TÌM tập GIÁ TRỊ hàm số BẰNG PHƯƠNG PHÁP lập BẢNG BIẾN THIÊN

BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT – VTED.VN 1 BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT 1 TÌM TẬP GIÁ TRỊ HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẬP BẢNG BIẾN THIÊN Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc cách tìm tập giá tr

BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT – VTED.VN 1

BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT 1

TÌM TẬP GIÁ TRỊ HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP

LẬP BẢNG BIẾN THIÊN

Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc cách tìm tập giá trị của hàm số trên tập D bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số trên D

Bài toán: Cho hàm số ( )f x xác định và có đạo hàm trên D Tìm tập giá trị của hàm số ( )f x trên D

Ý tưởng: lập bảng biến thiên của hàm số

1 Tính đạo hàm f x( )

2 Tìm những điểm xi  mà tại đó ( ) 0D f x  hoặc đạo hàm không xác định

3 Lập bảng biến thiên của hàm số, điền các giá trị hàm số tại những điểm đạo hàm đổi dấu, các giới hạn vô cực và các giới hạn khi x tiến ra vô cực (nếu có)

4 Kết luận tất cả những giá trị hàm số có thể nhận trên D

Ví dụ 1 Tìm tập giá trị của hàm số f x( ) 1

x



Có tập xác định D \ {0}

Có f x( ) 12 0, x D

x

     

Tính

lim ( ) lim ( ) 0; lim ( ) ; lim ( )

         

Lập bảng biến thiên:

x  0 

( )

( )

f x

0



Hàm số ( )f x không đạt giá trị 0 do 0 chỉ là giới hạn của hàm số khi x 

Vậy tập giá trị của hàm số là    hay viết cách khác là \{0}.;0 0;  

Ví dụ 2 Tìm tất cả giá trị m để hàm số y 2 1

x x m



  xác định trên khoảng 1;1 

2 0, 1;1 2 , 1;1

ycbt       x x m x       m x x x

Đặt f x( )   thì ycbt tương đương m không thuộc tập giá trị của hàm số ( )x2 x f x trên khoảng 1;1 

Có ( ) 0 2 1 0 1  1;1 

2

f x         x x

Lập bảng biến thiên:

x  1  12 1

'

y  0 

y

4

0

2



2 BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT

2 BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT

Vậy tập giá trị hàm số ( )f x trên 1;1 là 2; 1

4

 

 

 

  Suy ra

2 1

2; 1 4

4

m ycbt m

m

 

  

  

    



Do x  1;1 nên x không bằng 1 vì vậy giá trị hàm số không đạt 2. Ngược lại do 1  1;1

2

   nên hàm số đạt được giá trị 1

4 khi 1

2

x 

Vậy 0; 2 1;

4

m    thì thoả yêu cầu bài toán

Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn  a b a b; , ,   Gọi min ( ), ; max ( ) ;

m f x M  f x thì tập giá trị của hàm số ( )

f x trên đoạn  a b; là Tm M; 

Với hàm số ( )f x đơn điệu trên  a b; thì mminf a f b( ); ( ) , M maxf a f b( ); ( ) ; khi đó tập giá trị của hàm

số ( )f x trên khoảng  a b; là m M; 

Áp dụng vào các bài toán xét sự đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất, bài toán tìm tập xác định của hàm số có ẩn ở mẫu…

Xem thêm cách xét dấu của của một hàm số tại: https://bit.ly/2ly7oXI