CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤHÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN Lý thuyết: Thể tích khối lăng trụ Dạng 1:Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều Dạng 2:Tính thể tích khối lăng trụ xiên Tính th

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ

HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

Lý thuyết: Thể tích khối lăng trụ

Dạng 1:Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều

Dạng 2:Tính thể tích khối lăng trụ xiên

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ đều cực hay

Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên cực hay

Nhận xét:

+ Các mặt bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau

+ Các mặt bên là các hình bình hành

+ Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau

2 Hình lăng trụ đứng - hình lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật và hình lập phương

a) Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy Độ dài

cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ Lúc đó các mặt bên của hình

lăng trụ đứng là các hình chữ nhật

b) Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Các mặt bên

của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều,

tứ giác đều thì ta hiểu là hình lăng trụ đều

c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

d) Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành

e) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật

f) Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông

được gọi là hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước bằng nhau

được gọi là hình lập phương)

Nhận xét:

+ Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng (Có tất cả các mặt là hình chữ nhật

+ Hình lập phương là hình lăng trụ đều (tất cả các cạnh bằng nhau)

+ Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng (mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là

hình bình hành)

3 Thể tích khối lăng trụ:

V=B.h : Với B là diện tích đáy và h là chiều cao

4 So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:

+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy

+ Chiều cao là cạnh bên

+ Chiều cao là cạnh bên

Dạng 1: Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều

A Phương pháp giải & Ví dụ

+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy

+ Chiều cao là cạnh bên

2 Khối lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Tính chất:

+ Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau

+ Chiều cao là cạnh bên

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a Tính thể tích

của khối A’.ACD’

Hướng dẫn:

Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc

giữa và đáy là 60º Gọi M là trung điểm của Thể tích của khối chóp M.A’B’C’ là:

Hướng dẫn:

Bài 3: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân

tại B có BA = BC = 2a, biết A1 M=3a với M là trung điểm của BC Tính thể tíchkhối lăng trụ ABC.A1 B1 C1

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và

∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy một góc 60º Tính thể tích khốilăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Hướng dẫn:

Dựng A'M ⊥ BC, ta có:

Ta có:

Do AM ⊥ BC nên

Xét tam giác AAM vuông tại A có:

Bài 5: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt

(DBC’) với đáy ABCD một góc 60º Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D là:

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B, biết BA = BC = 2a, và (A’BC) hợp với đáy một góc 30° Tính thể tích khối lăngtrụ ABC.A’B’C’ là:

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Khi đó:

Bài 2: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC'=a√3

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích :

Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương

Xét tam giác AA’C vuông tại A có:

Do đó, thể tích của khối lập phương là V=a^3

Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng

(A’BC) và (ABC) bằng 60°, cạnh AB = a Thể tích khối đa diện ABCC’ là:

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ ⇒ AA' ⊥ (ABC) và ∆ABC đều.Gọi M là trung điểm của BC, do ∆ABC đều cạnh a nên:

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB

= 2a, AD = a và đường chéo B’D của lăng trụ hợp với đáy (ABCD) một góc 30°.Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

BB' ⊥ (ABCD) nên BD là hình chiếu của B’D lên (ABCD)

Do B’D hợp với đáy ABCD một góc 30º nên ta có:

Xét tam giác B’BD vuông tại B có:

Bài 5: Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt phẳng (A’BC)

hợp với đáy một góc 45° Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích :

do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên A'A ⊥ (ABC), ∆ABC đều cạnh

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC

Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A, cạnh BC=a√2, A’C tạo với đáy một góc 60° Thể tích khối lăng trụABC.A’B’C’ là:

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Giải thích :

ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=a√2

⇒ AB=AC=BC/√2=a

AA' ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC)

⇒ (A' C;(ABC))= ∠(A'CA)=60°

Xét tam giác A’AC vuông tại A có:

Bài 7: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt phẳng

(A’BC) tạo với đáy một góc 30° và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tíchlăng trụ

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên A'A ⊥ (ABC),

Giả sử ∆ABC đều cạnh a

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC;AM=(a√3)/2Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 8: Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a

là:

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Giải thích :

Đáy A’B’C’ là tam giác đều cạnh a nên S(A' BC) = (a2 √3)/4

Khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a nên chiều cao

AA’ = a

Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ∠(ACB)=120º

và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30° Thể tích khối lăng trụABC.A’B’C’ là:

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

Kẻ CP ⊥ AB (P ∈ (AB).

Ta có:

⇒ Hình chiếu vuông góc của CA’ trên mặt phẳng (ABB’A’) là CP

Mà

Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a Tam giác ABC đều cạnh

a Gọi I là trung điểm của AA’ Tìm mệnh đề đúng

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Giải thích :

Ta có:

Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ xiên

A Phương pháp giải & Ví dụ

Hình lăng trụ xiên là hình lăng trụ có cạnh bên không vuông góc với đáy

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ∆ABC đều có cạnh bằng a, AA’ = a và

đỉnh A’ cách đều A, B, C Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm của AB, O là tâm của tam giác đều ABC.

Do A’ cách đều các điểm A, B, C nên A'O ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều cạnh a nên:

Xét ∆A’AO vuông tại O có:

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =

a, ∠(ACB) =300; M là trung điểm cạnh AC Góc giữa cạnh bên và mặt đáy củalăng trụ bằng 600 Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) làtrung điểm H của BM Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Hướng dẫn:

A'H ⊥ (ABC) nên A’H là đường cao của lăng trụ

AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên mặt (ABC) nên góc giữa AA’ và (ABC)

Xét tam giác AA’H có:

Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a√3, BC = 3a,

∠(ACB)=300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC)vuông góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H trên cạnh BC sao cho HC = 3BH vàmặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối lăng trụABC.A’B’C’

Hướng dẫn:

⇒AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABCD)Khi đó góc giữa AA’ và (ABCD) là góc (A'AH) =600

Ta có: BC = 3a, HC = 3BH ⇒ HC=9a/4

Xét tam giác ACH có:

Xét tam giác AA’H có:

Bài 4: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Chân

đường vuông góc kẻ từ A’ lên (ABCD) trùng với giao điểm của 2 đường chéo đáy,mặt (AA’B’B) hợp với đáy một góc 60° Tính thể tích khối lăng trụABCD.A’B’C’D’

Hướng dẫn:

Kẻ OM ⊥ AB⇒ OM là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ OM=AB/2=a/2

Xét tam giác A’MO có:

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu

của đỉnh C trên mặt phẳng (ABB’A’) là tâm của hình bình hành ABB’A’ Tính thểtích của khối lăng trụ

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’.

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có AB = 2a, AC = a, AA'=(a√10)/2;

∠(BAC) =120º Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trungđiểm của cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

Gọi H là trung điểm BC Từ giả thiết suy ra C'H ⊥ (ABC)

Trong ∆ABC ta có:

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

a Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I củacạnh AB Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy một góc α với tan α=2/√5 Thể tích khốichóp A’.ICD là

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Từ giả thiết ta có A' I ⊥ (ABCD)

Theo bài ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABCD).Khi đó góc giữa đường thẳng A’C và (ABCD) là góc giữa A’C và IC

Xét tam giác vuông A’IC có:

Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có BB’ = a góc giữa đường thẳng

BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60º, tam giác ABC vuông tại C và ∠(BAC) =60º.Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm củatam giác ABC Thể tích khối tứ diện A’ABC là

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC

⇒ B'G ⊥ (ABC)

Ta có BG là hình chiếu vuông góc của BB’ trên (ABC)

⇒ Góc giữa BB’ và (ABC) là góc giữa BB’ và BG

⇒ ∠(B'BG)=60º

Xét tam giác B’BG vuông tại G có:

Trong tam giác ABC có:

Xét tam giác BCD vuông tại C có:

Thể tích khối tứ diện A’ABC là :

Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông

góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC Cho ∠(BAA' ) =45º Thể tích khối lăng trụ đã cho là

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

Gọi E là trung điểm của AB, ta có :

Tam giác vuông A’EA có A = 45º nên là tam giác vuông cân tại E

Tam giác ABC đều cạnh a có:

Tam giác vuông A’OE ( vuông tại O) có:

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’:

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB=√3;

AD=√7 Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45º

và 60º Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1

Tương tự, ta có: góc giữa mặt phẳng (ABD’A’) và (ABCD) là góc giữa A’N vàNH

⇒ ∠(A'NH)=60º

Đặt A’H = x Khi đó :

Xét tam giác ANA’vuông tại N có :

Xét tam giác A’HM vuông tại H có : HM=A' H.tan ∠(A'MH) =x.tan 45º =x

Mà AN = HM (ANHM là hình chữ nhật)

Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a.

Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặtbên (AA’C’C) tạo với đáy một góc 45° Tính thể tích khối lăng trụ

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ A' I ⊥ (ABC)

Kẻ IM ⊥ AC

Xét tam giác AMI vuông tại M có :

Xét tam giác A’IM vuông tại I có :

Bài 7: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a, biết cạnh bên là a√3 và hợp với đáy ABC một góc 60° Tính thể tích lăng trụ

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích :

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC)

Ta có: AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABC)

⇒ Góc giữa AA’ và (ABC) là góc giữa AH và AA’

⇒ ∠(A'AH)=60º

Xét tam giác AA’H vuông tại H có:

Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích là V Gọi I, J lần lượt là

trung điểm cạnh AA’ và BB’ Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC’ bằng:

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Gọi K là trung điểm của CC’

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, O là giao điểm của AC và BD Tỷ số thể

tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Giải thích :

Ta có:

Bài 10: Cho lăng trụ A BC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của

A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC Thể tích của khối lăng trụ là (a3√3)/8,

độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là:

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích :

Gọi H trung điểm của BC ⇒ A'H ⊥ (ABC)

+ Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đề bài cho

+ Dựa vào các dữ kiện, tính độ dài các cạnh, chiều cao, diện tích đáy của hìnhlăng trụ

+ Tính thể tích của khối lăng trụ

* Chú ý: Các công thức tính diện tích tam giác, hệ thức lượng trong tam giác

vuông

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy (ABC) một góc 60o Tính thể tíchlăng trụ

Hướng dẫn giải

Ta có:

Lại có AB là hình chiếu của A'B trên mặt phẳng (ABC)

Suy ra, góc giữa đường thẳng A’B và mp(ABC) bằng góc

Xét tam giác vuông ABA’ có:

Diện tích tam giác ABC là:

Vậy thể tích của lăng trụ đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ 2 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông

tại A với AC = a, ; biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30o Tính thểtích lăng trụ

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A có AB= AC.tan60o=

Ta có:

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).Vậy góc ( BC’; (AA’C’C))= = 30o

Xét tam giác AC’B có

Diện tích tam giác ABC là:

Xét tam giác AA’C’ có:

Do đó, thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

Ví dụ 3 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30o Tính thể tích củalăng trụ

Hướng dẫn giải

Ta có ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:

Do đó, BD là hình chiếu của BD' trên (ABCD)

Tam giác ABD vuông cân tại A có AB = AD= a nên

Xét tam giác vuông BDD’ có:

Diện tích hình vuông ABCD là SABCD = a2

Thể tích của hình lăng trụ đã cho là:

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a

và , biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích củahình hộp

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình thoi nên AB= AD Suy ra, tam giác ABD cân tại A

Lại có: nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a

Diện tích tam giác ABD là:

Suy ra, diện tích hình thoi ABCD là:

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp đứng nên BB'⊥AB

Xét tam giác ABB’ ta có:

Thể tích hình hộp đã cho là:

Chọn C

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1 Phương pháp giải

+ Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đề bài cho

+ Dựa vào các dữ kiện, tính độ dài các cạnh, chiều cao, diện tích đáy của hìnhlăng trụ

+ Tính thể tích của khối lăng trụ

* Chú ý: Các công thức tính diện tích tam giác, hệ thức lượng trong tam giác

vuông

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy (ABC) một góc 60o Tính thể tíchlăng trụ

Hướng dẫn giải

Ta có:

Lại có AB là hình chiếu của A'B trên mặt phẳng (ABC)

Suy ra, góc giữa đường thẳng A’B và mp(ABC) bằng góc

Xét tam giác vuông ABA’ có:

Diện tích tam giác ABC là:

Vậy thể tích của lăng trụ đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ 2 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông

tại A với AC = a, ; biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30o Tính thểtích lăng trụ