Phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề “ Nguyên hàm – Tích phân” lớp 12 Trung học phổ thông

Bước đầu hệ thống các cơ sở lý luận về rèn luyện tư duy sáng tạo trong giải toán. Bước đầu xác định được các biện pháp để rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm Tích phân” lớp 12 trung học phổ thông. Thiết kế được các hoạt động dạy học các tình huống điển hình và một số bài tập trong dạy học giải toán chủ đề “ Nguyên hàm – Tích phân” theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

BÙI THỊ THANH HƯƠNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN

ii

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

BÙI THỊ THANH HƯƠNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN

CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN”

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu,hội đồng khoa học và các thầy cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường Đạihọc Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuậnlợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầygiáo PGS.TSKH Vũ Đình Hòa - người đã trực tiếp hướng dẫn nhiệt tình chỉbảo tác giả trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm tạo điều kiện của Banlãnh đạo Sở Giáo Dục - Đào tạo Hà Nội và Ban giám hiệu, các thầy cô giáo

và các em học sinh trường THPT Thạch Thất - Hà Nội đã tạo điều kiện thuậnlợi nhất cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia đình và bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học (bộ môn Toán) khóa QH-2017-S trường Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên, tiếpthêm sức mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này chắc chắn không tránhkhỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa đổi Tác giả mong được lượng thứ

và rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạnđồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2019

Tác giả

Bùi Thị Thanh Hương

iv

Biểu đồ 3.1 Đồ thị biểu diễn đường quỹ tích của bài kiểm tra 84

Bảng 3.1 Bảng phân bố kết quả bài kiểm tra 45 phút của học sinh 85

Biểu đồ 3.2 Đồ thị phân loại kết quả học tập của học sinh bài kiểm tra 85

Bảng 3.2 Mô tả và so sánh dữ liệu kết quả bài kiểm tra 85

Bảng 3.3 Mô tả kết quả kiểm định Z 86

MỤC LỤC

vi

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT v

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ vi

MỤC LỤC vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 4

5 Phạm vi nghiên cứu 4

6 Vấn đề nghiên cứu 4

7 Giả thuyết nghiên cứu 4

8 Phương pháp nghiên cứu 5

9 Đóng góp của luận văn 5

10 Cấu trúc luận văn 6

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Tư duy 7

1.1.1 Khái niệm tư duy 7

1.1.2 Các đặc điểm cơ bản của tư duy 8

1.1.3 Các giai đoạn hoạt động của tư duy 9

1.1.4 Các thao tác của tư duy 9

1.2 Sáng tạo 10

1.2.1 Khái niệm 10

1.2.2 Quá trình sáng tạo 11

1.3 Tư duy sáng tạo 12

1.3.1 Khái niệm tư duy sáng tạo 12

1.3.2 Một số yếu tố đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo 13

1.4 Dạy học giải toán 16

vii

1.4.1 Vai trò của việc giải toán 16

1.4.2 Yêu cầu đối với lời giải toán 16

1.4.3 Các bước của hoạt động giải toán 17

1.5 Nội dung kiến thức liên quan đến giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” lớp 12 Trung học phổ thông 17

1.5.1 Nguyên hàm 18

1.5.2 Tích phân 21

1.5.3 Ứng dụng của tích phân 24

1.5.4 Các dạng bài tập Nguyên hàm – Tích phân 25

1.6 Thực trạng dạy và học thông qua hoạt động giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường phổ thông hiện nay 26

1.7 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán 29

1.8 Phương hướng dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” 31

Kết luận chương 1 32

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN” LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO 34

2.1 Đề xuất một số biện pháp dạy học thông qua hoạt động giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 34

2.1.1 Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua giải bài tập “Nguyên hàm - Tích phân” 34

2.1.2 Khuyến khích cho học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán “Nguyên hàm - Tích phân” 45

2.1.3 Khuyến khích học sinh tìm con đường ngắn nhất đi tới lời giải 53

viii

2.1.4 Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc xây dựng bài toán mới từ bài

toán đã cho 59

2.2 Thiết kế một số bài tập chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” vận dụng các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 65

2.2.1 Sáng tạo bài toán tương tự từ bài toán đã cho 65

2.2.2 Tìm một lời giải mới cho bài toán đã biết 68

2.2.3 Từ bài toán đã cho áp dụng giải bài toán khác 69

2.2.4 Vận dụng tích phân giải các bài toán thực tế 72

Kết luận chương 2 74

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 76

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 76

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 76

3.2 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 77

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 77

3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm 78

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm 80

3.5.1 Phân tích định lượng 80

3.5.2 Phân tích định tính 87

Kết luận chương 3 88

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 89

1 Kết luận 89

2 Khuyến nghị 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

PHỤ LỤC

ix

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa của nước ta đang mở cửa đểhội nhập với cộng đồng các nước trên thế giới, đòi hỏi nguồn nhân lực khôngchỉ đủ về số lượng và còn phải có chất lượng Nguồn nhân lực giữ vai trò hếtsức quan trọng đối với sự phát triển của mỗi cơ quan, đơn vị cũng như của đấtnước Kiến thức và sự hiểu biết về nguyên tắc đảm bảo chất lượng ngày càngđược mở rộng, đòi hỏi công tác giáo dục và đào tạo ở nước ta phải có nhữngđổi mới tốt hơn và toàn diện hơn Tiếp nối chủ trương đổi mới căn bản, toàndiện giáo dục và đào tạo mà Đại hội lần thứ XI đã đề ra, Đại hội Đảng lần thứXII xác định: “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo theo hướng

mở, hội nhập, xây dựng xã hội học tập, phát triển toàn diện năng lực, thể chất,nhân cách, đạo đức, lối sống, ý thức tôn trọng pháp luật và trách nhiệm côngdân ” [10] Để thực hiện tốt yêu cầu đó, việc đổi mới giáo dục cần tập trungvào việc coi trọng phát triển phẩm chất và năng lực của người học Một trongnhững hướng đổi mới giáo dục là chuyển từ nền giáo dục mang tính chất hànlâm, xa rời với thực tiễn sang nền giáo dục chú trọng phát huy tính tự lực, chủđộng và sáng tạo của người học Cụ thể, trong dạy học phổ thông cần đổi mớitheo hướng chuyển từ lối truyền thụ một chiều, ghi nhớ máy móc sang tậptrung dạy cách học, cách nghĩ, phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo và vậndụng kiến thức theo phương châm “giảng ít, học nhiều”

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học cũng được xác định vàđược thể chế hóa trong Luật Giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/06/2005,điều 2.4 đã ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tíchcực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từnglớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vậndụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng

thú học tập cho học sinh” [21] Như vậy việc rèn luyện, phát huy khả năngsáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ rất quan trọng, cần thiết của nhà trường phổthông hiện nay Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Đốivới học sinh, có thể nói giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toánhọc Thông qua việc giải toán giúp học sinh nắm vũng tri thức, phát triển tưduy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn Hoạt độnggiải toán là điều kiện thực hiện các mục tiêu dạy học Toán ở trường phổ thônghiện nay.

Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giảtrong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm nổi tiếng “Sáng tạotoán học”, G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trìnhsáng tạo toán học Ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn,Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức, đã có nhiềucông trình giải quyết những vấn đề lý luận và thực tiễn việc phát triển tư duysáng tạo cho học sinh Ngoài ra, có một số luận văn nghiên cứu về các hướng:Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giảibài tập hình học; Khai thác sách giáo khoa hình học 10 trung học phổ thônghiện hành qua một số dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực tư duysáng tạo cho học sinh; Bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

học sinh lớp 12 thì tính tích phân là một phần mới, khó trong quá trình học và

gặp nhiều trong đề thi trung học phổ thông quốc gia Để học tốt vấn đề nàyđòi hỏi học sinh phải nắm vững và có cái nhìn sâu sắc hơn về các phương

pháp, cách giải cũng như biết vận dụng nó một cách sáng tạo các phươngpháp giải toán Vì vậy bài tập Nguyên hàm - Tích phân chứa đựng nhiều cơhội để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, để giúp cho học sinh có thể tưduy một bài toán nhanh nhất đáp ứng được yêu cầu đổi mới của việc học vàthi, đó là sự sáng tạo trong làm bài

Xuất phát từ những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là:

“Phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 Trung học phổ thông” để góp phần về đổi mới căn bản giáo dục

và đào tạo đó là chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thứcsang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu cơ sở lý luận liên quan đến tư duy sáng tạo, luậnvăn khẳng định vai trò, ý nghĩa và các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo.Đồng thời qua đó đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển tư duysáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán Nguyên hàm - Tích phânlớp 12 Trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo

- Điều tra thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo chủ đề Nguyênhàm - Tích phân cho học sinh ở một số trường trung học phổ thông (THPT) tại

Hà Nội Qua đó đề xuất biện pháp dạy học thông qua hoạt động giải toánNguyên hàm - Tích phân nhằm rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh

- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập Nguyên hàm - Tích phânnhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệnthực và tính hiệu quả của đề tài nghiên cứu.

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 ởtrường trung học phổ thông

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Là các biện pháp sư phạm nhằm phát triển tư duy sáng tạo trong dạyhọc giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 ở trường Trung họcphổ thông

5 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các biện pháp nhằm rèn luyện, khuyến khích để phát triểnmột số yếu tố của tư duy sáng tạo qua dạy học giải bài tập Nguyên hàm - Tíchphân lớp 12 Trung học phổ thông thuộc chương 3: Nguyên hàm, tích phân vàứng dụng

Mẫu khảo sát: Học sinh hai lớp 12A1, 12A2 trường THPT Thạch Thất,huyện Thạch Thất, thành phố Hà Nội

7 Giả thuyết nghiên cứu

Theo phân phối chương trình của Bộ giáo dục đào tạo và chương trìnhsách giáo khoa, nếu xây dựng được hệ thống bài tập theo hướng phát triển tưduy sáng tạo và có biện pháp sử dụng hợp lý sẽ góp phần nâng cao chất lượnghọc tập của học sinh

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu lý luận dựa vào những tài liệu có sẵn về giáo dục học, tâm

lý học, lý luận dạy học môn Toán

- Nghiên cứu sách giáo khoa Giải tích 12 hiện hành, sách toán thamkhảo liên quan đến phần Nguyên hàm - Tích phân lớp 12

- Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích các tài liệu sách, tạp chí khoa họctrong nước và ngoài nước và các công trình khoa học khác liên quan tới đề tàinghiên cứu

8.2 Phương pháp quan sát, điều tra

- Dự giờ để quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của học sinhtrong những giờ dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp về thựctrạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và những khó khăntrong khi dạy và học phần Nguyên hàm - Tích phân lớp 12

- Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các chuyêngia lý luận và phương pháp bộ môn Toán

- Điều tra thực trạng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh trước và saukhi làm thực nghiệm

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tiến hành dạy thực nghiệm ở các lớp 12A1, 12A2 trường THPT ThạchThất, huyện Thạch Thất, thành phố Hà Nội năm học 2018 - 2019 để xét tínhkhả thi và hiệu quả của việc phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toánNguyên hàm - Tích phân ở trường Trung học phổ thông

8.4 Phương pháp thống kê toán học

Xử lý các số liệu thu thập được sau khi tiến hành thực nghiệm

9 Đóng góp của luận văn

Trình bày cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo: khái niệm tư duy, sáng tạo,

tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Thực trạng của việc dạy học thông qua hoạt động giải bài tập chủ đềNguyên hàm - Tích phân nhằm phát triển tư duy sáng tạo ở nhà trường phổthông hiện nay.

Đề xuất được các biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho họcsinh thông qua dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân”

Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồngnghiệp và cho những ai quan tâm đến dạy học thông phát triển tư duy sáng tạo

và góp phần hữu ích cho việc giảng dạy bài tập chuyên đề “Nguyên hàm Tích phân”

-10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạyhọc giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” lớp 12 Trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Trong thế giới hiện thực có rất nhiều cái mà con người chúng ta chưabiết, chưa nhận thức được Nhiệm vụ của cuộc sống luôn luôn đòi hỏi conngười phải thấu hiểu những cái chưa biết đó, phải vạch được ra bản chất cũngnhư quy luật hoạt động của chúng Quá trình nhận thức như vậy gọi là tư duy

Theo từ điển Tiếng Việt: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhậnthức, đi sâu và bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng nhữngnhững hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”[23, tr 1437]

Tác giả Trần Thúc Trình đã định nghĩa về tư duy trong cuốn “Rènluyện tư duy trong dạy học Toán” như sau: “Tư duy là một quá trình nhậnthức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luậtcủa sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết” [20, tr 1]

Theo quan niệm của tâm lý học, tư duy là thuộc tính đặc biệt của vậtchất có tổ chức cao - bộ não người Tư duy phản ánh thế giới vật chất dướidạng các loại hình ảnh lý tưởng: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánhnhững thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tínhquy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó tachưa biết” [22, tr 79] Quá trình phản ánh này là quá trình được thực hiệnmột cách gián tiếp, độc lập với nhau và mang tính khái quát, nó được nảy sinhtrên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ sự nhận thức cảm tính nhưng vượt xa giớihạn của nhận thức cảm tính

Từ những phân tích một số quan điểm về tư duy ở trên, ta có thể hiểutrước tiên tư duy nó là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cáchđặc biệt là hệ thống thần kinh cao cấp, nó không chỉ gặp với bộ não của từngngười mà nó còn gắn liền với sự tiến hóa của xã hội và trở thành sản phẩm cótính xã hội đồng thời vẫn duy trì được tính cá thể của mỗi người nhất định.Bên cạnh đó nó còn là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan dưới dạng

các khái niệm, phán đoán, suy luận của sự vật, hiện tượng trong hiện thựckhách quan mà trước đó chưa biết.

Như vậy, tư duy có tác dụng rất lớn đối với đời sống xã hội của conngười Mỗi người chúng ta đều có thể dựa vào tư duy để nhận thức được cácquy luật của thế giới tự nhiên, xã hội đồng thời lợi dụng nó trong hoạt độngthực tiễn, quá trình lao động sáng tạo của mình

1.1.2 Các đặc điểm cơ bản của tư duy

Tư duy với tư cách là một mức độ của hoạt động nhận thức khi đó cónhững đặc điểm sau:

Tính có vấn đề của tư duy

Tính gián tiếp của tư duy

Tính trừu tượng hóa và tính khái quát hóa của tư duy

Tính chất lý tính của tư duy

Tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ

Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Từ những đặc điểm cơ bản trên của tư duy ta có thể hiểu tư duy là sảnphẩm của sự phát triển lịch sử - xã hội, nó mang bản chất xã hội Và cũng từnhững đặc điểm này ta rút ra được những một số yếu tố quan trọng trong quátrình dạy học như sau:

- Trước tiên giáo viên cần phải coi trọng việc phát triển tư duy cho họcsinh Bởi vì nếu một học sinh không có khả năng tư duy thì học sinh đó không

có hiểu biết do vậy không học tập và rèn luyện bản thân được

- Muốn kích thích học sinh tư duy đầu tiên phải đưa học sinh vàonhững tình huống có vấn đề tạo sự tò mò cho học sinh mong muốn giải quyết

nó và sau đó tổ chức cho học sinh tư duy độc lập, sáng tạo giải quyết tìnhhuống có vấn đề

- Việc phát triển tư duy phải được tiến hành song song giữa quan sáttìm hiểu thực tế và rèn luyện cảm giác, năng lực trí nhớ thông qua việc

truyền thụ tri thức Mọi tri thức đều mang tính khái quát, nếu không tư duy thìkhông thực sự tiếp thu, đồng thời không vận dụng được tri thức đó.

- Việc phát triển tư duy phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ, bởi vìngôn ngữ là cái vỏ để thể hiện tư duy Từ đó mới biểu đạt được tư duy củabản thân cũng như lĩnh hội tư duy của đối tượng khác

- Tăng cường khả năng trừu tượng hóa và khái quát hóa trong suy nghĩcủa học sinh

- Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, trigiác, năng lực quan sát và trí nhớ bởi vì thiếu những tài liệu cảm tính thì tưduy không thể diễn ra được

- Để phát triển tư duy không còn cách nào khác là thường xuyên thamgia các hoạt động nhận thức, các mối quan hệ giao tiếp và thực tiễn xã hội.Qua đó tư duy của con người sẽ không ngừng được nâng cao

1.1.3 Các giai đoạn hoạt động của tư duy

Giai đoạn 1: Xác định được vấn đề, diễn đạt nó thành các câu hỏi cầngiải đáp Tức là đi tìm các câu hỏi tạo thành nhiệm vụ của tư duy

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm có liên quan, nhữngliên tưởng nhất định của bản thân chủ thể đến vấn đề đã được xác định Sau

đó hình thành giả thiết về cách giải quyết, cách trả lời câu hỏi

Giai đoạn 3: Xác minh giả thiết trong thực tế, sàng lọc các ý tưởng nếugiả thiết không đúng thì chuyển sang bước sau, nếu sai thì phủ định giả thiết

đó và hình thành giả thiết mới

Giai đoạn 4: Đưa ra quyết định, sử dụng, đánh giá kết quả

1.1.4 Các thao tác của tư duy

Quy trình tư duy với tư cách là một hành động Xét về bản chất thì tưduy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ nhất định để giảiquyết nhiệm vụ hay vấn đề đặt ra Mỗi một cá nhân được coi là có tư duy haykhông có tư duy chính là ở chỗ họ có tiến hành các thao tác này ở trong đầu

của mình hay không? Do vậy các thao tác trí tuệ này còn gọi là những quyluật bên trong của tư duy bao gồm:

Phân tích

Tổng hợp

So sánh - Tương tự

Khái quát hóa - Trừu tượng hóa

Ngoài những thao tác tư duy trên còn có một số thao tác tư duy khác là:

cụ thể hóa, phân loại và hệ thống hóa

1.2 Sáng tạo

1.2.1 Khái niệm

Theo từ điển Tiếng việt: “Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vậtchất và tinh thần Hay là tìm ra cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộcvào cái đã có” [23, tr 1130] Nội dung của sáng tạo được hiểu cụ thể hơn baogồm hai ý cơ bản là có tính mới (khác cái đã biết, cái cũ) và có lợi ích (giá trịhơn cái cũ) Do đó sáng tạo là hết sức cần thiết cho bất kỳ ai, bất kỳ lĩnh vựchoạt động xã hội trong cuộc sống của con người cả vật chất và tinh thần

Theo Bách khoa toàn thư Việt Nam: “Sáng tạo là hoạt động của conngười trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thếgiới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và yêu cầu của con người Sángtạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất”[11]

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của tưduy từ những nhận thức, hiểu biết đã có cho đến những nhận thức, hiểu biếtmới Vận động đi liền với biện chứng nên tư duy biện chứng sẽ là trọng tâmsuốt toàn quyển sách, các tư duy khác, nhất là tư duy logic cũng đóng một vaitrò quan trọng ” [21, tr 7]

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo đối với người họctoán: “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu

họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họchưa từng biết” [20] Như vậy trong các bài tập đưa ra cho học sinh giải thìđối với mỗi một bài tập toán cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếucác thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phầnhay hoàn toàn), điều đó có nghĩa là nếu người làm toán chưa biết trước thuậttoán, phương pháp để giải bài toán đó thì đầu tiên phải tiến hành tìm hiểutừng bước đi chưa biết đó Trong nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị chohọc sẵn sàng các hoạt động sáng tạo nội dung vừa trình bày.

Qua các khái niệm trên ta có thể hiểu một cách ngắn gọn: “Sáng tạo làmột sản phẩm của tư duy, nó là sự say mê nghiên cứu, tìm tòi để tạo ra nhữnggiá trị mới về cả vật chất và tinh thần hoặc tìm ra cái mới, cách giải quyết mới

có ích, độc đáo mà không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có, nó cần thiết chobất kỳ một lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người”

1.2.2 Quá trình sáng tạo

Giai đoạn chuẩn bị: là giai đoạn chủ thể chuẩn bị cho công việc, hình

thành vấn đề và thử giải quyết vấn đề bằng các cách khác nhau như huy độngcác thông tin có ích để có thể cho lời giản cần tìm và đưa ra những suy luận

và trực giác

Giai đoạn ấp ủ: giai đoạn được bắt đầu khi công việc giải quyết vấn

đề bị ngừng lại, chỉ còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ sungcho vấn đề được quan tâm

Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn được ấp ủ kéo dài đến khi có sự

"bừng sáng" trực giác, có sự nhảy vọt về chất trong quá trình nhận thức, nóxuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo Đây là giai đoạn nhảy vọt vềchất trong quá trình nhận thức từ đó đi đến việc quyết định trong quá trình tìmkiếm lời giải

Giai đoạn kiểm chứng: là giai đoạn chủ thể kiểm chứng trực giác,

triển khai các luận chứng logic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách

thức giải quyết vấn đề Giai đoạn này là cần thiết vì tri thức nhận được bằngtrực giác chưa chắc chắn và chính xác về bản chất vì nó có thể đánh lừa, đánhlạc hứng, gây cản trở cho việc tìm kiếm kết quả Khi được kiểm chứng lúcnày sự sáng tạo mới được khẳng định.

1.3 Tư duy sáng tạo

1.3.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Theo quan điểm của nhà tâm lý học G Mehlhorn: “Tư duy sáng tạohạt nhân của sự sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục”

Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán

là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về nhữngmặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ởkhả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kếtquả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [12, tr 50]

Theo nhà sư phạm G Polya cho rằng: “Mỗi tư duy gọi là có hiệu quảnếu tư duy đó dẫn đến lời giải của bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sángtạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này.Các bài toán vận dụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn,

có dạng muôn màu, muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao” [13]

Tác giả Iarosepki M G và Petropski A V (dẫn theo Lê Hải Yến) đãđưa ra khái niệm của tư duy sáng tạo: “Tư duy sáng tạo là một trong các dạngcủa tư duy, được đặc trưng bởi sự tạo nên sản phẩm mới và những cấu thànhmới trong hoạt động nhận thức Cái mới đó, cấu thành mới đó có liên quanđến động cơ, mục đích, sự đánh giá và các ý tưởng của chủ thể Tư duy sángtạo phân biệt với các quá trình tiếp nhận tri thức kỹ năng có sẵn, các tri thức

và kỹ năng có sẵn được tạo ra bởi tư duy tái tạo” [24]

Từ các khái niệm về tư duy sáng tạo, ta có thể hiểu tư duy sáng tạo làmột thuộc tính, một phẩm chất trí tuệ đặc biệt của con người, nó tạo ra ýtưởng mới, có hiệu quả cao trong việc giải quyết vấn đề Hoạt động sáng tạo

được diễn ra ở mọi lĩnh vực, mọi nơi và mọi thời điểm, bản chất của nó là tìm

ra cái mới, độc đáo và có giá trị xã hội

Tuy nhiên, tư duy sáng tạo có tính chất tương đối vì trong một tìnhhuống hay hoàn cảnh nào đó một phát hiện có thể được coi là sáng tạo nhưngchưa chắc được coi là sáng tạo trong một tình huống hay hoàn cảnh khác Hayđược coi là sáng tạo đối với người này nhưng không sáng tạo đối với ngườikhác Mặc dù vậy tư duy sáng tạo luôn là một dạng của tư duy độc lập,không bị gò bó, phụ thuộc vào những cái đã có Tính độc lập của nó thể hiện

ở việc đặt mục đích, tìm giải pháp Đồng thời sản phẩm cuối cùng của quátrình tư duy sáng tạo đều mang đậm dấu ấn của bản người đã tạo ra nó

1.3.2 Một số yếu tố đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học và các nhàkhoa học giáo dục khi nói đến cấu trúc của tư duy sáng tạo thì có năm yếu tốđặc trưng cơ bản sau: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tínhhoàn thiện và tính nhạy cảm vấn đề

Tính mềm dẻo của tư duy được thể hiện ở các đặc trưng sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,

từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác Đó là năng lực chuyển dịch

dễ dàng, nhanh chóng và có trật tự của hệ thống tri thức tạo nên cách tư duymới, tạo nên sự vật mới trong các mối quan hệ mới Vận dụng linh hoạt các

hoạt động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, tương tự hóa,khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn,tương tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác.

- Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ mới nếu hướng suy nghĩ cũ gặptrở ngại

- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng máy móc kinh nghiệm,kiến thức, kỹ năng đã có vào trong điều kiện, hoàn cảnh mới trong đó cónhững yếu tố đã thay đổi

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năngmới của đối tượng đã biết

- Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm,phương pháp, cách thức suy nghĩ đã có hay quen thuộc

Như vậy, trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán, việc đưa ra hệ thốngbài tập cho học sinh là rất quan trọng giúp cho các em có khả năng rèn luyệnđược tính mềm dẻo thông qua các thao tác tư duy của chính bản thân mình

b Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn thể hiện khả năng làm chủ tư duy, làm chủ kiếnthức, kỹ năng, đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa cácyếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhàtâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng được sinh ra, lấy đólàm tiêu chí để đánh giá tính sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn của tư duy được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một

số lượng nhất định các ý tưởng trong một thời gian nhất định Số ý tưởngcàng nhiều thì khả năng xuất hiện có nhiều những ý tưởng lạ và độc đáo,trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng của ý tưởng đó.Tính nhuần nhuyễn còn được thể hiện rõ nét bởi đặc trưng:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, xem xét đối tượng ởnhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn đa chiều, toàn diện với một vấn đề

- Khả năng tìm được nhiều giải pháp trên các góc độ, khía cạnh vàtình huống khác nhau

- Khả năng tìm và đề xuất nhiều phương án, từ đó tìm ra nhữngphương án tối ưu mới, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía với sự vật, hiệntượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc Người có tưduy nhuần nhuyễn là người đứng trước một vấn đề cần giải quyết thì họnhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương pháp khác nhau để từ đó tìm

ra được phương án tối ưu

c Tính độc đáo

Tính độc đáo là khả năng tự mình tìm kiếm phát hiện vấn đề, tự pháthiện phương hướng và tìm ra những phương thức giải quyết lạ hoặc duy nhất

Tính độc đáo được thể hiện bởi đặc trưng:

- Khả năng tìm ra các hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong sự kiện bên ngoài tưởngnhư không có gì liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra được những giải pháp lạ, độc đáo tuy đã biết nhữnggiải pháp khác

d Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa ý nghĩ vàhành động với nhau, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

e Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề được đặc trưng bởi:

- Khả năng nhanh chóng tìm và phát hiện ra vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu, từ

đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra sản phẩm mới lạ, có thể phát triển và ứngdụng rộng rãi

Trong các yếu tố trên thì ba yếu tố đầu tiên là ba yếu tố quan trọng vàđược sự nhất trí cao trong các công trình nghiên cứu về cấu trúc của tư duy

sáng tạo Tất cả các yếu tố đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo ở trên cóquan hệ mật thiết, hỗ trợ và bổ sung cho nhau, trong đó tính độc đáo được cho

là quan trọng nhất trong biểu đạt sự sáng tạo, tính nhạy cảm vấn đề đi liền với

cơ chế xuất hiện của sự sáng tạo

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần có cácphương pháp dạy học thích hợp, tạo cơ hội cho học sinh được phân tích bàitoán, tìm các cách giải, xét bài toán dưới nhiều góc độ Từ đó lựa chọn đượcphương án giải tối ưu qua việc tìm lời giải cho từng bài toán, giáo viên có thểgiúp học sinh hiểu sâu, nắm vững và biết vận dụng kiến thức một cách linhhoạt, sáng tạo khi giải toán từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ởphổ thông

1.4 Dạy học giải toán

1.4.1 Vai trò của việc giải toán

Bài tập và việc giải được một bài tập toán có vai trò rất quan trọngtrong quá trình học tập môn Toán ở trường trung học phổ thông Thông quaviệc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt động như bao gồm cảnhận dạng, thể hiện định nghĩa, khái niệm, định lý, quy tắc - phương pháp,những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, phổ biếnhay hoạt động ngôn ngữ trong toán học Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả

ba bình diện: mục tiêu dạy học, nội dung dạy học và phương pháp dạy họctrong quá trình giảng dạy

1.4.2 Yêu cầu đối với lời giải toán

Lời giải đúng, tốt và hoàn chỉnh một bài toán cần được thực hiện cácyêu cầu sau đây:

- Kết quả đúng, lời giải không có chứa sai lầm kể cả bước trung gian

- Lập luận phải có căn cứ chính xác và thuyết phục

- Lời giải phải chi tiết và đầy đủ các bước

Ngoài các yêu cầu trên, trong dạy học giải toán còn yêu cầu lời giải cần

ngắn gọn, ngôn ngữ chính xác, cách trình bày rõ ràng, mạnh lạc và hợp lý,nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

1.4.3 Các bước của hoạt động giải toán

Hoạt động giải toán thường được diễn ra theo các bước sau:

- Tìm hiểu đề bài

- Tìm kiếm phương pháp giải cho bài toán

- Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành trình bày lời giải theohướng đã được chọn

- Kiểm tra, đánh giá kết quả và viết lời giải chi tiết

1.5 Nội dung kiến thức liên quan đến giải toán chủ đề “Nguyên hàm Tích phân” lớp 12 Trung học phổ thông

-Trong chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 (Nâng cao) đã xemnguyên hàm là công cụ dùng để định nghĩa tích phân và đã giành một chương

để trình bày chủ đề “ Nguyên hàm - Tích phân”

Nội dung chương III của Giải tích 12: Nguyên hàm, tích phân và ứngdụng bao gồm các bài sau:

Bài 1: Nguyên hàm (2 tiết)

Bài 2: Một số phương pháp tìm nguyên hàm (2 tiết)

Bài 3: Tích phân (2 tiết)

Bài 4: Một số phương pháp tính tích phân (2 tiết)

Bài 5: Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng (2 tiết).Bài 6: Ứng dụng của tích phân để tính vật thể (2 tiết)

Theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chủ đềNguyên hàm - Tích phân (chương trình nâng cao) ở trường THPT được dạyđầu học kỳ II với thời gian 20 tiết trong đó có 12 tiết lý thuyết và 8 tiết bàitập, với thời gian như trên giáo viên chỉ có thể giúp học sinh hiểu được cáckhái niệm và biết được phương pháp tính nguyên hàm, tích phân cơ bản Để

có yêu cầu cao hơn thì giáo viên cần phải tận dụng các giờ học luyện tập haygiờ tự chọn để rèn luyện phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Với nội dung lý thuyết cơ bản cần nắm được cụ thể như sau:

1.5.1 Nguyên hàm

1.5.1.1 Khái niệm nguyên hàm, họ nguyên hàm (tích phân bất định)

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b)

nếu với mọi x( ; );a b ta có ( )F x f x( )

Ví dụ a) Hàm số

3( )

có cosxsinxvới mọi x R

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

nếu với mọi x[ ; ]a b , ta có ( )F x f x( ), các đẳng thức ( )F a f a( )và( ) ( )

F b f b được hiểu là:

( ) ( )

( )lim

Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm F(x) thì nó có vô số nguyên hàm

và tất cả các nguyên hàm đó đều có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số tùy ý

(vì F x( )Cf x( )) nêu F(x)+C gọi là họ nguyên hàm của f(x) Ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f x dx( ) (đọc là tích phân

bất định của f(x) hay họ các nguyên hàm của f(x)).

1.5.1.2 Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

•kf x dx k f x dx( )   ( ) , (k là hằng số, k 0);

Để học sinh có thể nâng cao được kĩ năng này thì chúng ta cần nhớbảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Bảng này nhiều họcsinh nói là khó nhớ, nhưng bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bàitoán tìm đạo hàm Việc ta tìm nguyên hàm của một hàm số bất kỳ thườngđược đưa về tìm nguyên hàm của hàm số cơ bản và đơn giản hơn Sau đây lànguyên hàm của một số hàm số cơ bản thường gặp:

Ta dễ dàng chứng minh các công thức trên bằng cách tính đạo hàm vế

phải Chẳng hạn, vì sinkx coskx

a Phương pháp đổi biến:

Trong nhiều bài toán tích phân, khi ta tính tích phân f x dx( ) , nếu để

biến tích phân là x thì không thể thấy được tích phân cần tính đó gần với dạng

tích phân cơ bản nào (để có thể áp dụng được tích phân cơ bản) Để tính đượctích phân ta tìm cách đổi sang biến mới, để hi vọng với biến mới thì tích phâncần tính gần với tích phân cơ bản hơn Không có một quy tắc cụ thể nào giúp

ta thực hiện phép đổi biến thích hợp được, tuy nhiên cũng có thể phát biểumột cách tổng quát quy tắc của phép đổi biến, đó là mệnh đề:

Nếu biết rằng g t dt G t( )  ( )C thì g w x w x dx G w x( ( )) ( )  ( ( ))C

trong đó các hàm số ( ); ( ); ( )g t w x w x đều được giả thiết là những hàm số liên tục

udv uv  vdu

Để tính được tích phân dạng p x f x dx( ) ( ) theo phương pháp tích phân

từng phần việc đầu tiên chúng ta phải xác định được u; dv, xác định được u thì hiển nhiên phần còn lại trong dấu tích phân ban đầu là dv Ở đây chúng ta lưu ý khi chọn u; dv cho hợp lý Sau đây là một số chú ý học sinh cần nhớ

trong quá trình tính tích phân:

- Nếu f x( ) là một trong các hàm lnx; arcsinx; arccosx; arctanx; arccotx

Ở đây chúng ta quan tâm nhiều đến cách tính tích phân theo công thức

Newton - Leibnitz Nếu f(x) liên tục trong khoảng đóng a b và nếu F(x) là, 

một nguyên hàm của f(x) (luôn tồn tại nguyên hàm này, theo nhận xét trên)

f x dx F x



1.5.2.2 Tính chất cơ bản của tích phân

Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K.

 Có thể đưa thừa số là hằng số ra ngoài dấu tích phân

a Phương pháp đổi biến

Đây là phương pháp tính tích phân cơ bản nhất, việc đổi biến về bảnchất là đưa một tích phân phức tạp về một tích phân đơn giản hơn Tuy nhiêncác em học sinh cần lưu ý và đổi biến phải tuân thủ nguyên tắc chung của nó

Giả sử muốn tính tích phân ( )

b

a

f x dx

 trong trường hợp với biến x, hàm

số f phức tạp không tính được nguyên hàm thì ta thay biến x bằng biến t.

Tương tự tích phân bất định, trong trường hợp tích phân xác định, người tacũng dùng các phép biến đổi thích hợp để tính tích phân:

+ ( )x biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a,b].

+ f x dx( ) trở thành g t dt( ) , trong đó g(t) là một hàm số liên tục trong

Xét tích phân ( )

b

a

f x dx

 , với f(x) liên tục trong [a,b] Giả sử thực hiện

đổi biến x( )t thỏa mãn:

+( )t có đạo hàm liên tục trong  , 

Bản chất của phương pháp này là tách biểu thức dưới dấu tích phân

thành hai phần, cụ thể là giả sử ta muốn tính tích phân ( )

b

a

f x dx

 trong trườnghợp biến x là hàm số f phức tạp không tính được nguyên hàm thì:

Bước 1: Ta tách f(x)dx thành hai phần là u, dv, giả sử u u x ( )và( )

1.5.3.1 Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

+ Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi một đường cong (C) và trục hoành Ox.

( ) ( )( ) : 0

Diện tích được tính theo công thức: ( )

b

a

S f x dx + Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi 2 đường cong.

1 2

( ) ( )( ) : ( ) ( )

+ Cho hàm y f x( ) liên tục trên đoạn a b Gọi (H) là hình thang; cong giới hạn bởi các đường sau:

Trong sách giáo khoa (SGK) Giải tích, hệ thống bài tập thường được

ôn luyện theo hướng phân thành 3 dạng theo nội dung lý thuyết đã được họcnhư sau:

Dạng 1: Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng cách sử dụng bảng

nguyên hàm, tính chất của tích phân

Dạng 2: Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến Dạng 3: Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp tích

phân từng phần

1.6 Thực trạng dạy và học thông qua hoạt động giải toán chủ đề

“Nguyên hàm - Tích phân” nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường phổ thông hiện nay

Trong chương trình giải tích lớp 12 trung học phổ thông, kiến thức vềNguyên hàm - Tích phân chiếm một phần rất quan trọng của giải tích nóiriêng và môn Toán ở bậc phổ thông nói chung Tuy nhiên các bài toán vềNguyên hàm - Tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập chưa nhiềudạng và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều bài toán cóphương pháp giải hay và độc đáo Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo mộthướng nhất định nào đó theo phương pháp của dạng đã được giới thiệu trước

Do đó mà các bài toán về nguyên hàm, tích phân chưa khai thác hết được,chưa phát huy được tính sáng tạo, khả năng khám phá và tìm tòi của học sinh

Nội dung tích phân lớp 12 là một nội dung tương đối mới, gây khó đốivới học sinh vì nội dung này mang tính trừu tượng cao Rất nhiều học sinh khihọc phần này cho biết học nó vì nó xuất hiện trong kỳ thi quan trọng, bàikiểm tra trên lớp chứ chưa thực sự yêu thích nội dung học phần này

Trong một tiết học tích phân, nhiều học sinh chưa tìm được hứng thúthậm chí cảm thấy căng thẳng, chưa tích cực chủ động và có ý tưởng mới, độcđáo, tìm ra phương pháp giải cho bài toán Có nhiều bài tập tích phân giáoviên đưa ra hay một số ví dụ trong SGK khi giải xong học sinh vẫn chưa hiểu

tại sao lại giải như vậy và tự đặt câu hỏi những bài toán như thế nào thì vậndụng phương pháp giải đó Và khi gặp bài toán có số điểm tương tự với bàitoán đã giải là học sinh cứ mặc nhiên máy móc vận dụng đến khi đến bướcnào đó vướng mắc, loay hoay không tính được tiếp mà không phát hiện sailầm của mình ở chỗ nào Trong quá trình giảng dạy, biết được những khókhăn nhất định khi dạy chủ đề này nhiều giáo viên đã đưa ra phương phápgiải quyết vấn đề đó để có hiệu quả như là: phân dạng bài tập theo phươngpháp giải và giải nhiều bài tập cho học sinh ghi nhớ Theo đó phương phápnày đôi khi học sinh cảm thấy sợ vì phải ghi nhớ quá nhiều, đồng thời sẽ gâycho học sinh nhầm lẫn từ phương pháp của dạng này với phương pháp củadạng kia, hay thậm chí còn có học sinh tưởng mình biết được tất cả cácphương pháp giải rồi dẫn đến không còn hứng thú trong giải các bài toán tíchphân mới

Theo nội dung chương trình toán THPT ta thấy rằng đã cung cấp chohọc sinh tương đối đầy đủ những kiến thức lý thuyết căn bản về tích phân vàcác ứng dụng tích phân Tuy nhiên thời gian luyện tập bài tập tích phân trênlớp theo phân phối chương trình quá ngắn do đó học sinh không có điều kiệnluyện tập nhiều, các dạng bài tập trong sách giáo khoa mới chỉ dừng ở bề nổitức là phân dạng theo nội dung lý thuyết đã được học, có phương pháp giảicho từng dạng cụ thể Học sinh chưa nghiên cứu sâu đến việc tự tìm tòi lờigiải mà chỉ biết vận dụng máy móc các phương pháp cho từng dạng bài cụthể Vì vậy học sinh dễ bị thụ động trong tiếp thu bài, ít có sự linh hoạt sángtạo trong tư duy vì thế đứng trước một bài tích phân khác dễ bị bế tắc trongviệc tìm tòi lời giải

Bên cạnh đó đa số học sinh chỉ biết giải các bài toán tích phân tương tựvới những bài đã giải rồi với chỉ một cách giải, rồi bế tắc khi gặp các bài toántích phân mới, hoặc có bài có cách giải tương tự lại bị gặp sai lầm mà khôngbiết tại sao lại sai, hoặc trong quá trình làm bài đến bước nào đó bế tắc không

thể tìm được kết quả cuối cùng vì quá phức tạp Nhiều học sinh không hứngthú học khi đó dẫn đến khi học phần này không hề muốn suy nghĩ hay tìm tòilời giải khi gặp những bài toán tích phân mới Hay có cố gắng suy nghĩ nhưngkhông biết bắt đầu từ đâu và làm như thế nào gây ra chán nản.

Thời gian tiếp cận với chương trình SGK, với yêu cầu đổi mới phươngpháp còn chưa nhiều, còn thiếu nhiều những tài liệu về tổ chức dạy học tíchcực nên giáo viên lúng túng trong việc tổ chức dạy học theo hướng phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh Trong quá trình giảng dạy một số giáo viên cònnặng nề về thuyết trình, chưa phát huy được năng lực tích cực, chủ động, sángtạo cho học sinh trong học tập

Mặt khác với bài toán Nguyên hàm - Tích phân có nhiều cách giải tuynhiên đa số học sinh dừng ở việc tìm ra được cách giải quyết bài toán màchưa cố gắng xem bài toán đó có cách giải nào khác không? Cách giải nào làhay, độc đáo, tối ưu nhất? Bài toán đó có thể khái quát hóa, tương tự hóakhông? Có thể mở rộng hay sáng tạo bài toán trên như thế nào?

Như vậy, trong quá trình giảng dạy cần phải hướng thêm cho học sinhcách tự học, tự nghiên cứu thêm tài liệu đồng thời phải rèn kỹ năng tínhnhiều tích phân để qua đó rèn kỹ năng tính toán cũng như phương pháp giảitoán tích phân để tìm tòi ra nhiều cách giải Bên cạnh đó, mỗi giáo viênchúng ta cần xây dựng, vận dụng phương pháp dạy học để phát huy tínhsáng tạo cho học sinh thông qua việc giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tíchphân như sáng tạo được những bài toán tương tự; tự tìm và giải, khái quátđược bài toán tổng quát; tìm được nhiều lời giải trong một bài toán tíchphân, hay đưa ra được cách giải tối ưu của bài toán đó Để thực hiện tốtnhiệm vụ học tập, học sinh cần nỗ lực không ngừng theo hướng học tập tựgiác, chủ động, tích cực và sáng tạo

Bên cạnh đó, chủ trương giảm tải SGK và sách bài tập chỉ cung cấpmột số ít các ví dụ, bài tập của phần Nguyên hàm - Tích phân trong khi các đề

thi và Đại học, Cao đẳng lại phong phú, đa dạng và hóc búa Vì vậy giáo viêncần tìm ra các mối quan hệ giữa các bài toán, phát triển từ bài toán cơ bản đếnnhững bài toán ở mức động khó hơn tạo được các lớp bài tập phong phú và có

hệ thống phù hợp với từng nhóm học sinh Cách dạy mới làm sao phải pháthuy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập

và rèn luyện ở trên lớp cũng như tự nghiên cứu ở nhà Để phát huy được nóchúng ta phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lý nhằm tạo chohọc sinh có hứng thú trong từng tiết học, trong mỗi bài tập để đem lại kết quảcao trong học tập và có hiệu quả giảng dạy cao hơn

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều tiềm năng để họcsinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo thông qua giải các bài toán Nguyênhàm - Tích phân

1.7 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán

Trong quá trình học tập môn Toán thì việc vận dụng Toán học để pháttriển tư duy sáng tạo rất quan trọng, ở trường phổ thông học sinh không chỉđược cung cấp các kiến thức Toán học mà còn rèn luyện để phát triển khảnăng tư duy độc lập, khả năng sáng tạo có những ý tưởng hay và độc đáo Dovậy việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy học giảitoán là điều rất cần thiết bởi vì nó giúp cho người học tích cực, chủ động, kíchthích sự sáng tạo trong cả giai đoạn còn ngồi trên ghế nhà trường cũng nhưtrong thực tiễn cuộc sống Nhiệm vụ của người truyền thụ kiến thức là phảitìm ra được những phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy sáng tạocho học sinh, khi dạy học giải toán giáo viên cần phải khai thác hệ thống bàitập và sử dụng hợp lý thì mới đạt được hiệu quả cao Để bồi dưỡng tư duysáng tạo cho học sinh có thể khái quát thành một số biện pháp sau:

- Để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp trong mốiquan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác như: phân tích, tổng hợp, so

sánh, tương tự, dự đoán, bác bỏ, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa,trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần tập trung chú trọng vàoviệc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy tìm tòi ra ý tưởng mới

và độc đáo Khi giáo viên dạy lý thuyết cần tạo ra những tình huống có vấn đề

để kích thích, dẫn dắt học sinh tìm tòi và tự khám phá ra được kiến thức mới.Tùy từng đối tượng học sinh với lực học khác nhau mà ta có những phươngpháp tiếp cận kiến thức ở mức độ khó, dễ khác nhau Khi giáo viên dạy bàitập củng cố cần phải lựa chọn các ví dụ khác nhau có các cách giải riêng hơn

là ví dụ cho học sinh áp dụng máy móc công thức tổng quát tránh học sinhsuy nghĩ máy móc, rập khuôn, không biết thay đổi sao cho phù hợp với điềukiện mới Nên chú trọng vào các bài tập chưa rõ vấn đề cần phải chứng minh

để học sinh tự tìm tòi và phát hiện ra vấn đề và cách giải quyết vấn đề

- Trong quá trình dạy học, giáo viên cần tập trung bồi dưỡng từng yếu

tố cụ thể của tư duy sáng tạo như bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuầnnhuyễn, hay tính độc đáo Để bồi dưỡng được từng yếu tố đó giáo viên cần sửdụng từng loại câu hỏi và xây dựng hệ thống bài tập để tác động đến từng yếu

tố cụ thể của tư duy sáng tạo Ví dụ như giáo viên cần xây dựng và đưa ra cácbài có cách giải riêng độc đáo hơn là việc áp dụng máy móc công thức, haycác bài tập có nhiều cách giải khác nhau Lúc này đòi hỏi học sinh phảichuyển hóa từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác để giải quyếtbài toán đồng thời học sinh hình thành các liên tưởng thuận nghịch

Bên cạnh đó giáo viên cần khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giảikhác nhau cho một bài toán, đối với các bài tập tìm được nhiều lời giải mặc

dù mỗi lời giải có một nghĩa khác nhau nhưng cũng cần rèn luyện cho họcsinh ý thức tự đánh giá và lựa chọn cách giải hay và tối ưu nhất cho bài toán.Việc tìm được nhiều cách giải cho bài toán cũng đồng nghĩa với việc lúc này

học sinh nhìn nhận vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau từ đó hình thành

sự sáng tạo phong phú

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là cả một quá trình, cần đượctiến hành thường xuyên và liên tục Được thực hiện cụ thể từ hết tiết học nàysang tiết học khác, hết ngày này sang ngày khác, hết năm này sang năm khác

và thực hiện ở tất cả các khâu của quá trình dạy học Cần tạo điều kiện chohọc sinh có điều kiện để rèn luyện, nghiên cứu phát huy khả năng tư duy sángtạo giải toán bằng các tình huống thực tế, hay hướng dẫn cho học sinh nghiêncứu tự viết một vấn đề chuyên sâu của toán

1.8 Phương hướng dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân”

Để bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sángtạo của học sinh, trước tiên phải trang bị cho học sinh có nền kiến thức cơ bảnphổ thông vững chắc, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụtnhư: phân tích mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắmđược bản chất của các khác niệm, định nghĩa, định lý đó Đưa ra từng loại ví

dụ đặc trưng khác nhau, phản ví dụ để minh họa cho các khái niệm, địnhnghĩa, định lý Đồng thời so sánh giữa các khái niệm, các quy tắc với nhau đểhọc sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng để từ đó mới hiểu sâu,hiểu rõ bản chất của từng khái niệm hay quy tắc Từ đó có thể đưa ra các ví

dụ để chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

Thứ hai là rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy toán học, kỹ năng giảitoán và phương pháp giải

Thứ ba giáo viên phải có sự linh hoạt vận dụng phương pháp dạy họckhác nhau phù hợp với hoàn cảnh thực tế để từ đó tạo sự tò mò, tạo hứng thúđam mê, khơi dậy tình yêu môn học cho học sinh

Thứ tư giáo viên phải vận dụng có phương pháp dạy học khác nhau,hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, hướng