PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Trong quá trình ôn thi THPTQG, tôi nhận thấy dạng bài tập về đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của các đại lượng đặc trưng của dao động cơ (x, v, a, Wđ, Wt, Fđh, Fkv…theo t hoặc phụ thuộc vào nhau), sóng cơ ( u, v … theo t), dòng điện xoay chiều (UR, UL, UC, P…) theo R, L, C, f… hay dao động và sóng điện từ ( q, i, u, Wđt, Wtt, …theo t hoặc phụ thuộc vào nhau) là dạng bài tập thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh. Nhiều học sinh chỉ làm được các bài tập quen thuộc (thậm chí có nhiều học sinh nhìn thấy bài tập có đồ thị còn ngại, lúng túng do chưa có kỹ năng phân tích trên đồ thị hoặc bỏ qua không làm được). Bởi mỗi đồ thị lại có một hình dạng khác nhau ( đường hình sin, thẳng, elip, parabol, đường cong có tính tuần hoàn…). Vì vậy, việc tìm ra một hướng giải chung cho nhiều bài tập với nhiều tình huống khác nhau từ đó giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết. Ở đây trong phạm vi một chuyên đề hẹp tôi chỉ giới thiệu về dạng bài tập đồ thị trong dao động điều hòa mà chủ yếu là các đồ thị có tính tuần hoàn.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO …………

TRƯỜNG THPT ………

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Mục lục

Phần I: Đặt vấn đề……… 1

Phần II: Hệ thống kiến thức sử dụng trong chuyên đề ………… 2

A - Lý thuyết cơ bản……… 2

B - Dạng đồ thị của một số phương trình……… 4

Phần III: Phân dạng bài tập về đồ thị trong dao động điều hòa……… 7

Phần IV: Phương pháp giải và ví dụ minh họa ……… 7

Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐIỀU HÒA)……… ……… .8

Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian (ĐỒ THỊ CỦA HÀM TUẦN HOÀN)…… ……… 17

Dạng 3: Đồ thị dạng khác: (đường thẳng, elip, parabol )… 20

Phần V: Một số câu đồ thị trong các đề THPTQG các năm gần đây……… 21

Phần VI: Bài tập tự luyện……… 24

Phần VII: Kết luận……… 33

1

PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG

CHUYÊN ĐỀ

A – Lý thuyết cơ bản (Phương trình và công thức của một số đại lượng)

I Phương trình của các hàm điều hòa ( thể hiện mối liên hệ giữa x(t), v(t), a(t ), F kv (t), F đh (t) (CLLX nằm ngang).

N (Trong đó: N là số dao động trong khoảngthời gian t)

+ Tần số dao động: Kí hiệu f , đơn vị Hz Số dao động toàn phần thựchiện được trong một giây

1 2





f T

+ Pha dao động: Kí hiệu t , đơn vị rad

Pha ban đầu:  pha dao động ứng với thời điểm ban đầu, gốc thời gian, thời điểm t 0

2 Phương trình (biểu thức) vận tốc: v x ' Asint (2)

3 Phương trình (biểu thức) gia tốc: a v ' A2cost 2x (3)

4 Lực kéo về hay lực phục hồi: Fkv = - kx = - m ω2x = - kAcos(.t )

(4)

( = Fđh (CLLX nằm ngang))

II Phương trình của các hàm tuần hoàn (thể hiện mối liên hệ giữa W đ (t),

W t (t) , F đh (t)(CLLX thẳng đứng)

5 Động năng: Kí hiệu: W d, đơn vị J

đ

(5)

6 Thế năng: Kí hiệu: W t, đơn vị J 2 2 2 2 2 1 1 W ( ) 2  2       t m x m A cos t (6)

7 Lực đàn hồi : Với con lắc lò xo thẳng đứng: + Fđh = klcb x (7) (chiều dương hướng xuống dưới) + Fđh = klcb x (chiều dương hướng lên trên) III Công thức của các hàm khác ( đường thẳng, elip, parabol…) * Đồ thị là đường thẳng ((t), a(x), F kv (x), F đh (x) 1 Pha của dao động ở thời điểm t: t , đơn vị rad (8)

2 Lực kéo về hay lực phục hồi, lực đàn hồi: Fkv = - kx = - m ω2x ; (9)

Fđh = klcb x (10)

Fđh = klcb  x

3 Công thức độc lập giữa a(x): a = -2.x (11)

* Đồ thị là đường elip (thể hiện mối liên hệ giữa v(x), a(v)) 4 Công thức độc lập giữa v(x) x2 + v2 ω2 = A2 (12)

5 Công thức độc lập giữa a(v)

v2 ω2 + a2 ω4 = A2 (13)

* Đồ thị là đường parabol 6 Công thức của động năng, thế năng theo x hoặc v - Động năng: W đ = mv 2 2 (14)

- Thế năng : Wt = kx 2 2 (15)

3

1 Đồ thị của li độ x theo thời gian t:

Xét phương trình dao động x A cos( t   ), (giả sử chọn chọn gốc thời gian tại

vị trí biên dương để φ = 0) Lập bảng biến thiên của li độ x theo thời gian và đồthị biểu diễn x theo t như sau:

2 Đồ thị và sự so sánh pha của các dao động điều hòa: x, v, a theo t

Vẽ đồ thị của dao động x A cos( t     )trong trường hợp φ = 0

+ Nếu dịch chuyển đồ thị v về phía chiều dương của trục Ot một đoạn

T

4thì

đồ thị của v và x cùng pha nhau

Nghĩa là, v nhanh pha hơn x một góc 2



hay về thời gian là

T

4 + Nếu dịch chuyển đồ thị a về phía chiều dương của trục Ot một đoạn

T

4thì

đồ thị của a và v cùng pha nhau

Nghĩa là, a nhanh pha hơn v một góc 2

 hay về thời gian là

T

4 + Nhận thấy a và x luôn ngược pha nhau (trái dấu nhau)

3 Đồ thị x, v và a theo t dao động điều hòa vẽ chung trên một hệ trục tọa độ

Vẽ đồ thị trong trường hợp φ = 0

4 Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa

a Sự bảo toàn cơ năng

Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo dưới lực thế (trọng lực và lực đànhồi, …) và không có ma sát nên cơ năng của nó được bảo toàn Vậy cơ năng củavật dao động được bảo toàn

Xét con lắc lò xo Tại thời điểm bất kỳ vật có li độ x Acos( t   )và thế năngcủa con lắc lò xo có dạng:

1

W = mv2

d Biểu thức cơ năng

Cơ năng tại thời điểm t:

PHẦN III: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ TRONG DAO

ĐỘNG ĐIỀU HÒA.

Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản:

Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ

CỦA HÀM ĐIỀU HÒA): Xác định phương trình (1 dao động hoặc tổng hợp

dao động), tìm v max , a max , lực kéo về hoặc lực đàn hồi, động năng, thế năng, cơ năng.

Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian (ĐỒ THỊ

CỦA HÀM TUẦN HOÀN): Xác định các đại lượng đặc trưng (ω, A, φ,viết PT

dao động…)

Dạng 3: ĐỒ THỊ DẠNG KHÁC: đường thẳng, elip, parabol…

Đồ thị vận tốc theo li độ, gia tốc theo vận tốc, gia tốc theo li độ, pha của dao động điều hòa theo thời gian, động năng, thế năng, lực đàn hồi, lực đàn hồi

theo vận tốc, theo li độ, pha theo thời gian…: Xác định các đại lượng đặc

trưng (ω, A, φ,viết PT dao động…)

PHẦN IV: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

ĐVĐ: Để giải bài toán về đồ thị nói chung phải dựa vào phương trình về sự

phụ thuộc của các đại lượng vào nhau Ví dụ:

7

+ x(t); v(t); a(t); F kv (t); F đh (t)(với con lắc lò xo ngang) …là đường hình sin, có

tính tuần hoàn, đối xứng qua trục ot

+ W đ (t); W t (t); F đh (t)(với con lắc lò xo thẳng đứng) … là đường hình sin, có tính

tuần hoàn, nhưng không đối xứng qua trục ot.

+ v(x); a(v): là đường elip.

+ a(x); F kv (x); F đh (x); φ(t) là đường thẳng.

+ W đ (v); W t (x); W đ (x); W t (v): là đường parabol.

Dựa vào các đặc điểm của từng đồ thị để khai thác các giá trị trên đồ thị, ở đây

chủ yếu xét các đồ thị có tính tuần hoàn (đồ thị hình sin)

Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ

CỦA HÀM ĐIỀU HÒA): Xác định phương trình (1 dao động hoặc tổng hợp

dao động), tìm v max , a max , lực kéo về hoặc lực đàn hồi, động năng, thế năng, cơ năng.

a Xác định biên độ

Nếu tại VTCB, x = 0, thì:

+ x x  max  A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được A)

+ v v  max  A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được v max)

+ a a  max 2A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được a max)

KL: Tìm biên độ dao động dựa vào trục giới hạn cắt điểm nào đó trên trục tung (tìm biên độ A, ωA hoặc  2 A)

b Xác định pha ban đầu φ

Vì các phương trình được biểu diễn theo hàm chuẩn là hàm cos nên từ đồ thị tasuy ra

0

x cos

A

 

,

0 v max

v cos

v

 

,

0 a max

a cos

a

 

.thấy φ nhận hai giá trị, ta dựa vào chiều chuyển động của vật để loại nghiệm

KL: Tại thời điểm t thì x = ?, v = ?, a = ? nhằm tìm được pha ban đầu φ

c Xác định chu kì T (Suy ra tần số f hoặc tần số góc ω):

Nhận dạng thời điểm trạng thái lặp lại, hay chu kì T là khoảng thời gian giữa

hai điểm cùng pha gần nhất Rồi suy ra tần số f (hoặc tần số góc ω)

Dựa vào thời gian ghi trên đồ thị và pha ban đầu, vẽ lại đường tròn Fresnel đểxác định góc quét tương ứng với thời gian sau đó áp dụng công thức tìm ω:t

T

t = 0; x0 = 0; v0 > 0; = -π/2

A

t 0

T

t = 0; x0= 0; v0 < 0; = π/2

A

t 0

T

0

32

A

13 12

T

0

22

A

x 

9 8

T

2 2

A

7 24



10 5

d) Sau những khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau

và bằng bao nhiêu thì động năng lại bằng thế năng

2

x A

T

2

t 0

A

 2

T

t = 0; x0= -A/2; v0 > 0; = - 2π/3

4 3

T

c) Phương trình gia tốc: a = - ω2.x = -16cos(4  t 3





) (m/s2) ( thay a vào x)

d) Động năng bằng thế năng tại các vị trí:

T

Ví dụ 2 (Vận dụng): Hình vẽ bên là đồ thị

biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời

gian t của một vật dao động điều hòa Tốc

- B2: Từ đồ thị, ta thấy tại t = 0, vật đi

qua vị trí x = 1 cm theo chiều dương

Tại thời điểm t = 0,5 s, vật đi qua vị trí cân

bằng theo chiều âm

+ Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều

hòa với vòng tròn lượng giác ta xác định

Ví dụ 3 ( Đề chính thức THPTQG của Bộ GD – ĐT năm 2017 – MĐ 202) ( Vận dụng): Một vật dao động điều hòa trên

trục Ox Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ

thuộc của li độ x vào thời gian t Tần số góc

nào sau đây đúng?

A Li độ tại Α và Β giống nhau.

B Vận tốc tại C cùng hướng với lực hồi phục.

C Tại D vật có li độ cực đại âm.

D Tại D vật có li độ bằng 0.

Giải

- Tại A và B, li độ trái dấu vì vmax tại VTCB mà A và B ở hai bên VTCB

- Tại C vận tốc âm và đang giảm nên vật đang chuyển động theo chiều âm về biên âm (ở góc phần tư thứ 2) nên li độ âm => Lực hồi phục có giá trị dương

- Vận tốc luôn dao động vuông pha với li độ, tại điểm D vận tốc bằng 0, vật

đang chuyển động theo chiều âm nên tại D vật có li độ cực đại âm => chọn C

Ví dụ 5 (Thông hiểu): Hai vật dao động điều hòa

(có cùng khối lượng) trên cùng một trục tọa độ

Ox Vị trí cân bằng của hai vật trùng với gốc tọa

độ O Đường biểu diễn vận tốc theo thời gian của

mỗi vật v(t) trên hình vẽ bên Chọn gốc thế năng

tại vị trí cân bằng của mỗi vật Hãy chọn phát biểu

sai:

A Ở thời điểm ban đầu (t = 0), vật 1 ở điểm biên.

B Hai vật có cùng chu kì là 3 s.

C Năng lượng dao động của vật 1 bằng 4 lần

năng lượng dao động của vật 2

D Hai vật dao động vuông pha.

- B1: Lúc t = 0: v = 20 thay vào PT: v x ' Asint

và do vận tốc đang giảm nên vật ở li độ dương và đang đi về biên dương

Từ đồ thị ta thấy v2 đạt cực đại trước khi x1 đạt cực đại là 2 ô

Mỗi chu kì 12 ô nên: v2 nhanh pha hơn x1 thời gian là T/6 ứng với góc 3

.Hay v2 sớm pha hơn x1về thời gian làT/6 ứng với góc 3



Vì v2 vuông pha nhanh hơn x2 nên x1 sớm pha hơn x2 là : 2



3



= 6



Chọn B.

Cách 2: Lập PT dao động của hai vật:

Phương trình dao động của M1 là :      

Nhận xét 2 dao động vuông pha nên:

A  A A 10cm v A 200π cm/s

Ví dụ 9 (Đề THPTQG chính thức năm 2015)

(Vận dụng cao): Đồ thị li độ theo thời gian của

chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2 (đường

2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2

là 4π cm/s Không kể thời điểm t = 0, thời điểm

Có hai họ nghiệm t1 3k1(s) với k1 = 1, 2, 3…

Và t 2  k 2  0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2…Các thời điểm x 1  x 2:

Mặt khác:

1 2max

Cách 1: Khai thác trực tiếp các dữ kiện trên đồ thị

+ Cách tính biên độ của đại lượng biến thiên

Biên độ của đại lượng biến thiên = (Giá trị lớn nhất (độ lớn) + giá trị ( độlớn) nhỏ nhất): 2

17

+ Tìm φ: Từ đồ thị viết PT của đại lượng biến thiên, với t = 0 giải PT kết hợp vòng tròn lượng giác suy ra pha ban đầu φ.

+ Tìm ω: Từ tính tuần hoàn của đồ thị suy ra chu kỳ trên trục thời gian ( Chú ý

với đồ thị động năng và thế năng theo thờii gian thì chu kỳ T ’ = T/2, lực đàn hồi

T ’ = T)

Cách 2: Biến đổi hàm tuần hoàn về hàm điều hòa và vẽ lại đồ thị bằng sự dịch chuyển của trục ot sao cho đường hình sin đối xứng để xác định chu

kỳ, biên độ và pha ( sử dụng được vòng tròn lượng giác)

* Từ PT của đại lượng biến thiên đặt thành hàm mới là hàm điều hòa với sự

dịch chuyển trên trục ot = phần hằng số trong phương trình ban đầu

Ví dụ 10 ( Vận dụng): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có độ cứng k = 25 N/

m dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Biết trục Ox thẳng đứng hướngxuống, gốc O trùng với vị trí cân bằng Biết giá trị đại số của lực đàn hồi tácdụng lên vật biến thiên theo đồ thị Viết phương trình dao động của vật?

Ví dụ 11 (Nhận biết): Cho một vật dao động điều hòa

với biên độ A dọc theo trục Ox và quanh gốc tọa độ O

Một đại lượng Y nào đó của vật phụ thuộc vào li độ x

của vật theo đồ thị có dạng một phần của đường

pa-ra-bôl như hình vẽ bên Y là đại lượng nào trong số các đại

lượng sau?

A Vận tốc của vật B Động năng của vật

C Thế năng của vật D Gia tốc của vật.

đàn hồi của lò xo biến thiên theo đồ thị

như hình vẽ Lấy π2 ≈ 10 Khối lượng của

hồi có độ lớn đang giảm

→ tại t = 0 vật chuyển động qua vị trí cân

bằng theo chiều âm

→ Từ đồ thị ta thấy hai vị trí lực đàn hồi

có giá trị bằng 2N ở thời điểm t = 0,2s và t

(F 2)  (F 0) 

(F 0) 

(F 1)  A

Dạng 3: DẠNG ĐỒ THỊ KHÁC: Đường thẳng, elip, parabol…

(Đồ thị vận tốc theo li độ, gia tốc theo vận tốc, gia tốc theo li độ, pha của dao

động điều hòa theo thời gian, động năng, thế năng, lực đàn hồi, lực kéo về theo

li độ hoặc vận tốc trong dao động điều hòa điều hòa).

* Sử dụng tính chất của các đồ thị trong toán học ví dụ như công thức tính tọa độ ở đỉnh parabol, tiêu điểm của các elip hay giá trị của đường thẳng có

đi qua gốc tọa độ…

Ví dụ 13 (Vận dụng) Một vật nặng có khối lượng m = 0,01 kg dao động điềuhòa quanh vị trí cân bằng Đồ thị hình bên mô tả lực kéo về F tác dụng lên vậttheo li độ x Chu kì dao động của vật là

dụng cao): Đồ thị li độ theo thời gian của

chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2

(đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của

chất điểm 2 là 4π cm/s Không kể thời điểm

t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ

lần thứ 5

21

A 4s B 3,25s

C 3,75 D 3,5s.

Câu 2 (Đề THPTQG 2016)( thông hiểu): Cho hai

vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng

song song với trục Ox Vị trí cân bằng của mỗi vật

nằm trên đường thẳng vuôn góc với trục Ox tại O

Trong hệ trục vuông góc xOv, đường (1) là đồ thị

biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1,

đường (2) la đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận

tốc và li độ của vật 2 (hình vẽ) Biết các lực kéo về

cực đại tác dụng lên hai vật trong quá trình dao động là bằng nhau Tỉ số giữakhối lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là

Câu 3 (Đề THPTQG 2017 – MĐ 202) (Vận

dụng): Một vật dao động điều hòa trên trục Ox.

Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li

độ x vào thời gian t Tần số góc của dao động

dụng): Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ

thuộc của vận tốc v theo thời gian t của một

vật dao động điều hòa Phương trình dao

diễn sự phụ thuộc của động năng W đ của

con lắc theo thời gian t Hiệu t2 −t1 có giá

trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A 0,27 s B 0,24 s

C 0,22 s D 0,20 s.

Câu 6 (Đề THPTQG 2018 – MĐ 203)

(Thông hiểu): Hai vật M1 và M2 dao động

điều hòa cùng tần số Hình bên là đồ thị biểu

diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận

tốc v2 của M2 theo thời gian t Hai dao động

của M1 và M2 lệch pha nhau

A.π/3 B 2π/3.

C 5π/6 D π/6.

Câu 7 (Đề THPTQG 2018 – MĐ 203)

(Thông hiểu): Hai vật M1 và M2 dao động

điều hòa cùng tần số Hình bên là đồ thị biểu

diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận

tốc v2 của M2 theo thời gian t Hai dao động

của M1 và M2 lệch pha nhau

A π/3 B 2π/3.

C 5π/6 D π/6.

Câu 8 (Đề THPTQG 2018 – MĐ 203) (Thông hiểu):

Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ

x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian

Hai dao động của M2 và M1 lệch pha nhau

Câu 9 (Đề THPTQG 2018 – MĐ 203) (Thông hiểu):

Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ

x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian t

Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau:

vào một điểm cố định đang dao động điều

hòa theo phương thẳng đứng Hình bên là đồ

thị biểu diễn sự phụ thuộc của lực đàn hồi F

mà lò xo tác dụng lên vật nhỏ của con lắc

theo thời gian t Tại t=0,3 s, lực kéo về tác

dụng): Một con lắc lò xo được treo vào một điểm

cố định đang dao động điều hòa theo phương

thẳng đứng Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ

thuộc của lực đàn hồi F mà lò xo tác dụng lên vật

nhỏ của con lắc theo thời gian t Tại t=0,45 s, lực

kéo về tác dụng lên vật có độ lớn là

Câu 12 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 –

MĐ 203): Một con lắc lò xo được treo vào một

điểm cố định đang dao động điều hòa theo

phương thẳng đứng Hình bên là đồ thị biểu diễn

sự phụ thuộc của lực đàn hồi F mà lò xo tác dụng

lên vật nhỏ của con lắc theo thời gian t Tại t =

0,15s lực kéo về tác dụng lên vật có độ lớn là

PHẦN VI: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1: ĐỒ THỊ HÌNH SIN – HÀM ĐIỀU HÒA

(Đồ thị li độ x, vận tốc v, gia tốc a, lực kéo về F kv )

Câu 1(NB) Hình vẽ bên là đồ thị biểu diễn sự

phụ thuộc của li độ x vào thời gian t của một

vật dao động điều hòa Biên độ dao động của

vật là