Thi online đạo hàm của hàm số một biến học toán online chất lượng cao 2019 vted

Chứng minh rằng là hàm đơn điệu trên... tại điểm Điều ngược lại ta chỉ cần lấy một phản ví dụ: Xét hàm số liên tục tại điểm nhưng hàm số không có đạo hàm tại điểm vì Câu 19 Với Với Vậy

Trang 1

Câu 1 [Q677533473] Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa

Câu 2 [Q166454064] Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa

Câu 3 [Q962031090] Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng bằng định nghĩa

Câu 5 [Q487612604] Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

Câu 7 [Q236095333] Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

Câu 8 [Q628886800] Tính đạo hàm của hàm số

Câu 17 [Q570596687] Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại mọi

Câu 18 [Q466509467] Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại điểm thì hàm số liên tục tại điểm Ngược lại nếu hàm số liên tục tại điểm thì hàm số chưa chắc có đạo hàm tại điểm

Câu 19 [Q693463033] Hàm số có đạo hàm tại mọi hay không? Tính đạo hàm của hàm số tại mọi điểm hàm số có đạo hàm

Câu 21 [Q337667352] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại điểm

hàm số không có đạo hàm tại điểm

Câu 22 [Q657527649] Cho tính

Câu 23 [Q379393339] Tìm để hàm số có đạo hàm tại mọi

Câu 24 [Q573688000] Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng

a) Hàm số có đạo hàm tại mọi

THI ONLINE - ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (https://www.vted.vn/)

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ, tên thí sinh: Trường:

f(x) =√3x + 23 x = 2

f(x) = arctan x

f(x) = arccotx f(x) = (3 + cos x)sin x f(x) = (1 + x2)sin x f(x) = logx(x2− 1)

f(x) = √ax2 2− x2+ a22arcsin (a > 0) xa f(x) = (x1 2− ) arcsin x + x√1 − x2−

2

1 2

1 4

πx2

12 f(x) = (x12 2+ 1) arctan x − πx82 − x − 12 f(x) = (arctan x)x

f(x) = (arccos(2x − x2))10 f(x) = (2019x+ 2020x2) 1x

f(x) =⎧⎨x2 sin , x ≠ 0

0, x = 0

1

f(x) = |x| + |x − 2| f(x) = { x2∣∣cos ∣∣ , x ≠ 0

0, x = 0 .

π x

2021

f′(0) = 1, limx→0 f(x) − f(2019x)

x (a; b) f(x) = { x2, x ⩽ 1

f(x) = xx x

(0; +∞)

f(x) =⎧⎨

⎪

2 − x2(2 + sin ) ; x ≠ 0

2; x = 0

1 x

x ∈ R

ε > 0 f′(x) > 0, ∀x ∈ (−ε; 0) f′(x) < 0, ∀x ∈ (0; ε)

Trang 2

Câu 26 [Q343565448] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số không có đạo

hàm tại điểm

Câu 30 [Q333606335] Cho hàm số Giả sử liên tục tại và giới hạn

tồn tại hữu hạn Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại

Câu 34 [Q749209437] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số liên tục nhưng

không có đạo hàm tại điểm

Câu 36 [Q081393698] Cho có đạo hàm trên thỏa mãn và Chứng minh rằng và tìm một hàm để đẳng thức xảy ra?

Câu 37 [Q517868015] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn Chứng minh rằng là hàm đơn điệu trên

Câu 39 [Q190722219] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn với

Chứng minh rằng là hàm số hằng

Câu 40 [Q036937796] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại điểm

HƯỚNG DẪN Câu 1 Có

Vậy

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN |2

f(x) = {ax+ x1; x ⩽ 0a; x > 0 (a > 0)

x = 0

f(x) = arctan √1 − x

1 + x f(x) = sin(ln x) cos(ln x) − ln 1

x f(x) = arccos(9 − x2)

9 + x2

f(x) = arcsin 2x3

1 + x6

f(x) = (tan x)x f(x) =√(2x3 2− 6x + 1)2√−5x + 2.3

f(x) =⎧⎨(e3x− 1) sin ; x ≠ 0

1 3x

x = 0

f(x) = (x2− 6x)arccot2x − arctan 2x − ln(1 + 4x1 2) − + ( + 2√3) x

x2

√3

1 2

f(1) ≤ e − 1

e

n

f(x) =

⎧

⎪

⎨

⎪

; x ≠ −2 0; x = −2

2x + 4

1

x + 2

f(x) =⎧⎨

⎪e

−

; x ≠ 0 0; x = 0

1

f(x) = |x − 1| |x − 2| |x − 2020|

lim

= lim

f(x) − f(2)

x − 2

3

√3x + 2 − 2

x − 2 (x − 2) (√3x + 23 3x + 2 − 82+ 2√3x + 2 + 4)3

3

√3x + 22+ 2√3x + 2 + 43

1 4

f′(2) = 1

4

Trang 3

Câu 2 Có

Câu 4 Với mọi ta có

Câu 8 Có

Do đó

Câu 9 Có

Do đó

Câu 10 Có

Câu 11

Câu 12 Có

Câu 13 Có

limx→0 f(x)−f(0)x−0 = limx→0 10xx−1 = limx→0 ex ln 10x−1 = ln 10 limx→0 ex ln 10x ln 10−1 = ln 10 ⇒ f′(0) = ln 10

x0∈ (0; +∞) lim

0

f(x) − f(x0)

x − x0

log x − log x0

x − x0

log( )xx0

x − x0

1

x0

log(1 + x−x0)

x 0 x−x0

x 0

1

x0ln 10

ln(1 + x−x0)

x0 x−x 0

x 0

1

x0ln 10

1

x0ln 10

1

x ln 10

x0∈ (−1; 1) lim

0 (y = arcsin x; y0= arcsin x0)

f(x) − f(x0)

x − x0

arcsin x − arcsin x0

x − x0

y − y0

sin y − sin y0

y − y0

2 cos(y+y0) sin( )

2

y−y 0 2

y−y0 2

sin(y−y0)

2

1 cos(y+y0)

2

1

cos y0

1

√1 − sin2y0

1

√1 − x2

0

1

√1 − x2

0

1

√1 − x2

x0∈ R lim

0 (y = arctan x; y0= arctan x0)

= limy→y

0 cos y cos y0

f(x) − f(x0)

x − x0

arctan x − arctan x0

x − x0

y − y0

tan y − tan y0

y − y0 sin(y−y 0 ) cos y.cos y 0

y − y0

sin(y − y0) 1

1 + tan2y0

1

1 + x2 0

1

1 + x2 0

1

1 + x2

x0∈ (−1; 1) lim

0 (y = arccos x; y0= arccos x0)

= limy→y

f(x) − f(x0)

x − x0

arccos x − arccos x0

x − x0

y − y0

cos y − cos y0

y − y0

−2 sin(y+y0) sin( )

2

y−y 0 2

y−y0 2

sin(y−y0)

2

−1 sin(y+y0)

2

1

sin y0

1

√1 − cos2y0

1

√1 − x2

0

1

√1 − x2

0

1

√1 − x2

ln f(x) = sin x ln(3 + cos x) ⇒ ff(x)′(x) = cos x ln(3 + cos x) + sin x 3+cos x− sin x

f′(x) = (cos x ln(3 + cos x) + sin x 3+cos x− sin x) (3 + cos x)sin x

ln f(x) = sin x ln(1 + x2) ⇒ ff(x)′(x) = cos x ln(1 + x2) + sin x 1+x2x2

f′(x) = (cos x ln(1 + x2) + sin x 1+x2x2) (1 + x2)sin x

f(x) = logx(x2− 1) = ln(xln x2−1) ⇒ f′(x) = ln x− ln(x2−1)

2x x2−1

1 x

ln 2 x

f′(x) = (1.√a12 2− x2+ x 2√a−2x2−x2) + a22 1 = + = √a2− x2

√1−( ) x 2 a

a 2 −x 2 −x 2 2√a 2 −x 2

a 2 2√a 2 −x 2

f′(x) = [2x arcsin x + (x12 2− ) 12 √1−x1 2] + (√1 − x14 2+ x.√1−x−x 2) − πx6 = x arcsin x − πx6

f′(x) = (2x arctan x + (x1 2+ 1) 1 ) − πx − = x arctan x −1 πx

Trang 4

Câu 14 Có

Do đó

Câu 15 Có

Câu 16 Có

Do đó

Câu 17 Với

Tại điểm có

Ta có điều phải chứng minh

tại điểm

Điều ngược lại ta chỉ cần lấy một phản ví dụ:

Xét hàm số liên tục tại điểm nhưng hàm số không có đạo hàm tại điểm vì

Câu 19 Với

Với

Vậy hàm số không có đạo hàm tại

Câu 21 Có

Vì

Vậy hàm số có có đạo hàm tại điểm

Tại điểm còn lại ta kiểm tra đạo hàm phải và đạo hàm trái:

ln f(x) = x ln(arctan x) ⇒ ff(x)′(x) = ln(arctan x) + x

1 1+x2 arctan x

f′(x) = (ln(arctan x) + (1+x2 ).arctan xx ) (arctan x)x

√1−(2x−x 2 ) 2

20(x−1)(arccos(2x−x 2 ))9

√1−(2x−x 2 ) 2

ln f(x) = ln(2019x1 x+ 2020x2) ⇒ ff(x)′(x) = − ln(2019x12 x+ 2020x2) + 1x 20192019xln 2019+4040xx +2020x 2

f′(x) = (− ln(2019x12 x+ 2020x2) + 1x 20192019xln 2019+4040xx +2020x 2 ) (2019x+ 2020x2)

1 x

x ≠ 0 ⇒ f′(x) = 2x sin + xx1 2 − cos = 2x sin − cos x12 x1 1x 1x

x = 0 limx→0 f(x)−f(0)x−0 = limx→0 x2sin −01x = limx→0 x sin = 0 ⇒ f′(0) = 0

f′(x0) = limx→x0 f(x)−f(x0 )

x−x 0

f(x) = (f(x) − f(x0)) + f(x0) = f(x)−f(x0 ) (x − x0) + f(x0)

x−x 0

limx→x 0 f(x) = limx→x 0 [f(x)−f(x0 ) (x − x0) + f(x0)] = f′(x0).0 + f(x0) = f(x0)

x0

f′(0+) = 1 ≠ f′(0−) = −1

x > 2 ⇒ f(x) = (x − 2)sin2(3x + 1) ⇒ f′(x) = sin2(3x + 1) + 6(x − 2) sin(3x + 1) cos(3x + 1)

x < 2 ⇒ f(x) = −(x − 2)sin2(3x + 1) ⇒ f′(x) = −sin2(3x + 1) − 6(x − 2) sin(3x + 1) cos(3x + 1)

x = 2 limx→2+ f(x)−f(2)x−2 = limx→2+ (x−2)sinx−22(3x+1)−0 = sin27 ⇒ f′(2+) = sin27

limx→2− f(x)−f(2)x−2 = limx→2− −(x−2)sinx−22(3x+1)−0 = −sin27 ⇒ f′(2−) = −sin27

x = 2

limx→0 f(x)−f(0)x−0 = limx→0 x2∣∣cos ∣∣−0πx = limx→0 x ∣∣cos ∣∣ = 0 ⇒ f′(0) = 0

0 ≤ ∣∣x ∣∣cos ∣∣∣∣ = |x| ∣∣cos ∣∣ ≤ |x| → 0 ⇒ limπ x→0 x ∣∣cos ∣∣ = 0

x = 0;

lim

x→ +

= lim

2

2021

f(x) − f (20212 )

2021

x2∣∣cos ∣∣π

x

x − 20212 2

2021

x2∣

∣sin(2021π2 − )∣∣πx

(2021π − )

2 πx 2021π2x

2

2021

2021πx

2

∣

∣sin(2021π2 − )∣∣πx

−

2021π

2021πx 2

sin(2021π2 − )π

x

−

2021π

2 πx

Trang 5

Câu 22 Có

Câu 24 Có

Do đó

+) Nếu

Câu 25 a) Với

Và

Vì

Câu 26 Có

Và

Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm

Câu 27 Có

lim

= limx→0 − 2019 lim2019x→0 = f′(0) − 2019f′(0) = −2018

f(x) − f(2019x)

x

f(x) − f(0) x

f(2019x) − f(0)

x f(x) − f(0)

x − 0

f(2019x) − f(0) 2019x − 0

y = xx⇒ ln y = x ln x ⇒ yy′ = ln x + 1 ⇒ y′ = (ln x + 1) xx

ln f(x) = xxln x ⇒ ff(x)′(x) = xx + (xx1 x)′ ln x = xx−1+ (ln x + 1) xxln x = xx( + ln x (ln x + 1)) x1

x ≥ 1 ⇒ + ln x(ln x + 1) ≥1x 1x > 0 ⇒ f′(x) > 0

0 < x < 1 ⇒ + (ln x + 1) ln x = (ln x + )1x 12 2+ − = (ln x + )x1 14 12 2+ 4−x4x > 0 ⇒ f′(x) > 0

f′(x) > 0, ∀x > 0

x ≠ 0 ⇒ f′(x) = −4x − 2x sin + cos x1 x1 limx→0 f(x)−f(0)x−0 = limx→0 2−x2(2+sin )−2 = − limx→0 x (2 + sin ) = 0 ⇒ f′(0) = 0

1 x

0 ≤ ∣∣x (2 + sin )∣∣ ≤ 3 |x| → 0 ⇒ limx1 x→0 x (2 + sin ) = 0.x1

limx→0− f(x)−f(0)x−0 = limx→0− 1−1x−0 = 0 ⇒ f′(0−) = 0

lim

x→0 +(axa−1+ axln a) =⎧⎨⎩ ln a; a > 11; a = 1

+∞; 0 < a < 1 ⇒ f

′(0+) > f′(0−)

f(x)−f(0)

a +a x −1 x

x = 0

′ 1−x 1+x 1+(√1−x1+x)2

− 2 (x+1)2 1 2√1−x1+x 1+1−x1+x

1 2√1−x 2

Trang 6

Câu 28

Câu 29 Có

Câu 31 Có

Câu 32 Có

Do đó

vậy hàm số liên tục tại điểm

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm

kiện đề bài Do đó không tồn tại hàm thỏa mãn điều kiện bài toán

Cho ta được tức là hàm đơn điệu tăng Bài toán được chứng minh hoàn toàn

f′(x) = cos(ln x) cos(ln x) + sin(ln x) − sin(ln x) +

= (cos2(ln x) − sin2(ln x) + 1) = (cos(2 ln x) + 1) =

1 x

1 x 1

x

1 x

2cos2(ln x) x

′ 9−x2 9+x2

√1−(9−x2)2 9+x2

36x (x 2 +9)√36x 2

6x (x 2 +9)√x 2

′ 2x3 1+x6

√1−(1+x62x3 )2

−6x2(x6−1) (x6+1)2

√1−(1+x62x3 )2

6x 2 √(x 6 −1)2 (x 6 +1)(x 6 −1)

ln f(x) = x ln(tan x) ⇒ ff(x)′(x) = ln(tan x) + x = ln(tan x) +

1 cos2x tan x

x(1+tan 2 x) tan x

f′(x) = (ln(tan x) + x(1+tantan x2x)) (tan x)x

0 ≤ ∣∣(e3x− 1) sin3x1 ∣∣ ≤ ∣∣e3x− 1∣∣ → 0 ⇒ limx→0 f(x) = limx→0(e3x− 1) sin 3x1 = 0 = f(0)

x = 0

limx→0 f(x)−f(0)x−0 = limx→0 (e3x−1).sin3x1 = 3 limx→0 sin = 3 limx→0 sin

x

(e 3x −1)

xn = 3n2π1 → 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin 3x1n = limn→∞ sin(n2π) = 0

yn= 1 → 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin = limn→∞ sin(n2π + ) = 1

3(n2π+ )π2

1

x = 0

f′(x) = (2x − 6)arccot2x + (x2− 6x) 1+(2x)−2 2 − 1 − − + + 2√3 = (2x − 6)arccot2x − + 2√3

4 1+(2x)2 2 3

2 1+4x8x2 2x

g(x) = ex(f(x) − 1) g′(x) = (f′(x) + f(x) − 1) ex< 0, ∀x ∈ R

g(x) = ex(f(x) − 1) = g(0) = −1 ⇒ f(x) = 1 − e−x f(x) + f′(x) = 1

f F(x) = f (x + ) − f(x)1n F′(x) = f′(x + ) − fn1 ′(x) ≥ 0 F

x1, x2∈ R, x1 > x2 F(x1) > F(x2)

f (x1+ ) − f(xn1 1) > f (x2+ ) − f(x1n 2)

>

f(x 1 + )−f(x1n 1 )

1

n

f(x 2 + )−f(x1n 2 ) 1 n

n → +∞ f′(x1) > f′(x2) f′

Trang 7

Câu 38 Với

Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm

Câu 39 Có

Do đó theo định nghĩa giới hạn có và theo định nghĩa đạo hàm có

Câu 40 Có

2⎛⎜

⎞

⎟

1

(x + 2)2

1

x + 2

⎛

⎜

⎞

⎟

⎠

2

1

x + 2

x = −2 limx→−2+ f(x)−f(−2)x+2 = limx→−2+ = limx→−2+ = 0 ⇒ f′(−2+) = 0

2x+4

e +2

1 x+2

x+2

limx→−2− f(x)−f(−2)x+2 = limx→−2− = limx→−2− = 1 ⇒ f′(−2−) = 1

2x+4

e +2

1 x+2

e x+21 +2

x = −2

|f (x + h) − f (x − h)| ≤ h2, ∀x ∈ R, ∀h > 0 ⇔ ∣∣f(x+h)−f(x−h)h ∣∣ ≤ h, ∀x ∈ R, ∀h > 0

limh→0 f(x+h)−f(x−h)h = 0 limh→0 f(x+h)−f(x)(x+h)−x + limh→0 f(x)−f(x−h)x−(x−h) = 0 ⇔ f′(x) + f′(x) = 0 ⇔ f′(x) = 0

limx→0 f(x) − f(0)x − 0 = limx→0 e = limt→∞ = limt→∞ = 0 (t = ) ⇒ f′(0) = 0

− 1

x2

x

t

et 2

1 2tet 2

1 x

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	505,69 KB