Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng

Hoàng Tụy năm 1964 [1] về việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán cực tiểu một hàm lõm với ràng buộc tuyến tính là xuất phát điểm cho hàng loạt những nghiên cứu về tối ưu không lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS NGUYỄN CẢNH NAM

2 GS TSKH LÊ THỊ HOÀI AN

Hà Nội - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Bản luận án này được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin học,Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.Nguyễn Cảnh Nam và GS TSKH Lê Thị Hoài An

Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới vàchưa từng được tác giả khác công bố Các đồng tác giả đã đồng ý việc đưacác kết quả công bố chung vào luận án

Hà Nội, ngày tháng năm 2019

và nghiên cứu, tự tin bước tiếp trên con đường mình đã chọn.

Trong quá trình học tập nói chung và thực hiện luận án này nói riêng, tác giả cũng nhận được sự quan tâm, giúp đỡ, chỉ dẫn tận tình cùng những lời khuyên quý báu của GS Hoàng Tụy, GS TSKH Lê Dũng Mưu, PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim, GS TSKH Nguyễn Đông Yên, TS Tạ Anh Sơn, TS Trần Ngọc Thăng, TS Trần Đức Quỳnh, TS Lê Quang Thủy, TS Nguyễn Thị Bích Thủy, TS Nguyễn Quang Thuận Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức Cán bộ, PhòngĐào tạo - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong suốt quá trình làm việc, học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo cùng toànthể cán bộ Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa HàNội, đã giúp đỡ, tạo điều kiện để tác giả vừa có thể hoàn thành công tác vàvừa có thời gian học tập, hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh

Trong quá trình thực hiện luận án tác giả cũng nhận được sự hỗ trợ củaQuỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) về kinh phítham gia báo cáo tại hội thảo khoa học quốc tế và sự giúp đỡ tài trợ từ dự

án của GS TSKH Lê Thị Hoài An trong thời gian học tập tại phòng nghiêncứu về khoa học máy tính và ứng dụng, Đại học Lorraine, Cộng Hòa Pháp.Ngoài ra tác giả cũng nhận được kinh phí tài trợ mua vật tư, dụng cụ, tàiliệu từ chương trình học bổng 911 trong nước Tác giả trân trọng cảm ơn.Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Đỗ Đức Thuận, TS Nguyễn Phương Thùy, ThS Nguyễn Hải Sơn, TS Trịnh Ngọc Hải cùng các Thầy Cô và anh chị em đồng nghiệp trong Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng và Xêmina Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan, Viện Toán ứng dụng và Tin học

- Đại học Bách khoa Hà Nội, đã dành cho tác giả những cơ hội học tập trao đổi chuyên môn cùng những ý kiến đóng góp quý báu giúp cho tác giả hiểu sâu sắc hơn

vấn đề nghiên cứu của mình.

Cuối cùng tác giả xin dành lời cảm ơn đặc biệt gửi tới những người thân yêu trong gia đình cùng bạn bè của tác giả - những người đã, đang và sẽ là hậu phương vững chắc, cho tác giả nguồn cổ vũ và động viên tinh thần lớn lao để tác giả có thể hoàn thành công việc, học tập, nghiên cứu nói chung và luận án này nói riêng.

MỤC LỤC

1.1 Tối ưu DC 6

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 6

1.1.2 Thuật toán DCA 12

1.2 Tối ưu đơn điệu 13

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản 13

1.2.2 Thuật toán giải bài toán tối ưu đơn điệu 18

Chương 2 THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI TRONG VIỄN THÔNG 25 2.1 Thuật toán giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD 25

2.1.1 Mô tả bài toán 26

2.1.2 Bài toán tối ưu DC đa diện tương đương với bài toán (RAP) 29 2.1.3 Thuật toán toàn cục giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD (RAP) 32

2.1.4 Kết quả tính toán thử nghiệm 35

2.2 Thuật toán giải bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến 36

2.2.1 Mô tả bài toán 37

2.2.2 Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương với bài toán (SCEP) 38 2.2.3 Thuật toán toàn cục nhánh-giảm-cận (BRB) giải bài toán (SCEP) 42 2.2.4 Kết quả tính toán thử nghiệm 49

Chương 3 THUẬT TOÁN TRÊN KHÔNG GIAN ẢNH GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU RỜI RẠC 57 3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 58

3.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 60

3.2.1 Biểu diễn miền tìm kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời

rạc (MODO) 64

3.2.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) 68

3.2.3 Kết quả tính toán thử nghiệm 69

3.3 Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 77

3.3.1 Mô tả bài toán 78

3.3.2 Thuật toán toàn cục giải bài toán (P ) 79

3.3.3 Kết quả tính toán thử nghiệm 85

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

BB Branch and Bound

Thuật toán nhánh cận

BRB Branch-Reduce-Bound

Thuật toán nhánh-giảm-cận

DC Difference of two Convex functions

Hiệu hai hàm lồi

DCA DC Algorithm

Thuật toán hiệu hai hàm lồi

DMO Discrete Monotonic Optimization

Tối ưu đơn điệu rời rạc

FDMA Frequency Division Multiple Access

Đa truy nhập phân chia theo tần số

MO Monotonic Optimization

Tối ưu đơn điệu

OFDMA Orthogonal Frequency Division Multiple Access

Đa truy nhập phân chia theo tần số trực giao

SCEP Sensor Cover Energy Problem

Bài toán năng lượng phủ cảm biến

TDD Time Division Duplexing

Song công phân chia theo thời gian

TDMA Time Division Multiple Access

Đa truy nhập phân chia theo thời giant.ư tương ứng

v.đ.k với điều kiện

DANH MỤC BẢNG

2.1 Kết quả giải bài toán (RAP) bằng Thuật toán 2.2 và Thuật toán 2.3 36

2.2 Kết quả áp dụng các Thuật toán 2.4, 2.5, 2.6 cho bài toán (SCEP) 50

2.3 Kết quả áp dụng Thuật toán 2.5 cho bài toán (SCEP) 51

3.1 Dữ liệu của Ví dụ 3.1 [68] 59

3.2 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- RA 73

3.3 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- RE 74

3.4 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- NEWVERTEX 75

3.5 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1 với các thủ tục cập nhật miền tìm kiếm và các cách quản lí khác nhau 76

3.6 Kết quả tính toán thử nghiệm Thuật toán 3.2 86

3.7 Kết quả so sánh Thuật toán 3.3 và Thuật toán 3.4 87

DANH MỤC HÌNH VẼ

1.1 Minh họa trên đồ thị của hàm lồi y = f(x) 7

1.2 Minh họa tập chuẩn, đối chuẩn và biên trên, biên dưới tương ứng của chúng 15

1.3 Đa khối với tập đỉnh fu1 ; u2; u3; u4g; trong đó fu1; u2; u4g là tập đỉnh chính, u3 là đỉnh không chính 16

1.4 Đối đa khối với tập đỉnh chính fz1; z2; z3g 16

1.5 Minh họa Mệnh đề 1.9 19

2.1 Khung OFDMA/TDD mô tả xung đột giữa hai người dùng 27

2.2 Tài nguyên cấp phát cho một người dùng là khung hình chữ nhật nhận (i1; j1) và (i2; j2) là đỉnh nếu anh ta được cấp hai nút này 28

2.3 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 1 52

2.4 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 2 52

2.5 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 3 52

2.6 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 4 52

2.7 n=25, m=5, Bộ dữ liệu 5 52

2.8 n=25, m=50, Bộ dữ liệu 1 52

2.9 n=25, m=50, Bộ dữ liệu 3 53

2.10 n=25, m=50, Bộ dữ liệu 4 53

2.11 n=25, m=50, Bộ dữ liệu 5 53

2.12 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 1 53

2.13 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 2 53

2.14 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 3 53

2.15 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 4 54

2.16 n=75, m=15, Bộ dữ liệu 5 54

2.17 n=75, m=150 54

2.18 n=125, m=25 54

2.19 n=125, m=250 54

2.20 n=175, m=35 54

2.21 n=175, m=350 55

2.22 n=225, m=45 55

2.23 n=225, m=450 55

2.24 n=500, m=100 55

2.25 n=500, m=1000 55

2.26 n=750, m=150 55

2.27 n=750, m=1000 56

2.28 n=1000, m=500 56

3.1 Minh họa Ví dụ 3.1 [68] 60

3.2 Khởi tạo, N = ; và S(N) = [yI ; b) 61

3.3 Bước 1, N = fy1g và S(N) = [yI ; u1) [ [yI ; u2) 61

3.4 Bước 2, N = fy1; y2g và S(N) = [yI ; u2) [ [yI ; u12) 62

3.5 Bước 3, N = fy1; y2; y3g và S(N) = [yI ; u12) [ [yI ; u21) 62

3.6 Bước 4, N = fy1; y2; y3g và S(N) = [yI ; u21) 62

3.7 Minh họa Ví dụ 3.3 67

3.8 Minh họa Ví dụ 3.3 67

3.9 Số phần tử của tập V (Y ) nhỏ hơn rất nhiều so với số phần tử của tập Y; YN hay V (convY ) 80

3.10 Minh họa Ví dụ 3.4 82

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tối ưu không lồi và tối ưu toàn cục là những vấn đề quan trọng của lí thuyết tối ưu

với rất nhiều ứng dụng trong thực tế Công trình của GS Hoàng Tụy năm 1964 [1] về việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán cực tiểu một hàm lõm với ràng buộc tuyến tính là xuất phát điểm cho hàng loạt những nghiên cứu về tối ưu không lồi và tối

ưu toàn cục của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước sau này Trải qua hơn nửa thế kỷ, những công trình nghiên cứu về vấn đề này vô cùng đa dạng, phong phú

cả về lí thuyết, phương pháp, thuật toán và ứng dụng Tuy nhiên, do nhu cầu ứng dụng, sự hấp dẫn về mặt toán học cũng như tính phức tạp của bài toán tối ưu không lồi nên cho đến nay, việc nghiên cứu giải quyết hiệu quả các bài toán này vẫn mang tính thời sự và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước (xem Tụy [2] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo).

Khó khăn lớn nhất của bài toán tối ưu không lồi tổng quát chính là sự có mặt của tính không lồi Điểm khác biệt cơ bản so với bài toán tối ưu lồi là không có một đặc trưng cụ thể nào cho nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán tối ưu không lồi Đối với bài toán tối ưu không lồi liên tục thì nghiệm tối ưu địa phương chưa chắc đã là nghiệm tối

ưu toàn cục của bài toán Do đó việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục cho một bài toán tối

ưu không lồi, đặc biệt trong trường hợp số chiều lớn là vô cùng khó khăn Một số phương pháp chung nổi tiếng giải toàn cục bài toán tối ưu không lồi phải kể đến là: phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, phương pháp siêu phẳng cắt Theo một tiếp cận khác, ta có thể giải bài toán tối ưu không lồi bằng cách sử dụng những phương pháp tìm nghiệm tối ưu địa phương Một trong những thuật toán địa phương hiệu quả được áp dụng cho rất nhiều lớp bài toán tối ưu không lồi, kể cả những bài toán cỡ lớn, là thuật toán DCA (Difference of two Convex functions Algorithm) (xem An và Tảo [3] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo).

Theo GS Hoàng Tụy [2], nhiều bài toán tối ưu không lồi có thể được xem xét dưới hai cấu trúc: cấu trúc DC (difference of two convex functions) hoặc cấu trúc DM (difference of two monotonic functions) Tùy vào đặc điểm của từng bài toán mà ta chọn cách nhìn nhận phù hợp để có được lời giải hiệu quả Đặc biệt đối với những mô hình bài toán cụ thể trong thực tế, việc vận dụng và kết hợp các phương pháp và thuật toán một cách linh hoạt rất quan trọng vì nó sẽ giúp việc giải quyết vấn đề trở nên dễ dàng hơn Chẳng hạn, thông thường, việc giải toàn cục các bài toán tối ưu rời rạc

(thuộc lớp bài toán tối ưu không lồi) gặp khó khăn khi sử dụng các thuật toán truyền thống như: nhánh cận, nhánh cắt, siêu phẳng cắt nhưng sau khi chuyển về một bài toán tối ưu liên tục, kết hợp với một số kĩ thuật trong tối ưu thì việc giải quyết trở nên dễ dàng hơn (xem [3, 4] ) Vậy, ngược lại, liệu có thể đưa một bài toán tối ưu không lồi liên tục về một bài toán tối ưu rời rạc với một lời giải dễ dàng và hiệu quả hơn không? Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu thuật toán giải hai bài toán tối

ưu không lồi trong viễn thông, trong đó có vận dụng cả hai cách tiếp cận này.

Như đã biết, các phương pháp giải bài toán tối ưu không lồi được ứng dụngrộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán tối ưu một hàm mục tiêu duy nhất theonhững điều kiện nhất định Với những bài toán cần tối ưu đồng thời nhiều mục

tiêu khác nhau thì ta cần các công cụ của Quy hoạch đa mục tiêu (hay Tối ưu đa mục tiêu hoặc Tối ưu véc tơ) Mục đích của bài toán tối ưu đa mục tiêu là tìm cực đại hoặc cực tiểu của đồng thời m 2 hàm mục tiêu f1; : : : ; fm trên một tập khácrỗng X Rn Do không gian giá trị Rm không có thứ tự đầy đủ nên trong tối ưu đa

mục tiêu, khái niệm nghiệm hữu hiệu (hay nghiệm Pareto) được sử dụng thay cho khái niệm nghiệm tối ưu thông thường Việc xác định một phần hoặc toàn bộ tập

nghiệm hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mục tiêu là một nhiệm vụ khó khăn, đòihỏi thời gian và khối lượng tính toán rất lớn vì ngay trong trường hợp bài toán quyhoạch đa mục tiêu tuyến tính, tức bài toán tối ưu đồng thời m hàm mục tiêu tuyếntính trên một tập lồi đa diện khác rỗng thì tập nghiệm hữu hiệu XE, nói chung, đã

là tập không lồi với cấu trúc rất phức tạp Do đó, khối lượng tính toán để xác địnhtoàn bộ XE tăng rất nhanh khi số chiều của không gian quyết định Rn, số hàm mụctiêu m và số ràng buộc biểu diễn tập X tăng (xem Benson [5])

Tuy nhiên, thông thường, rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh trong thực

tế thường có số hàm mục tiêu m nhỏ hơn rất nhiều thứ nguyên n của không gian quyết định Rn nên đã có khá nhiều thuật toán được đề xuất để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu theo hướng tiếp cận trên không gian ảnh Cụ thể, thay vì xác định một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu XE, các thuật toán này sẽ cho phép xác định một phần hoặc toàn bộ tập giá trị hữu hiệu YN = f(XE); trong đó f(x) = (f1(x); : : : ; fm(x))T :

Vì m n nên cấu trúc của YN đơn giản hơn nhiều so với cấu trúc của XE và tiếp cận trên không gian ảnh, cho phép giảm đáng kể thời gian tính toán.

Bài toán tối ưu đa mục tiêu liên tục đã được nghiên cứu từ lâu theo cách tiếp cận trên không gian quyết định cũng như không gian ảnh với rất nhiều thuật toán được đề xuất (xem [6, 7, 8, 9, 10] và danh mục tham khảo kèm theo) Tuy nhiên, trong khoảng hơn một thập kỉ trở lại đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc được nghiên cứu bằng nhiều phương pháp khác nhau như: "-ràng buộc, vô hướng hóa Tchebycheff, vô hướng hóa tổng có trọng và các phương pháp biến thể khác (xem [11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]) Trong đó, đáng chú ý phải kể đến một số công trình như: Przybylski [25], Klamroth và cộng sự [24], Dachert¨ và Klamroth [13],

2

Dachert¨ và cộng sự [23] với các thuật toán hiệu quả được đề xuất Những công

trình này ([13, 23, 24, 25]) sử dụng lược đồ chung (generic method, viết tắt là GM)

để tìm toàn bộ tập điểm giá trị hữu hiệu như sau: các điểm giá trị hữu hiệu đượctìm ra sau mỗi bước lặp bằng cách sử dụng phép vô hướng hóa; sau bước giảibài toán vô hướng hóa, một phần không gian của tập ảnh sẽ được loại bỏ để tiếptục tìm kiếm những điểm giá trị hữu hiệu còn lại Miền ở trong không gian ảnhđược sử dụng trong việc tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu được cập nhật sau mỗibước lặp và được gọi chung là miền tìm kiếm (the search region) Việc nghiêncứu cấu trúc và cách cập nhật miền tìm kiếm đóng vai trò quan trọng và ảnhhưởng đến tính hiệu quả của phương pháp này (xem [13, 23, 24, 25])

Một bài toán tối ưu không lồi liên quan chặt chẽ với bài toán tối ưu đa mục tiêu

là Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu (hay Bài toán tối ưu trên tập Pareto) Đó là bài toán tối ưu một hàm số trên tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mụctiêu Việc giải bài toán này giúp ta chọn được một nghiệm hữu hiệu tốt nhất theomột mục tiêu nào đó mà không nhất thiết phải xác định toàn bộ XE Điều này có ýnghĩa đặc biệt trong việc lựa chọn các phương án để đưa ra quyết định thích hợp.Bài toán tối ưu trên tập Pareto được nghiên cứu lần đầu trong công trình củaPhilip [26] cho trường hợp tuyến tính Hướng nghiên cứu này sau đó thu hút được

sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước (xem [27, 28, 29, 30, 31, 32,

33, 34, 35, 36, 37] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo) Tuy nhiên, theohiểu biết của chúng tôi, cho đến nay chưa có nghiên cứu nào cho trường hợp bàitoán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục tiêu tựa lõm, đơn điệu tăng và bài toántối ưu đa mục tiêu tương ứng có tập chấp nhận được là tập hữu hạn điểm Thôngthường, bài toán tối ưu đa mục tiêu dạng này là mô hình toán học của các bàitoán thực tế mà số liệu được cho bằng phương pháp thống kê

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau:

Mô hình hóa bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDDdưới dạng một bài toán tối ưu rời rạc và đưa bài toán này về một bài toán tối

ưu DC, đề xuất thuật toán toàn cục (nhánh cận kết hợp DCA) để giải

Nghiên cứu bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến (SCEP) được đề xuất bởi Astorino và Miglionico [38] Đây là một bài toán tối ưu (liên tục) không lồi khó với ràng buộc không lồi Astorino và Miglionico [38] đã đề xuất một thuật toán dựa trên tiếp cận địa phương để giải Chúng tôi đưa bài toán (SCEP) về dạng một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc và xây dựng thuật toán toàn cục dựa trên lược đồ nhánh-giảm-cận để giải Ngoài ra, chúng tôi cũng đề xuất thêm một thuật toán địa phương hiệu quả cho bài toán (SCEP).

3

Xuất phát từ ý nghĩa quan trọng của miền tìm kiếm đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc chúng tôi sử dụng khái niệm đa khối (polyblock) nửa mở choviệc biểu diễn miền tìm kiếm Từ đó có được cái nhìn trực quan về miền tìm kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Bên cạnh việc đề xuất một thủ tục mới cập nhật miền tìm kiếm cho lược đồ chung GM để tìm toàn bộ tập điểm giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, chúng tôi cũng nghiên cứu sự ảnh hưởng việc quản lí những bài toán con (chính là những bài toán có được nhờ phép vô hướng hóa) được lưu trong suốt quá trình tìmkiếm đến tính hiệu quả của lược đồ GM Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay vấn đề này vẫn chưa được nghiên cứu.

Chúng tôi xét một lớp các bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục tiêu (của bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu) là đơn điệu tăng tựa lõm, tập ràng buộc là tập hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc có miền ràng buộc X bao gồm hữu hạn các điểm cho trước Chúng tôi đề xuất thuật toán toàn cục giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu này

3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD

Bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến.

Bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu xây dựng mô hình

Nghiên cứu đề xuất thuật toán giải những bài toán quan tâm

Tính toán thử nghiệm những thuật toán mới và so sánh với những thuật toán khác

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Kết quả thu được của đề tài góp một phần nhỏ làm phong phú thêm cho lí thuyết tối ưu nói chung và tối ưu không lồi nói riêng Tính hiệu quả của các thuật toán đề xuất đều được chúng tôi minh họa thông qua việc lập trình chạy thử nghiệm so sánh với các thuật toán khác cho rất nhiều các ví dụ sinh ngẫu nhiên và các ví dụ có sẵn với nhiều cỡ bài toán khác nhau Những thuật toán mới đề xuất này có thể được áp dụng vào việc giải quyết những vấn đề tương tự trong thực tiễn một cách hiệu quả.

4

6 Cấu trúc và kết quả của luận án

Nội dung chính của luận án được chia thành ba chương như sau:

Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày một số khái niệm, kết quả và thuật toán

quan trọng của tối ưu DC, tối ưu đơn điệu Các kết quả ở đây có thể xem là sự chuẩn

bị về mặt lý thuyết để giải ba bài toán tối ưu không lồi trong Chương 2 và Chương 3.

Chương 2: “Một số thuật toán giải hai bài toán tối ưu không lồi trong viễn thông”.

Chương này dành để trình bày những kết quả liên quan đến việc nghiên cứu hai bài toán tối ưu không lồi trong viễn thông là: bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD và bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến.

Chương 3: “Thuật toán giải một số bài toán trong tối ưu đa mục tiêu rời

rạc” Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu liên quan tới bài toán

tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc và bàitoán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc

Các kết quả của luận án đã được công bố trong ba bài báo được nhận đăng ở các tạp chí Computer & Operations Research, Optimization Letters, Pacific Journal of Optimization, một bài đăng trong kỉ yếu hội nghị quốc tế về kĩ thuật công nghiệp và quản lí hệ thống Lần thứ 7, 11-13/10/2017 tại Đại học khoa học ứng dụng Saarland, Saarbrucken, Đức, và một bài báo đang gửi đăng tại tạp chí 4OR A Quarterly Journal

of Operations Research Các kết quả này đã được tác giả báo cáo tại:

Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng, Bộ môn Toán ứng dụng, Viện

Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày

19/11/2015, 17/12/2015, 24/03/2016,

Xêmina Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan,

Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 17/05/2016,

Hội nghị Toàn quốc Lần thứ 4 về Ứng dụng toán học, tổ chức tại Đại

học kinh tế quốc dân, Hà Nội, ngày 23-25/12/2015,

Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học Lần thứ 14, Ba Vì, ngày 21-23/04/2016, Hội nghị quốc tế về kĩ thuật công nghiệp và quản lí hệ thống Lần thứ 7, 11- 13/10/2017, tại Đại học khoa học ứng dụng Saarland, Saarbrucken, Đức, (7th International Conference on Industrial Engineering and Systems Management, Saarland University of Applied Sciences, Saarbrucken, Germany, date 11-13/10/2017),

Xêmina Khoa học dữ liệu và tối ưu các hệ thống phức tạp, phòng nghiên cứu Opt-Data, Khoa quốc tế, Đại học quốc gia Hà Nội, ngày 04/12/2018

Xêmina Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại

học Bách Khoa Hà Nội, ngày 18/02/2019

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này được dành để nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bảnliên quan đến tối ưu DC (Mục 1.1) và tối ưu đơn điệu (Mục 1.2) Nội dungchính của chương này được tham khảo trong [2, 3, 39, 40, 41, 42, 43]

Mục này sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đếnbài toán tối ưu DC và thuật toán DCA

Nếu hàm số f xác định trên một tập C Rn thì ta luôn có thể mở rộng nóthành một hàm xác định trên toàn không gian Rn bằng cách đặt f(x) = +1 vớimọi x 2= C: Vì vậy không giảm tính tổng quát trong những phần tiếp theocủa Mục 1.1 chúng ta sẽ xét hàm f : Rn ! R [ f ; +1g (tức là một hàm xác địnhtrên toàn không gian) và quy ước rằng +1 (+1) = +1:

Kí hiệu:

domf = fx 2 Rn j f(x) < +1g (miền hữu hiệu của hàmf);

epif = f(x; t) 2 Rn R j f(x) tg (trên đồ thị của hàmf):

Hàm f được gọi là

(i) chính thường nếu domf 6= ; và f(x) > với mọi x 2 Rn;

(ii) nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x0 2 Rn; tức là

lim inf f(x) f(x0) với mọi x0 2 Rn;

(iii) lồi nếu với mọi x1; x2 2 Rn; 2 [0; 1] ta có

f( x1 + (1 )x2) f(x1) + (1 )f(x2):

Ngoài ra f được gọi là lõm nếu f là hàm lồi; aphin nếu f vừa lồi vừa lõm; f được gọi là lồi chính thường nếu f vừa lồi vừa chính thường Rõ

ràng, từ định nghĩa ta có f lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là mộttập lồi Xem minh họa ở Hình 1.1

(iii) Hàm toàn phương f(x) = 1=2 hx; Qxi + hx; ai + ; trong đó Q là ma trậnthực đối xứng cấp n n; a 2 Rn và 2 R: Nếu Q là ma trận nửa xác địnhdương thì f(x) là hàm lồi

(iv) Hàm

(x) = maxf ai; x i ; i = 1; : : : ; mg + C (x);

với ai 2 Rn; i 2 R; i = 1; : : : ; m; C là tập lồi đa diện khác rỗng trong Rn;

là hàm lồi và được gọi là hàm lồi đa diện.

Hàm f xác định bởi

f (y) = supfhx; yi f(x) j x 2 Rng; với y 2 Rn

được gọi là hàm liên hợp của f:

Hàm bao lồi đóng của hàm f, kí hiệu là cof; là một hàm có trên đồ thị là

bao lồi đóng của trên đồ thị của f: Hàm được gọi là lồi đóng nếu hàm bao lồi

đóng của nó là chính nó Như vậy nếu f 2 0(Rn) thì f là hàm lồi đóng và từ[40, Hệ quả 10.1, trang 154] ta suy ra mệnh đề sau

2jjxjj2 là chính nó (xem [40, trang 152]).(ii) Hàm liên hợp của hàm chỉ

(y) = supfhx; yi C(x) j x 2 ng

= supfhx; yi j x 2 Cg:

Cho " > 0; véc-tơ p 2 Rn được gọi là một "-dưới gradient của hàm chính thường

f tại x0 (x0 2 domf) nếu

Định lí 1.1 ([43, Định lí 2.9, trang 19] và [43, Định lí 2.10, trang 20])

(i) Với " > 0 bất kì, mỗi hàm lồi chính thường f trên Rn đều có "-dưới vi phân khác rỗng tại mỗi điểm x0 2 domf:

(ii) Mọi hàm lồi chính thường f nửa liên tục dưới trên Rn; tức f 2 0(Rn); có

Kí hiệu

dom@f = fx 2 Rn j @f(x) 6= ;g:

Như vậy, theo Định lí 1.1 nếu f 2 0(Rn) thì int(domf) dom@f:

(ii) Dưới vi phân của hàm chỉ C ( ) của một tập lồi C là

@ C (x) = fp j hp; z xi 0 8z 2 Cg = NC (x);

trong đó NC (x) là nón pháp tuyến của C tại x0:

(iii) Dưới vi phân của hàm f(x) = jjxjj là

@f(x) = (fp 2 n j jjpjj= 1; p; x = x khi x = 0:

f 2 R j jj jj h i jj jjg 6Chi tiết chứng minh có thể tham khảo [43, trang 22]

(iv) Xét hàm (y) = supx2C hx; yi ; với C là tập lồi trong Rn: Khi đó p 2 @ (y0)khi và chỉ khi

(y) (y0

) p; y y0 8y 2 Rnsup x; y p; y sup x; y0

p; y0 8y 2 Rn, x2C h0 i h i 0 x2C

, p; y = x2C x; y :

sup

Trường hợp đặc biệt, dưới vi phân của hàm C (y) = supx2C hx; yi ; tại

y0 chính là nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu lồi sau

max x; y0 :

x2C

Bài toán tối ưu DC và đối ngẫu DC

Bài toán tối ưu DC (hay còn gọi là bài toán tối ưu hiệu hai hàm lồi) là mộttrong những lớp bài toán quan trọng của tối ưu không lồi được nghiên cứumạnh trong hơn nửa thập kỉ gần đây với rất nhiều ứng dụng trong thực tế.Theo [3, 43], hầu hết các bài toán tối ưu không lồi có thể đưa về một bàitoán tối ưu DC Bài toán tối ưu DC tổng quát có dạng

= inffg1(x) h1(x) j x 2 C; u1(x) u2(x) 0g;

trong đó g1; h1; u1; u2 là các hàm lồi trên tập lồi C Rn: Tuy nhiên, theo [3],bằng cách sử dụng định lí về hàm phạt chính xác và hàm chỉ C ; bài toánnày có thể viết lại được dưới dạng

= infff(x) = g(x) h(x) j x 2 Rng; (P)

với g; h là các hàm lồi trên Rn: Khi g; h thỏa mãn thêm điều kiện nửa liên tục dưới trên Rn (tức g; h 2 0(Rn)) ta sẽ thu được mối liên hệ giữa bài toán (P) và bài toán đối ngẫu của nó cùng kết quả về điều kiện tối ưu Những nội dung này sẽ được trình bày dưới đây, trích từ các tài liệu [3, 44] và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo.

Hàm f trong bài toán (P) được gọi là hàm DC còn g; h được gọi là các thành phần DC của f: Bài toán (P) được gọi là một bài toán tối ưu DC Nếu g hoặc h là hàm lồi đa diện thì bài toán (P) được gọi là bài toán tối ưu DC đa diện Nếu g và h

có giá trị hữu hạn trên Rn thì ta nói f là hàm DC hữu hạn trên Rn:

Theo định nghĩa của hàm liên hợp và Mệnh đề 1.1 ta có

(y) = inffg(x) (hx; yi h (y)) j x 2 Rn

= inffh (y) g (y) j y 2 domh g:

Chú ý rằng với quy ước +1 (+1) = +1 ta có thể viết lại bài toán trên như sau

Như vậy bài toán (P) và bài toán (D) là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng, tức là bài toán (D) là đối ngẫu của bài toán (P) và bài toán (P) là đối ngẫu của bài toán (D) Để tránhtrường hợp tầm thường khi giá trị của có thể bằng ta luôn giả thiết

domg domh và domh domgtrong những phần tiếp theo

Điểm x được gọi là cực tiểu địa phương của g h trên Rn nếu g(x ) h(x ) hữu hạn (tức x 2 domg \ domh) và tồn tại một lân cận U của x thỏa mãn

g(x ) h(x ) g(x) h(x); 8x 2 U: (1.1)Với quy ước +1 (+1) = +1; bất đẳng thức (1.1) tương đương với

Định lí 1.2 (Xem [39, Định lí 1 ]) Kí hiệu P và D tương ứng là tập nghiệm

của bài toán (P) và (D) Khi đó

(i) x 2 P nếu và chỉ nếu @"h(x) @"g(x) với mọi " > 0;

(ii) y 2 D nếu và chỉ nếu @"g (y) @"h (y) với mọi " > 0;

sử dụng kết quả dưới đây liên quan đến tính tối ưu địa phương

Định lí 1.3 (Xem [45, Định lí 1] hoặc [39, Định lí 2]) Kí hiệu:

P‘ = fx 2 X j @h(x ) @g(x )g;

D‘ = fx 2 X j @g (x ) @h (x )g:

(i) Nếu x là cực tiểu địa phương của g h thì x 2 P‘; tức là @h(x ) @g(x ):

Ngược lại nếu h thỏa mãn thêm điều kiện là hàm lồi đa diện thì từ

@h(x ) @g(x ) kéo theo x là cực tiểu địa phương của g h:

(ii) Cho x là điểm tới hạn của g h và y 2 @g(x ) \ @h(x ): Gọi U là lân cận của x sao cho U \ domg dom@h:

Nếu với mỗi x 2 U \ domg tồn tại y 2 @h(x) sao cho

h (y) g (y) h (y ) g (y )

thì x là cực tiểu địa phương của g h; tức

g(x) h(x) g(x ) g(x ); 8x 2 U \ domg:

Hầu hết các bài toán tối ưu DC là không lồi và việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục của

nó đòi hỏi chi phí lớn về thời gian Vì vậy trong nhiều trường hợp người ta sử dụng các phương pháp tối ưu địa phương để giải sao cho đảm bảo tính hiệu quả cũng như chất lượng của nghiệm thu được, đặc biệt khi làm việc với các bài toán cỡ lớn (large- scale) DCA là một trong những thuật toán như vậy Thuật toán DCA được đề xuất lần đầu bởi GS Phạm Đình Tảo năm 1986, sau đó được nghiên cứu phát triển, mở rộng trong rất nhiều các công trình hợp tác của GS Lê Thị Hoài An và GS Phạm Đình Tảo

từ năm 1994 Cho đến nay DCA trở thành một công cụ hữu ích giải quyết được nhiều

mô hình bài toán trong thực tế và ứng dụng, kể cả những bài toán cỡ lớn (xem [3] và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo).

Ý tưởng chính của DCA là xây dựng hai dãy fxkg và fykg sao cho giá trị tươngứng của hàm mục tiêu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu giảm dần Hơn nữahai điểm tụ của hai dãy tương ứng là điểm tới hạn của bài toán gốc và bài toánđối ngẫu Nói cách khác, trong DCA hai dãy fxkg và fykg được xây dựng sao cho

(i) Hai dãy f(g h)(xk)g và f(h g )(yk)g là hai dãy giảm

(ii) Mỗi điểm tụ x ( tương ứng (t.ư.1), y ) của dãy fxkg (t.ư., fykg) là điểm tới hạn

của g h (t.ư., h g )

1 Từ đây chữ "tương ứng" sẽ được viết tắt là "t.ư.".

12

Cụ thể, với điểm xuất phát x0 2 domg; các điểm fxkg và fykg được xác địnhlần lượt bởi

từ bài toán (D) bằng cách thay g bởi hàm xấp xỉ aphin tại xk 2 @g (yk1): Tuy nhiên khi

áp dụng DCA ta thường chọn h là hàm lồi sao cho có thể tính @h(x) qua công thức tường minh Khi đó việc áp dụng DCA được quy về việc giải một dãy các bài toán tối

ưu lồi Sau đây là lược đồ tóm tắt của DCA giải bài toán (P) (xem [46]).

Khởi tạo: Chọn điểm khởi tạo x0 2 domg; số thực > 0 đủ nhỏ, k := 0; er

Bước 4: Nếu er < thì dừng thuật toán, kết luận xk+1 là nghiệm thu được

bởi DCA Ngược lại gán k := k + 1 và quay lại Bước 1.

Các kết quả về sự hội tụ và tính chất của thuật toán DCA, có thể xem chitiết trong [39, Mục 3.1]

1.2 Tối ưu đơn điệu

Trong mục này, các khái niệm và kết quả cơ bản trong tối ưu đơn điệu và tối ưu đơn điệu rời rạc được nhắc lại cùng thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc Nội dung chính của mục được tham khảo trong tài liệu [2, 41, 42, 43].

Cho x; y; a; b 2 Rn: Khi đó, x y (t.ư., x < y) nếu xi yi (t.ư., xi < yi) với mọi

i = 1; :::; n: Nếu a b thì hộp [a; b] được xác định bởi

[a; b] = fx 2 Rn j a x bg;

hộp nửa mở dưới (a; b] được xác định bởi

(a; b] = fx 2 Rn j a < x bg

và hộp nửa mở trên [a; b) được xác định bởi

[a; b) = fx 2 Rn j a x < bg:

Phép tuyển x _ y = u với ui = maxfxi; yig; i = 1; :::; n và phép hội v = x ^ y với vi

= minfxi; yig; i = 1; :::; n: Với mỗi i = 1; :::; n; ei là véc-tơ đơn vị thứ i của Rn:

Hàm f : Rn+ ! R được gọi là tăng nếu f(x) f(x0) với 0 x x0; tăng chặt nếu

f(x) < f(x0) với 0 x < x0: Hàm f được gọi là hàm giảm nếu f là hàm tăng Một hàm được gọi là đơn điệu nếu nó là hàm tăng hoặc hàm giảm.

Ví dụ 1.4 Hàm sản xuất và lợi ích trong kinh tế

(i) 1f1(x) + 2f2(x) với 1; 2 2 R+ là hàm tăng

(ii) Hàm maxff1(x); f2(x)g và minff1(x); f2(x)g cũng là hàm tăng

Tập G [a; b] được gọi là chuẩn nếu x 2 G thì [a; x] G: Tập H [a; b] được gọi là đối chuẩn nếu x 2 H thì [x; b] H: Như vậy nếu g(x); h(x) là hàm tăng

trên [a; b] thì G = fx 2 [a; b]jg(x) 0g là tập chuẩn và H = fx 2 [a; b]jh(x) 0g làtập đối chuẩn

chuẩn tầm thường trong Rn+: Nếu G là tập chuẩn thì G [ fx 2 Rn+ j xi = 0gvới i 2 f1; : : : ; ng là tập chuẩn

Mệnh đề sau nêu lên mối quan hệ giữa tập chuẩn, đối chuẩn và hàm đơn điệu tăng.

Mệnh đề 1.2 (Xem [2, Mệnh đề 11.2, trang 392]

là chuẩn và đóng nếu g(x) là hàm nửa liên tục dưới Ngược lại, với mọi

(ii) Giả sử h(x) là hàm tăng trên Rn+ và 2 R: Khi đó tập H = fx 2 Rn+ j g(x) g

là đối chuẩn và đóng nếu h(x) là hàm nửa liên tục trên Ngược lại, với mọi

H = fx 2 Rn+ j g(x) g:

Điểm y 2 Rn được gọi là điểm biên trên (t.ư., điểm biên dưới) của tập

chuẩn G [a; b] (t.ư., đối chuẩn H [a; b]) nếu y 2 clG (t.ư., y 2 clH) và khôngtồn tại điểm x 2 G (t.ư., x 2 H) sao cho x = a + (y a) với > 1 (t.ư., < 1) Tập

tất cả các điểm biên trên (t.ư., dưới) của G (t.ư., H) được gọi là biên trên (t.ư., biên dưới) và kí hiệu là @+G (t.ư., @ H) Xem minh họa ở Hình 1.2

biênủa

H G

(ii) Giả sử H [a; b] là tập đóng, đối chuẩn với b 2 intH: Khi đó với mỗi điểm

z 2 [a; b] n H đường thẳng đi qua z và b cắt @ H tại một điểm duy nhất

H (z) xác định bởi công thức

H (z) = b (z b); = maxf j > 0; b (z b) 2 Gg: (1.3)

Bao chuẩn (t.ư., bao đối chuẩn) của tập A [a; b] được xác định là tập

chuẩn (t.ư., đối chuẩn) nhỏ nhất chứa A:

Giả sử P (t.ư., Q) là bao chuẩn (t.ư., đối chuẩn) của tập hữu hạn T [a; b]: Khi

đó P (t.ư., Q) được gọi là một đa khối (t.ư., đối đa khối) với tập đỉnh T Từ Mệnh

đề 1 trong [41] ta có đa khối P = [z2T [a; z] (t.ư., đối đa khối Q = [z2T [z; b]) Đỉnh

z 2 T của polyblock P (t.ư., đối đa khối Q) được gọi là đỉnh chính nếu không

tồn tại một đỉnh z0 6= z; sao cho z0 z (t.ư., z0 z) Đỉnh không chính là đỉnh

thuộc T và không phải đỉnh chính Đương nhiên một đa khối (t.ư., đối đakhối) được xác định hoàn toàn bởi tập đỉnh chính của nó; hay nói cách khác

đa khối (t.ư., đối đa khối) chính là bao chuẩn (t.ư., bao đối chuẩn) của tậpđỉnh chính của nó Xem minh họa ở Hình 1.3, 1.4

Trường hợp P 0 = S

[a; z) (t.ư., Q0 = S

(z; b]) thì ta gọi P 0 (t.ư., Q0) là đa khối

nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) với tập đỉnh T: Và tương tự, ta có các

khái niệm đỉnh chính và đỉnh không chính của đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở); một đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) cũng hoàn

toàn được xác định nếu biết tập các đỉnh chính của nó

(i) Giao của một số hữu hạn các đa khối cũng là một đa khối.

(ii) Giao của một số hữu hạn các đối đa khối cũng là một đối đa khối Chứng minh Giả sử P1 = [y2T 1 [a; y]; P2 = [z2T 2 [a; z]: Khi đó ta có P = P1

\P2 = [y 2T 1 ;z2T 2 [a; y ^z]: Như vậy P là đa khối với tập đỉnh fy ^z; y 2 T1; z 2

T2g: Tương tự, nếu T1; T2 là các tập đỉnh của các đối đa khối Q1; Q2 thì

Q1 \ Q2 là một đối đa khối với tập đỉnh fy _ z; y 2 T1; z 2 T2g:

Mệnh đề 1.5 (Xem [41, Mệnh đề 3])

(i) Cực đại của hàm tăng f(x) trên một đa khối đạt được trên một đỉnh chính của đa khối đó.

(ii) Cực tiểu của hàm tăng f(x) trên một đối đa khối đạt được trên một đỉnh chính của đối đa khối.

Mệnh đề sau tương tự như [41, Bổ đề 4]

Chú ý 1.2 Các kết quả trong Mệnh đề 1.4 và 1.6 cũng đúng cho trường

hợp đa khối nửa mở và đối đa khối nửa mở.

Mệnh đề 1.7 Cho f(x) là một hàm tăng trên [a; b]: Khi đó

(i) Mỗi đỉnh chính của đa khối P trong [a; b] đều là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán maxff(x)jx 2 P g:

(ii) Mỗi đỉnh chính của đối đa khối Q trong [a; b] đều là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán minff(x)jx 2 Qg:

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh (i) Gọi z là một đỉnh chính bất kì của P

Do tập các đỉnh chính của P là hữu hạn nên tồn tại một quả cầu B(z; ")

tâm z; bán kính " không chứa bất kì đỉnh chính nào khác Chú ý rằng, f(x)đạt cực đại trên [a; z] tại z nên f(y) f(z) với mọi y 2 B(z; ") \ [a; z] = B(z; ") \

P Do đó z là cực đại địa phương của f(x) trên P

Cho f; g; h là các hàm tăng trên [a; b] Rn+: Bài toán tối ưu đơn điệu chính

tắc, kí hiệu là (MO), được phát biểu như sau

maxff(x) j g(x) 0 h(x); x 2 [a; b]g: (MO)

Giả sử S Rs+; với s n; là một tập rời rạc Khi đó bài toán

maxff(x) j g(x) 0 h(x); x 2 [a; b]; (x1; : : : ; xs) 2 Sg (DMO)

được gọi là bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc chính tắc.

17

Chú ý 1.3 (i) Bài toán cực tiểu đơn điệu

có dạng giống như bài toán (MO)

(ii) Bài toán tối ưu đơn điệu tổng quát

maxff(x) j g(x) 0 h(x); x 2 [a; b]g;

trong đó f(x) = f+(x) f (x) và f+; f ; g; h : Rn+ ! R là các hàm tăng cũng đưa được về dạng chính tắc (MO) Chi tiết, xem [2, trang 397]

(iii) Các ý (i) và (ii) cũng đúng cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc

Giả sử f(x); g(x) là các hàm nửa liên tục trên và h(x) là hàm nửa liên tục dưới.Khi đó tập G = fx 2 [a; b] j g(x) 0g là tập chuẩn, compact còn H = fx 2 [a; b] j h(x)0g là tập đối chuẩn compact và bài toán (MO) tương đương với bài toán sau

Đặt S = fx 2 [a; b] j (x1; : : : ; xs) 2 Sg: Khi đó bài toán (DMO) trở thành

maxff(x) j x 2 G \ H \ S g:

Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối giải bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc

Theo [42, Mệnh đề 7], sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đơn điệuchính tắc (MO’) được mô tả trong kết quả sau

Mệnh đề 1.8 Nếu tập G \ H 6= ; thì bài toán (MO’) có ít nhất một nghiệm

thuộc @+G \ H:

Tương tự như mối quan hệ giữa tập lồi compact và đa diện lồi, mối quan hệ giữa tập chuẩn compact và đa khối được mô tả bởi Mệnh đề 1.9 và Hệ quả 1.1 sau đây.

Mệnh đề 1.9 (Xem [2, Mệnh đề 11.12, trang 398]) Cho tập G [a; b] là tập chuẩn,

compact và z 2 [a; b] n G; y = G(z): Khi đó đa khối P = [ni=1[a; ui]; với các đỉnh

ui = b + (yi bi)ei; i = 1; : : : ; n

tách chặt z và G; tức là P G; z 2 P n G:

Hình 1.5: Minh họa Mệnh đề 1.9

Hình 1.5 minh họa hình học của Mệnh đề 1.9 trong R2:

Hệ quả 1.1 (Xem [2, Hệ quả 11.1, trang 398]) Mọi tập chuẩn compact là

giao của một họ các đa khối Nói cách khác, mỗi tập chuẩn compact đều có

thể được xấp xỉ bởi một đa khối với độ sai khác tùy ý.

Từ những kết quả trên ta thấy rằng bài toán (MO’) có thể được giải bằng cách xấp

xỉ ngoài miền chấp nhận được bởi dãy các đa khối lồng nhau fP k g k2N thỏa mãn

và

maxff(x) j x 2 Pkg & maxff(x) j x 2 G \ Hg khi Pk & G \ H:

Nội dung của thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối được mô tả chi tiết trong [42, 41] Một trong những vấn đề mấu chốt của thuật toán đó là cách xây dựng dãy fPkgk2N: Quy trình này được mô tả như sau Đặt P0 = [a; b] G: Giả sử tại bước lặp k ta đã có Pk G với tập đỉnh Tk: Đặt Tk0 = Tk \ H: Nếu Tk0 = ; thì bài toán không chấp nhận được và ta dừng thuật toán Ngược lại, lấy zk 2 argmaxff(x) j x 2 Tk0g: Vì f(x) là

19

hàm tăng nên f(zk) là giá trị cực đại của f(x) trên Pk \ H G \ H: Nếu zk 2 G thìdừng thuật toán vì zk 2 G \ H chính là nghiệm tối ưu của bài toán Trườnghợp còn lại, zk 2= G thì ta tính xk = G(zk) và đặt Pk+1 = ([a; b] n (xk; b]) \ Pk:Theo Mệnh đề 1.6, [a; b] n (xk; b] là một đa khối Do đó Pk+1 cũng là một đakhối và thỏa mãn G Pk+1 Pk n fzkg: Tiếp tục lặp lại quá trình trên ta sẽ thiếtlập được dãy đa khối fPkgk2N thỏa mãn (1.7).

Cách làm trên khá giống với phương pháp xấp xỉ ngoài cho bài toán cực đại một

hàm lồi trên một tập lồi Vì vậy nó còn được gọi là Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối

(xem [41, 42]) Dãy điểm fxk gk2N được sinh ra trong quá trình xây dựng dãy đa khối

fPkgk2N (fPkgk2N thỏa mãn (1.7)) sẽ hội tụ đến nghiệm của bài toán (MO’), tuy nhiên

sự hội tụ là khá chậm Để tăng tốc thuật toán, các tác giả của bài báo [41] đề xuất phép cắt giảm hộp để thu gọn miền chấp nhận được và tính cận tốt hơn.

Ý tưởng của phép cắt giảm

Giả sử 2 f(G \ H) là một giá trị chấp nhận được tốt nhất hiện tại Ta cầnkiểm tra xem liệu hộp [p; q] [a; b] có khả năng chứa ít nhất một nghiệm tối

ưu của bài toán (MO’) hay không, tức là tập

Mệnh đề 1.10 (Xem [2, Bổ đề 11.1, trang 400])

(i) Nếu g(p) > 0 hoặc h (q) < 0 thì không tồn tại x 2 [p; q] thỏa mãn (1.9).

(ii) Nếu g(p) 0 thì hộp [p; q0] với q0 = p + P

in=1 i(qi pi)ei;

i = supf j 01; g(p + (qi pi)ei) 0g; i = 1; : : : ; n; (1.10)

vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp [p; q] thỏa (1.9).

(iii) Nếu g(p) 0 h (q) thì hộp [p0; q0] với p0 = q0 P

in=1 i(qi0 pi)ei; với

i = supf j 0 1; h (q0 (q0 p)ei) 0 ; i = 1; : : : ; n; (1.11)

vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp [p; q] thỏa (1.9).

Đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc (DMO), phép cắt giảm có thểđược điều chỉnh phù hợp với tập S: Để có thể cắt hộp [p; q] gọn hơn trường

hợp bài toán tối ưu liên tục (MO), ta cần khái niệm S-hiệu chỉnh dưới đây Xét hộp [p; q] [a; b]; x 2 [p; q]: Phép S-hiệu chỉnh dưới của x là điểm

Dựa trên [41, Mệnh đề 13], đối với bài toán (DMO), hộp [p; q] sau khi được cắt giảm và S hiệu chỉnh trở thành redS [p; q] = [dp0eS ; bq0cS ] (tất nhiên, trong trường hợp red [p; q] 6= ;; nghĩa là g(p) 0 h (q)) Do đó thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán (MO) có thể được mở rộng cho bài toán (DMO) cùng với phép toán

cắt giảm và S hiệu chỉnh Chi tiết thuật toán cùng sự hội tụ của thuật toán (xem [41, Thuật toán 1 và Định lí 15])

Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát và thuật toán nhánh-giảm-cận

Xét bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát

maxff(x) j g(x) h(x) 0; x 2 [a; b] \ S g; (DDM)

trong đó f(x) = f+(x) f (x) và f+; f ; g; h : Rn+ ! R là các hàm tăng, S =

fx 2 [a; b] j (x1; : : : ; xs) 2 Sg với S là một tập rời rạc trong Rs+: Để áp dụng được Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán (DDM) trước hết ta cần đưa nó về dạng chính tắc như bài toán (DMO) Việc này sẽ làm tăng số chiều của biến quyết định, không những vậy, sau mỗi bước lặp số đỉnh của đa khối tăng lên rất nhanh chóng Lí

21

do là thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối có thể xem như thuật toán nhánh cận vớiphép chia n (mỗi nút được chia thành n nút con, n là số chiều của biến quyếtđịnh) Vì vậy các tác giả của bài báo [41] đã đề xuất một thuật toán có thể giải trựctiếp cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát Đó là thuật toán nhánh-giảm-cận Ba kĩ thuật quan trọng trong thuật toán này là phép chia nhánh, phép cắtgiảm và phép tính cận Các kĩ thuật này được mô tả chi tiết như dưới đây.

CHIA NHÁNH: Một trong những cách chia hộp phổ biến thường được sử dụng trong các lược đồ nhánh cận là phép chia đôi Giả sử M = [p; q]; xác định

iM 2 f1; :::; ng thỏa qi M pi M = maxi2f1;:::;ng(qi pi); đặt ri M = (qi M +pi M )=2 vàchia M thành hai hộp con

Mệnh đề 1.11 (Xem [41, Bổ đề 16]) Giả sử bài toán (DDM) có ít nhất

một nghiệm chấp nhận được x 2 [p; q] thỏa f(x) : Khi đó

với mọi i = 1; : : : ; n:

TÍNH CẬN: Với hộp M = [p; q] cho trước, tại mỗi bước lặp cần tính cậntrên !(M) thỏa

!(M) (M) = maxff(x) j g(x) h(x) 0; x 2 M \ S g:

Theo [41] để đảm bảo được tính hội tụ của thuật toán, với mọi dãy hộp

fMk g 2N thắt dần2 về điểm x , điều kiện sau cần được thỏa mãn

lim !(Mk ) = f(x ): (1.18)

!+1

Đối với bài toán (DDM), một cách lấy cận trên đơn giản nhất và đảmbảo tính hội tụ của thuật toán là !(M) = f+(q) f (p): Tuy nhiên cách nàychưa chắc đã hiệu quả Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể ta có cáchtính cận phù hợp sao cho thuật toán chạy nhanh nhất có thể

Sau đây là chi tiết thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán (DDM) (xem [41,Thuật toán 2])

Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán (DDM)

Khởi tạo: Đặt P1 := fM1g; M1 = [a; b]; R1 = ;: Gọi CBV là giá trị hàm

mục tiêu tốt nhất hiện tại Gán k := 1:

Bước 1 Với mỗi hộp [p; q] 2 Pk; nếu h(q) g(p) < 0 thì loại hộp [p; q] ra khỏi tập Pk; ngược lại gán [p; q] := redS [p; q]:

Ngược lại, chuyển sang Bước 3.

Bước 3 Cập nhật CBV mới và đặt Rk+1 = fB 2 Rk [ Pkj!(B) CBV g;

Bước 4 Nếu Rk+1 = ; thì dừng thuật toán: nếu CBV = thì bài toán

không có nghiệm chấp nhận được nào, ngược lại x là nghiệm tối ưu

của bài toán với f(x) = CBV:

hai hộp Mk 1 ; Mk 2 theo quy tắc đã trình bày ở trên Đặt Pk+1 = fMk 1 ; Mk 2

g: Gán k := k + 1 và quay lại Bước 1.

Định lí sau đảm bảo sự hội tụ của thuật toán BRB

2 Dãy hộp fMk g 2N được gọi là thắt dần về điểm x nếu Mk1 Mk2 fx g và lim d(Mk ) = 0; trong đó d(Mk ) là cạnh dài nhất của hộp Mk ; 2 N:

!+1

23

Định lí 1.4 (Xem [41, Định lí 17]) Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán

(DDM) dừng sau hữu hạn bước lặp và cho kết quả là: nghiệm tối ưu; hoặc tính không chấp nhận được của bài toán; hoặc (trong trường hợp s < n) thuật toán sinh ra một dãy vô hạn các nghiệm chấp nhận được hội tụ đến nghiệm tối ưu của bài toán.

Với tối ưu đơn điệu, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản như: tập chuẩn, đối chuẩn, đa khối, đối đa khối, đa khối nửa mở, đối đa khối nửa mở, và một số kết quả liên quan Một số dạng khác nhau của bài toán tối ưu đơn điệu cùng thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc và thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát cũng được nhắc lại

kể của toán học nói chung và lí thuyết tối ưu nói riêng Trên thực tế, các bài toán tối

ưu trong xây dựng và điều khiển mạng viễn thông thuộc vào lớp các bài toán tối ưu không lồi Nhiều bài toán đã được giải quyết một cách trọn vẹn, tuy nhiên vẫn còn rất nhiều bài toán mở Một thuật toán toàn cục hiệu quả hoặc một phương pháp tối ưu địa phương tốt luôn là đích đến của các nhà mạng Trong chương này chúng tôi trình bày hai bài toán như vậy và đề xuất thuật toán toàn cục để giải chúng.

Trong Mục 2.1, chúng tôi xây dựng mô hình toán học cho bài toán phân

bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD và đề xuất thuật toán toàncục nhánh cận kết hợp DCA giải bài toán này

Mục 2.2 xét bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vôtuyến Xuất phát từ mô hình bài toán tối ưu không lồi xây dựng bởi Astorino

và Miglionico [38], chúng tôi đưa bài toán này về dạng một bài toán tối ưuđơn điệu rời rạc và đề xuất thuật toán toàn cục nhánh-giảm-cận cải tiến vàmột thuật toán tìm nghiệm tối ưu địa phương cho bài toán

Kết quả tính toán thử nghiệm cho thấy được sự hiệu quả của các thuật toán đề xuất Nội dung chính của Mục 2.1 và Mục 2.2 là kết quả tương ứng trong các bài báo

[1] và [3] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án

2.1 Thuật toán giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD

Kĩ thuật truyền phát OFDMA/TDD (Orthogonal Frequency Division Multiple Access/ Time Division Duplexing) ngày nay được ưa chuộng và ứng dụng rộng rãi trong công nghệ mạng không dây băng thông rộng thế hệ thứ tư như: mạng Wimax (Worldwide Interoperability for Microwave Access) hay LTE (Long Term Evolution) OFDMA là tổ hợp của TDMA và FDMA (trong đó dữ liệu có thể được truyền đồng

thời trong một miền thời gian và miền tần) Với người khai thác mạng viễn thông, việc tận dụng các kênh truyền dữ liệu một cách hiệu quả rất quan trọng vì nguồn tài nguyên vô tuyến là hữu hạn, hơn nữa lại ảnh hưởng tới lợi nhuận thu được Người

sử dụng thì quan tâm tới chất lượng dịch vụ (Quality of Service hoặc QoS) sao cho việc liên lạc không bị ngắt hoặc gián đoạn trong bất kì thời điểm nào Bài toán đặt ra cho các nhà cung cấp mạng là làm sao cải tiến, tối đa hóa được thông lượng đường truyền nhằm nâng cao chất lượng dịch vụ trong khi vẫn đảm bảo lợi nhuận thu được (xem [47, 48]) Để đạt được điều này nhà cung cấp mạng có thể khai thác một chức năng của lớp MAC (Media Access Control) của hệ thống mạng OFDMA đó là chức năng phân bổ tài nguyên vô tuyến Theo đó, tài nguyên vô tuyến được phân bổ cho người dùng sao cho tối đa được thông lượng đường truyền Một số công trình liên quan đến vấn đề này được nghiên cứu gần đây (xem [49, 50, 51, 52] ) Trong các công trình này, bài toán tối ưu tài nguyên mới chỉ được xem xét dưới góc độ của người kĩ sư vô tuyến, thực hiện triển khai theo kinh nghiệm cá nhân Một số tiếp cận theo hướng heuristic đã được đề xuất, tuy nhiên chất lượng của nghiệm thu được rất khó để đánh giá Trong luận án này, chúng tôi bước đầu xây dựng mô hình toán học cho bài toán được quan tâm - bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD Tiếp đó chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận toàn cục dựa trên tối ưu

DC với kĩ thuật hàm phạt được nhúng trong một sơ đồ nhánh cận để giải bài toán trên Các kết quả thử nghiệm số cho thấy tính hiệu quả của thuật toán đề xuất.

Giả sử trên một mạng không dây OFDMA/TDD có K người dùng, chia sẻ Mkênh con (sub-channel) và N khe thời gian (time slot) Khi người dùng nào đócần sử dụng dịch vụ, anh ta cần được cấp phát một lượng tài nguyên phù hợp.Nếu trong cùng thời điểm hoặc tại cùng một khe thời gian có nhiều hơn mộtngười dùng thì có thể xảy ra những xung đột Xem minh họa ở Hình 2.1

Kí hiệu bijk; 1 i M; 1 j N; 1 k K là lượng dữ liệu mà người dùng k cần gửi

đi nếu anh ta được cung cấp kênh con i tại khe thời gian j: Bài toán đặt ra làtìm cách phân bổ tài nguyên vô tuyến cho khung OFDMA/TDD này sao chobăng thông được sử dụng một cách hiệu quả nhất (xem [53]) Tức là tổnglượng dữ liệu được truyền đi lớn nhất

Việc truyền dữ liệu phải thỏa mãn hai điều kiện:

Tại một thời điểm (đặc trưng bởi một khe thời gian) và một kênh con nào đó sẽ

có tối đa một người dùng (điều này để tránh xung đột giữa các người dùng).Tài nguyên (dữ liệu) cấp cho các người dùng sẽ có dạng hình chữ nhật (theo tiêu chuẩn IEEE802.16e của mạng WiMAX)

26

Hình 2.1: Khung OFDMA/TDD mô tả xung đột giữa hai người dùng

Bằng cách xây dựng các biến nhị phân

xijk 2 f0; 1g với 1 i M; 1 j N; 1 k K (2.1)với quy ước

=1 i=1 j=1

Hiệu quả băng thông được đánh giá thông qua tổng lượng dữ liệu được truyền đi

Lượng này càng lớn, hiệu quả băng thông càng cao

Điều kiện để đảm bảo chỉ có tối đa một người dùng tại một kênh con vàmột khe thời gian được mô tả bởi ràng buộc bất đẳng thức

người dùng k ; k 2 f1; : : : ; Kg; phải có dạng hình chữ nhật Nghĩa là nếu xi 1 j 1 k =

= 1; i1; i2 2 f1; : : : ; Mg; j1; j2 2 f1; : : : ; Ng; (i1; j1) =6 (i2; j2) (hai ô dữ liệu

(i1; j1) và (i2; j2) được cấp cho người dùng k ) thì toàn bộ các ô dữ liệu tronghình chữ nhật nhận (i1; j1) và (i2; j2) làm đỉnh cũng sẽ được cấp cho ngườidùng k ; hay nói cách khác

xijk = 1; 8 minfi1; i2g i maxfi1; i2g; minfj1; j2g j maxfj1; j2g:Xem minh họa ở Hình 2.2

*

(i j )

*1,, 1

(i j )

*

Hình 2.2: Tài nguyên cấp phát cho một người dùng là khung hình chữ nhật nhận

(i1; j1) và (i2; j2) là đỉnh nếu anh ta được cấp hai nút này

Chú ý rằng, nếu ta có T + 2 biến nhị phân bao gồm y; z và x1; x2; : : : xT thỏa mãn

T (y + z 1)xi , T (y + z 1) xi 0

thì: y = z = 1 sẽ kéo theo xi = 1 với mọi i 2 f1; : : : ; T g: Áp dụng kĩ thuật này,

ta thiết lập được ràng buộc tổng quát sau: