PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG TRỰC GIAO CHỊU XOẮN TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---NGUYỄN TIẾN THIỆP PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG TRỰC GIAO CHỊU XOẮN TRO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TIẾN THIỆP

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG TRỰC GIAO CHỊU

XOẮN TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TIẾN THIỆP

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG TRỰC GIAO CHỊU

XOẮN TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 8440109.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ KHẢ HÒA

Hà Nội – Năm 2018

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn thạc sỹ khoa học này, emxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến quý Thầy Cô ở khoa toán – Cơ – Tinhọc, trường Đại học Khoa học tự nhiên – ĐHQGHN đã cùng với tri thức vàtâm huyết của mình để truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng emtrong suốt thời gian học tập tại trường

Em xin chân thành cảm ơn TS Lê Khả Hòa đã tận tâm hướng dẫn để em

có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ- Tin học,phòng sau Đại học- Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên- ĐHQGHN

Qua đây cũng xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đãluôn ủng hộ trong suốt quá trình học tập

Bước đầu nghiên cứu, kiến thức của em còn nhiều hạn chế Do vậy, emkhông tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp quý giácủa quý thầy cô và các bạn đồng môn

Sau cùng em xin kính chúc TS Lê Khả Hòa cùng toàn thể quý thầy côtrong khoa Toán – Cơ – Tin học thật nhiều sức khỏe, niềm vui để tiếp tụccống hiến cho khoa học và mang hết tâm huyết của mình truyền đam mê khoahọc cho các thế hệ học trò mai sau

Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2018

Học viên

Nguyễn Tiến Thiệp

Mục lục

Danh sách hình vẽ i

Danh sách bảng vẽ ii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 – Vỏ trụ và các hệ thức cơ bản 5

1.1 Vỏ trụ sandwich trên nền đàn hồi Pasternak 5

1 2 Các hệ thức cơ bản và phương trình cân bằng 8

Chương 2 – Phương pháp giải 14

2.1 Điều kiện biên và dạng nghiệm 14

Chương 3 – Tính toán số 21

3.1 So sánh kết quả 21

3.2 Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM 21

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

Danh sách hình vẽ

Hình 1: Vỏ trụ sandwich có gân gia cường 5

Hình 2 Ảnh hưởng của hcore/hFG lên tải xoắn tới hạn trên τupper (k2=k3=N=k=1) 23

Hình 3 Ảnh hưởng của hcore/hFG lên tải xoắn tới hạn dưới τlower (k2=k3=N=k=1) 23

Hình 4b Ảnh hưởng của h core /h FG lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24

Hình 4a Ảnh hưởng của h core /h FG lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1)

24

Hình 5a Ảnh hưởng của e0 lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24

Hình 5b Ảnh hưởng của e0 lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24

Hình 6 Ảnh hưởng của e0 lên tải xoắn tới hạn trên τupper (k2=k3=N=k=1) 24

Hình 7 Ảnh hưởng của ΔT lên đường cong T lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24

Hình 8a Ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích k lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1)

26

Hình 8b Ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích k lên đường cong τ – ψ (Case 1) .26

Hình 9 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích k lên tải xoắn tới hạn trên τupper 26

Hình 10 Ảnh hưởng của R/h lên tải xoắn tới hạn trên τupper (Case 1, k=1 26

Hình 11a Ảnh hưởng của tỉ số R/h lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1:

k2=k3=N=k=1) 27

Hình 11b Ảnh hưởng của tỉ số R/h lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1)

27

Hình 12a Ảnh hưởng của L/R lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1)28

Hình 12b Ảnh hưởng của tỉ số L/R lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1)

Danh sách bảng

Bảng 1: So sánh tải tới hạn xoắn (psi) với [30] và [29] của vỏ trụ thuần nhất không

gân chịu xoắn. 21

Bảng 2: So sánh tải tới hạn xoắn (psi) với [29] và [31] của vỏ trụ thuần nhất không

gân chịu xoắn. 21

Bảng 3 :Ảnh hưởng của hệ số độ xốp e0 và độ dầy lớp lõi hcore đến tải tới hạn τcr,

k2=k3=N=k=1, h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, ΔT lên đường cong T=300K, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m 22

Bảng 4: Ảnh hưởng của nhiệt độ và chỉ số tỉ phần thể tích đến tải xoắn tới hạn trên

và tải tới hạn dưới h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, , K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m 25

Bảng 5: Ảnh hưởng của thông số hình học đến tải xoắn tới hạn trên và tải xoắn tới

hạn dưới k2=k3=N=k=1, h=0.006m, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, , K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT lên đường cong T=300K 27

Bảng 6: Ảnh hưởng của gân và nền đến tải xoắn tới hạn trên k2=k3=N=k=1,

h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, K1=6×107N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT lên đường cong T=300K (Trường hợp 1: gân được gia cưởng phía trong) 28

MỞ ĐẦU

Các kết cấu chế tạo từ vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally gradedMaterial-FGM) được sử dụng ngày càng nhiều trong công nghiệp hàng không

vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân và các lĩnh vực làm việc trong môi trường nhiệt

độ cao hoặc chịu tải phức tạp Do các tính chất cơ lý biến đổi trơn và liên tục

từ mặt này đến mặt kia nên các kết cấu FGM tránh được sự tập trung ứng suấttrên bề mặt tiếp xúc giữa các lớp, tránh được sự bong tách và rạn nứt trongkết cấu Do vậy nghiên cứu về ổn định, dao động và độ bền của các kết cấuFGM đã thu hút được sự chú ý đặc biệt của cộng đồng các nhà khoa học trong

và ngoài nước

Một trong những kết cấu được sử dụng nhiều trong thực tế là vỏ trụ Đã

có nhiều kết quả nghiên cứu về bài toán ổn định cũng như dao động của vỏ

trụ làm bằng vật liệu FGM không gân chịu tải xoắn, tác giả Batra [1] đã

nghiên cứu bài toán xoắn của vỏ trụ với modul vật liệu chỉ thay đổi dọc theotrục Tác giả Wang và cộng sự [2] đã đưa ra nghiệm chính xác và đáp ứng daođộng của vỏ trụ FGM rỗng hữu hạn Các tác giả Zhang và Fu [3] đã nghiêncứu trạng thái tới hạn của vỏ trụ đàn hồi có lớp phủ cứng bề mặt trong đó biếndạng của lớp lõi và bề mặt được phân tích thông qua phương trình Navier và

mô hình lớp vỏ mỏng, tương ứng Các tác giả Sofiyev và Schnack [4] nghiêncứu sự ổn định của vỏ trụ FGM chịu tải xoắn động tăng tuyến tính Trong đó,

họ đã sử dụng phương trình ổn định động dạng Donnell cải tiến và phươngpháp Galerkin với liên hệ hình học là tuyến tính và nghiệm gần đúng được lựachọn là một số hạng Tác giả Li và Wang [5] đã nghiên cứu ổn định đàn hồicủa vỏ trụ FGM sandwich với điều kiện biên tựa đơn chịu tải xoắn bằngphương pháp bán giải tích Các phương trình chủ đạo với các thành phầnchuyển vị của bài toán ổn định kết cấu được thiết lập bằng sử dụng lý thuyết

vỏ mỏng Flugge trong đó quan hệ biến dạng – chuyển vị là tuyến tính

Về vỏ trên nền đàn hồi, Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao tác giả

Bagherizadeh và các cộng sự [6] đã nghiên cứu sự ổn định cơ của vỏ trụ FGMkhông gân bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak Sử dụng lý thuyết vỏ

Donnell cải tiến, các nghiên cứu về ổn định và phân tích dao động của vỏ trụFGM không gân trên nền đàn hồi cũng đã được tác giả Sofiyev cùng các cộng

sự nghiên cứu [7] Bằng phương pháp Galerkin, các tác giả đã đưa ra biểuthức xác định tải xoắn tới hạn và tần số dao động của vỏ

Về bài toán ổn định của vỏ có gân gia cường: Năm 2009, tác giả

Najafizadeh cùng các cộng sự [8] với các phương trình ổn định tuyến tínhtheo chuyển vị, đã nghiên cứu trạng thái tới hạn của vỏ trụ FGM được giacường bằng các gân dọc và gân vòng chịu nén dọc trục Gân và vỏ đều là vậtliệu có cơ tính biến thiên Năm 2011, tác giả Đào Huy Bích và cộng sự [9] đãtrình bày một cách tiếp cận giải tích để nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến củatấm FGM và vỏ thoải FGM có gân gia cường lệch tâm dựa trên lý thuyết vỏ

cổ điển trong đó gân được giả thiết là thuần nhất Dựa vào lý thuyết vỏ cổđiển có tính tới yếu tố phi tuyến hình học von Karman và sử dụng kỹ thuậtsan đều tác dụng của gân, Dung và Hoa [10] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến

và đáp ứng sau tới hạn của vỏ trụ có gân FGM gia cường chịu tải xoắn trênnền đàn hồi Pasternak trong môi trường nhiệt độ Vỏ được gia cường bởi cácgân vòng và gân dọc trong đó vỏ và gân đều làm bằng vật liệu cơ tính biếnthiên Với phương pháp tương tự, Thang và Trung [11] đã nghiên cứu ảnhhưởng của gân đến ổn định phi tuyến của vỏ trụ với lớp phủ FGM chịu tảixoắn Vỏ trụ được gia cường bởi các gân dọc trục Sử dụng lý thuyết vỏ cổđiển, Thang và các cộng sự [12] cũng đã trình bày đáp ứng của vỏ trụ có lớpphủ bằng vật liệu FGM trong đó hai lớp phủ thì làm bằng vật liệu FGM cònlớp lõi được làm bằng vật liệu thuần nhất Vỏ được gia cường bởi các gân dọcnằm ở phía ngoài của vỏ Với hàm độ võng ba số hạng, Ninh và Bich [13] đãnghiên cứu ổn định của vỏ trụ với ba lớp gốm – FGM – kim loại (C-FGM-M)chịu tải xoắn trên nền đàn hồi Vỏ được gia cường bởi các gân dọc và gânvòng và được đặt trong môi trường nhiệt độ

Về vỏ làm việc trong môi trường nhiệt độ: Dựa trên lý thuyết biến

dạng trượt bậc cao, tác giả Shen [14] đã thu được kết quả của bài toán ổn địnhcủa vỏ trụ FGM chịu xoắn trong môi trường nhiệt độ Trong bài báo này ông

đã sử dụng phương pháp tham số bé để xác định tải tới hạn và đường cong sau

tới hạn Bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng lớn phi tuyến và phương phápRitz, tác giả Huang và Han [15] cũng đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏtrụ không gân chịu tải xoắn trong môi trường nhiệt Trong nghiên cứu của họ,thành phần độ võng phi tuyến được đề xuất dựa vào quan sát từ thực nghiệm.

Vật liệu xốp (porous material) là một loại vật liệu mới của vật liệu FGM

trong đó tính chất xốp của vật liệu được đặc trưng bởi sự phân bố của các lỗrỗng bên trong Các vật liệu xốp như bọt kim loại (metal foams) là một loạivật liệu nhẹ quan trọng với khả năng hấp thụ năng lượng tuyệt vời Do đó loạivật liệu này đã nhận được ứng dụng rộng rãi trong thực tế cho các cấu trúcchịu tải động Trong bài báo [16], các tác giả Magnucki và Stasiewicz đãnghiên cứu ổn định đàn hồi của dầm xốp Magnucka-Blandzi [17, 18, 19]cũng đã trình bày mô hình toán học của tấm sandwich hình chữ nhật và hìnhtròn với phần lõi là kim loại bọt Các nghiên cứu đã đưa ra biểu thức xác địnhtải tới hạn của tấm Phân tích ổn định đàn hồi của dầm xốp chịu uốn đã đượctrình bày bởi tác giả Chen cùng nhóm nghiên cứu [20] Tác giả Kitipornchaicùng nhóm nghiên cứu cũng đã nghiên cứu về dao động tự do và ổn định đànhồi của dầm xốp trong bài báo [21] Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậccao, tác giả Jabbari cùng các cộng sự [22, 23] cũng đã trình bày ổn định phituyến của tấm tròn được làm bằng vật liệu xốp Sử dụng phương phápGalerkin, tác giả Tú và các cộng sự [24] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến củatấm chịu nén Bài báo đã đưa ra được biểu thức biểu thức xác định tải tới hạn

và mô tả đường cong sau tới hạn của tấm

Các kết cấu được làm bằng vật liệu xốp gần đây đã là một chủ đề được

sự quan tâm đặc biệt của các nhà thiết kế và xây dựng Để tăng cường khảnăng làm việc của kết cấu người ta thường giảm trọng lượng của kết cấubằng cách sử dụng vật liệu xốp Cách làm này có ưu điểm là giảm trọnglượng của công trình, tiết kiệm được vật liệu và đặc biệt là giảm đi ảnhhưởng của các thành phần lực quán tính xuất hiện trong kết cấu khi có ảnhhưởng của tải trọng động Vì vậy, việc nghiên cứu kết cấu làm bằng vật liệuxốp không những tối ưu về vật liệu mà còn tối ưu về giá thành

Tuy vậy, nhìn tổng quan các tài liệu chỉ ra rằng nghiên cứu ổn định của

vỏ xốp chưa có nhiều đặc biệt là vật liệu xốp có gân gia cường Hơn nữa,theo hiểu biết của tác giả, vẫn chưa có nghiên cứu về ổn định phi tuyến của

vỏ trụ sandwich có lớp giữa là vật liệu xốp, được gia cường bởi các gân trựcgiao, trên nền đàn hồi chịu tải xoắn trong môi trường nhiệt độ Phát triểnhướng nghiên cứu của hai bài báo [10], luận văn này tập trung vào giảiquyết bài toán bằng phương pháp giải tích dựa trên lý thuyết vỏ Donell, kỹthuật san đều tác dụng gân và phương pháp Galerkin Các phân tích tiếnhành để đánh giá ảnh hưởng của gân, tham số vật liệu và tham số hình họccũng như tác dụng đến tải trọng tới hạn và đường cong tải độ võng của vỏtrụ sandwich ba lớp với lớp lõi làm bằng vật xốp, hai lớp phủ làm bằng vậtliệu cơ tính biến thiên và vỏ có gân gia cường làm bằng vật liệu FGM

Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục

và các chương chính như sau:

Chương 1 Vỏ trụ và các hệ thức cơ bản: Trình bày về kết cấu vỏ trụsandwich, các hệ thức cơ bản và các phương trình cân bằng của vỏ trụ FGP cógân gia cường

Chương 2 Phương pháp giải: Trình bày các điều kiện biên, phươngpháp Galerkin dẫn tới biểu thức giải tích để tìm lực tới hạn của vỏ trụ FGPchịu tải xoắn

Chương 3 Tính toán bằng số: Các tính toán số so sánh với các công bốtrước đó để khẳng định sự tin cậy của tính toán giải tích và khảo sát các ảnhhưởng của các tham số đến tải tới hạn và đường cong đáp ứng sau tới hạn của

vỏ trụ

Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây

Chương 1 – Vỏ trụ và các hệ thức cơ bản

1.1 Vỏ trụ sandwich trên nền đàn hồi Pasternak

Xét vỏ trụ mỏng có bán kính R, độ dầy h và chiều dài L chịu tải xoắn trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt độ Mặt giữa của vỏ và hệ tọa độ x,

y, z được biểu diễn trên hình 1 Vỏ được gia cường ở bằng các gân dọc và

gân vòng Các gân này được giả thiết bố trí mau và kích thước của gân lànhỏ Vỏ được làm bằng vật liệu sandwich ba lớp với lớp lõi làm bằng vậtliệu xốp, hai lớp phủ làm bằng vật liệu cơ tính biến thiên và gân được làmbằng vật liệu có cơ tính biến thiên với môđun đàn hồi Young và hệ số dãn

nở nhiệt của vật liệu thay đổi theo quy luật [10, 24]

L

Mô đun đàn hồi Young và hệ số dãn nở nhiệt của vỏ:

Trong luận văn nghiên cứu hai trường hợp của gân:

Trường hợp 1: Gân FGM được gia cường phía trong

hFG /2 là độ dầy của mỗi lớp phủ bằng vật liệu cơ tính biến thiên

hcore –là độ dầy của lớp lõi làm bằng vật liệu xốp

h s, h r-là độ dầy của gân dọc và gân vòng

E mc E m  E E c, cmE c E m, mc  m  c, cm c m

k, N, k2 và k3 – là chỉ số tỉ phần thể tích của vỏ, gân dọc và gân vòng

c, m, sh, s và r – tương ứng là các ký hiệu của vật liệu gốm (ceramic),

kim loại (metal), vỏ (shell), các gân dọc (stringers) và gân vòng (ring)

E E c, m - là mô đun đàn hồi Young của gốm và kim loại

 c, m - là các hệ số giãn nở nhiệt của gốm và kim loại

E sh , Es, Er - là mô đun đàn hồi Young của vỏ, gân dọc và gân vòng

sh , αs, αr - là các hệ số giãn nở nhiệt của vỏ, gân dọc và gân vòng

Hệ số Poison được coi là hằng số sh  s r    const [25]

Từ các phương trình (1) và (2) có thể thấy rằng tính liên tục vật liệugiữa các lớp và giữa vỏ với gân được đảm bảo

Từ phương trình (1), chúng ta cũng có thể thu được trường hợp riêng làquy luật phân bố sigmoid khi h core  0, trong trường hợp e 0 0 lớp lõi sẽ làkim loại, nếu e0  k 0 vỏ là vỏ kim loại

1.2 Các hệ thức cơ bản và phương trình cân bằng

Sử dụng lý thuyết vỏ mỏng với tính phi tuyến hình học von Karman, khi

đó các thành phần biến dạng tại điểm cách mặt giữa của vỏ trụ một khoảng z

được biểu diễn qua các thành phần biến dạng tại mặt giữa là [26, 27]:

    , 0xy u,y  v ,xw w,x ,y, (5)trong đó u u x y ( , ), v v( , ),  x y w w x y ( , ) tương ứng là các thành phần

2

, 1

trong đó nhiệt độ giả thiết là chỉ phụ thuộc vào độ dầy z.

Các thành phần lực dãn và mômen được tính qua các thành phần ứng suất

E E

  với

3

3 2 3

0

3

12 2

Trường hợp 1 (Case 1): Gân được gia cường phía trong của trụ

/ 2

1

2 / 2



 

 

/ 2 0

ở đây bs và b r tương ứng là độ rộng của gân dọc và gân vòng, ds và dr là

khoảng cách giữa hai gân dọc và gân vòng

Từ phương trình (9) ta giải biến dạng qua các thành phần lực dãn Nij là

Tiếp tục thế các biểu thức (11) vào biểu thức của Mij trong (10) suy ra

Thế (12) và (14) vào phương trình thứ ba của (13), với lưu ý biểu thức (4),

Phương trình (15) có hai hàm cần tìm là hàm độ võng w và hàm ứng suất f,

để xác định hai hàm này ta cần tìm thêm một phương trình nữa mô tả quan hệcủa hai hàm này Muốn vậy ta thế biểu thức (14) vào phương trình tươngthích (6), sau một số tính toán ta thu được

Chương 2 – Phương pháp giải2.1 Điều kiện biên và dạng nghiệm

Xét vỏ trụ có bán kính R, độ dầy h và độ dài L chịu tải xoắn ở hai đầu

của vỏ trụ với cường độ  Hệ tọa độ (x, , z), y  R được cho như hình 1.Điều kiện biên ở hai đầu của vỏ được xét đến ở đây là tựa đơn ở hai đầu:

w0, M x 0, N xy h tại x=0 và x=L.

Độ võng được chọn thỏa mãn điều kiện biên theo nghĩa trung bình [15, 28]

w w x y ( , )   0   1 sin xsin  y x  2 sin2x, (19)trong đó  m/ ,L  n R/ , m số nửa sóng dọc trục và n là số sóng theo phương vòng và λ là tan góc hợp bởi đường thẳng yx với đường sinh của

vỏ trụ Trong biểu thức (19), thành phần đầu của w là độ võng ở hai đầu x=0 và

x=L, thành phần thứ hai là độ võng tuyến tính, và thành phần cuối cùng là độ