Chứng minh rằng AB CD ⊥.
Trang 1ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI KHẢO SÁT TOÁN 12
Câu 1
(3 điểm) Cho hàm số 2x 6
y
x 1
−
=
§iÓm
+ TXĐ : R\{1}
+ Giới hạn và tiệm cận : Tìm giới hạn, TCĐ x = 1, TCN y = 2 1/4 +
4
x 1
− , Nhận xét khoảng đb, nb và cực trị.
1/4 + BBT
+ ∞
- ∞
2
2
+ +
+ ∞
1
- ∞
y y' x
1/4
+ Đồ thị : Giao ox,oy, vẽ nhận xét tâm đối xứng
x
6
4
2
-2
-4 O
y
f x ( ) = 2⋅ x-6 x-1
1/4
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(5;10) 1®iÓm + Đt d qua A (5;10) và là tiếp tuyến của ( C) có pt dạng :y k x 5 = ( − + ) 10
+ Đt d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ
2x 6
k(x 5) 10
x 1 4 k
x 1
−
−
−
có nghiệm.
1/4
+ Tìm được x = -1, k = 1 suy ra tiếp tuyến y = x + 5 1/4 + Tìm được x = 2, k = 4 suy ra tiếp tuyến y = 4x - 10
3
Tìm hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) và đối xứng nhau qua điểm B(1
2;1).
1®iÓm
+ M, N phân biệt thuộc (C) nên 2m 6 2n 6
1/4
+ A là trung điểm của MN
m n 1 2m 6 2n 6
2
+ =
1/4
Trang 2Câu 2
(2 điểm)
1
Giải phương trình :
sin 2x sin 4x
2
π
1®iÓm
+ Đk :
sin( x) 0
4 sin 4x 0
π
1/4
s inx 1 sin x(2 sin x sin x 1) 0 s inx 0
1
s inx
2
= −
+ − = ⇔ =
=
1/4
+ Giải và đối chiếu điều kiện được nghiệm : 5
2
Giải hệ phương trình :
3 3 2
1®iÓm
+ (1) ( x y 2x y ) ( ) x y y x
y 2x 1
=
+ Th2: y=2x-1 tìm được nghiệm (0;-1)
Câu 3
(2 điểm) 1 Tìm m để đồ thị hàm số y x = 3− 3x2+ − ( 3 m x m 1 ) + + (C) cắt trục Oxtại 3 điểm phân biệt 1®iÓm
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là : x3− 3x2+ − (3 m)x m 1 0 + + = (1) 1/4 + (1) ( )2 2
x 1
− (Vì x=1 không là nghiệm của (1) ).
1/4
+ Để (C) cắt Ox tại 3 điểm pb ⇔đồ thị hàm số ( )2 2
x 1
− cắt đt y=m tại 3 điểm pbiệt.
+ BBT
3
+ ∞
+ ∞
+
0
_ _
2 1
+ ∞
- ∞
+ ∞
- ∞
y
y' x
1/4
+ KL: m > 3 thì (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 1/4
2 Cho tứ diện ABCD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC Chứng minh rằng AB CD ⊥ 1®iÓm + Gọi H là hình chiều của A lên (BCD) ⇒ AH ⊥ BC,CD, BD 1/4 + AD BC
1/4
+ AC BD
1/4
+ Vậy H là trực tâm của ∆BCD BH CD
1/4
Câu 4 1 Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2+ y2− 4x 2y 0 − = và đường thẳng d :3x y 1 0 − + = 1®iÓm
Trang 3(2 điểm) Tìm các điểm thuộc (d ) mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đường tròn (C).
+ M ∈d ⇒ M m;3m 1 ( + ), MI2 = 10m2− 4m 4 + 1/4
+ Lập luận từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc để được MI2 = 10 1/4 + Ta có pt : 10m2− 4m 4 10 + = ⇔ 10m2− 4m 6 0 − = M(1; 4), M( 3 ; 4 )
− −
2 Trong hệ toạ độ Oxy cho ba đường thẳng:
Tìm các điểm M thuộc (d) sao cho khoảng cách từ M đến ∆1bằng 2 lần khoảng cách từ M đến ∆2
1®iÓm
+ d M; ( ∆ =1) 2d M; ( ∆ ⇔2) 3m 1 + = 16 2m − 1/4
Câu 5
(1 điểm) Cho x, y là hai số thực thoả mãn :
2 2
2x + 2y + = 3 4(x y) + (*) P 4 x y y x = ( 2 + 2 ) − + − ( x y ) 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P
1®iÓm
+ (*) ( )2 ( )
Ta có ( )2
x y + ≥ 4xy ( dấu bằng có khi x = y) (không dùng Côsi vì x, y có thể âm ) Đặt t = x + y ⇒ 2t2− + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ 4t 3 t2 t2 4t 3 0 1 t 3
1/4
+ P 4xy x y = ( + − + − = ) ( x y ) 1 ( 2t2− + 4t 3 t t 1 2t ) − − = 3− 4t2+ − 2t 1 1/4
+ Tìm GTLN, NN của hàm số 3 2 [ ]
P f (t) 2t = = − 4t + − ∈ 2t 1, t 1;3
3
( )
( )
= −
=
1/4
+ KL: Pmax = 23khi 3
x y
2
= =
Pmin = − 1khi 1
x y
2
= =
1/4
