Dạy học bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực

Để giải quyết mâu thuẫn trên đây người thầy cần tăng cường giao lưu giữathầy và trò trong quá trình dạy học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tưduy sáng tạo của học sinh; phù h

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầygiáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em thựchiện đề tài, hoàn thành khóa luận

Em cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy cô giáo khoa ToánTrường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Do đây là lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữathời gian và năng lực còn có những hạn chế, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưngkhông tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy

cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Sinh viênNguyễn Thị Lan Hương

LỜI CAM ĐOAN

Với sự hướng dẫn tận tình của Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà, sau một thời giannghiên cứu và thực hiện đề tài, tôi đã hoàn thành khóa luận của mình Để thựchiện đề tài, tôi đã sử dụng và tham khảo các kết quả của các nhà khoa học, một

số sách tham khảo về bất đẳng thức Tôi xin cam đoan khóa luận với đề tài “ Dạyhọc bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông theophương pháp dạy học tích cực” là nghiên cứu của tôi, không trùng lặp với bất kỳkhóa luận nào khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Sinh viênNguyễn Thị Lan Hương

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU TOÁN HỌC

MỤC LỤC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 Phương pháp dạy học tích cực 3

1.2 Lý luận chung về bài toán 7

1.3 Những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức 9

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT 13

2.1 Phương pháp tích cực vận dụng trong chứng minh bất đẳng thức 13

2.2 Vận dụng phương pháp tích cực trong chứng minh bất đẳng thức 18

2.2.1 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào các bất đẳng thức cơ bản 18

2.2.2 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào hàm số 28

2.2.3 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào cách đặt ẩn phụ 47

2.2.4 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách kết hợp nhiều phương pháp khác nhau 51

2.2.5 Khai thác các bài toán chứng minh bất đẳng thức 54

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

MỤC LỤC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Toán học có vai trò rất quan trọng trong quá trình hình thành và phát triển

tư duy của học sinh Trong toán học phổ thông, các bài toán bất đẳng thức chiếm

vị trí đặc biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh cáccấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia, Quốc Tế… và thườngxuất hiện dưới dạng là bài toán khó nhất trong đề Đề bài của bài toán bất đẳngthức tuy được phát biểu hết sức ngắn gọn, sáng sủa, đẹp đẽ nhưng học sinh lạigặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải và càng khó khăn hơn trong kỹ năngkhai thác chúng Trước những vấn đề trên tôi nhận thấy cần đi tìm những thuậtgiải, những hướng đi cụ thể để giải quyết các vấn đề đó Nhưng chúng ta đã biếtkhông có một chìa khoá vạn năng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán.Trong khi đó việc giảng dạy toán học, làm cho học sinh giải quyết được vấn đềđặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh cũng như khai thác được cácbài toán đó là rất cần thiết

Bất đẳng thức là một trong những nội dung hay của Toán phổ thông, cũng

là một nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Nhìn bất đẳngthức dưới nhiều phương diện khác nhau giúp học sinh linh hoạt trong lựa chọnhình thức thể hiện nội dung này Điều đó kích thích tư duy biện chứng, tư duysáng tạo cho các em

Tuy nhiên, bất đẳng thức cũng là một nội dung khó, nếu không đổi mớiphương pháp dạy học thì có thể dẫn đến tình trạng truyền thụ một chiều Địnhhướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hóa việc học của ngườihọc Để giải quyết mâu thuẫn trên đây người thầy cần tăng cường giao lưu giữathầy và trò trong quá trình dạy học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tưduy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡngphương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tácđộng đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho các em Có như vậymới có thể vừa tích cực hóa được việc học của người học vừa rèn luyện đượctính linh hoạt nhìn nhận một vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau, nhằmnâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mêtoán học cho các em học sinh

Từ những lý do trên, đề tài được chọn là : “Dạy học bài toán chứng minh

bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực”

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

22

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu là vận dụng một số phương pháp dạy học tích cựctrong dạy học bài toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh THPT

Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu về phương pháp dạy học gợi mở vấn đáp, phát hiện và giảiquyết vấn đề

- Vận dụng các phương pháp dạy học tích cực trong dạy học bài toánchứng minh bất đẳng thức ở trường THPT

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trườngtrung học phổ thông

Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp các bài toán thường gặp về bất đẳng thức

ở trường trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu lý luận

Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hướng choviệc nghiên cứu; phân tích và tổng hợp những quan điểm dựa trên các tài liệu vềtâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học môn Toán và các tài liệu về bấtđẳng thức

5 Ý nghĩa của đề tài.

Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy, phát huy tính tích cực, chủđộng, sáng tạo cho học sinh Từ đó nâng cao chất lượng dạy và học bất đẳng thức

ở trường THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phương pháp dạy học tích cực

1.1.1 Phương pháp dạy học tích cực là gì?

a Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12

- 1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), được cụ thể hóa trong

các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15 (4 - 1999) Luật

Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính

tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từnglớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụngkiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú họctập cho học sinh"

Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tậpchủ động, chống lại thói quen học tập thụ động

b Phương pháp dạy học tích cực

Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ rút gọn,được dùng ở nhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theohướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học "Tích cực" trong

PPDH - tích cực được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái nghĩa với

không hoạt động, thụ động chứ không dùng theo nghĩa trái với tiêu cực

PPDH tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhậnthức của người học

Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy Cách dạy chỉ đạo cách học,nhưng ngược lại thói quen học tập của trò cũng ảnh hưởng tới cách dạy của thầy.Chẳng hạn, có trường hợp học sinh đòi hỏi cách dạy tích cực hoạt động nhưnggiáo viên chưa đáp ứng được, hoặc có trường hợp giáo viên hăng hái áp dụngphương pháp dạy học tích cực nhưng không thành công vì học sinh chưa thíchứng, vẫn quen với lối học tập thụ động Vì vậy, giáo viên phải kiên trì dùng cáchdạy hoạt động để dần dần xây dựng cho học sinh phương pháp học tập chủ độngmột cách vừa sức, từ thấp lên cao.Trong đổi mới phương pháp dạy học phải có sựhợp tác cả của thầy và trò, sự phối hợp nhịp nhàng hoạt động dạy với hoạt độnghọc thì mới thành công Như vậy, việc dùng thuật ngữ "Dạy và học tích cực" đểphân biệt với "Dạy và học thụ động"

1.1.2 Đặc trưng của các phương pháp dạy học tích cực

a Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

Trong phương pháp dạy học tích cực, người học - đối tượng của hoạt động

"dạy", đồng thời là chủ thể của hoạt động "học" - được cuốn hút vào các hoạtđộng học tập do GV tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá nhữngđiều mình chưa rõ chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được GVsắp đặt Được đặt vào những tình huống của đời sống thực tế, người học trực tiếpquan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩcủa mình, từ đó nắm được kiến thức kĩ năng mới, vừa nắm được phương pháp

"làm ra" kiến thức, kĩ năng đó, không rập theo những khuôn mâu sẵn có, đượcbộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo Dạy theo cách này thì GV không chỉ giảnđơn truyền đạt tri thức mà còn hướng dẫn hành động Chương trình dạy học phảigiúp cho từng HS biết hành động và tích cực tham gia các chương trình hànhđộng của cộng đồng

b Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

Phương pháp tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho HSkhông chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêudạy học Phải quan tâm dạy cho HS phương pháp học ngay từ bậc Tiểu học vàcàng lên bậc học cao hơn càng phải được chú trọng Trong các phương pháp họcthì cốt lõi là phương pháp tự học Nếu rèn luyện cho người học có được phươngpháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậynội lực vốn có trong mỗi con người, kết quả học tập sẽ được nhân lên gấp bội Vìvậy, ngày nay người ta nhấn mạnh mặt hoạt động học trong qúa trình dạy học, nỗlực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ động, đặt vấn đềphát triển tự học ngay trong trường phổ thông, không chỉ tự học ở nhà sau bài lênlớp mà tự học cả trong tiết học có sự hướng dẫn của GV

c Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi

Thông qua hướng dẫn tìm tòi, GV sẽ giúp các em phát triển kĩ năng giảiquyết vấn đề và khẳng định HS có thể xác định được phương pháp học thông quahoạt động Dấu hiệu đặc trưng này không chỉ đặc biệt có hiệu quả với HS lớntuổi mà còn áp dụng được cho cả HS nhỏ tuổi nếu có tài liệu cụ thể và sự quantâm của GV Kinh nghiệm cho thấy đây còn là cách để người học tìm lời giải đápcho các vấn đề đặt ra Về phía người dạy cần có sự hướng dẫn kịp thời giúp cho

sự tìm tòi của người học đạt kết quả tốt

d Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

Trong một lớp học mà trình độ kiến thức, tư duy của học sinh không thểđồng đều tuyệt đối thì khi áp dụng phương pháp tích cực buộc phải chấp nhận sựphân hóa về cường độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

được thiết kế thành một chuỗi công tác độc lập Áp dụng phương pháp tích cực ởtrình độ càng cao thì sự phân hóa này càng lớn Việc sử dụng các phương tiện

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

công nghệ thông tin trong nhà trường sẽ đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt độnghọc tập theo nhu cầu và khả năng của mỗi học sinh Tuy nhiên, trong học tập,không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình thành bằng những hoạtđộng độc lập cá nhân

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức ở cấp nhóm,

tổ, lớp hoặc trường Được sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động hợp táctrong nhóm nhỏ 4 đến 6 người Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất

là lúc phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phốihợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung

Trong nền kinh tế thị trường đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia,liên quốc gia, năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mà nhàtrường phải chuẩn bị cho HS

e Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò

Trong dạy học, việc đánh giá HS không chỉ nhằm mục đích nhận địnhthực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo điều kiệnnhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy Trong phương pháptích cực, GV phải hướng dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điềuchỉnh cách học GV cần tạo điều kiện thuận lợi để HS được tham gia đánh giá lẫnnhau Tự đánh giá đúng và điều chỉnh hoạt động kịp thời là năng lực rất cần cho

sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho HS Theo hướngphát triển các phương pháp tích cực để đào tạo những con người năng động, sớmthích nghi với đời sống xã hội, thì việc kiểm tra, đánh giá không thể dừng lại ởyêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học mà phải khuyến khíchtrí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết những tình huống thực tế

Từ dạy và học thụ động sang dạy và học tích cực, GV không còn đóng vai

trò đơn thuần là người truyền đạt kiến thức, GV trở thành người thiết kế, tổ chức,

hướng dẫn các hoạt động độc lập hoặc theo nhóm nhỏ để HS tự lực chiếm lĩnh

nội dung học tập, chủ động đạt các mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ theo yêucầu của chương trình Trên lớp, HS hoạt động là chính, GV có vẻ nhàn nhã hơnnhưng trước đó, khi soạn giáo án, GV đã phải đầu tư công sức, thời gian rấtnhiều so với kiểu dạy và học thụ động mới có thể thực hiện bài lên lớp với vai trò

là người gợi mở, xúc tác, động viên, cố vấn, trọng tài trong các hoạt động tìm tòi

hào hứng, tranh luận sôi nổi của HS GV phải có trình độ chuyên môn sâu rộng,

có trình độ sư phạm lành nghề mới có thể tổ chức, hướng dẫn các hoạt động của

HS mà nhiều khi diễn biến ngoài tầm dự kiến của GV

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

Như vậy, PPDH tích cực chú trọng đến việc tích cực hóa hoạt động họctập của HS, thông qua sự tổ chức hoạt động học của giáo viên cho HS Yếu tốquyết định đến sự thành công của dạy và học theo PPDH tích cực là GV phảihướng dẫn HS có thể tự mình tìm tòi, khám phá ra tri thức, vận dụng và sáng tạo

để làm phong phú vốn tri thức của mình

1.1.3 Các phương pháp dạy học tích cực cần được phát huy ở trường THPT 1.1.3.1 Phương pháp gợi mở vấn đáp

a Phương pháp dạy học gợi mở - vấn đáp

Là quá trình tương tác giữa GV và HS thông qua hệ thống các câu hỏi vàcâu trả lời tương ứng về một chủ đề nhất định được GV đặt ra Qua việc trả lời hệthống câu hỏi dẫn dắt của GV, HS được thể hiện suy nghĩ, ý tưởng của mình, từ

đó khám phá và lĩnh hội đối tượng học tập GV giống như người tổ chức sự tìmtòi, còn HS giống như người tự lực phát hiện kiến thức mới, HS có được niềmvui của sự khám phá trưởng thành thêm một bước về trình độ tư duy

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

đắn

- Lôi cuốn HS tham gia học tập, tạo không khí lớp học sôi nổi, sinh động,kích thích hứng thú học tập và lòng tự tin của HS

- Tạo điều kiện HS giúp đỡ lẫn nhau trong học tập

- GV thu nhận nhiều thông tin phản hồi từ phía người học

d Hạn chế: Khó soạn thảo, đòi hỏi GV phải chuẩn bị công phu nếu không kiến

thức sẽ thiểu tính hệ thống

1.1.3.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Phương pháp dạy học mà người thầy tổ chức cho HS luôn đứng trước tìnhhuống vấn đề về những nội dung toán học, tạo động lực cho HS tìm tòi, sáng tạonhững con đường để giải quyết vấn đề đó Từ đó, HS tìm ra và tích lũy tri thứcmột cách tích cực, chủ động, sáng tạo Vì tư duy chỉ xuất hiện khi gặp tình huống

có vấn đề (Rubinstein) Người GV giống như một đạo diễn vừa tạo ra tình huống

có vấn đề, vừa hướng dẫn HS chủ động giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có các đặc điểm sau:

HS được đặt vào các tình huống có vấn đề chứ không phải được thôngbáo tri thức dưới dạng có sẵn

HS hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động trithức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề, chứ không phảinghe thầy giảng một cách thụ động.

Mục đích của dạy học không chỉ làm cho HS lĩnh hội được kết quả củaquá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn làm cho họ có khả năng tự tiếnhành quá trình như vậy

Căn cứ vào mức độ độc lập của HS trong quá trình phát hiện và giải quyếtvấn đề, người ta chia thành các cấp độ sau:

+ Tự nghiên cứu vấn đề

+ Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

+ Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Quy trình thực hiện:

B1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

B2: Tìm giải pháp

B3: Trình bày giải pháp

B4: Nghiên cứu sâu giải pháp

1.2 Lý luận chung về bài toán

1.2.1 Bài toán và lời giải bài toán

1.2.1.1 Bài toán

Theo J.Pôlia: bài toán là việc đặt ra sự tìm kiếm có ý thức các phương tiệnthích hợp để đạt mục đích xác định, nhiều khi trông thấy rõ ràngnhuwng khôngđạt được ngay

Hai yếu tố cấu thành lên bài toán:

1.2.1.2 Lời giải

- Mục đích xác định

- Sự đòi hỏi thực hiện mục đích

Lời giải bài toán là một tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các thao tác cần thiết để đạt mục đích bài toán

Ta đồng nhất các khái niệm bài giải, cách giải, đáp án đều theo nghĩa lời giải

ở trên

Bài toán có thể có một lời giải, nhiều lời giải hoặc không có lời giải

Giải được bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải hoặc lý giải được rằng bài toán không giải được

1.2.2 Phân loại giải bài toán và phương pháp giải toán

1.2.2.1 Phân loại bài toán

Có nhiều cách để phân loại các bài toán Thông thường phân loại bài toán theo nhiều phương pháp khác nhau để tiện mục đích sử dụng các bài toán đó.

a Phân loại theo hình thức

Dựa vào kết luận của bài toán

- Toán chứng minh: Là những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ mục đích cuối cùng của mục đích bài toán

- Toán tìm kiếm (toán tìm tòi): Bài toán mà trong kết luận của nó chưa thể hiện rõ kết luận cuối cùng của mục đích bài toán

b Phân loại theo phương pháp giải toán

Dựa vào thuật toán chung để giải bài toán

- Bài toán có angorit giải: Những bài toán có thuật toán chung để giải cho lớp các bài toán chứa bài toán đó

- Bài toán không có angorit giải: Những bài toán mà không có một thuật toán chung nào để giải được lớp các bài toán chứa bài toán đã cho

Chú ý: Số lượng các bài toán không có angorit giải là rất lớn so với các bài toán có angorit giải

c Phân loại theo nội dung

Người ta căn cứ vào nội dung, lĩnh vực chuyên môn của bài toán để chia bài toán thành lĩnh vực chuyên môn nhỏ hơn lĩnh vực chuyên môn ban đầu

1.2.2 Phương pháp giải bài toán

Bốn bước giải bài toán của J.Pôlia (cho những bài toán không có angorit

Bước 1: Tìm hiểu đề

- Hãy xác định yếu tố đã cho và cần tìm (giả thiết, kết luận)

- Xác định yếu tố cố định, không đổi, thay đổi, biến thiên của bài toán

- Cái đã cho có đủ để tìm cái cần tìm

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

- Phương pháp đi xuôi theo gợi ý của J.Pôlia là xuất phát từ những điều đãcho (giả thiết) bằng suy luận và suy luận hợp logic từng bước ta rút ra các kếtluận logic cho đến khi tìm được kết luận logic trùng với kết luận bài toán thìdừng

- Phương pháp đi ngược: Xuất phát từ kết luận bài toán (cái cần tìm) bằngsuy luận hợp logic từng bước đi ngược lên để tìm ra các tiền đề logic của chúng,cho đến khi tìm được những tiền đề logic trùng với giả thiết (cái đã cho) thìdừng

- Phương pháp sử dụng phép suy đoán: Để giải các bài toán tương đối khó(khi áp dụng phương pháp đi xuôi hoặc đi ngược bế tắc) thì ta thường nghĩ tớicác bài toán có liên quan tương tự đơn giản hơn đã biết cách giải

- Sử dụng phương pháp, kết quả của các bài toán liên quan vào tìm lời giải bài toán đã cho.

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Xuất phát từ điều đã cho hoặc đã biết nào đó bằng suy luận hợp logic ta rút

ra được các kết luận logic mới cho đến khi trùng kết luận bài toán thì dừng

Bước 4: Kiểm tra và khai thác bài toán

- Kiểm tra kết quả cuối cùng, các kết quả trung gian và toàn bộ lập luận của lời giải bài toán

- Khuyến khích học sinh tìm cách giải khác nếu có của bài toán

- Nghiên cứu các bài toán có liên quan với bài toán đã cho: Bài toán ngược,bài toán khái quát hóa, bài toán tương tự

1.3 Những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức

1.3.1 Khái niệm, tính chất bất đẳng thức

a) Quan hệ thứ tự trong R

Trong tập hợp các số thực có quan hệ thứ tự, tức là :

Với mỗi cặp số thực

năng:

- Hoặc a bằng b , ký hệu a  b

- Hoặc a lớn hơn b , ký hiệu

- Hoặc a nhỏ hơn b , ký hiệu

b) Định nghĩa bất đẳng thức

a  b

a  b

A, B gọi là các vế của bất đẳng thức ấy Người ta cũng viết bất đẳng thức dưới

Như bất cứ một mệnh đề toán học nào, bất đẳng thức

Do vậy, người ta sử dụng mệnh đề sau đây dưới dạng ký hiệu:

A  B : “ A nhỏ hơn hoặc bằng B ”.

Các mệnh đề trên cũng được gọi là bất đẳng thức, rõ hơn: bất đẳng thức suy

rộng, để phân biệt với các bất đẳng thức nghiêm ngặt dạng

Tính chất 10: a  b  2n1 a  2n1 b n  N

rộng.

Ngoài ra ta cũng có các tính chất tương ứng với các bất đẳng thức suy

1.3.2 Phân loại bài toán bất đẳng thức

Phân loại bài toán chứng minh bất đẳng thức theo phương pháp giải

Để chứng minh bất đẳng thức đại số, các phương pháp phổ biến là:

PP1: Dùng phép biến đổi tương đương

PP9: Biến dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT

2.1 Phương pháp tích cực vận dụng trong chứng minh bất đẳng thức

Một nhà khoa học đã nói rằng một phát minh khoa học lớn cho phép giảiquyết một vấn đề lớn, nhưng ngay cả trong việc giải một bài toán cũng có ítnhiều phát minh Bài toán mà bạn giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêugợi được trí tò mò và buộc bạn phải sáng tạo, và nếu tự mình giải lấy bài toán đóthì bạn sẽ có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi

Những tình cảm như vậy đến một độ tuổi nào đó, có thể khuấy động sự ham thích công việc trí óc và mãi mãi để lại dấu vết trong cá tính người làm toán.Khi HS đã có sự đam mê đối với toán học, lúc đó người thầy giáo hãy chỉcho HS một cách học hợp lý Đứng trước một bài toán, có phải sau khi tìm đượcmột lời giải đẹp, trình bày sạch sẽ là gấp sách lại hay không?

Trong dạy học môn Toán, GV thường tạo ra các câu hỏi gợi mở để học sinhphát hiện và giải quyết vấn đề, để tìm cách giải một bài toán (có thể theo bảnggợi ý của Polya) Thậm chí, trong quá trình tìm lời giải một bài toán, học sinh cókhi tự đối thoại với chính mình Các câu hỏi được lặp lại qua các bài bất đẳngthức giúp học sinh tập luyện tri thức ăn khớp với tri thức phương pháp Bất đẳngthức là một nội dung hay và khó Nếu khả năng của học sinh còn hạn chế, ngườithầy cần làm cho học sinh có cảm giác rằng tự HS làm được, do đó thầy phảigiúp đỡ kín đáo mà không bắt học sinh lệ thuộc vào mình Người thầy phải đặt vịtrí mình là một học sinh, nghiên cứu trường hợp cụ thể của HS, cố gắng hiểu xem

HS nghĩ gì, đặt ra câu hỏi để học sinh có thể tự mình trả lời được, bằng cáchngười thầy sử dụng những kinh nghiệm của bản thân, nhớ lại những khó khăn vànhững thành công của mình trong việc giải toán

Trong dạy học môn Toán nói chung và dạy học bài tập chứng minh bất đẳngthức nói riêng, yếu tố quyết định đến sự thành công của việc vận dụng phươngpháp dạy học tích cực là hình thành cho học sinh kỹ năng phân tích, tìm ra đườnglối chứng minh và khai thác được các bài toán chứng minh bất đẳng thức

a) Phân tích tìm đường lối chứng minh bài toán bất đẳng thức

Điều quan trọng trong dạy học một bài toán không chỉ là giúp HS tìm ra lờigiải bài toán đó, mà quan trong hơn cả là giúp cho HS biết cách tự mình tìm ralời giải cho các bài toán có liên quan, thuộc lớp bài toán đã cho Để hình thànhcho HS kỹ năng phân tích, tìm ra đường lối chứng minh cho một lớp bài toán thì

GV cần hướng dẫn HS thực hành thông qua một số bài toán cụ thể thuộc lớp bài toán đó.

Trước hết, để chứng minh một bài toán bất đẳng thức nào đó, ta cần phảihiểu được nội dung của nó Cần tìm hiểu xem bài toán đã cho những gì? Ta cầnchứng minh điều gì? Với điều kiện đã cho thì ta có thể chứng minh được bấtđẳng thức đó không? Có gì mâu thuẫn không?

Tiếp theo, chúng ta hãy nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh GV hướngdẫn HS bằng cách nêu ra một số câu hỏi gợi mở Bạn đã từng chứng minh bấtđẳng thức này chưa? Đã từng chứng minh một bất đẳng thức nào ở dạng hơikhác, nhưng tương tự như thế chưa? Nhìn vào hai vế của bất đẳng thức, bạn cónhận xét gì về vai trò của các số tham gia? Các biểu thức ở hai vế của bất đẳngthức, cùng với mối liên hệ giữa các số tham gia, vai trò của chúng có gợi cho bạnđiều gì không? Chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức quen thuộc nào không? Cóthể vận dụng kết quả đã biết của bài toán nào đã chứng minh cho bài toán nàykhông? Có thể biến đổi, đặt ẩn phụ để đưa bài toán cần chứng minh về bài toánquen thuộc, dễ giải quyết hơn không? Có thể sử dụng các kiến thức liên quan đếnbất đẳng thức lượng giác, bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức hình học,… haykhông?

Khi người thầy đặt câu hỏi cần nhằm vào hai mục đích: thứ nhất giúp học sinh giải được một bài toán cụ thể, thứ hai là phát triển những khả năng của học sinh để họ có thể tự lực giải những bài toán sau này Hai mục đích này liên hệ

mật thiết với nhau Nếu học sinh giải được bài toán cụ thể thì từ đó HS cũng cóthể có khả năng giải được bài toán tổng quát Như vậy những câu hỏi mà thầy đặt

ra cho học sinh phải tổng quát và áp dụng vào nhiều trường hợp Nếu dùng nhiều

lần một câu hỏi, học sinh sẽ chú ý đến nó một cách trực giác và HS có thể tự đặt

ra được câu hỏi đó trong trường hợp tương tự Nếu HS có thể tự đặt được câu hỏi

đó nhiều lần thì HS có thể rút ra được những ý kiến xác đáng Người thầy phải

làm cho học sinh thấm nhuần những câu hỏi và những câu hỏi này sẽ góp phần phát triển một thói quen của trí óc.

Gợi ý và câu hỏi là các cách GV đứng lớp giúp HS sử dụng vốn hiểu biết

có sẵn về một chủ đề Gợi ý liên quan đến “các dấu hiệu” về những kinh nghiệm

có sẵn của học sinh GV gợi ý cho HS, chờ đợi những kiến thức mới, điều này sẽkhiến trong óc các em nảy ra những dự đoán về những thông tin mới Việc đặt racác câu hỏi cũng có một chức năng như vậy Khi dạy học, cần tập trung vàonhững vấn đề quan trọng, trọng tâm chứ không phải là vào những gì bất thường.Khoảng thời gian “chờ đợi” trước khi tiếp nhận nhận câu trả lời của HS có tácdụng làm cho hiểu biết của các em sâu sắc hơn

Khi thầy hướng dẫn HS qua một hệ thống câu hỏi gợi mở, HS từng bướcsuy nghĩ trả lời, phát hiện và giải quyết vấn đề, tìm kiếm kiến thức mới Qua đó

tư duy và một số phẩm chất đạo đức nảy nở và phát triển như tính chủ động, tựtin, niềm phấn khởi, hứng thú dẫn đến tư duy sáng tạo trong việc chọn câu trả lờichính xác Tư duy và tính cách hầu như vô hình, khó thấy nhưng lại thấm dầnvào trí tuệ, hình thành nên nhân cách người lao động sáng tạo sau này Tư duy vàtính cách không hình thành theo kiểu kiến thức mà thấm dần theo kiểu “lắngđọng phù sa”, mỗi ngày một ít rất khó thấy, tích luỹ lâu ngày mới thấy rõ, giốngnhư từng hạt cát nhỏ li ti coi như không đáng kể, lâu ngày tích lại thành bãi phù

sa Một vài hạt cát nhỏ thì chẳng có ý nghĩa gì nhưng bãi cát phù sa thì rất có ýnghĩa

Ta cần chứng minh a3  b3  c3  24abc  a  b  c3

+ Chứng minh bất đẳng thức trên như thế nào?

a  b  c3

 a3  b3  c3  3.33 abc.33 a2b2 c2  3abc  a3  b3  c3  24abc

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh

Đẳng thức xảy ra a  b  c .

b Khai thác bài toán chứng minh bất đẳng thức

Hình thành cho HS kỹ năng giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳngthức là thành công bước đầu trong việc vận dụng phương pháp dạy học tích cựcvào dạy học bài toán chứng minh bất đẳng thức Để đạt được hiệu quả cao hơnnữa, GV còn cần phải hướng dẫn cho các em biết cách khai thác các bài toánchứng minh bất đẳng thức, làm cho các em hiểu được ý nghĩa của việc làm này,

từ đó tự các em nảy sinh trong suy nghĩ sự ham thích, say mê nghiên cứu, tìm tòi,khai thác sâu hơn các bài toán chứng minh bất đẳng thức Khai thác các bài toánchứng minh bất đẳng thức có thể là tìm thêm nhiều lời giải cho bài toán củachúng ta, hoặc cũng có thể là từ bài toán ban đầu ta hãy sáng tạo thêm nhiều bàitoán mới, là trường hợp đặc biệt, tương tự, hay tổng quát hơn

+ Xét x  tan A ; y  tan B ; z  tan

2 2 2

+ Xét x  cot A, y  cot B, z  cot C Với A, B, C là các góc trong tam giác ABC.

cot A,cot B,cot C  0

HS Trí nhớ là hoạt động của phản xạ có điều kiện, thông tin cần lặp đi lặp lại

nhiều lần mới thành lập được phản xạ có điều kiện Do đó đưa ra một hệ thống

câu hỏi gợi mở, vấn đáp, từng bước phát hiện và giải quyết vấn đề tạo cho HSmột thói quen tư duy tích cực, chủ động và lặp đi lặp lại theo từng dạng bài toán

là một phương pháp hiệu quả giúp tăng cường sức nhớ, rèn luyện kỹ năng giảitoán

Điểm quan trọng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải lànhững câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề Trong nhiều trường hợp, việc pháthiện và giải quyết vấn đề của HS có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợivấn đề chứ không phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra Đứng trước nhiều

bài toán khó, nhiều khi HS không hoàn toàn phải sáng tạo cái mới mà phải biếttổng hợp những kết quả đã học Những câu hỏi của thầy giáo không hẳn là câuhỏi gợi vấn đề mà có khi nhằm vào mục đích giúp tái hiện lại những kết quả đã

có, nhớ lại những bài toán phụ, những bổ đề áp dụng giải được bài toán trướcmắt

Sự khai thác hiệu quả các bài toán chứng minh bất đẳng thức làm cho các

em thấy được những vẻ đẹp của các bài toán này, càng thêm đam mê, yêu thíchhơn với các bài toán chứng minh bất đẳng thức Khi xuất phát từ trong chính suynghĩ, ý thức của các em sự say mê, yêu thích thì việc học Toán nói chung và họcnội dung bất đẳng thức nói riêng trở lên dễ dàng, hiệu quả Và khi ấy, chính sựtích cực, chủ động và sáng tạo của các em trong việc học đã tạo lên thành công.Thành công ở đây không chỉ là thành công trong một giờ dạy, trong một nội dungbài học, mà điều quan trọng là đã rèn luyện cho các em tính tích cực, chủ động,thói quen tư duy sáng tạo trong học tập, làm lên những thành công lớn trong việchọc của các em

2.2 Vận dụng phương pháp tích cực trong chứng minh bất đẳng thức

2.2.1 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào các bất đẳng thức cơ bản

2.2.1.1 Các bất đẳng thức cơ bản

a Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm

+ Dạng 1: a2  a2   a2 b2  b2   b2  2

a n  1  2   n  0

a1 a2 a n Mina

phải bằng nhau, nên tại điểm a  3, ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy