BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN, NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CÓ ĐÁP ÁN

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN, NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG... Hiển thị lời giải... Hiển thị lời giải... Hiển thị lời giải... Khi đó Fx là hàm số nào sau đây?... Bài 100: Biết thì a và b là n

Trang 1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN, NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG

Trang 2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN, NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG

Hiển thị lời giải

∫sin2xdx = ∫sin2xd(2x) = − cos2x + C

Trang 3

Trang 4

∫sin3x.cosx.dx = ∫sin3x.d(sinx) = + C

Trang 5

F(x) = ∫ex(3+e-x)dx = ∫(3ex+1)dx = 3ex+x+C

Trang 6

Bài 8: Nguyên hàm của hàm số f(x) = là

Trang 7

Trang 8

Trang 11

Bài 17: Biết một nguyên hàm của hàm số f(x) = + 1 là hàm số F(x) thỏamãn F(-1) = Khi đó F(x) là hàm số nào sau đây?

Trang 16

B +

C x - + C

D - + C

a)∫(cos3x - 5sinx)dx = ∫cos3xdx - 5∫sinxdx = sin3x + 5 cosx + C

Trang 19

Ta có: ∫tanxdx = ∫ dx = -∫ d(cosx) = -ln|cosx| + C

Trang 20

Ta có: ∫cotxdx = ∫ dx = -∫ d(sinx) = ln|sinx| + C

Trang 21

D - 3x + 6ln|x+1| + 5

f(x) = = x - 3 +

∫f(x)dx = ∫( = x - 3 + )dx = - 3x + 6ln|x+1| + CChọn C = 5

Trang 24

Bài 41: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = thoả mãnF(1) = Giá trị của F2(e) là

Trang 27

Trang 30

Bài 50: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau ∫(x-1)ex2-2x+3

Trang 33

∫sinx.cos2x.dx = ∫(2cos2x - 1)sinxdx = ∫(2cos2-1)d(cosx) = + cosx + C

Đáp án: A

Trang 34

Bài 58: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.cos3x

A ∫f(x)dx = cos2x + cos4x + C

B ∫f(x)dx = cos2x - cos4x + C

C ∫f(x)dx = 2cos4x + 3cos2x + C

D ∫f(x)dx = 3cos4x - 3cos2x + C

∫2sinx.cos3xdx = ∫(sin4x-sin2x)dx = cos2x - cos4x + C

Trang 35

Bài 60: Cho f'(x) = 3 - 5sinx và f(0) = 10 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trang 37

∫e2cosxsinxdx = - ∫e2cosxd(cosx) = - e2cosx + C

Đáp án: D

Bài 66: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

Trang 39

Bài 68: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1-2x)exdx

Trang 40

=

Đáp án: D

Bài 70: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

Trang 46

Trang 47

Bài 86: Kết quả của tích phân được viết dưới dạng a + bln2

với a,b ∈ Q Khi đó a+b bằng:

A B - C D -

Trang 49

Bài 88: Ta có tích phân I = 4 x(1 + lnx)dx = a.e2 + b Tính M = ab + 4(a + b)

Trang 52

A - ln3 B ln3 + 2 C 4 - ln2 D Đáp án khác

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P(x) = 2x3 + 7x2 + 3x - 1 cho đa thức Q(x) =2x + 1 ta được:

Trang 53

Bài 95: Tính tích phân sau A =

A -1/3 B 2 C 1/3 D: đáp án khác

Đặt t = 1 + x2 ⇒ dt = 2xdx ; Đổi cận: Khi x = 0 ⇒ t = 1; Khi x = 1 ⇒ t = 2

Bài 97: Tính tích phân sau C =

A.1 B 2 C ln(e-1) D ln(e+1)

Đặt t = ex - 1 ⇒ dt = exdx

Đổi cận: Khi x = 1 ⇒ t = e – 1;Khi x = 2 ⇒ t = e2 - 1

⇒ C = = ln(e2 - 1) - ln(e - 1) = = ln(e + 1)

Trang 55

Bài 100: Biết thì a và b là nghiệm của phương trình nào sauđây?

A x2 - 5x + 6 = 0

B x2 - 8x + 12 = 0

C 2x2 - x - 1 = 0

D x2 - 9 = 0

⇒ ⇒ a,b là hai nghiệm của phương trình x2 - 8x + 12 = 0

Trang 56

Bài 102: Tính tích phân I = |x2 - 3x + 2|dx ta được kết quả :

Trang 57

Bài 104: Tính tích phân sau F =

A 1 B ln2 C ln3 D 2

Đặt t = sin2x ⇒ dt = 2.sinx.cosxdx = sin2xdx

Bài 106: Biết ∫x.e2xdx = a.x.e2x + b.e2x + C , với a,b ∈ Q Tính tích a.b

A a.b = - B a.b = C a.b = - D a.b =

Trang 60

a) (2cosx - sin2x)dx = 2 cosxdx + sin2xdx = 2sinx + cos2x = 1

Đáp án: C

b) sin3x.cosx.dx = (sin4x + sin2x)dx = ( sin4xdx + sin2xdx)

= (- cos4x - cos2x) = [(- cos2π) = 3π - cosπ) = 3π ) - (- cos0 - cos0)]

Trang 61

I =

Đặt t = ⇒ x2 = t2 - 1 ⇒ xdx = tdtĐổi cận: x = √3 ⇒ t = 2; x = 2√2 ⇒ t =3

Đáp án: D

Bài 114: Tính các tích phân sau: I =

A 16/5 B 20/3 C 32/9 D 28/5

Trang 62

I =

Đặt t = ⇒ ex = t2 + 1 ⇒ exdx = 2tdtĐổi cận: x = ln2 ⇒ t =1; x = ln5 ⇒ t = 2

Trang 63

A; -1 B 0 C.1 D.2

b) I =

A B C D

a) Đặt X = sint ta có dx = costdt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =

Vậy I = = |cost|dt = costdt = sint = 1

Trang 66

Thế I = 1 vào C ta được : x2.cosxdx = - 2

Trang 68

Đặt

⇒ I = x.sinx - sinxdx = + cosx = - 1

Đáp án: D

Bài 124: Tính các tích phân sau :

a) Tính tích phân I = sin2x.cos2xdx

Trang 69

Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx ; Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1

a) Ta có: I = (cosx - cos5x)dx = (sinx - sin5x) =

Đáp án: D

b) Ta có: cos42x = (1 + 2cos4x + cos24x) = (3 + 4cos4x + cos8x)

Nên I = (3 + 4cos4x + cos8x)dx = (3x + sin4x + sin8x) =

Đáp án: B

Trang 70

Bài 126: Tính tích phân sau: I =

Trang 72

D quay xung quanh trục Oy:

Ta có x3 ≥ 0 trên đoạn [1;3] nên S = |x3|dx = x3dx = = 20

Đáp án: C

Bài 132: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2

Trang 73

Bài 133: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

A e B 2+e C e-1 D 2e+1

b) Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4

A 18 B 24 C 32 D.36

a/ Ta có: S = (ex + 1)dx = (ex + x) = e + 1 - 1 = e

Đáp án: A

Trang 75

SD = |sin2x.cosx|dx = sin2x.cosx.dx - sin2x.cosx.dx

Trang 76

Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là :

a.Ta có √x ≥ 0 trên đoạn [1;4] nên S = |√x|dx = √xdx = =

Trang 77

D quay xung quanh trục Ox:

V = π) = 3π [42 - (x - 2)4]dx

V = 64π) = 3π - π) = 3π (X - 2)4dx

V = 64π) = 3π - =

Đáp án: D

Bài 140: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx , trục

hoành và hai đường thẳng x = π) = 3π , x = là

A 1 B C 2 D

Ta có sinx ≤ 0 trên đoạn [π) = 3π ; ] nên

S = |sinx|dx = - sinxdx = cosx = 1

Đáp án: A

Bài 141: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx , trục

hoành và hai đường thẳng x = , x = là

A ln B ln C -ln D -ln

Ta có tanx ≥ 0 trên đoạn [ ; ] nên

Trang 78

S = |tanx|dx = tanxdx = -ln(cos) = -ln

Đáp án: D

Bài 142: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x , trục hoành

và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là

A + B - C + D -

Ta có e2x ≥ 0 trên đoạn [0;3] nên

Trang 79

Bài 144: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 - 4,trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là

Trang 81

a.Xét pt -x2 + 4 = 0 trên đoạn [0;3] có nghiệm x = 2

Bài 148: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1 , biết

thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm cóhoành độ x(0≤x≤1) là một đường tròn có độ dài bán kính R = x

A + 1 B C - 1 D + 3

Ta có diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) là:

Trang 83

Bài 150: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 + 1 và y = 4x - 2 Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanhtrục Ox

A V = B V = C V = D V =

Phương trình hoành độ giao điểm:

Trang 84

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x.sin3x

A ∫f(x)dx = ( - ) - (x - ) + C

B ∫f(x)dx = ( - ) + (x - ) + C

C ∫f(x)dx = ( - ) - (x - ) + C

D ∫f(x)dx = ( + ) - (x + ) + C

∫sin3x.sin3x.dx = ∫ sin3x.dx

= ∫2sinx.sin3x.dx - ∫2sin23xdx = ∫(cos2x - cos4x)dx - ∫(1 - cos6x)dx

Trang 85

sin42x = = (1 - 2cos4x + cos24x) = (1 - 2cos4x + )

= - +

Trang 86

Nên ∫sin42x.dx = ∫( - + )dx = x - + + C

Vì F(0) = nên suy ra đáp án A

Đáp án: A

Bài 6: Biết hàm số f(x) = (6x + 1)2 có một nguyên hàm là F(x) = ax3 + bx2 + cx +

d thoả mãn điều kiện F(-1) = 20 Tính tổng a + b + c + d

A 46 B 44 C 36 D 54

∫(6x + 1)2dx = ∫(36x2 + 12x + 1)dx = 12x3 + 6x2 + x + C nên a = 12, b = 6, c = 1Thay F(-1) = 20, d = 27

Trang 90

A + C B ln|tanx|+ C C ln|tan2x|+ C D Đáp án khác Hiển thị lời giải

Đặt t = tan ⇒ dx = và sinx = cosx =

Suy ra : 2cosx - sinx + 1 =

Đáp án: D

Trang 91

Suy ra: I = -16∫sin4x.cos6x.cosx.dx

Đặt t = sinx ⇒ dt = sinx.dx nên ta có:

Trang 94

Bài 20: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xcosx thỏa mãn F(0) = 1

Khi đó phát biểu nào sau đây đúng?

A F(x) là hàm số chẵn.

Trang 95

B F(x) là hàm số lẻ.

C Hàm số F(x) tuần hoàn với chu kì là 2π) = 3π

D Hàm số F(x) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

∫xcosxdx = x.sinx + cosx + C

F(0) = 1 nên C = 0 Khi đó F(x) = x.sinx + cosx

Do đó g(x) = x.sinx là hàm số chẵn; h(x) = cosx là hàm số chẵn nên F(x) = g(x) +h(x) là hàm số chẵn

Bài 22: Tìm nguyên hàm: I = ∫sinx.ln(cosx)dx

A –cosx.ln(cosx) - cosx + C B cosx.lnsinx + sinx + C

C.-sinx.ln(cosx) - cosx + C D sinx.ln(sinx) - sinx + C

Trang 96

Suy ra I = -cosx.ln(cosx) + ∫sinxdx = –cosx.ln(cosx) - cosx + C

Trang 97

= - |1 - sinx| + ln|sinx| - ln|1 + sinx| + C = ln|sinx| - ln|1 - sin2x| + C

Đáp án: A

Bài 26: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =

A ∫f(x)dx = cos2x - 2cosx + C B ∫f(x)dx = cos2 - 2cosx + C

C ∫f(x)dx = cos2 + cosx + C D ∫f(x)dx = cos2 + 2cosx + C

Trang 98

∫2(cosx - 1)d(cosx) = cos2x - 2cosx + C

Đáp án: A

Bài 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =

A ∫f(x)dx = + C B ∫f(x)dx = - + C

C ∫f(x)dx = + C D ∫f(x)dx = + C

∫ dx = ∫cot3x = ∫cot3x.d(cotx) = - + C

∫cos2x.(sin4 + cos4x)dx = ∫cos2x((sin2x + cos2x) - 2.sin2x.cos2x)dx

= ∫cos2x(1 - sin22x)dx = ∫cos2xdx - ∫sin22x.cos2xdx

Trang 99

= ∫cos2xdx - ∫sin22x.d(sin2x) = sin2x - sin32x + C

Đáp án: A

Bài 29: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (tanx + e2sinx)cos

A ∫f(x)dx = -cosx + e2sinx + C B ∫f(x)dx = cosx + e2sinx + C

C ∫f(x)dx = -cosx + e2sinx + C D ∫f(x)dx = -cosx - e2sinx + C

Trang 100

Bài 33: Tìm nguyên hàm: I = ∫cos42xdx

A 3x + sin4x + sin8x + C B 2x - cos2x - sin4x + C

C 3x/8 + sin4x + sin8x + C D Đáp án khác

Ta có: cos42x = (1 + cos4x)2 = (1 + 2cos4x + cos24x)

Trang 101

= (1 + 2cos4x + ) = (3 + 4cos4x + cos8x)

⇒ I = ∫(3 + 4cos4x + cos8x)dx = (3x + sin4x + sin8x) + C

Đáp án: D

Bài 34: Tìm nguyên hàm: J = ∫(cos3x.cos4x + sin32x)dx

A sin7x - sinx - cos2x + cos6x + C

B sin7x + sinx + cos2x + cos6x + C

C sin7x + sinx - cos2x + cos6x + C

D sin7x + sinx - cos2x - 2 cos6x + C

Ta có : cos3x.cos4x = (cos7x + cosx)

sin32x = sin2x - sin6x

Nên suy ra: J = ∫( cos7x + cosx + sin2x - sin6x )dx

= sin7x + sinx - cos2x + cos6x + C

Đáp án: C

Bài 35: Tìm nguyên hàm: I =

A + C B + x + C C x.lnx + C D Đáp án khác

Trang 102

Trang 103

a/Tính ∫ecos2xsin2x.dx bằng:

A esinx + x + c B -ecos2x + C C e-2sinx + C D -esin2x + C

b/ Tính ∫esin2xsin2x.dx bằng:

A esin2x + C B esin2x + C C ecos2x + C D e2sinx + C

a/ ∫ecos2xsin2x.dx = - ∫ecos2xd(cos2x) = -ecos2x + C

Trang 107

Trang 108

Bài 49: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = thỏa mãn F(π) = 3π ) = 2017 Khi đó F(x) là hàm số nào dưới đây?

A x.tanx + ln|cosx| + 2017 B x.tanx - ln|cosx| + 2018

C x.tanx + ln|cosx| + 2016 D x.tanx - ln|cosx| + 2017

Đặt u = x, dv = dx ta được du = dx, v = tanx

Do đó F(x) = ∫ dx = x.tanx - ∫tanx.dx = x.tanx + ln|cosx| + C

Vì F(π) = 3π ) = 2017 nên C = 2017 Vậy F(x) = x.tanx + ln|cosx| + 2017

Đáp án: A

Trang 109

Biến đổi F(x) = + = tanx + I(x)

Tính I(x) bằng cách đặt u = x, dv = dx ta được I(x) = -

A F(x) = -cosx + tanx + 1 - √2 B F(x) = cosx + tanx + √2 - 1

C F(x) = -cosx + tanx + √2 - 1 D F(x) = -cosx + tanx

Ta có ∫(sinx + )dx = -cosx + tanx + C ⇒ F(x) = -cosx + tanx + C

Trang 110

F( ) = ⇔ C = √2 - 1

Vậy F(x) = -cosx + tanx + √2 - 1

Đáp án: C

Bài 52: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2.sin5x + √x + thỏa mãn đồ thị

của hai hàm số F(x) và f(x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là

A F(x) = - cos5x + x√x + x + 1 B F(x) = cos5x + x√x + x + 1

C F(x) = 10cos5x + + x + 1 D F(x) = - cos5x + x√x + x

Bài 53: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-2;3) Gọi F(x) là một nguyên hàm

của f(x) trên khoảng (-2;3) Tính I = (f(x) + 2x)dx , biết F(-1) = 1 , F(2) = 4

Trang 113

A F(x) = x - sin2x + - B F(x) = x + cos2x + - 1

C F(x) = cos3x + D F(x) = x + sin2x - .

Ta có ∫tanx.sin2x.dx = ∫(1 - cos2x)dx = x - sin2x + C ⇒ F(x) = x - sin2x + C

Trang 115

Bài 64: Tính tích phân sau |sinx|dx

A 1 B 1,5 C 2 D 2,5

|sinx|dx = -sinx.dx + sinxdx = cos - cos = 1 - + 1 =

Đáp án: B

Bài 65: Tính tích phân sau

A 2√2 B 2√2 - 2 C 3 D 1

= |cosx - sinx|dx = (cosx - sinx)dx + (sinx - cosx)dx

= (sinx + cosx) - (cosx + sinx) = 2√2 - 2

Trang 117

=

Do I = ⇔ = ⇔ 2a3 - 3a2 - 4 = 0 ⇔ (a - 2)(2a2 + a + 2) = 0 ⇒ a =2

Trang 120

= -( + x) + ( + x) = 5

Đáp án: D

Bài 73: Biết I = = a + lnb Chọn đáp án đúng

A a - b = 0 B 2a + b = 4 C a + b = 1 D ab = 4 Hiển thị lời giải

Trang 121

Đặt x = sint khi đó dx = costdt

Trang 122

Trang 123

Cho x = 0 : thay vào (*) ta được: A = 1

Cho x = -1 : thay vào (*) ta được: C = -1

Với A = 1 và C = -1 , ta cho x = 1 ⇒ B = -1

Trang 125

Đặt

I = x2.ln(x + 1)dx = ln(x + 1) - dx = ln2 - dx Tính dx = dx = (x2 - x + 1 - )dx = - ln2

Trang 128

Khi đó I = f(t)dt = f(x)dx = 3

Đáp án: C

Trang 129

Bài 88: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0 Giả sử rằng với mọi x ∈

[0;a] , ta có f(x) > 0 và f(x).f(a - x) = 1 Tính I =

A B 2a C D a.ln(a + 1)

Từ giả thiết, suy ra f(a - x) =

Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn [a;x]

Khi đó ta có

Trang 130

Suy ra F'(t) = = ⇒ f(t) = √t ⇒ = dt = 2√t = 2√x - 2√aSuy ra 2√x - 2√a = 2√x - 6 ⇔ a = 9.

Trang 131

Đặt x = π) = 3π - t ta có: J = ln(sint + )dt

J = ln(sint + )dt + ln(sint + )dt (*)

Đặt t = -u ta có: ln(sint + )dt = ln(-sinu + )du

= - ln(sinu + )du = - ln(-sint + )dt

Thay vào (*) suy ra J = 0

Đáp án: A

Bài 92: Tính tích phân I = sin2x.cosx.dx

A 1 B C D 2

Bài 93: Tính tích phân sau : I = ln(1 + √3.tanx)dx

A B -2 C + 1 D -1

Đặt x = - t

Suy ra I = - ln(1 + √3.tan( - t))dt =

Trang 132

Ta có: = sin5x.sin2x.dx = 2 sin6x.cosx.dx = 2 sin6x.d(sinx) =

Trang 133

Bài 97: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và x.sinx.dx = π) = 3π đồng thời a.cosa

= 0 và b.cosb = -π) = 3π Tính tích phân I = cosx.dx

Trang 134

Bài 98: Có bao nhiêu giá trị thực của a thuộc đoạn [ ;2π) = 3π ] thỏa

mãn

A 2 B 1 C 4 D 3

Đặt t = ⇒ t2 = 1 + 3cosx ⇒2tdt = -3sinxdx ⇒ sinx.dx = - tdt

Trang 135

Đáp án: C

Bài 100: Tính tích phân I = |3x + x - 4|dx ta được kết quả I = a + ( với a, b, c

là các số nguyên dương) Khi đó giá trị của biểu thức T = a3 + 3b2 + 2c bằng:

Trang 136

⇒ = 2 t.etdt = 2(t.et - etdt) = 2(t.et - et ) = 2(2e2 - e - e2 + e) =2e2

Ta có f'(x) = (2a + 3b)e2xcos3x + (2b - 3a)e2xsin3x

Để f(x) là một nguyên hàm của hàm số e2xcos3x , điều kiện là

Định dạng
Số trang	163
Dung lượng	1,68 MB