On tap chuong II duong thang va mat phang trong khong gian quan he song song

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD .Một mpP cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A’,B’,C’,D’ .Tứ giác A’B’C’D’ được gọi là thiết diện hay mặt cắt của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mpP.. Ví dụ

2.Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D Trên hai đoạn AB

và AC lấy hai điểm M và N sao cho Hãy xác định giao tuyến của mp (DMN) với các

mp (ABD) , (ACD) , (ABC), (BCD)

Ví dụ 3:Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D Trên ba cạnh AB,

AC,AD lần lược lấy các điểm M,N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H , đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I ,

đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J Chứng minh ba điểm H,I,J thẳng hàng

Ví dụ 4: Cho BCD và điểm A không thuộc mp (BCD) Gọi K là

trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của ABC Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mp(BCD)

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hbh ABCD Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AD,SC Tìm giao điểm của mp(MNP) với các mặt của hình chóp và giao tuyến của mp (MNP) với các mặt của hình chóp

§ 1

4.Hình chóp và hình tứ diện

a.Hình chóp

Định nghĩa

Trong mp (P) cho đa giác A 1 A 2 …A n và một

điểm S ( P) .Nối SA 1 ,SA 2 ,…,SA n để

được n tam giác SA 1 A 2 ,SA 2 A 3 ,…,SA n A 1 Hình

gồm n tam giác đó và đa giác A 1 A 2 …A n gọi

là hình chóp và được kí hiệu là S.A 1 A 2 …A n

Hình chóp tam giác S.A 1 A 2 A 3 .

Hình chóp tứ giác S.A 1 A 2 A 3 A 4 H/C ngũ giác S.A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .

Mặt bên

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Một mp(P) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại

A’,B’,C’,D’ Tứ giác A’B’C’D’ được gọi là thiết diện hay mặt cắt của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P).

P S

? Thiết diện của hình chóp

tứ giác có thể là tam giác,

tứ giác ,ngũ giác , lục giác

hay không ?

Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD

không song song.M là điểm thuộc miền

trong tam giác SCD

a Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).

b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).

c Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).

d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt

Muốn tìm giao tuyến của 2 mp phân biệt thì ta phải tìm 2 điểm chung phân biệt

Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD

không song song.M là điểm thuộc miền

trong tam giác SCD

a Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).

b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).

c Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).

d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt

SO BM=I ,SO (SAC) Ç Ì

Vậy I=BM (SAC).Ç

VD a

d.Trong mp(SAC) đt AI cắt SC tại P

I

Q

P

Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD

không song song.M là điểm thuộc miền

trong tam giác SCD

a Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).

b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).

c Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).

d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi

M,N,P là trung điểm của các cạnh

AB,AD,SC.Xác định thiết diện của

hình chóp và mặt phẳng (MNP).

+ Trong mp(SCD), gọi F là giao điểm JP và SD.

Ta có các giao tuyến PF và FN

+ Vậy thiết diện mp(MNP) và hình chóp là tứ giác MNFPE

+ Trong mp(ABCD), gọi I, J

lần lượt là giao điểm của

MN với BC và CD.

Giải:

P

N M

D

A B

C S

I

J E

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD.Điểm C’ nằm trên cạnh SC.Tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABC’).

I

I'

D'

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD c ó đáy ABCD là hình bình hành.

1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) 2) M là một điểm trên cạnh SA Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MBC)

.S

B A

.M N

song song với AB.

2) Xác định thiết diện của hình chóp

khi cắt bởi mp(MBC)

Cần xác định giao tuyến của mặt (MBC) với các mặt (SAD) và (SCD)

Mp(MBC) và (SAD) có điểm M chung AD  (SAD), BC  (MBC) và AD // BC

nên giao tuyến của (SAD) và (MBC) là đường thẳng MN, MN // AD ( N  SD).

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(MBC) là hình thang MNCB.

Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S lần l ợt là

trung điểm của các đoạn thẳng : AB, CD, BC, DA, AC, BD Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tại trung

điểm G của mỗi đoạn Điểm G khi đó gọi là trọng tâm của tứ

Suy ra tứ giác MNQP là hình bình hành Từ đó suy ra các đoạn

thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn

+ MN và PQ cùng nằm trên một mp

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S lần l ợt là trung

điểm của các đoạn thẳng : AB, CD, BC, DA, AC, BD Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G

của mỗi đoạn Điểm G khi đó gọi là trọng tâm của tứ diện

ABCD

Giải

Chứng minh t ơng tự ta có

Tứ giác MNRS là hình bình hành, khi đó hai

đoạn thẳng MN và RS cắt nhau tại trung điểm

của mỗi đ ờng ( tại trung điểm G của MN )

Vậy các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại

trung điểm G của mỗi đoạn

Điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành.

a Tìm giao điểm của hai mp(SAB) và (SCD)

b Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) trong đó M là một điểm nằm giữa hai điểm S và A.Giải

+ Xét 3 mp(MBC), (SAD) và (ABCD) đôi một

cắt nhau nên áp dụng định lý ta có giao tuyến của

 

( MBC )  SAD  d

là đth đi qua M và song song với AD

Vậy qua M kẻ đ ờng thẳng song song với AD cắt SD tại N

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành

tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) b/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) c/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB, K là một điểm

nằm giữa B và C Tìm thiết diện của hình chóp

S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNK).

S

A

B

C D

O

K H

c/ Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi

 (MNK)  (ABCD) = KH(với H  AD và KH // MN // AB)

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNKH.

Hai ® êng th¼ng song song

A

B

C D

O

K H

S

a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

D

O

K H

S

x

Ví dụ 1:

Cho tứ diện ABCD Gọi G 1 , G 2 , G 3 lần lượt là trọng tâm của

các tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh mặt phẳng

(G 1 G 2 G 3 ) song song với mặt phẳng (BCD).

Ví dụ 1:

Cho tứ diện ABCD Gọi G 1 , G 2 , G 3 lần lượt là trọng tâm của

các tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh mặt phẳng

(G 1 G 2 G 3 ) song song với mặt phẳng (BCD).

Cho tứ diện SABC Hãy dựng mặt phẳng qua trung điểm I của đoạn thẳng SA và song song với (ABC).

Cho tứ diện SABC Hãy dựng mặt phẳng qua trung điểm I của đoạn thẳng SA và song song với (ABC).

BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

( )

( )

(

) //(

Hai mặt phẳng song song chắn trờn hai

cỏt tuyến song song những đoạn thẳng

bằng nhau

Vớ dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình bình hành tõm O Gọi I là

điểm thuộc đoạn AO , (P) là mặt phẳng qua I

và song song với (SBD) Xác định thiết diện

của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P)

* Tớnh chất 2:

KL

S.ABCD ABCD là hình bình hành tâm O

I  đoạn AO, (P) qua I và //(SBD).

Xác định thiết diện của h×nh chãp