Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụng

Sü hëi tö trong khæng gian metric.. Khæng gian metric ¦y õ.. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng v ùng döng.. Khæng gian metric ¦y õ theo quÿ ¤o... Lþ thuy¸t iºm b§t ëng l

Trang 1

I HÅC THI NGUYNTR×ÍNG I HÅC S× PHM

Trang 2

I HÅC THI NGUYNTR×ÍNG I HÅC S× PHM

Trang 3

Líi cam oan

Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trungthüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c Tæi công xin cam oan r¬ng måi

sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thængtin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc

Trang 4

Líi c£m ìn

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u sc tîi TS Bòi Th¸ Hòng, ng÷íi th¦y tªn t¼nh h÷îng d¨ntæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n

n y

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n còng to n thºc¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng HSP Th¡i Nguy¶n ¢ truy·n thö cho tæi nhúngki¸n thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v cho tæi nhúng þ ki¸n ânggâp quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n

B£n luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t v¼vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡cb¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn

Cuèi còng xin c£m ìn gia ¼nh v b¤n b± ¢ ëng vi¶n, kh½ch l» tæitrong thíi gian håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019

T¡c gi£

L¶ ¼nh Quýnh

Trang 5

Möc löc

Líi cam oan i

Líi c£m ìn ii

Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt iv

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach 3

1.1 ành ngh¾a v v½ dö 3

1.2 Sü hëi tö trong khæng gian metric 4

1.3 Khæng gian metric ¦y õ 6

1.4 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach 6

Ch÷ìng 2 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng v ùng döng 15

2.1 Khæng gian metric ¦y õ theo quÿ ¤o 15

2.2 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tüa co 16

2.3 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tüa co suy rëng 21

2.4 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng 25

2.5 Ùng döng 31

K¸t luªn 34

T i li»u tham kh£o 35

Trang 6

O(x; ∞) quÿ ¤o cõa ¡nh x¤ T t¤i iºm x

B(S) tªp t§t c£ c¡c h m thüc bà ch°n tr¶n S vîi chu©n supremum

2 k¸t thóc chùng minh

Trang 7

Mð ¦u

Lþ thuy¸t iºm b§t ëng v ùng döng l l¾nh vüc nghi¶n cùu h§p d¨ncõa to¡n håc hi»n ¤i ¥y l l¾nh vüc ¢ v ang thu hót ÷ñc sü quant¥m cõa r§t nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc Lþ thuy¸t iºm b§t

ëng l mët cæng cö quan trång º nghi¶n cùu c¡c hi»n t÷ñng phi tuy¸nt½nh Nâ câ nhi·u ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau cõa To¡nhåc nh÷ sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi, t½ch ph¥n, h» ph÷ìngtr¼nh tuy¸n t½nh, ph÷ìng tr¼nh h m, quÿ ¤o âng cõa h» ëng lüc, Hìn núa, nâ cán câ nhi·u ùng döng trong c¡c ng nh khoa håc kh¡c nh÷khoa håc m¡y t½nh, lþ thuy¸t i·u khiºn, lþ thuy¸t trá chìi, vªt lþ to¡n,sinh håc, kinh t¸, Sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng

câ thº nâi bt nguçn tø nhúng ùng döng rëng r¢i cõa nâ

Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach l trung t¥m cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëngtr¶n khæng gian metric Sü ra íi cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach còngvîi ùng döng cõa nâ ¢ mð ra sü ph¡t triºn mîi cõa mët lþ thuy¸t iºmb§t ëng metric Lþ thuy¸t iºm b§t ëng metric ph¡t triºn chõ y¸u theo

ba v§n · sau: Mð rëng c¡c i·u ki»n co cho c¡c ¡nh x¤; mð rëng c¡c

ành lþ iºm b§t ëng ¢ bi¸t l¶n c¡c khæng gian câ c§u tróc t÷ìng tükhæng gian metric; v t¼m c¡c ùng döng cõa chóng èi vîi v§n · mðrëng i·u ki»n co cõa ¡nh x¤, chóng ta ¢ bi¸t ÷ñc nhúng lîp ¡nh x¤

co ti¶u biºu ÷ñc kº ¸n nh÷ cõa Pant- Singh-Mishra [3], Popescu [5],Mot- Perusel [6], Rhoades [7], Singh- Mishra [8], Suzuki [9], N«m 1974,Ciric [1] ¢ chùng minh ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co tr¶nkhæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o N«m 2015, Kumam- Dung-Sitthithakerngkiet [2] ¢ chùng minh ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤

Trang 8

tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o K¸t qu£

n y l mð rëng k¸t qu£ cõa Ciric [1] N«m 2017, Pant [4] ¢ chùng minh

ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng tr¶n khæng gianmetric T - ¦y õ theo quÿ ¤o K¸t qu£ n y l mð rëng c¡c k¸t qu£ cõaCiric [1] v Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2]

Möc ½ch cõa luªn v«n l giîi thi»u l¤i mët sè k¸t qu£ nghi¶n cùu cõac¡c t¡c gi£ Ciric [1], Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] v Pant [4] v·

ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co, tüa co suy rëng v nûa tüa cosuy rëng tr¶n khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o

Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v

t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m v· khæng gian metric v nguy¶n

lþ ¡nh x¤ co Banach Ngo i ra chóng tæi cán tr¼nh b y mët sè mð rëng ðd¤ng ìn gi£n cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach

Ch÷ìng 2 d nh cho vi»c tr¼nh b y kh¡i ni»m khæng gian metric ¦y

õ theo quÿ ¤o v mët sè ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co, tüa

co suy rëng v nûa tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric ¦y õ theoquÿ ¤o Ngo i ra, mët ùng döng v o b i to¡n quy ho¤ch ëng công ÷ñctr¼nh b y trong ch÷ìng n y

Trang 9

1.1 ành ngh¾a v v½ dö

ành ngh¾a 1.1.1 Gi£ sû X l tªp hñp kh¡c réng H m d : X × X → R

÷ñc gåi l metric tr¶n X n¸u thäa m¢n

(i) d(x, y) ≥ 0 vîi måi x, y ∈ X v d(x, y) = 0 ⇔ x = y

(ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) vîi måi x, y, z ∈ X

Khi â c°p (X, d) gåi l khæng gian metric

V½ dö 1.1.2 Tr¶n C[0,1], x²t h m sè d : C[0,1] × C[0,1] →R bði

d(x, y) =

Z 1 0

|x(t) − y(t)|dt, vîi måi x, y ∈ C[0,1]

Ta câ

d(x, y) =

Z 1 0

|x(t) − y(t)|dt ≥ 0, vîi måi x, y ∈ C[0,1].Gi£ sû

d(x, y) =

Z 1 0

|x(t) − y(t)|dt = 0

Trang 10

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi

x(t) = y(t), vîi måi t ∈ [0, 1]

i·u n y chùng tä x = y M°t kh¡c, ta l¤i câ

d(x, y) =

Z 1 0

|x(t) − y(t)|dt

=

Z 1 0

|x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|dt

≤

Z 1 0

|x(t) − z(t)|dt +

Z 1 0

|z(t) − y(t)|dt

= d(x, z) + d(z, y)

vîi måi x, y, z ∈ C[0,1] Vªy trong (C[0,1], d) l khæng gian metric

1.2 Sü hëi tö trong khæng gian metric

ành ngh¾a 1.2.1 Cho (X, d) l khæng gian metric, {xn} l mët d¢y c¡cph¦n tû cõa X, ta nâi {xn} hëi tö ¸n z ∈ X n¸u

limn→∞d(xn, z) = 0

Ta k½ hi»u lim

n→∞xn = z ho°c xn → z khi n → ∞

ành lþ 1.2.2 Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric Khi â

(i) Giîi h¤n cõa mët d¢y (n¸u câ) l duy nh§t

(ii) N¸u limn→∞xn = a; lim

n→∞yn = b th¼ limn→∞d(xn, yn) = d(a, b).Chùng minh (i) Trong X gi£ sû limn→∞xn = a; lim

n→∞yn = b Ta câd(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b) vîi måi n

Cho n → ∞ ta thu ÷ñc d(a, b) = 0 i·u n y k²o theo a = b

(ii) Vîi måi n ta ·u câ

d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, yn) + d(yn, b)

Trang 11

|d(xn, yn) − d(a, b)| ≤ d(a, xn) + d(yn, b).

Theo gi£ thi¸t, lim

n→∞|xn− a| = 0

V½ dö 1.2.4 Cho d¢y {x(k) = (x(k)1 , , x(k)n )}∞k=1 trong khæng gian Rn vîikho£ng c¡ch Euclide v x(0) = (x(0)1 , , x(0)n ) ∈R Khi â

limk→∞x(k) = x(0) ⇔ lim

Ta th÷íng gåi sü hëi tö trong khæng gian Rn l sü hëi tö theo tåa ë.V½ dö 1.2.5 Trong khæng gian CL

[a,b], d¢y h m sè {xn}∞n=1 hëi tö ¸n h m

sè x0 ∈ C[a,b] câ ngh¾a l

Trang 12

1.3 Khæng gian metric ¦y õ

ành ngh¾a 1.3.1 Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric D¢y {xn}c¡c ph¦n

tû cõa X ÷ñc gåi l d¢y Cauchy (cì b£n ) n¸u lim

m,n→∞d(xm, xn) = 0

ành ngh¾a 1.3.2 Khæng gian metric X ÷ñc gåi l khæng gian metric

¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy c¡c ph¦n tû cõa X ·u hëi tö trong nâ.V½ dö 1.3.3 R,C vîi metric tü nhi¶n l c¡c khæng gian metric ¦y õ.V½ dö 1.3.4 Rn vîi metric Euclide l khæng gian metric ¦y õ

Chùng minh Gi£ sû {x(k) = (x(k)1 , , x(k)n )}, k = 1, 2, l mët d¢y Cauchytrong Rn Khi â lim

m,k→∞d(x(k), x(m)) = 0, tùc l

limm,k→∞

vuut

xi(k)− xi(m)

= 0 vîi måi i ∈ {1, 2, , n}

Nh÷ vªy, vîi méi i ∈ {1, 2, , n}, d¢y {x(k)

i } l mët d¢y Cauchy trong

R n¶n nâ s³ hëi tö v· mët ph¦n tû x(0)

i ∈ R °t x(0) = (x(0)1 , , x(0)n ).Khi â x(0) ∈ Rn V¼ sü hëi tö trong Rn l hëi tö theo tåa ë n¶n ta câlim

k→∞x(k) = x(0) Vªy Rn l ¦y õ

1.4 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach

ành ngh¾a 1.4.1 iºm x0 ∈ X ÷ñc gåi l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤

T : X → X n¸u T x0 = x0

ành lþ d÷îi ¥y ch½nh l nguy¶n lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ coBanach (1922)

Trang 13

ành lþ 1.4.2 Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric ¦y õ v ¡nh x¤

T : X → X thäa m¢n i·u ki»n co sau

d(T x, T y) ≤ rd(x, y), vîi måi x, y ∈ X,trong â r ∈ [0, 1) l h¬ng sè Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X.Hìn núa, vîi méi x ∈ X, limn→∞Tnx = x∗

Chùng minh L§y x0 ∈ X cè ành Ta x¥y düng d¢y {xn}n≥1 bði cængthùc xn = T xn−1 vîi måi n ≥ 1 Ta câ

Vªy d¢y {xn} l d¢y Cauchy trong X V¼ X ¦y õ n¶n tçn t¤i mët ph¦n

tû x∗ ∈ X sao cho lim

n→∞xn = x∗ V¼ T li¶n töc n¶n

x∗ = limn→∞xn+1 = lim

n→∞T xn = T ( lim

n→∞xn) = T x∗.Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T º k¸t thóc ta s³ chùng minh x∗

l duy nh§t Thªt vªy, gi£ sû y∗ l mët iºm b§t ëng cõa T Khi â tacâ

d(x∗, y∗) = d(T x∗, T y∗) ≤ rd(x∗, y∗)

Suy ra d(x∗, y∗) = 0 hay x∗ = y∗

Trang 14

ành lþ 1.4.3 Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric compact v ¡nh x¤

T : X → X thäa m¢n i·u co sau

d(T x, T y) < d(x, y), vîi måi x, y ∈ X, x 6= y

Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X

Chùng minh Vîi méi x0 ∈ X, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc

xn = Tnx0, vîi måi n ≥ 1 °t dn = d(xn, xn+1) Khi â

dn+1 = d(xn+1, xn+2) = d(T xn, T xn+1) ≤ d(xn, xn+1) = dn

Vªy d¢y {dn} ìn i»u gi£m v bà ch°n d÷îi bði 0 n¶n tçn t¤i d∗ ∈ R saocho limn→∞dn = d∗ M°t kh¡c, v¼ X l compact n¶n tçn t¤i d¢y con {xn i}cõa {xn} v x∗ ∈ X sao cho lim

i→∞xni = x∗ Khi â ta câd(T xni, T x∗) ≤ d(xni, x∗), i = 1, 2,

i→∞d(T2xni, T xni) = d(T2x∗, T x∗)

i·u n y chùng tä d(T xn i, xni) = dni → d∗ = d(T x∗, x∗)(i → ∞)

Ta s³ chùng minh r¬ng T x∗ = x∗ Gi£ sû T x∗ 6= x∗ Khi â d∗ 6= 0 Hìnnúa, ta l¤i câ

d∗ = d(T x∗, x∗) > d(T2x∗, T x∗)

= limi→∞d(T2xni, T xni)

= limi→∞dni+1

= d∗

i·u n y m¥u thu¨n Vªy T x∗ = x∗ v x∗ l iºm b§t ëng cõa T T½nhduy nh§t iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T l hiºn nhi¶n

Trang 15

d(T x, T y) ≤ r(d(T x, x) + d(T y, y)), vîi måi x, y ∈ X,

trong â r ∈ [0, 1

2) l h¬ng sè Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X.Hìn núa, vîi méi x ∈ X, ta câ lim

n→∞Tnx = x∗.Chùng minh Vîi méi x0 ∈ X, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc

xn = Tnx0 vîi måi n ≥ 1 Khi â ta câ

n,m→∞d(xn, xm) = 0 Vªy {xn} l d¢y Cauchy trong X V¼ X ¦y

õ, tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho lim

n→∞xn = x∗ M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùcd(T x∗, x∗) ≤ d(T xn, T x∗) + d(T xn, x∗)

Trang 16

i·u n y k²o theo d(T x∗, x∗) = 0 Tùc l T x∗ = x∗ Vªy x∗ l mët iºmb§t ëng cõa T

Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ X sao cho T y∗ = y∗ Khi â ta câ

d(x∗, y∗) = d(T x∗, T y∗) ≤ r(d(x∗, x∗) + d(y∗, y∗)) = 0

Suy ra x∗ = y∗ Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa duy nh§t cõa T

d(T x, T y) ≤ r(d(T x, y) + d(T y, x)), vîi måi x, y ∈ X,

2) l h¬ng sè Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X.Hìn núa vîi méi x ∈ X, limn→∞Tnx = x∗

Chùng minh Vîi x0 ∈ X, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc

xn = Tnx0, vîi måi n ≥ 1 Khi â ta câ

Trang 17

Suy ra limn,m→∞d(xn, xm) = 0 Vªy {xn} l d¢y Cauchy trong X V¼ X l

¦y õ, tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho limn→∞xn = x∗ M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc

d(T x, T y) ≤ r max{d(T x, x); d(T y, y)} vîi måi x, y ∈ X,

trong â r ∈ [0, 1) l h¬ng sè Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X.Hìn núa, vîi méi x ∈ X, ta câ lim

n→∞Tnx = x∗.Chùng minh Vîi méi x0 ∈ X, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc

xn = Tnx0 vîi måi n ≥ 1 N¸u tçn t¤i n ∈ N sao cho xn+1 = xn th¼ xnch½nh l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T Gi£ sû xn+1 6= xn vîi måi n ∈ N

Trang 18

Khi â ta câ

Trang 19

d(T x, T y) ≤ r max{d(T x, y); d(T y, x)} vîi måi x, y ∈ X,

2) l h¬ng sè Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X.Hìn núa vîi méi x ∈ X, ta câ limn→∞Tnx = x∗

Chùng minh Vîi méi x0 ∈ X, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc

xn = Tnx0 vîi måi n ≥ 1 Khi â ta câ

d(xn+1, xn) ≤ hnd(x1, x0), vîi måi n ∈ N.Vîi m > n ta câ

≤ r max{d(T xn, x∗); d(T x∗, xn)} + d(xn+1, x∗)

= r max{d(xn+1, x∗); d(T x∗, xn)} + d(xn+1, x∗)

Trang 21

Ch÷ìng 2

ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng v ùng döng

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ành lþ iºm b§t ëng cõa

¡nh x¤ tüa co, nûa tüa co v nûa tüa co suy rëng trong khæng gian metric

¦y õ theo quÿ ¤o Ngo i ra chóng tæi cán tr¼nh b y ùng döng v o b ito¡n quy ho¤ch ëng C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y ÷ñc chóng tæi tr½ch

tø c¡c cæng tr¼nh [1], [2] v [4]

2.1 Khæng gian metric ¦y õ theo quÿ ¤o

ành ngh¾a 2.1.1 Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric v ¡nh x¤ T :

X → X Vîi méi x ∈ X v n ∈ N, ta k½ hi»u

O(x; n) = {x, T x, , Tnx} v O(x; ∞) = {x, T x, , Tnx, }

Tªp O(x; ∞) ÷ñc gåi l quÿ ¤o cõa ¡nh x¤ T Khæng gian metric (X, d)

÷ñc gåi l T - ¦y õ theo quÿ ¤o n¸u måi d¢y Cauchy trong O(x; ∞)

·u hëi tö trong X

Nhªn x²t Måi khæng gian metric ¦y õ ·u l T - ¦y õ theo quÿ ¤o

i·u ng÷ñc l¤i khæng óng V½ dö sau minh håa cho kh¯ng ành â.V½ dö 2.1.2 Gi£ sû X l khæng gian metric khæng ¦y õ v x0 ∈ Xcho tr÷îc X²t ¡nh x¤ T : X → X x¡c ành bði T x = x0 vîi måi x ∈ X.Khi â X l T - ¦y õ theo quÿ ¤o

Trang 22

ành ngh¾a 2.1.3 ÷íng k½nh cõa O(xk; n), ÷ñc k½ hi»u δ[O(xk; n)],x¡c ành bði

δ[O(xk; n)] := sup

x,y∈O(xk;n)

d(x, y)

2.2 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tüa co

C¡c k¸t qu£ cõa ph¦n n y ÷ñc tr½ch tø cæng tr¼nh [1]

ành ngh¾a 2.2.1 Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric Ta nâi r¬ng ¡nhx¤ T : X → X l tüa co n¸u tçn t¤i sè r ∈ [0; 1) sao cho

d(T x, T y) ≤ rM (x, y) vîi måi x, y ∈ X, (2.1)

ð ¥y M(x, y) = max{d(x, y); d(x, T x); d(y, T y); d(x, T y); d(y, T x)} Sè

r > 0 nhä nh§t thäa m¢n (2.1) ÷ñc gåi l h¬ng sè tüa co cõa T

Bê · 2.2.2 Gi£ sû T : X → X l ¡nh x¤ tüa co vîi h¬ng sè r tr¶nkhæng gian metric (X, d) v n l sè nguy¶n d÷ìng cho tr÷îc Khi â vîiméi x ∈ X v c¡c sè nguy¶n d÷ìng i, j ∈ {1, 2, , n} ta luæn câ

δ[O(x; n)] = d(x, Tjx)

Trang 23

Chùng minh Theo Bê · 2.2.2, vîi x ∈ X v 1 ≤ i, j ≤ n, ta câ

d(Tix, Tjx) ≤ rδ[O(x; n)],

ð ¥y δ[O(x; n)] = max{d(Tix, Tjx) : 0 ≤ i, j ≤ n} Tø δ[O(x; n)] > 0 v

0 ≤ r < 1, tçn t¤i j ∈ {1, 2, , n} sao cho

Theo Bê · 2.2.3, vîi méi n nguy¶n d÷ìng, tçn t¤i k ∈ {1, 2, , n} saocho

Trang 24

ành lþ 2.2.5 Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ

¤o v T : X → X l ¡nh x¤ tüa co vîi h¬ng sè r Khi â

(i) T câ iºm b§t ëng duy nh§t z ∈ X;

(ii) limn→∞Tnx = z vîi måi x ∈ X;

(iii) d(Tnx, z) ≤ 1−rrn d(x, T x) vîi måi x ∈ X v n ∈ N

Chùng minh Vîi x ∈ X, n¸u tçn t¤i n ∈ N∗ sao cho δ[O(x; n)] = 0 th¼

x = T x i·u n y chùng tä x l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T

Ta x²t tr÷íng hñp δ[O(x; n)] > 0 vîi måi n ∈ N∗ Vîi m > n tòy þ, theo

Bê · 2.2.2 ta câ

d(Tnx, Tmx) = d(T Tn−1x, Tm−n+1Tn−1x)

≤ rδ[O(Tn−1x; m − n + 1)] (2.2)Theo Bê · 2.2.3, ta câ thº chån sè nguy¶n d÷ìng k ∈ {1, 2, , m−n+1}sao cho

Trang 21

Chữỡng 2

nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ nûa tüa co suy rëng v ùng dưng...

Trong ch÷ìng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số nh lỵ im bĐt ởng cừa

Ănh xÔ tỹa co, nỷa tỹa co v nûa tüa co suy rëng khæng gian metric

Ưy ừ theo qu Ôo Ngoi chúng tổi cỏn trẳnh by... class="text_page_counter">Trang 15

nh lỵ 1.4.4 GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian metric Ưy ừ v Ănh xÔ

T : X X thọa m¢n i·u ki»n co sau

d(T

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	359,81 KB