Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết bruck

Lời cam đoanTôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong bài luận văn "Vấn đề duynhất cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết Bruck" là trung thực vàkhông sao chép từ các đề tài khá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

DƯƠNG THỊ VÂN

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH

LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

DƯƠNG THỊ VÂN

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH

LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - Năm 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong bài luận văn "Vấn đề duynhất cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết Bruck" là trung thực vàkhông sao chép từ các đề tài khác, các thông tin trích dẫn trong luận văn cónguồn gốc rõ ràng, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung luận văncủa mình

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019

Người viết Luận văn

Dương Thị Vân

của Trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Hà Trần Phương

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Hà Trần Phương, người

đã chỉ bảo tận tình và trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy cao họctrường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ và tạođiều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoahọc

Nhân dịp này tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn

cổ vũ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong toàn bộ quá trìnhhọc tập

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019

Người viết luận văn

Dương Thị Vân

Mục lục

1.1 Các hàm Nevanlinna và tính chất 3

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.1.2 Hai định lý cơ bản 10

1.2 Các kết quả bổ trợ 13

2 Giả thuyết Bruck và vấn đề duy nhất 22 2.1 Một số dạng tổng quát của giả thuyết Bruck 22

2.2 Vấn đề duy nhất liên quan đến giả thuyết Bruck 35

Mở đầu

Cho f và g là các hàm phân hình trên C Ta nói f và g chung nhau giá trịphức a không kể bội nếu f−1(a) = g−1(a) Ta nói f và g chung nhau giá trịphức a kể bội nếu Ef(a) = Eg(a), trong đó

Ef(a) = (z, m) ∈ C×Z+ : ordf −a(x) = m

Năm 1979, E Mues and N Steinmetz đã chứng minh: "Với một hàm nguyênkhác hằng f, nếu f và f0 chung nhau hai giá trị phức phân biệt không kể bộithì đồng nhất bằng nhau" Như một sự mở rộng tự nhiên, năm 1996, Bruck [2]

đặt ra một giả thuyết khá nổi tiếng mà ta quen gọi là giả thuyết Bruck :

Giả thuyết Bruck "Cho f là một hàm nguyên khắc hằng trên C sao cho

ρ2(f ) không phải là một số tự nhiên và ρ2(f ) < ∞ Nếu f và f0 chung nhaugiá trị a kể cả bội thì ff −a0−a = c, trong đó c là một hằng số khác 0 " Ở đây

ρ2(f ) = lim sup

r→∞

log log T (r, f )

Trong bài báo ([2]) các tác giả đã chứng minh trong trường hợp a = 0 Ngoài

ra Ông đã chứng minh: "Cho f là một hàm nguyên khắc hằng trên C Nếu f

và f0 chung nhau giá trị 1 kể cả bội và N (r, 0, f ) = S(r, f ) thì ff −10−1 là mộthằng số khác 0 "

Về sau, có nhiều nhà toán học đã quan tâm đến việc tổng quát giả thuyếtBruck và sử dụng giả thuyết này để nghiên cứu vấn đề duy nhất Có nhiềucách mở rộng, nghiên cứu giả thuyết Bruck cho trường hợp hàm phân hình,thay thế đạo hàm f0 bằng đạo hàm cấp cao, Và các tác giả đã thu đượcnhiều kết quả.

Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề duy nhất có liên quan đến giả thuyếtBruck, tôi chọn đề tài:"Vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình liên quanđền giả thuyết Bruck".Mục đích của đề tài này là trình bày lại các kết quảnghiên cứu gần đây của A Banerjee and B Chakraborty [2] năm 2016 và của

B Chakraborty [3] năm 2018 về một số dạng tổng quát của giả thuyết Bruck

và sử dụng nó để nghiên cứu một số kết quả về vấn đề duy nhất

Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương: Chương 1 trình bày một sốkhiến thức cơ bản về lý thuyết Nevanlinna và các bổ đề để chứng minh một sốkết quả chính trong chương 2 Chương 2 là chương chính của luận văn, trongchương này chúng tôi giới thiệu một số dạng tổng quát của giả thuyết Bruck

và vấn đề duy nhất liên quan đến giả thuyết Bruck

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các hàm Nevanlinna và tính chất

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm chỉnh hình f trên mặt phẳng phức C, điểm z0

là không điểm bội k của f nếu tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêutrong một lân cận U của z0 sao cho trong lân cận đó hàm f được biểu diễndưới dạng:

Trong mặt phẳng C, ta kí hiệu:

D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r} ;D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| ≤ r} ;

DR Khi đó với mỗi z trong {|z| < R} không phải là không điểm hay cực điểmcủa f, ta có

log |f (z)| = 1

2π

Z 2π 0

R2 − aizR(z − ai)

R2 − ajzR(z − aj)

Với mỗi số thực x > 0, ta kí hiệu

log+x = max {log x, 0}

Khi đó log x = log+x − log+ 1x

Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng của hàmphân hình

Cho f là một hàm phân hình trong DR và một số thực r > 0, trong đó

log+

+ log+|a| + log 2

Trong đó cf là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm f tronglân cận điểm 0, c1

(f −a) là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm

gọi là hàm giá trị phân nhánh của hàm f Hiển nhiên NRam(r, f ) ≥ 0

Định lý 1.1.19 (Định lý cơ bản thứ hai) Nếu cho f là một hàm phân hìnhkhác hằng trên C, a1, a2, , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi đóvới mỗi ε > 0, bất đẳng thức

+ (1 − ε) log+log T (r, f ) + O(1)

đúng với mọi r ≥ r0 nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn

Định lý 1.1.20 ([5]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C và bahàm nhỏ phân biệt a1, a2, a3 của f Khi đó

Định lý 1.1.21 ([5]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C và cáchàm nhỏ phân biệt a1, a2, , aq của f Khi đó

Định lý 1.1.22 ([5]) Giả sử f là hàm phân hình trong C, kí hiệu a1, , aq,

tuyến tính lớn nhất của {a1, a2, , aq} thì khi đó ta có

Quan hệ số khuyết, điểm bỏ được Picard

Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C, a ∈ C∪ ∞ và k là một số nguyêndương Ta kí hiệu

δ(a, f ) = 1 − lim sup

Nhận xét

1 Nếu f (z) = a vô nghiệm thì N r,f −a1 = 0 với mọi r suy ra δ(a, f ) = 1.Chẳng hạn f (z) = ez thì δ(0, f ) = 1;

2 Nếu N



r, f −a1



= o(T (r, f )) khi đó δ(a, f ) = 1 Như vậy số khuyết bằng

1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó;

3 Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta luôn có

0 ≤ δ(a, f ) ≤ δk(a, f ) ≤ δk−1(a, f ) ≤ ≤ δ1(a, f ) = Θ(a, f ) ≤ 1

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ đềquan hệ số khuyết

Định lý 1.1.24 ([5]) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C Khi đó tậphợp các giá trị của a mà Θ(a, f ) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

Định lý 1.1.26 ([5]) (Định lý Picard ) Hàm phân hình khác hằng tùy ý cónhiều nhất hai giá trị loại trừ Picard trong C

Chẳng hạn tan z loại trừ ±1

1.2 Các kết quả bổ trợ

Trong phần này chúng tôi giới thiệu một số bổ đề sẽ cần thiết cho việc chứngminh các kết quả chính trong phần tiếp theo Cho F, G là hai hàm phân hình

khác hằng Từ nay về sau ta kí hiệu H như sau:

trong đó N0(r, 0; F0) là hàm đếm không kể bội các không điểm của F0 màkhông là các không điểm của F (F − 1) và N0(r, 0; G0) được định nghĩa tươngtự

Bổ đề 1.2.2 ([9]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và k là một sốnguyên dương Khi đó ta có

Pm j=0bjfj

là hàm hữu tỉ bất khả quy trong f với các hệ số là hằng số {ak} và {bj}, trong

Chứng minh

Cho z0 là một cực điểm của f có bậc r, sao cho bj(z0) 6= 0, ∞ : 1 ≤ j ≤ t

Khi đó nó sẽ là một cực điểm của P [f ] với bậc lớn nhất rd(P ) + ΓP − d(P )

Từ đó z0 là một cực điểm của fd(P ) với bậc rd(P ), khi đó z0 sẽ là một cựcđiểm của P [f ]

f d(P ) với bậc lớn nhất ΓP − d(P ) Tiếp theo giả sử z1 là một khôngđiểm của f với bậc s(> k), sao cho bj(z1) 6= 0, ∞ : 1 ≤ j ≤ t Rõ ràng z1 làmột không điểm của Xj(f ) với bậc

sn0j + (s − 1) n1j + + (s − k) nkj = s.d (Xj) − ΓXj − d (Xj)

Khi đó z1 là một cực điểm của Xj [f ]

Nếu z1 là một không điểm của f với bậc s ≤ k, sao cho bj(z1) 6= 0, ∞ : 1 ≤

j ≤ t, khi đó z1 là một cực điểm của P [f ]

f d(P ) với bậc sd(P ) Vì các cực điểm của

Bổ đề 1.2.9 ([2]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và P [f ], Q[f ] làhai đa thức vi phân Khi đó

f(i)f

f(i)f

f(i)f

... ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ hàm đặc trưng hàmphân hình

Cho f hàm phân hình DR... data-page="17">

Định lý 1.1.21 ([5]) Cho f hàm phân hình khác C cáchàm nhỏ phân biệt a1, a2, , aq f Khi đó

Định lý 1.1.22 ([5]) Giả sử f hàm phân hình C, kí hiệu a1,... bổ đ? ?quan hệ số khuyết

Định lý 1.1.24 ([5]) Cho f hàm phân hình khác C Khi tậphợp giá trị a mà Θ(a, f ) > đếm được, đồng thời ta có

Định lý 1.1.26 ([5]) (Định lý Picard ) Hàm phân