Các bài giảng về phương trình lượng giác

C ác dạng phương trình trong chươ ng này được sắp xếp v à phân loại theo các phép biến đổi đó... Chương 1 Một sô kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác 1... Ta ihu được ng h iệm...

r

N g u y ền V ũ L ư ơ n g (C h ú biên)

P h ạ m V ăn H ù n g , N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

C Á C BÀI GIÁNG VÊ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG G IÁ C

NHÀ XUẤT BÁN CÍÀO DỤC

6 2 -2 0 0 5 /C X B /l 9 -1 6 8 4 /X B G D /G D M ã số: PTK 6 4 B5

Trong m ôn T o án , khá nảng liếp thu kiến ihức và vận d ụ n g k iế n thức,

sự thông m inh, tín h s á n s tạo của học sinh dược đánh giá th ố n g q u a việc giải các bài tăp N h ờ việc giài các bài tập mà học sinh rút ra được c ác phương p h á p giài, các phép biến đổi hay hoặc nhận dạng n h an h c ác

d ạ n g bài tập T u y n h iên q u á trình nhận thức đó đòi hỏi nhiều thời gian

và phụ thuộc n h iể u vào níinỉí lực củ a các em C hính vì vậy việc hệ ihống các p h ư ơ n g pháp giải, phân loại các dạng bài tập th e o nội dung kiến thức, th ố n g k ẽ các phép biến dổi hay là việc rất cần thiết và cũng chính là m ụ c đích c ủ a cuốn sách này Khi dọc cuốn sách này c á c bạn nên đọc kĩ các ví d ụ m inh hoạ đ ể hiểu rõ phương pháp và tự giải các bài tập trướe khi đ ọ c lời giải T rong lời giải của m ột sổ bài tẠp các tác giã chi dẫn tới c á c phương trình lượng giác cơ bản, phán c ò n lại dành

c h o bạn đ ọ c giải q u y ế t tiếp Nội dung cùa cuốn sách dược c h ia thành các chương sau:

C h ư ơ n g I M ộ t s ỏ k iê n th ứ c c ơ h á n về p h ư ơ n g t r i n h lư ợ n g giácTrong chươ ng này giới thiệu các phương trình lượng giác c ơ bản, các bước giải m ộ t p h ư ư n g trình lượng giác và các phương pháp giải phương trình lượng giác

C h ư ơ n g II M ộ t s ỏ d ạ n g p h ư ơ n g t r ì n h lượng giác th ư ờ n g g ậ p

T rong chươ ng n à y giới thiệu m ộ t sô' d ạn g phương trình lượng giác thường g ặ p và q u e n thuộc Việc phân loại chi tiết các d ạ n g phương trình này g iú p các bạn d ễ d à n g nhận dạng phương trình c ù n g với cách giãi đơn g iả n c ủ a nó

C h ư ơ n g U I S ử d u n g c ô n g th ứ c lư ợ n g giác đ ể giíii m ộ t s ò d ạ n g

p h ư ơ n g t r ì n h lư ợ n g g iá c

Trong chươ ng này, dựa trổn dạc điểm cú a các công thức lượng giác

c h ú n g ta xủy d ự n g c ác phép biến đổi cụ thể, không thê’ thiếu được khi giải m ột sỏ' d ạ n g p h ư ơ n g trình C ác dạng phương trình trong chươ ng này được sắp xếp v à phân loại theo các phép biến đổi đó

C h ư ơ n g IV S ử d ụ n g c á c p h é p b iế n đổi đ ạ i s ố đ ế giải m ộ t s ô d ạ n g

p h ư ư n g t r ì n h lư ợ n g giác

Khi giải m ộ t sô' d ạ n g phươ ng trình ta cán có sự kết hợp giữa c á c công thức lượng giác và các h ằ n g đ ả n g Ihức đại sỏ' thì việc sử d ụ n g các hàng dẳng thức đại sô lại là bước q u y ết định T rong chương này tác g iả phân

loại một sô’ d ạn g phươ ng trình lượng giác theo các hàng đ ả n g thức hay

c ác phép biến đổi đại s ố đ ể học sinh dẻ n h ậ n ra cách giải phươ ng trình

C h ư ư n g V S ử d ụ n g c á c b ắ t đ ẳ n g th ứ c đ e g iả i m ộ t s ỏ (lạ n g p h ư ơ n g

t r ì n h lư ợ n g giác

Trong chươ ng này tác g iả sử d ụ n g các bất đ ản g thức đại số, lượng g iá c

c ơ bàn đ ể giải m ộ t sô' d ạ n g phươ ng trình V iộc nhận ra cách giải dựa vào các bất đ ẳ n g thức q u e n th u ộ c sẽ được (ác giả trình bày trong c h ư ơ n g này

Trong quá trình biên so ạ n q u y ế n sách này c h ú n g tỏi dã nhận được nhiều

sự dộng viên khích lộ c ủ a các đ ồ n g n g h iệp thuộc khối C h u y ên T oán - Tin, Ban chủ n h iệm K h o a Toán - Cơ - T in học, lãnh đạo T rườ ng Đ H K H

T ự nhiên - Đ H Q G H à N ộ i, Ô n g Trần Xuân Thuận, T ổ n g g iá m đ ố c liên hiệp khoa học sản xuất c ô n g nghộ phán m é m (CSE) và chị Đ ạ n g Thị

M inh T hu, N hà xuất b à n G iá o d ụ c, người biên tập quyổn sách này Nhủn d ịp này c h o phép c h ú n g tôi được nói lời cảm ơn chân th àn h tới các tập thể và các cá n h â n nói trẽn

Tuy đã hết sức cô' g á n g so n g chác chắn cuốn sách vản c ò n k h iếm k h u y ết, chúng tôi m ong được s ự g ó p ý của độc giả đẽ’ cuốn sách có nôi d u n g hoàn hảo hơn Xin chân th àn h c ả m ơn

T hư góp ý xin gửi về: K hối phổ th ô n g ch u y ên Toán - T in - T rườ ng Đại học Khoa học T ự nhiên - Đại học Q u ố c gia H à Nội, 334 Đ ư ờ n g N g u y ẻ n Trãi, Q u ận T hanh X uân, H à Nội

C ác tác giá

Mục Lục

C h ư ơ n g 1 Một s ố k iế n th ứ c c ơ b á n vể ph ư ơ n g trình lượng g iá c 9

1.1 Phương trìn h lượns giác cơ b ả n 9

1.1.1 P h ư ơ n g trình s in X = a 9

1.1.2 P hư ơ ng trình c o s x = a 12

1.1.3 P hư ơ n g trình t g x = a 17

1.1.4 P hư ơ n g trình c o t g X = a 20

1.1.5 C ác bước giải c ơ bản m ộ i phương trình lượng g iá c 22 1.2 C ác p h ư ơ n g pháp giải phương trình lượng g i á c 33

1.2.1 P h ư ơ n ẹ pháp b iế n đổi đảng thức .33

1.2.2 P hư ơ n g p h á p s o sán h 35

1.2.3 P hương pháp xét sự biến t h i ê n 36

C h ư ơ n g 2 Một s ố d ạ n g p h ư ờ n g trìn h lượng giác th ư ờ n g g ặ p 41 2.1 Sử d ụ n g c ô n g thức s i n2a + co s2a = 1 giải m ộ t sô' d ạ n g phươ ng trình lượng g i á c 41

2.2 M ột sô' p h é p đảt ẩn p h ụ c ơ bản 54

2.2.1 P h é p đ ặ t ẩn p h ụ t = s in X co s X = - sin 2 x 54

2.2.2 P h ép đặt ẩn phụ t = c o s 2 x , ( |í | < 1 ) 56

2 2.3 Phép đặt ẩn p h ụ t = t g x hoạc t = c o t g i 56

2.2.4 P h ép đặt ẩn phụ t = s i n x + c o s x , (ịí| < \ / 2 ) 59

2.2.5 P h ép đạt ẩn phụ t = t g x + c o t g i , ( |í | > 2) 61

2.3 M ột sô’ d ạ n g phương trình dơn giản thườne gập .68

2 3.1 P hương trình d ạ n g

A t g n x + B c o t gm x + c — -TỊ— + D— Ịj— + E = 0 68

c o s ^ x s i t r X

2-3.2 P h ư ơ n g trình dạng

A co s 3 x + B cos 2x + c co s3X + D co s2X + E c o s £ +

F = 0 70

2.3.3 P hư ơ n g trình dạng / l ( s i n3 x + c o s3x ) + B ( sin x + c o s x ) + C s i n x c o s x + D = 0 71

2.3.4 P h ư ơ n g trình d ạ n g A sin2 1+ B co s2 x + c s i n X co s x + D = 0 7 73

2.3.5 P h ư ơ n g trình giải được n h ờ các c ô n g thức biến tổ n g thành t í c h 75

2.3.6 P hư ơ n g trình giải được n h ờ các c ỏ n g thức biến tích th à n h t ổ n g 76

2.3.7 P h ư ơ n g trình giải được n h ờ các c ô n g thức cộng c u n g J 77

2.4 Phương trìn h bậc nhất đối với sin X và co s X 88

2.4.1 N ế u \A\ = \ c \ h o ặ c | ỡ | = \ c \ 88

2.4.2 N ế u \A\ 4 I C ị; |i?| í \ c \ 89

2.4.3 M ộ t s ố phươ ng trình đưa vể d ạ n g 4 sin X+ / i co s X = c .92

2.4.4 G iá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất c ù a hàm số y = a s i n X + 6 c o s X + c 9 6 2.4.5 Đ iể u kiên tổn tại ng h iệm cù a phương trình a s i n X + b c o s X = c 9 8 2.4.6 Sử d ụ n g bấl đ ẳ n g thức - V a 2 + b2 < a s i n i + b c o s x < \J á 2 + b2 để giải phương trình và hệ p h ư ơ n g trình lượng giác 99

2.5 M ột sô' d ạ n g hệ phương trình lượng g i á c 106

2.5.1 H ệ phươ ng trình đưa được vẻ các hệ cơ bàn 106

2.5.2 H ộ phươ ng trình đưa được vé hệ đại sô' đơn giàn 108 2.5.3 H ệ c ó thể k h ừ ẩn n h ờ công thức Py-ta-go 111

2.5.4 H ệ phươ ng trình giải được nhờ các bất đ ả n g thức 1 1 2 2.5.5 H ệ phươ ng trình giải được n h ờ tính chất đơn điệu c ù a h à m sổ’ lượng giác trên m ột k h o ả n g 114

C hương 3 s ứ d ụ n g c ô n g th ứ c lượng giác đ ể giải m ột s ố d ạ n g p h ư ơ n g

3.1 Biểu thức C ôsin và áp d ụ n g 1213.2 Biểu thức đối x ứ n g và áp d ụ n a giải m ột số phương trình

lượng giác .1303.3 Biểu thức bậc 3 - 1 c ủ a s in X , co s X và ứng d ụ n g 1383.4 Sừ d ụ n g tính chất đặc trưng của cõng thức lượng giác

giải m ộ t s ố d ạ n g phươ ng t r ì n h 1453.5 G iải m ộ t s ố phươ ng trình lượng giác bằng cách sử dụng

các c ô n g thức c ộ n e c u n g 1533.6 Sử d ụ n g c á c c ô n g thức c ộ n g c u n e với điều kiện giải một

số phươ ng t r ì n h 1723.7 Sử d ụ n g c ác công thức lượng giác của các hàm s ố vòng

với c u n g n x , n € z giải m ộ t số d ạ n g phưưiig trình lượng

g i á c 1823.8 Giải m ộ t số d ạ n g phươ ng trình lượng giác nhờ các công

thức tính tổniỊ hữu h ạ n c ác h à m lượng g i á c 196

C hương 4 S ử d ụ n g c ác p h é p b iế n đổi đại s ố để giải m ộ t s ố d ạ n g

4 1 Biến đổi p h ư ơ n c trìn h thành phương trình tích n h ờ hằng

đ ẳn g thức u 2 - V 2 = {u - v ) ( u + v) 2154.2 Biến đổi phươ ng trình thành phương trình tích n h ờ hằng

đ ẳn g thức a u + bv = ab + u v (u — b)(v - a) = 0 2284.3 Biến đổ i ph ư ơ n g trình về phươ ng trình tích nhờ đ ịn h lý Vi-

é t 7 2 4 0

4.4 Biến đổi phươ ng trình thành phươntí trình tích khi biết

các cặp n ghiệm đ ặ c b i ệ t 2454.5 Đạt ẩn phụ để d ư a các phương trình lượng giác về các

phương trình đại s ố c ơ bàn 2514.6 Giải m ô t s ố p h ư ơ n g trình, hệ phươna trình đại sô' bằng

phương pháp lượniỉ g i á c 260

C h ư ơ n g 5 s ử d ụ n g các b ấ t đ ă n g th ứ c đẽ’ giải một s ố d ạ n g ph ư ơ n g

7

5.1 Sử d ụ n g m ộ t số bất d ẳ n g thức đơn g iả n giải m ộ t sô dạng

phương trình lượng g i á c 2695.2 Sừ d ụ n g điều kiộn tổn tại nghiệm c ủ a ph ư ơ n g trình bâc

hai đ ể giải phương trình lượng giác hai ẩn .2865.3 Các bất đ ẳ n g thức sử d ụ n g đạo hàm bậc cao và áp dụng 292

Chương 1

Một sô kiến thức cơ bản về

phương trình lượng giác

1 1 P h ư ơ n g t r ì n h lư ợ n g g iá c c ơ b ả n

1 1 1 P h ư ơ n g t r ì n h s in X = a

a Nếu | a | > 1 p h ư ơ n g trình vô ng h iệm vì | s i n x | < 1

b Nếu ịaị < 1, ta lấy m ội điểm A trên trục sin sao c h o O A = a

T ừ A ta kè đ ư ờ n g th ả n g vuổng góc với trục sin cầt vòng tròn lượng giáctại B , c (h 1.1)

Các đ iểm B , c là các đ iếm n g ọ n cùa các cung a và 7T - a , ta có

H 1.1sin a = sin(7T - a ) = a. v ạ y n g h iê m c ủ a phương trình dã c h o là

10 N quyên V ũ Lương, Phạm Văn Hùng, N guyễn N gọc Thắng

\ / 3

Ví dụ 1 sin rr = —— Lấy đ iểm 2 J - A trên trục sin sao c h o O A — 2

Kẻ đườ ng (hẳng vu ô n g góc với trục sin cắt vòng tròn lượng giác tại các điểm là c á c điểm n g ọ n c ù a các c u n g ^ + k 2 n; — + k 2 n (H 1.2), vậy

ta thu được nghiệm

C á c b à i giáníỊ v é phương trinh lượng giáí 11

12 N guyễn V ũ Lương, P hạm Ván H ùng, NíỊuỵén N gọc T hảng

s i m = - + 2k

6

(«)(6)

a Nếu Ịa| > 1 phưcmg trình vô nghiộm vì I c o s i | < 1

b Nếu |a | < 1 ta lấy đ iểm A trên trục cosin sao c h o O A = a. Kẻ đường th ản g q u a A vuông góc với trục cosin cắt đường tròn đơn vị tại

B , c (h 1.3) Đ iểm c là đ iểm ngọn cù a các c u n g a + 2 k n , điểm l ì là điểm n g ọ n của các c u n g —a + 2 k n ta có

c o s ( q + 2 k n ) = c o s ( —a + 2k n ) = a.

Vậy ta th u được c á c n g h iệ m cùa phương trình đ ã cho là

C á c bài giảniỊ vé phươniị trình lượng giác 13

14 N guyễn V ũ Lương, Phạm Văn H ùng, N guyễn N g ọ c Thắng

C á c bài giảng vê p hư ơ nq trình lượng giác 15

16 N guyền Vũ Lương, Phạm Văn H ùng, N guyễn N g ọ c T hắng

Suy ra Ẳ phải là s ố tự nhiên 0 , 1 , 2 , • • • , hay k € N

Ta thu dược ng h iệm

Suy ra k phải là s ố tự nhiên dươ ng 1, 2 ,3 , • • • , hay k e N*

Ta ihu được ng h iệm

C ác bời giảng vé phương trình lượng giác 17Giải (a): Vì I sin x | < 1 ta suy ra

6

X = Q + 2 k ĩ ĩ

X = 7T — a + 2ẢT7T. ( k e Z )Giải (b): Vì | s i m | < 1 ta suy ra

n sh iê m cùa phươnc trình đã cho là

X = a + k n ( k e Z)

18 N guyền Vũ Lương, Phạm Vảtì Hùng, N guyễn N gọc T h ắ n g

b Khi a nhan các giá tri đãc biêt ± \ / 3 , ± 1 , ± -7= 0 các ban c ó thể

v 3giải nhám bẳng cách sử d ụ n g đường tròn đơn vị

Ví d ụ 7 Sử d ụ n g đirờng tròn lượng giác giải các phương trình

20 _ Nguyền Vũ Lương, P hạm V ăn Hừnq, N guyền N gọc Tháng

C ác hài giáng vé phương trinh lượng qiác 21

V ậy nghiêm cù a phương Irình đã c h o là X = a + kĨT ( k e Z )

b N ếu a là các giá tri dâc biêt ± 1 , ±%/3, ± -7=, 0 các ban có thể giải

C ác bài giáng vê phương trình lượng giác 19

1sin X = - = sin r t

22 Nguyền V ũ Lương, P hạm Vân H ù nẹ N guyền N gọc T h ắ n g

1.1.5 Các bước giải cơ bán m ột phương trình lượng giác

Trước hết, c h ú n g ta biểu diẽn tạp hợp các c u n g trẻn đườ ng tròn đơn vị

24 N guyên V ũ Lương, P hạm V ăn Hùng, N guyền N gọc Thắng

Giải phươ ng trình lượng giác g ổ m ba bước c ơ bản sau đây

Bước I : Đ ă t đ iẻ u k iệ n đ ể phương trình xác định

C ác bài giảng vé phương trình lượng giác 25

Ta có

(1) « *

2 cos2 X + cos X - 1 > 0

y / 2 C.OS2 X + cos X - 1 = sin X

Ta thấy nếu sin X < 0 thì phương trình vô nghiệm nên ta có

s i n X > 0 (1) o ^ 2 cos2X + cos X — 1 > 0

2 cos2 X + cos X — 1 = sin2 X

những X là nghiệm của phương trình 2cos2 X + C O S I - 1 = s in2X thì

t h o ả m ã n 2 cos2 X + c o s X — 1 > 0 n ê n

26 N guyễn V ũ Lương, Phạm Văn Hùng N guyền N gọc T h ắ n g

-Giải trên đường tròn đơn vi ta thu đươc đ á p số X = —+2fc7T (k € Z )

0

Các bài giáng vế phưcmg trình lượng giác 27

C á c bài giáng vé phương trinh lượng giác 23

V í d u Các c u n ? X = - + k n đươc biểu d iễ n trẻn hình 1.12

28 Nguyễn V ũ LươMỊ, Phạm V ăn H ùng, N guvén N g ọ c T hắng

C ác hủi giánẹ vẽ phươníỊ trình lượng giác 29

G iả i( I ) lương đươ ng với

30 N guyễn V ũ Lươtìg, Phạm Văn H ùng, Nguyền N gọc T hán q

khi đ ó vế trái > 0 , d o d ó s i n 3 x — sin X > 0 hay s in 3 x > s in X (1)

T ươ ng tự nếu sin X < s i n 3 x thì 2 s i n x — 1 < 2 sin 3 i — 1 thì lừphương trình suy ra sin X > s in 3 i (2)

Chú V C ó thể giãi bàng c á c h trục căn thức, phương trình lương đươngvới

32 N guyễn Vũ Lương, P hạm Văn H ùnạ, N guyễn N g ọ c Thắng

Suy ra dấu đ à n g thức chi đạt được khi và chỉ khi c o s x = 0

3 Đạt t = y / t g x > 0 thay vào phươ ng trình ta thu được (vì t Ỷ 0)

Các hài giàriíỊ vé phương trình lượng giác 33

1 2 C á c p h ư ơ n g p h á p g iả i p h ư ơ n g t r ì n h lư ợ n g g iá c

Có thể c h ia các ph ư ơ n g pháp giải phương trình lượng giác thành ba loại chính

A / P h ư ơ n g p h á p b iế n đối đ á n g th ứ c

T ro n g phương p h áp này ta sử d ụ n g c ác hằng dảng thức đ ể thu gọn phươ ng trình hay biến đổi phương trình thành tích

B/ P h ư ư n g p h á p s o s á n h

Ta sẽ sử d ụ n g các bất d ắ n g thức đại sô' hay lượng giác đế so sánh hai

v ế c ù a phươ ng trình và đi đ ế n kết luận phương trình chỉ đ ú n g khi và chi khi dấu dẳng thức của các bất đ ả n g thức xảy ra

34 N guyền V ũ Lương, Phạm V ăn H ùng, N guyễn N gọc Thắng

Ta c ó c o s 5 x = ( c o s 5 i + COS 3 x ) — ( c o s 3 x + COS ì ) + COS X

= 2 c o s 4 x cos X — 2 COS 2 x COS X + COS X

C ác bái g iãn (Ị vé phươntỊ trình lượng giác 35

36 N guyễn V ũ Lương, Phạm Văn H ùng, N guyễn N gọc Thắng

Phương trình đã c h o tương đươ ng với

8

s i n32x - t g

X = ì g x

-s i n 2 x '

C ác bài giáng về phương Irìnli lượng ỊỊÌác 37

38 Nguyền Vũ Lương, Phạm Văn H ùng, Nguyễn N gọc Thắng Hướng dẫn

C ác bài qiánii v ề phươníỊ trìnli lượntỊ giác 39

Hướn ÍỊ dẫn

Điéu kiộn co s J Ỷ 0 : c o s 2.r Ỷ ** • cos 3 x Ỷ 0

Phương trình đã c h o tương d ư ơ n g với

Tương tự giã sử 3 s i m - < -1 sin'* -í' thì ta c ó ( 4 s in3x)3 < (3 s in x ) :ỉ

4 s i n 3 r < 3 s i n r vổ lý V â y phương trình được n g h iệ m d ù n g chi khi

3 s i n X = 4 sin'* X.