ∫ ∫

∫ | ∫ ∫

* + | √

3 (4 điểm) Giải phương trình vi phân

Giải: Xét phương trình: (1)

Phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là: (2)

Có pt đặc trưng:

Do đó nghiệm tổng quát của (2) có dạng:

Vế phải của (1) có dạng:

Nên trùng với 1 nghiệm của phương trình đặc trưng và nên ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng: (A = ( A +B (*)

A +B

=

Y’’ = 4 +

+

= x x x

Thay vào pt (1), chia 2 vế cho , ta được: x x x - 9

+ 20( A +B =

Hay:

Suy ra: , ,

; Thay vào (*) ta được nghiệm riêng của (1) là: (

Vậy nhiệm tổng quát của (1) là:

4 z a là hình cầu tâm (0,0,0) bk a Dùng tọa độ cầu: {

{

ì ầ

| | ;

√

∭ √ dxdydz ∫ d ∫ sin cos d ∫

∫ sin d sin | sin |

Đề 6 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên miền

Giải: - Trên miền D mở:

{

⇔{ {

- Trên biên của D: ⇔ (*)

Đặt {

⇔ {

l{ phương trình tham số của (*) t cos t Vì cos t hi cos t cos t

V i : { V i : {

Tức là:

hi cos t cos t

V i : {

V i {

Tức là:

Cách 2: Vai trò của x và y khác nhau trong hàm

- Trên miền D mở:

{

⇔{ {

- Trên biên của D: hoặc

+ Nếu

;

+ Nếu

So sánh các giá trị của Z trên mi n D ta có:

Cách 3: (1)

(2)

Cộng 2 vế của (1) v i được: 2

⇔

Lấy (1)- được: 2 ⇔

⇔

So sánh các giá trị này ta có kết quả:

2 Tính ∬ { ì

Giải: Xét

Vẽ niền D trên hệ trục tọa độ 0xy ta được nửa hình tròn bên phải đường

Chuyển sang tọa độ cực:

,

| |

{

(thay tọa độ cực vào (*)) ∬ ∫ ∫ ∫ |

∫

Ta có:

∫ ( ) |

( )

3 (4 điểm) Giải phương trình vi phân

Giải: Xét ptvp: (*)

Pt thuần nhất tương ứng của (*): (**)

Có pt đặc trưng: ặ

ên nghiệm của (**) là:

Ta viết (*) thành 2 pt: (1)

(2)

Theo nguyên l chồng chất nghiệm thì nghiệm riêng của (*) sẽ là tổng nghiệm riêng của (1) với nghiệm riêng của (2) - iải (1): Vế phải của (1) có dạng

Nên là nghiệm của pt đặc trưng và

Ta tìm nghiệm riêng của (1)dưới dạng

Thay , , vào (1) ta được: hay Vậy

- iải (2): Vế phải của (2) có dạng

là nghiệm của pt đặc trưng và

Ta tìm nghiệm riêng của (2) dưới dạng:

|

u v w là hình cầu tâm (0,0,0) bk là 1 ∭ √ dxdydz ∭ √

ê ì ầ | |

∭ √ ∫ ∫ sin cos d ∫ sin | |

Đề 7

1 đ

Giải: Đặt

Lập hàm Lagrange

Giải hệ { ⇔ {

⇔

{

⇔ {

{

là hai điểm dừng ;

-Tại điểm ) ta có

|

| |

|

-Tại điểm ) ta có:

|

| |

|

2 Tính ∭ √ , trong đó V :

Giải: ⇔ là hình cầu tâm (0,0, bk Dùng tọa cầu: {

{ độ ầ {

| |

∭ √ ∫ ∫ ∫

∫ |

∫ ∫

( ) |

3 (3 điểm) Giải phương trình vi phân

Giải: Ta có (*)

Ptđt: ⇔ nghiệm tổng quát của ptvp thuần nhất tương ứng của (*) là: ;

Ta tìm nghiệm riêng của (*) dạng: ̅

trong đó là nghiệm riêng của: (**)

là nghiệm riêng của: (***)

Giải (**):

Thay vào (**) được:

Giải (***):

Thay vào (***) được:

⇔

{

⇔ {

∫ √ a ( )

Đặt , ⇔ {

∫ ∫ | | * +

Đề 8 1 Tính ∫ ∫

Giải: Miền D: {

D: {

∫ ∫ ∫ ∫

∫ | ∫ ∫

|

2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

trên miền

Giải: Miền D là hình vu ng như hình vẽ với:

-Trên miền D mở( không kể biên) { ⇔{ { √

̅

{ √

̅

-Trên biên của D: +Trên DC:

+Trên AB:

, là điểm dừng;

Điểm dừng là cực tiểu: ( ) ; ngoài ra

+Trên AD: là điểm dừng

( )

+Trên BC: là điểm dừng ( )

So sánh các giá trị tìm được ở trên ta có:

3 Giải phương trình vi phân

Giải: Xem ptvp (1)

Ptđt ⇔

Nên nghiệm tổng quát của ptvp không thuần nhất tương ứng là:

Vế phải của (1) có dạng , trùng với 1 nghiệm của ptđt nên ta tìm nghiệm riêng dưới dạng:

Thay vào (1) được:

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là:

4 Tính ∭ √ , trong đó

Giải: Đặt: {

| | |

| ∭ √

∭ √

Chiếu hai hình tròn trên lên mặt 0xy ta được miền D là hình vành hăn:

Dùng tọa độ cực trên mặt phẳng 0xy:

(*)

(**)

Giải (*) :

Thay vào (*) được:

⇔

Ta tìm nghiêm riêng của (**) dưới dạng:

Thay vào (**) được:

,

⇔ {

l{ điểm dừng

{

| |

Vì Thay tọa độ cầu vào

Vì là nửa hình cầu nên

t cos t

Vì cos t hi cos t cos t

V i : { V i : { Tức là:

hi cos t cos t

V i : {

V i {

Tức là:

4 Xem ptvp (*)

Ptđt: ⇔ ⇔

Nghiệm tổng quát của ptvp thuần nhất tương ứng là:

Bây giờ ta tìm nghiệm riêng của (*):

Vì (trùng nghiệm kép) nên ta tìm nghiệm riêng dưới dạng:

Tính

Thay vào (*) được:

,

⇔ { Vậy nghiệm tổng quát của ptvp đã cho là:

Theo nguyên l chồng chất nghiệm thì nghiệm riêng của (*) sẽ là tổng nghiệm

riêng của (1) với nghiệm riêng của (2)

- iải (1): Vế phải của (1) có dạng

Nên là nghiệm của pt đặc trưng và

Ta tìm nghiệm riêng của (1)dưới dạng

Thay , , vào (1) ta được:

hay

Vậy

- iải (2): Vế phải của (2) có dạng

là nghiệm của pt đặc trưng và

Ta tìm nghiệm riêng của (2) dưới dạng:

{

l{ điểm dừng

( ) nên hàm h ng đạt cực trị tại ( )

( ) nên hàm đạt cực trị tại đây, ngoài ra:

Nghiệm tổng quát của (*) là:

nên hàm h ng đạt cực trị tại (0, 0);

( ) nên hàm đạt cực trị tại điểm này

(Vì miền D đối xứng và hàm dưới

Dấu tích phân chẵn đối với x)

, ⇔ {

( √ √ )

4 Ta có ⇔ là hình cầu tâm ( bán kính

Vì Thay tọa độ cầu vào (*)

Trên mặt hình cầu cắt mặt này theo hình tròn l n, tiếp v i 0x nên 0z tiếp xúc v i hình cầu tại 0 nên

√

∭ √ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ 2∫ ∫

2 ( ) | .

Ptđt ⇔

Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất tương ứng là:

Ta tìm nghiệm riêng của (*) dưới dạng:

trong đó là nghiệm của (1)

∫ ∫ ∫ | |

Đề 15

1 +Trên miền D mở: (*) ta có:

Điểm dừng: {

⇔ {

{

+Trên biên của D: ⇔

√

√ Đặt: {

√

∬

∫ ∫ .r

∫ ∫ | |

đ

3 Dùng phép đổi iến trong tọa độ cầu:

là nghiệm riêng của: (**)

là nghiệm riêng của: (***)

Giải (**): không phải là nghiệm của ptđt nên ta tìm nghiệm riêng dưới dạng:

e e e e e

e e ye e e

e ye e e

đạ ự ị ạ

ó ự ị ế ợ

2 Vẽ miền D trên hệ trục tọa độ 0xy

Đổi biến trong tọa độ cực:

,

D’: {

;

Vì {

⇔ ⏞

Thay tọa độ trụ vào (*)

Vậy, ∭ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) | ( )

4 Xét pt (*)

ptđt ⇔

Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất là:

Ta tìm nghiệm riêng của (*) dạng:

trong đó là nghiệm của (1)

Giải (2): Vế phải của (2) có dạng mà trùng v i một nghiệm của ptđt nên ta tìm nghiệm riêng dư i dạng: