Tài liệu Toán CC 1

 Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa dòng hoặc cột của định thức xuất hiện nhiều số 0 và số 1 trước khi chọn để khai triển.. Ngoài cách xét tính ĐLTT, PTTT theo định nghĩa, trong nhiều

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA: TIẾNG ANH THƯƠNG MẠI

−−−−−−−−

TÀI LIỆU ÔN TẬP

Bộ môn: Toán cao cấp I

Lớp HP: 18134FMAT0111 GV: Phan Thanh Tùng

Hà Nam, 2018

3 Phép nhân ma trận với một số tích của ma trận A với một số α

α.A = α.(a ij ) m×n = (α.a ij ) m×n

 Tích các phần tử theo đường chéo chính ta lấy dấu cộng (+)

 Tích các phần tử theo đường chéo phụ ta lấy dấu trừ (-)

 Const nếu các phần tử của định thức là số thực

 Biểu thức nếu các phần tử của định thức có chứa ẩn các số

 Số phức nếu các phần tử của định thức thuộc R thuộc C

 Đối với định thức cấp cao (cấp n): Dùng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột

Các phương pháp ứng dụng để tính định thức cấp cao có thể có:

 Chọn ưu tiên cho những dòng hoặc cột có nhiều số 0 và số 1 để tiến hành khai triển

giúp ta giảm bớt các bước trung gian

 Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa dòng hoặc cột của định thức xuất hiện nhiều

số 0 và số 1 trước khi chọn để khai triển

 Chú ý:

 Nếu ma trận có dạng chéo tam giác → giá trị định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

4

 Phép biến đổi gauss thứ 1: Nếu đổi dòng → đổi dấu

 Phép biến đổi gauss thứ 2: Nếu nhân 1 dòng với k 0 → định thức tăng k lần

 Phép biến đổi gauss thứ 3: Lấy 1 dòng trừ k lần dòng khác → định thức không đổi

III Hạng của ma trận

1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức

Bước 1: Tìm một định thức con cấp k 0 của A Giả sử định thức con cấp k 0 là Dk

Bước 2: Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức Dk Xảy ra 3 khả năng:

 Không có một định thức con cấp k 1 nào của A, xảy ra  k = min{m, n}

→ Khi đó r(A) = k = min{m, n} Thuật toán kết thúc

 Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dk đều bằng 0

→ Khi đó r(A) = k Thuật toán kết thúc

 Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 chứa định thức con Dk khác 0

→ Khi đó lặp lại bước 2 với D k+1 thay cho D k Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ra trường hợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc

2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss)

Ba phép biến đổi sau gọi là phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận:

 Đổi chỗ 2 dòng cho nhau

 Nếu det(A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo A-1

 Nếu det(A) 0 thì A có ma trận nghịch đảo A-1 → chuyển sang bước 2

Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A’ của A

Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau:

A* = (Aij’)nn với A’ = Aij’ là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A’

Bước 4: Tính ma trận A-1 = 1

detA.A*

b

Đặt A = /

Với n = 1: A =

/ Với n = 2: A =

Chương I: Ma trận và định thức

7

e

Đặt A = /

Với n = 1: A =

/

Với n = 2: A =

/ = / /

=

/ = /

→ / = /

Bài 2 Cho A = (

+; B = ( +

a Tính (2A A2 B b B.(2A A2 có thực hiện được không, tại sao? Lời giải a  2A = 2.(

+ = (

+  A2 = (

+ = (

+ (

+ = ( +

 2A A2 = (

+ ( + = ( +

→ (2A + A 2 ).B = ( + ( + = (

+

b B = (

+ → số cột của B bằng 2

8

(2A + A2) = (

→ B.(2A + A 2 ) không thực hiện đƣợc vì số cột của B không bằng số dòng của (2A + A 2 )

Bài 3 Tính 1 , x 2 , x 3 , x 4 :

/ / /

Lời giải / / / / / /

Đặt A = / → |A|

X A /

 / /

/ / /

Bài 4 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: a A = / b A = ( + c A = ( +

Lời giải a |A| =

A11 = A12 = A21 = A22 = → A-1 = / /

b |A| = |

|

A11 = ( ) | | A12 = ( ) | | A13 = ( ) | |

415

7

323

5

231

4

741

5

954

7

1172

axaa

aaxa

aaax

e

999998

10001001

99910011001

1001

10021001

10031002

10041003

10021001

Lời giải

10

a

053

1

415

7

323

5

231

0537

4157

3237

2317

4151

3231

2311

2240

1120

2311

8213

2421

0001

1

821

242

4

741

5

954

7

1172

7415

9547

11729

1

D 

10739

7415

9547

101

= ( 1)2 + 1 ×

1079

745

957

+ ( 1)4 + 1 ×

739

415

547

= (280315315)(324250343) (4914475)(4514084)

= 7 + 1 = 6

c

c2c

1

b2b

1

a2a

1

3 1

2 1

DD

DD





c2a2ca0

b2a2ba0

a2a

ba00

a2a1

ba10

a

axa

a

aax

a

aaa

x

)

4 3 2

xaa3ax

axa3ax

aax3ax

aaa3ax

axa1

aax1

aaa1

9991001

10011001

10021001

10031002

10041003

10021001

4 1

3 1

2 1

DD

DD

DD







55

20

52

10

22

11

10041003

10021001





=

552

1004

522

1003

211

1002

001

522

211



( ) ( )

551004

521003

211002

2

n0

21

n3

01

n3

21

2

23

2

2

22

3

2

22

2

3

Lời giải

12

a

03

2

n0

21

n3

01

n3

21

3 1

2 1

DD

DD

DD







n000

2n3

00

2n6

20

n3

21



b

32

2

23

2

2

22

3

2

22

2

3

)

C(C

C1  2 3 

3222

22

23

22

223

22

32

223

22

22

223

2

23

21

22

31

22

21

1 n

1 3

1 2

DD

DD

DD

0

01

00

00

10

02

21

= 32(n1)

Bài 7 Chứng minh rằng:

a

2 2

2 2

2 2

xzzxx

z

zyyzz

y

yxxyy

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

baacc

b

baacc

b

baacc

2 2 2

1 1 1

cba

cba

cba

c

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

cbxaxb

a

cbxaxb

a

cbxaxb

2 2 2

1 1 1

cba

cba

cba

d

sinγcosγ

1

sinβcosβ

1

sinαcosα

γ

β

sin2

α

γ

Lời giải

2 2

2 2

xzzxx

z

zyyzz

y

yxxyy

= [xyz (z2 + x2) + y2z (z2 + x2) + x2y (y2 + z2) + xyz (y2 + z2) + xyz (x2 + y2) + z2x (x2 + y2)] - [xyz (z2 + x2) + xy2 (z2 + x2) + zx2 (y2 + z2) + xyz (y2 + z2) + xyz (x2 + y2) + yz2 (x2 + y2)]

3

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 1

1

baacc

b

baacc

b

baacc

= 2.a3b1c2 + 2.a2b3c1 + 2.a1b2c3 - 2.a1b3c2 - 2.a3b2c1 - 2.a2b1c3 (1)

Biến đổi vế phải ta có:

VP = 2

3 3 3

2 2 2

1 1 1

cb

a

cb

a

cb

3

2 2 2 2

2

1 1 1 1

1

cbxaxb

a

cbxaxb

a

cbxaxb

2 2 2

1 1 1

cba

cba

cba

1

sinβcosβ

1

sinαcosα

1

=cosβsinγ + cosαsinβ + cosγsinα cosβsinα cosαsinγ cosγsinβ

= (cossinγ cosγsin) + (cosαsinβ cosβsinα) + (cosγsinα cosαsinγ)

= sin(γβ) + sin(βα) + sin(αγ)

γ

β

)

1 5

1 4

1 3

1 2

4 2 2 2

CC

DD

DD

DD

DD

1 3

1 2

3 3

DD

DD

DD

2 2

C C D D D D

4

0cos1

Lời giải

a

Ta có: A =

1sin

sin1

b

4

0cos1

2

1cos

2k3

01 = 1 A12 = ( 1)1+2

10

0cos

= 4cos

A13 = ( 1)1+3

00

1cos

= 0 A21 = ( 1)2+1

10

0cos

= cos

A22 = ( 1)2+2

10

01 = 1 A23 = ( -1)2+3

00

0cos

= 0 A32 = ( 1)3+2

0cos4

01

A33 = ( 1)3+3

1cos

4

cos1

0

01

cos

0cos

41

01

cos4

0cos

01

cos4

0cos

1

126

32

1

21

2

11

214

61

13

241

532

21

214

21

×

1

45

21

23

116

126

212

11

116

126

54

14

14

116

126

112

111

c

61

1

3

24

1

53

214

6

×

1

113

241

53

736

136

13365

18

718

1181

21

21

21

×

1

11

21

21

21

3819

Chương I: Ma trận và định thức

23

II Bài tập thêm

Bài 1 Tính tích của các ma trận sau:

→ A thỏa mãn phương trình đã cho

Bài 5 Giải các phương trình ma trận sau:

+

b

| Dòng 2 trừ ba lần dòng 1, dòng 3 trừ hai lần dòng 2, dòng 4 cộng hai lần dòng 1 (định thức

không đổi): | | = |

| Dòng 3 cộng một phần tám lần dòng 2, dòng 4 cộng năm phần tám lần dòng 2 (định thức

không đổi) : | | = ||

|

|

|

|

| + 3.( ) |

| +

30

Bài 10 Tìm hạng của các ma trận sau:

,

,

→ (

,

→ (

,

→ (

, → (

,

,

, → (

,

→ r(A) = 4 (do |

)

→ (

→ (

, c C =

(

)

Lời giải

a

, → (

→ (

,

,

→ (

, → (

)

| = 25 ≠ 0

Ta thấy các định thức cấp 4 bao quanh định thức nên ta có :

34

= |

)

Bài 17 Tìm ma trận nghịch đảo của A = (

Chương I: Ma trận và định thức

37

,

Bài 18 Tìm ma trận nghịch đảo A =

(

Bài 19 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận :

a

]

Nếu a Khi đó 1 + na 0 và rank A = n

Nếu a = Khi đó 1 na = 0 và rank A = n 1 vì có định thức con cấp n – 1 gồm n – 1 dòng cuối, cột cuối

Chương I: Ma trận và định thức

41

Dn – 1 = [

] = 1 0 Còn định thức cấp n = 0

Bài 24 Tìm hạng của ma trận sau vuông cấp n:

Lời giải

[

42

Bài 25 Tìm hạng của ma trận (n 2):

[

]

→ [

→

[

( )

]Vậy rank A = n

Nếu x = 0:

[

]

→ [

]Vậy rank A = 2

HẾT CHƯƠNG I

−−−−−−−−

Chương II: Vector và không gian vector

gọi là vector n chiều

Số thực xi (i = 1, n̅̅̅̅̅ được gọi là thành phần thứ i của vector X

Các vector cũng có thể được sắp xếp theo cột, khi đó ta nói rõ là  vector cột 

Nhận ét : - Mỗi vector dòng n chiều là một ma trận cỡ 1 x n

- Mỗi vector cột n chiều là một ma trận cỡ n x 1

→ Vector là trường hợp riêng của ma trận Ngƣợc lại, ma trận nói chung không phải là

vector Tuy nhiên, một ma trận cỡ m x n có thể trở thành một vector m.n chiều nếu ta quy định một luật về thứ tự giữa các phần tử của ma trận đó

 Vector n chiều có mọi thành phần đều bằng không: 0 n = (0, 0, …, 0) gọi là vector

không, ký hiệu là 0n hay đơn giản là 0

 Vector –X = ( x 1 , x 2 , …, x n) gọi là vector đối của X = (x1 , x 2 , …, n )

2 Các phép toán trên các vector n chiều

a Các phép toán

 Phép cộng

Cho hai vector n chiều X = (x1 , x 2 , …, n ), Y = (y 1 , y 2 , …, y n) Tổng của hai vector X và

Y là một vector n chiều, được kí hiệu và xác định như sau:

44

X + Y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , …, n + y n )

 Phép trừ

X – = X + ( Y) = (x 1 y 1 , x 2 y 2 , …, n y n )

 Phép nhân vector với một số thực

Tích của vector n chiều X = (x1 , x 2 , …, n) với một số thực là một vector n chiều, kí

hiệu , được xác định như sau :

b Các tính chất cơ bản của hai phép toán

Với X, Y, Z là các vector cùng số chiều và là các số thực, ta có:

Định nghĩa 3: Cho hai vector n chiều X = (x1 , x 2 , …, n ), Y = (y 1 , y 2 , …, y n ) Số thực có

kí hiệu và độ lớn, xác định như sau được gọi là tích vô hướng của X và Y

<X ; Y> x 1 y 1 x 2 y 2 … x n y n

II Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.

1 Các khái niệm

Chương II: Vector và không gian vector

45

 Tổ hợp tuyến tính của các vector

Định nghĩa 4: Cho m vector n chiều X 1 , X 2 , …, X m Một tổng có dạng:

X k 1 X 1 k 2 X 2 … k m X m (k i ℝ, i 1, 2, …, m)

được gọi là tổ hợp tuyến tính của m vector đã cho

Trong trường hợp này, ta nói X được biểu diễn tuyến tính qua m vector trên

Đặc biệt, X kY hoặc Y hX thì ta nói X và Y tỉ lệ với nhau

 Tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

Cho một hệ m vector n chiều {X 1 , X 2 , …, X m }

Định nghĩa 5: Hệ m vector n chiều {X 1 , X 2 , …, X m} được gọi là phụ thuộc tuyến tính

nếu tồn tại m số thực k 1 , k 2, …, km với ít nhất một số khác 0 sao cho:

 { k1 2.k2 = 0

k2 = 0  { k1 = 0

k2 = 0Vậy, đẳng thức k1X1 k2X2 0 chỉ xảy ra

Lấy 1 0, ta có một bộ hệ số không đồng thời bằng 0, thỏa mãn tổ hợp tầm

thường → Hệ {X 1 , X 3 } là PTTT

X 3} là độc lập tuyến tính

2 Dấu hiệu nhận biết

Đầu tiên, ta nêu khái niệm hệ con: từ hệ m vector ta lấy ra r vector (r m , khi đó ta gọi hệ r vector là một hệ con của hệ m vector trên

Ngoài cách xét tính ĐLTT, PTTT theo định nghĩa, trong nhiều trường hợp, ta có thể nhận biết được ngay tính ĐLTT, PTTT của một hệ vector nhờ các dấu hiệu sau, một vài dấu hiệu này có thể là hệ quả của nhau, ta sử dụng chúng tùy theo sự thuận tiện

 Hệ chỉ gồm một vector là ĐLTT  vector đó khác 0

 Hệ chỉ gồm hai vector là ĐLTT  hai vector đó không tỷ lệ

 Hệ chứa vector không là hệ PTTT

 Một hệ vector chứa hai vector tỷ lệ là hệ PTTT

 Một hệ vector PTTT  một vector của hệ là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại

 Một hệ vector chứa một hệ con PTTT là hệ PTTT

 Một hệ vector ĐLTT thì mọi hệ con của nó cũng ĐLTT

 Hệ có số vector lớn hơn số chiều của vector (m n là hệ PTTT

Chương II: Vector và không gian vector

1 Cơ sở và hạng của hệ vector

Định nghĩa 6: Cho hệ m vector n chiều Một hệ con gồm r vector được gọi là một hệ con

ĐLTT cực đại nếu hệ con đó là ĐLTT và không thể bổ sung thêm vào hệ con đó từ số các

vector còn lại để được một hệ con ĐLTT có số vector nhiều hơn

Định nghĩa 7: Mỗi hệ con ĐLTT cực đại của một hệ vector được gọi là một cơ sở của hệ

vector đó

Định nghĩa 8: Mỗi hệ vector có thể có nhiều cơ sở khác nhau, nhưng số lượng các vector

trong cơ sở ấy đều bằng nhau Hạng của hệ vector là số lượng các vector trong một cơ sở của

Ta thấy: X3 2.X1 → Hệ {X 1 , X 2 , X 3} là phụ thuộc tuyến tính

 Hệ con {X1, X2} là ĐLTT (hai vector không tỷ lệ và hơn nữa là ĐLTT cực đại → Đó

là một cơ sở của hệ {X1, X2, X3} Tương tự, hệ {X2, X3} cũng là một cơ sở

 Hệ {X1, X3} không phải là cơ sở vì hệ con này PTTT Các hệ con {X1}, {X2}, {X3} cũng không phải là cơ sở (ĐLTT nhưng chưa cực đại)

48

Biểu diễn tuyến tính vector qua cơ sở

Định lý 1: Mỗi vector của một hệ có thể biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vector của mỗi cơ sở của hệ

Ví dụ 6 Biểu diễn tuyến tính vector X ( 1, 4, 1) qua hai vector:

2 Các phép biến đổi sơ cấp đối với một hệ vector

Định nghĩa 9: Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên hệ vector:

 Đổi chỗ hai vector của hệ

 Nhân một vector với một số khác không

 Nhân vector nào đó của hệ với một số bất kì rồi cộng vào một vector khác trong hệ

Ta dễ thấy kết quả sau:

Định lý 2: Ba phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của hệ vector

Hệ quả 2.1: Hạng của hệ vector không đổi khi thêm vào hệ (hoặc bớt đi một vector mới

là tổ hợp tuyến tính của các vector của hệ đó

Liên hệ giữa hạng của hệ vector và hạng của ma trận

Định lý 3: Hạng của một ma trận cỡ m x n đúng bằng hạng của hệ m vector dòng và bằng hạng của hệ n vector cột

Ngƣợc lại, ta có :

Chương II: Vector và không gian vector

49

Hệ quả 3.1: Hạng của một hệ m vector n chiều đúng bằng hạng của ma trận cỡ m x n

(hoặc cỡ n x m), tạo thành bằng cách sắp xếp liên tiếp các vector đó theo dòng (hoặc theo cột)

Như vậy, việc tìm hạng của một hệ vector được đưa về việc tìm hạng của một ma trận Cách làm này nói chung là đơn giản hơn nhiều so với cách dùng định nghĩa (tìm một cơ sở

và đếm số vector của cơ sở đó

Liên hệ giữa hạng của hệ vector và sự độc lập tuyến tính

Ta công nhận các kết quả sau:

Định lý 4: Hệ vector là ĐLTT  hạng của hệ đúng bằng số vector của hệ

Hệ quả 4.1: Hệ vector là PTTT  hạng của hệ nhỏ hơn số vector của hệ

Hệ quả 4.2: Hệ có số vector bằng số chiều là ĐLTT  ma trận tạo thành từ các tọa độ

có định thức khác 0

Tìm cơ sở bằng biến đổi sơ cấp

Cho hệ m vector n chiều {X 1 , X 2, …, Xm } Giả sử r{X 1 , X 2, …, Xm } r Khi đó ta có thể

tìm các cơ sở của hệ vector trên bằng cách như sau:

Bước 1: Xếp các vector theo cột và biến đổi theo dòng (hoặc xếp theo dòng thì biến đổi

sơ cấp theo cột)

Bước 2: Đưa ma trận về dạng đặc biệt (dạng tam giác/dạng hình thang

Bước 3: Mỗi định thức con cấp r khác 0 sẽ tương ứng với một cơ sở gồm các vector cột

(hoặc dòng của định thức con đó

Cách tìm cơ sở như vậy dễ dàng hơn nhiều so với cách dùng định nghĩa

Chú ý: Như vậy, việc dùng ba phép biến đổi sơ cấp để tìm cơ sở của một hệ vector là

“nghiêm ngặt” hơn so với việc tìm hạng