Vận dụng một số yếu tố lịch sử phát triển các tri thức toán học trong dạy học đại số 9

Qua quá trình nghiên cứu luận văn đã thu được một số kết quả: trình bày được vai trò của lịch sử toán học trong giáo dục toán học; đưa ra được các ví dụ vận dụng lịch sử phát triển tri thức toán học trong dạy học đại số 9.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

——————–o0o——————–

NGUYỂN THỊ THANH LÝ

VẬN DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬPHÁT TRIỂN CÁC TRI THỨC TOÁN HỌC

TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THANH LÝ

VẬN DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬPHÁT TRIỂN CÁC TRI THỨC TOÁN HỌC

TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌCCHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP

DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

MÃ SỐ: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Cường

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠNLời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắctới các thầy cô của Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặcbiệt là các thầy cô trong Khoa Toán đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhấtcho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Luận văn đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của

TS Trần Cường Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắctới Thầy - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, chu đáo và cónhững nhận xét, góp ý quý báu giúp tôi trong suốt quá trình thực hiệncho đến khi luận văn được hoàn thành

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, các anh chị Tôitrong khóa Cao học Toán đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợitrong quá trình hoàn thành luận văn này

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Tôi rất mong nhận được những ýkiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoànthiện hơn nữa

Hà Nội, ngày 16 tháng 08 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Lý

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Albert Einstein (1879-1955) 16

Hình 2.1 Định lý Pythagoras 32

Hình 2.2 Cách của Plato 38

Hình 2.3 Chia đôi hình vuông 40

Hình 2.4 Chia ba hình vuông 40

Hình 2.5 Dựng hai đoạn thẳng tỉ lệ bằng √3 2 40

Hình 2.6 Chứng minh AC CB = 3 √ 2 42

Hình 2.7 Minh họa cấp độ 1 52

Hình 2.8 Minh họa câp độ 2 52

Hình 2.9 Biểu diễn phương trình thành các hình 55

Hình 2.10 Chia hình chữ nhật 55

Hình 2.11 Ghép hai hình chữ nhật vào hình vuông 55

Hình 2.12 Biểu diễn phương trình mới 56

Hình 2.13 Parabol là một phần của hình nón 70

Hình 2.14 Vẽ Parabol bằng dây, thước eke 71

Hình 2.15 Nhân đôi khối lập phương bằng Parabol 72

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC HÌNH iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích - nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng - phạm vi nghiên cứu 2

4 Giả thiết khoa học 3

5 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Hiểu biết của giáo viên Toán 4

1.1.1 Tri thức nội dung 4

1.1.2 Tri thức sư phạm 5

1.2 Vai trò của yếu tố lịch sử trong dạy học môn toán 7

1.2.1 Gợi động cơ hoạt động 7

1.2.2 Tổ chức các hoạt động dạy học 17

1.3 Tìm hiểu tình hình nghiên cứu về lịch sử toán trong giáo dục 23 1.3.1 Một số nghiên cứu quốc tế 23

1.3.2 Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam 25

Kết luận chương 1 27

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CÁC TRI THỨC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 9 28

2.1 Căn bậc hai Căn bậc ba 28

2.2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 43

2.3 Phương trình bậc hai một ẩn 49

2.4 Hàm số 64

Kết luận chương 2 73

CHƯƠNG 3 BƯỚC ĐẦU THỬ NGHIỆM THIẾT KẾ BÀI DẠY 74

Kết luận chương 3 82

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vận dụng các yếu tố lịch sử phát triển các tri thức của môn toán làmột trong những nhánh nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực Giáo dụctoán học Hiểu biết lịch sử phát triển các tri thức toán học có thể giúpngười giáo viên gợi động cơ học tập tích cực; giờ học toán trở lên sinhđộng, lôi cuốn; học sinh hiểu thêm được ý nghĩa của sự phát triển kiếnthức môn học từ thực tế

Vận dụng thích hợp các thông tin lịch sử phát triển các tri thức toánhọc trong giờ học môn toán còn hướng tới một mục tiêu quan trọng củagiáo dục toán học là hình thành các phẩm chất nhân cách, thế giới quan,

lý tưởng, niềm tin vào bản thân mình cho người học

Ngoài gợi động cơ và giáo dục nhân cách, tri thức về lịch sử toánhọc, quan trọng cung cấp cho người giáo viên những gợi ý phong phú

để tổ chức các hoạt động nhận thức cho học sinh Những tri thức toánhọc là di sản tinh thần đồ sộ của nhân loại, được hình thành phát triểntrong hàng ngàn năm nhưng lại chỉ được trình bày một cách hình thứctrong các giáo trình, ít thể hiện được quá trình phát minh trải qua nhiềutrở ngại, khó khăn trong lịch sử Nếu tìm hiểu, nắm được tiến trình nóitrên, người giáo viên có thể cân nhắc tái hiện – mô phỏng trong lớp họcmột cách thích hợp để hướng dẫn người học học toán theo hướng khámphá lại – phát minh lại (RME)

Mặc dù có những tiềm năng to lớn như trên, nhưng những nghiêncứu trong nước về vận dụng các yếu tố lịch sử phát triển các tri thứctoán học trong dạy học còn chưa phong phú, giáo viên phổ thông dườngnhư cũng ít quan tâm khai thác, vận dụng trên lớp học

Với yêu cầu trên, đề tài này đặc biệt quan tâm tới nội dungĐại số 9 Theo quan điểm đổi mới nội dung môn Toán ở chương trìnhphổ thông: "Số và Đại số là cơ sở cho tất cả các nghiên cứu sâu hơn vềToán học, nhằm mục đích hình thành những công cụ toán học để giảiquyết các vấn đề của toán học, của các lĩnh vực khoa học khác có liên

quan cũng như đạt được các kĩ năng thực hành cần thiết cho cuộc sốnghàng ngày Hàm số cũng là công cụ quan trọng cho việc xây dựng các môhình toán học của các quá trình và hiện tượng trong thế giới thực Mộtmục tiêu quan trọng của việc học Số và Đại số là tạo ra cho học sinhkhả năng suy luận suy diễn, góp phần vào phát triển tư duy logic, khảnăng sáng tạo toán học và hình thành khả năng sử dụng thuật toán" [1]

Là giáo viên dạy toán tôi ý thức rõ việc tích lũy kiến thức về lịch sửphát triển các tri thức toán học cho bản thân là những yêu cầu khôngthể thiếu

Với những lí do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Vận dụngmột số yếu tố lịch sử phát triển các tri thức toán học trong dạy học đại

1 Trình bày vai trò của các yếu tố lịch sử toán học trong dạy họcToán

2 Xác định những tri thức về lịch sử toán học có liên quan đến mônĐại số 9 trong Trường THCS

3 Lựa chọn các yếu tố lịch sử toán học (không có trong sách giáokhoa) phù hợp với nội dung chương trình môn Đại số 9

4 Đề xuất một số phương án dạy học cụ thể có sử dụng các yếu tốlịch sử toán

3 Đối tượng - phạm vi nghiên cứu

• Lịch sử phát triển các tri thức toán học có liên quan đến chươngtrình môn Toán trong trường THCS

• Chương trình môn Đại số 9 cải cách hiện hành.

4 Giả thuyết khoa học

Các tri thức đại số được dạy ở lớp 9 có một lịch sử hình thành lâudài và thường xuất phát từ những nhu cầu tự nhiên nảy sinh trong thựctiễn lao động sản xuất Nếu xác định được một số yếu tố lịch sử toán– tri thức luận phù hợp để sử dụng với những phương án hợp lý thì cóthể gợi động cơ học tập tích cực cho học sinh, từ đó góp phần cải thiệnchất lượng dạy học môn toán ở lớp 9

5 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Luận văn sử dụng một số phương pháp phổ biến như nghiên cứu lýluận, quan sát - điều tra, tổng kết kinh nghiệm và bước đầu tiến hànhmột số thử nghiệm sư phạm

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Vận dụng một số yếu tố lịch sử phát triển các tri thứctoán học trong dạy học Đại số 9

Chương 3: Bước đầu thử nghiệm thiết kế bài dạy

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Hiểu biết của giáo viên Toán

Đã có nhiều nghiên cứu quốc tế về những hiểu biết cần thiết củangười giáo viên toán, khẳng định tầm quan trọng của những tri thức vềlịch sử toán - tri thức luận Mục này được viết dựa trên [14], [12], theo

đó, hai cấu phần quan trọng làm nên tri thức cần thiết của người giáoviên toán là tri thức nội dung (Content Knowledge - CK) và Tri thức sưphạm về nội dung (Pedagogical Content Knowledge - PCK)

1.1.1 Tri thức nội dung

Khái niệm tri thức nội dung dùng đề chỉ cả số lượng và tổ chức kiếnthức của giáo viên trong một lĩnh vực (môn học) nhất định mà người đóphụ trách Đã có một số cách để đại diện cho kiến thức nội dung: Phânloại nhận thức của Bloom, giống của Gagne về học tập, sự khác biệt củaSchwab giữa cấu trúc nội dung và cú pháp về kiến thức và quan niệmcủa Peters song song với Schwab Trong các lĩnh vực chủ đề khác nhau,các cách thảo luận về cấu trúc tri thức nội dung khác nhau Suy nghĩđúng về tri thức nội dung đòi hỏi phải vượt ra ngoài kiến thức về các sựkiện hoặc khái niệm của một tri thức

Schwab (1978) xem xét nội dung một chủ đề ở cả mặt số lượng(những khái niệm, định lý, luận điểm, ) và mặt cấu trúc (quan hệ giữacác thành phần nội dung đó) Các cấu trúc nội dung là nhiều cách khácnhau trong mà các khái niệm và nguyên tắc cơ bản của ngành học được

tổ chức để kết hợp sự thật của nó Cấu trúc cú pháp của một môn học

là tập hợp các cách trong đó sự thật hay sự giả dối, tính hợp lệ hoặc sự

vô hiệu, được thiết lập Khi nào tồn tại các khiếu nại cạnh tranh liênquan đến một hiện tượng nhất định, cú pháp của một kỷ luật cung cấpcác quy tắc để xác định yêu cầu nào có bảo đảm lớn hơn Một cú phápgiống như một ngữ pháp Đây là bộ quy tắc để xác định điều gì là hợppháp để nói trong một lĩnh vực kỷ luật và những gì "phá vỡ" các quy

Giáo viên không chỉ có khả năng xác định cho học sinh những trithức trong một nội dung Họ cũng phải có thể giải thích tại sao một cụthể một tri thức được coi là học, tại sao nó đáng để biết và nó liên quanđến như thế nào các đề xuất khác, cả trong phạm vi và không có, cả về

lý thuyết và trong thực hành Giáo viên không chỉ cần hiểu rằng mộttri thức có nội dung như thế nào, giáo viên phải hiểu thêm tại sao nólại như vậy, trên cơ sở của nó có thể được khẳng định, và theo những gìcho thấy niềm tin của chúng ta vào sự biện minh Hay một tri thức mới

ra đời làm mẫu thuẫn những tri thức mà ta đã biết

Vì vậy, cách thức giáo viên truyền đạt, giúp học sinh tiếp cận, hiểuđược những nguồn gốc, ý nghĩa của những tri thức là điều quan trọng.Tri thức sư phạm giúp bổ sung những khuyến khuyết đó

1.1.2 Tri thức sư phạm

Để minh họa cho tri thức sư phạm của giáo viên, Shulman lấy ví

dụ về việc thực hiện phép tính (−1) · (−1) = 1 Học sinh hoàn toàn cóthể nắm được, lặp lại quy tắc thực hiện, lấy được kết quả đúng nhưngkhông biết được ý nghĩa của phép tính hay các ký hiệu đó: tại sao số

âm nhân số âm lại ra số dương? Các khái niệm và cách ký hiệu đó ở đâura? có ý nghĩa gì? Để có thể trả lời trọn vẹn hoặc thuyết phục học sinh,người giáo viên cần nắm chắc những tri thức sư phạm liên quan

Tri thức sư phạm bao gồm kiến thức về chủ đề cụ thể và cách hìnhthành chủ đề làm cho nội dung dễ hiểu đối với người khác Theo Shulman,người giáo viên không chỉ hiểu nội dung của một chủ đề như thế nào,giáo viên phải hiểu thêm tại sao nó được đưa vào chương trình, ý nghĩacủa kiến thức mình đang dạy

Kiến thức về tiềm năng của các nhiệm vụ toán học cho việc học làđiều quan trọng của tri thức sư phạm Trong phạm trù tri thức sư phạmcho các chủ đề được dạy thường xuyên nhất trong chủ đề của một ngườikhu vực, các hình thức đại diện hữu ích nhất của những ý tưởng đó,mạnh mẽ nhất tương tự, minh họa, ví dụ, giải thích và trình diễn trongmột từ, những cách thể hiện và hình thành chủ đề tạo nên nó dễ hiểu

cho người khác Vì không có hình thức mạnh nhất đại diện, giáo viênphải có trong tay một vũ khí thực sự của hình thức đại diện thay thế,một số trong đó xuất phát từ nghiên cứu trong khi những người khácbắt nguồn từ sự khôn ngoan của thực hành.

Tri thức sư phạm bao gồm sự hiểu biết kiến thức về nội dung Điều

gì làm cho việc học các chủ đề cụ thể trở nên dễ dàng hay khó khăn:các khái niệm và định kiến mà học sinh ở các độ tuổi và hoàn cảnh khácnhau mang theo để học những chủ đề và bài học thường xuyên nhất.Nếu những định kiến là những quan niệm sai lầm, mà chúng thường lànhư vậy, giáo viên cần kiến thức về các chiến lược rất có thể sẽ có kếtquả trong việc sắp xếp lại sự hiểu biết của người học, bởi vì những ngườihọc đó dường như không xuất hiện trước chúng như những tấm trống.Người giáo viên có tri thức nội dung như "người thợ", còn người giáoviên có cả tri thức sư phạm thì như người "kĩ sư" Chuyên nghiệp nắmgiữ kiến thức, không chỉ giỏi năng lực thực hiện kỹ năng mà còn trả lờiđược cái gì và tại sao của một tri thức Giáo viên không chỉ là một bậcthầy về các bước làm mà còn về nội dung và lý do, và có khả năng giảithích tại sao một cái gì đó được thực hiện Giáo viên là có khả năngphản ánh dẫn đến kiến thức bản thân phân biệt với kiến trúc sư, kế toánviên.[14, Shulman]

Làm thế nào môn học đã được chuyển từ kiến thức của giáo viênthành nội dung hướng dẫn Họ cũng không hỏi công thức cụ thể của nộidung đó như thế nào liên quan đến những gì học sinh biết hoặc hiểusai Trọng tâm là cách giáo viên quản lý lớp học, tổ chức các hoạt động,phân bổ thời gian và hoạt động, phân công cấu trúc, khen ngợi, xâydựng mức độ câu hỏi, kế hoạch bài dạy, và đánh giá sự hiểu biết chungcủa học sinh Những gì chúng ta bỏ lỡ là những câu hỏi về nội dung củacác bài học được dạy, các câu hỏi và giải thích được đưa ra Kiến thứcgiáo viên giải thích đến từ đâu? Làm thế nào để giáo viên quyết địnhdạy cái gì, làm thế nào để trình bày nó, làm thế nào để hỏi học sinh về

nó và làm thế nào để giải quyết vấn đề hiểu lầm? Tâm lý học nhận thức

đã tập trung gần như về những câu hỏi như vậy trong những năm gần

đây, nhưng hoàn toàn từ quan điểm của người học.

Giáo viên biết quá trình nghiên cứu kiến thức mới của các nhà toánhọc không? Kiến thức mới, cũ được hình thành như thế nào? kiến thứcđược lấy, và cả hai kết hợp để tạo thành một nền tảng kiến thức mới?Học sinh trung học có thể hiểu? Khi học sinh hiểu sai hoặc khó khăntrong tiếp nhận các tri thức, làm thế nào để giáo viên sử dụng chuyênmôn nội dung để tạo ra các giải thích, biểu diễn mới

Lịch sử toán học chính là một nguồn tài liệu phong phú giúp giáoviên trả lời được các câu hỏi trên Vậy lịch sử toán học có những vai trò

gì trong giáo dục toán học? Phần tiếp theo là một số vai trò của lịch sửtoán học mà chúng tôi nghiên cứu

1.2 Vai trò của yếu tố lịch sử trong dạy học môn toán

Danh sách Fauvel [10] đã chỉ ra mười lăm lí do nên vận dụng lich

sử toán trong dạy học Toán bao gồm gợi động cơ, nhận thức, tính nhânvăn, tính thực tiễn của toán học Hơn nữa, lịch sử toán học có thể là mộttài nguyên hữu ích để hiểu các quá trình hình thành tư duy toán học,

và để khám phá cách thức sự hiểu biết có thể được sử dụng trong việcthiết kế các hoạt động trong dạy học Trên cơ sở danh sách Fauvel đưa

ra và phương pháp dạy học môn toán, mục này đưa ra hai vai trò củalịch sử toán trong dạy học là: Gợi động cơ hoạt động và Tổ chức một sốhoạt động dạy học

1.2.1 Gợi động cơ hoạt động

a Tăng động lực và phát triển thái độ tích cực đối với việc học toán

Ý tưởng khơi gợi học sinh quan tâm và phát triển thái độ tích cựcđối với việc học toán bằng cách sử dụng lịch sử đã thu hút sự chú ý đáng

kể Nhiêu nhà nghiên cứu giáo dục toán học và giáo viên tin rằng toánhọc có thể được tạo hứng thú nhiều hơn bằng cách giới thiệu tích cáchcủa các nhà toán học và các vấn đề lịch sử mà học sinh quan tâm Họcsinh có thể có một ý tưởng về những phát triển quan trọng liên quanđến các chủ đề toán học là thú vị cho họ đã xảy ra bằng cách học lịch

sử Họ có thể thấy rằng toán học là một khoa học mà mọi người tạo ra

phù hợp với nhu cầu của mọi người Họ có thể sẵn sàng học hỏi như lịch

sử toán học cho thấy những truyền thống lâu đời, những nền văn hóakhác nhau, cảm xúc và sự phát triển của mọi người

Philippou và Christou (1998) cũng báo cáo rằng các giáo viên tươnglai và quan điểm của toán học cho thấy sự thay đổi căn bản sau khi

họ tham gia hai khóa học toán học lịch sử trong một chương trình dự

bị Một giáo viên trả lời: "Lịch sử toán học cung cấp cho tôi nhiều trảinghiệm mới thú vị Qua khóa học tôi nhận ra rằng toán học luôn luôn

và tiếp tục là một môn học rất hữu ích Khóa học cho tôi thấy rằng toánhọc, ít nhất là đôi khi, là một hoạt động của con người Tôi cảm thấy

tự tin hơn khi tôi nhận ra rằng ngay cả những nhà toán học vĩ đại cũngmắc sai lầm"

Lịch sử toán học cung cấp một kho lớn các vấn đề có thể kích thích

và làm việc hiệu quả cho cả học sinh và giáo viên Từ một mô phạmquan điểm, các vấn đề có nhiều loại

• Các vấn đề không có giải pháp : Khi nghiên cứu về toán học HyLạp cổ đại, các nhà khoa học đã gặp nhiều bài toán không giảiđược bằng thước và compa Đây là ba bài toán cổ nổi tiếng [6](1) Bài toán chia một góc bất kì thành ba phần bằng nhau

(2) Bài toán gấp đôi hình lập phương, nghĩa là dựng hình lậpphương với cạnh chưa biết sao cho thể tích của nó gấp đôi thểthích của một hình lập phương cho trước

(3) Bài toán cầu phương hình tròn, nghĩa là tìm hình vuông códiện tích bằng một hình tròn đã cho

• Các vấn đề nổi tiếng vẫn chưa được giải quyết hoặc giải quyết rấtkhó khăn:

Định lí cuối cùng của Fermat xn+ yn = zn , là một bài toán khó,thách đố các bộ óc thông minh trong suốt hơn 350 năm

Hình khối hoàn hảo, Định lý Pythagoras cho tam giác vuông Hãy

mở rộng định lí này cho không gian 3 chiều

• Các vấn đề có giải pháp thông minh, thay thế hoặc mẫu mực như

có nhiều cách chứng minh định lí Pythagoras: chứng minh sử dụngcác tam giác đồng dạng; chứng minh bằng cách chia hình và sắpxếp lại và còn một số chứng minh khác

• Các vấn đề thúc đẩy hoặc dự đoán sự phát triển của một tổng thể(toán học)

• Các vấn đề được trình bày cho mục đích giải trí (khác với cáctrường hợp trước liên quan chặt chẽ hơn với chương trình toán họcchính) như: tỉ lệ vàng; bánh xe hình vuông; Vấn đề của Lagrangekhi chứng minh rằng bất kỳ số tự nhiên nào cũng là tổng của 4hình vuông;

Lịch sử toán học cung cấp một kho chứa lớn các câu hỏi, vấn đề và giảitrình có liên quan có thể rất có giá trị cả trong nội dung và tiềm năngcủa họ để thúc đẩy, quan tâm và thu hút người học Các bài tập lấy cảmhứng từ lịch sử có thể kích thích sự hứng thú của học sinh và đóng gópvào tăng cường ngoại khóa bên cạnh những bài tập và vấn đề có vẻ thiết

kế nhân tạo hơn Thông qua các bài tập như vậy, các khía cạnh của lịch

sử phát triển một môn học trở thành kiến thức làm việc cho học sinh,theo cách này lịch sử không còn xuất hiện như một thứ xa lạ với toánhọc

b Những trở ngại trong sự phát triển của Toán học ở quá khứ có thể giảithích khó khăn học sinh gặp phải khi học toán

Trong quá trình phát triển các ý tưởng toán học, các khái niệm chínhthức đã dần được các nhà toán học nhận ra Học sinh cũng sẽ gặp khókhăn khi bắt đầu học các khái niệm này Như việc sử dụng các hàm

ẩn được phát hiện từ người Babylon cổ đại Sự thừa nhận rõ ràng sớmnhất về hàm đã không xuất hiện cho đến thời Nicole Oresme trong thế

kỉ mười bốn Jams Gregory đã đưa ra định nghĩa rõ ràng đầu tiên, mặc

dù không đầy đủ vào năm 1667 Johann Bernoulli và Leonhard Euler đãnghiên cứu một cách có hệ thống lí thuyết về hàm, nhưng cả hai đều

thất bại trong việc phân biệt hàm số và giá trị hàm số Các khái niệm

về miền và phạm vi, thuật ngữ phổ biến trong sách giáo khoa hiện tại,không xuất hiện cho đến cuối thể kỉ XIX Chúng ta biết rằng định nghĩahiện tại của hàm ẩn là kết quả của quá trình tiến hóa lịch sử lâu dài

Do đó, học sinh thấy khó khăn khi hiểu định nghĩa của hàm ẩn

Như Lịch sử của các ký hiệu toán học chứng minh, sự phát triển củacác thông báo toán học là chậm chạp và đóng một vai trò quan trọngtrong việc phát triển các ý tưởng toán học Toán học Hy Lạp cổ đạikhông vượt ra ngoài hình học, một phần vì người Hy Lạp không nhận

ra sự đóng góp to lớn mà việc sử dụng bảng chữ cái có thể làm tănghiệu quả và tính tổng quát của phương pháp học thuật Sự suy giảm củatoán học Trung Quốc cổ đại cũng một phần do sự vắng mặt của một hệthống biểu tượng đơn giản và hiệu quả Biết được cuộc đấu tranh lịch sử

để chọn các ký hiệu phù hợp có thể làm tăng sự hiểu biết của giáo viên

về các rào cản của học sinh đối với sự hiểu biết mang tính biểu tượng.Một ký hiệu toán học vừa phải hoặc thuận tiện có thể giúp chúng tasuy nghĩ trong việc hiểu các khái niệm toán học, trong khi một trongnhững trở ngại chính trong việc học đại số là khó sử dụng và hiểu lầmNhiều người coi toán học là một môn học khô khan, đặc biệt là vì tínhchính xác và trừu tượng Học sinh chắc chắn không đánh giá cao sự cầnthiết của sự nghiêm ngặt trừ khi họ đã tích lũy đủ kinh nghiệm thíchhợp Về vấn đề này, một kiến thức về lịch sử có thể mang lại cho giáoviên và học sinh cảm giác về sự khắc nghiệt của sự phát triển qua cácthế kỷ Nhiều học sinh tính toán trở nên thất vọng trong việc nắm bắtchính thức - xác định giới hạn Khái niệm hiện đại về giới hạn đã giảiquyết sai lầm của các nhà toán học trong lịch sử; do đó, mong đợi họcsinh hiểu và sử dụng định nghĩa chính thức - giới hạn trong một khoảngthời gian ngắn là khó khăn Cornu chỉ ra rằng những trở ngại về nhậnthức của học viên có thể phản ánh những khó khăn lịch sử trong việcphát triển khái niệm giới hạn [15]

Khi tìm hiểu về lịch sử của số vô tỉ, giáo viên nghiên cứu những khókhăn mà các nhà toán học gặp phải Các nhà toán học cũng xuất phát

từ những phép đo trực tiếp trong thực tế Các phép đo được cho chúng

ta độ dài của một đoạn thẳng nhất định Khi họ phát hiện độ dài đườngchéo của một tam giác vuông là đoạn thẳng vô ước Gặp mâu thuẫn khiđường chéo hình vuông hiện hữu lại không có độ dài Họ cũng có thểchia sẻ trong cuộc đấu tranh giữa tính hữu dụng của khái niệm về bấthợp lý khi các tỷ lệ hợp lý thất bại (ví dụ trong các phép đo hình học)

và bản chất không chắc chắn của họ như những con số Đối với nhữngngười ít gặp rắc rối bởi những vấn đề như vậy, thảo luận phục vụ để pháttriển nhận thức rằng các chữ số vô hạn trong số thập phân mở rộng.Đây cũng có thể cũng là một vấn đề với học sinh khi học về số vô tỉ và

để phản ánh tầm quan trọng của vai trò đại diện của một khái niệm,ảnh hưởng của chúng đối với cách thức của ý tưởng khái niệm hóa, đặtcâu hỏi, và cuối cùng được chấp nhận hoặc từ chối

Dưới đây là một số ví dụ về việc nghiên cứu về những khó khăn cácnhà toán học gặp phải trong lịch sử [10]

Ví dụ 1.1 Lisa đã phân tích nhiệm vụ luôn khó khăn trong việc giúp

đỡ học sinh hiểu ý nghĩa của số âm và lý do của các quy tắc điều hànhhoạt động với những con số này Tất nhiên, số âm được sử dụng tronghai thiên niên kỷ ở Trung Quốc, nhưng các nhà toán học ở phương Tâyvẫn luôn nghi ngờ về họ, mặc dù các quy tắc hoạt động đối với họ đãđược biết đến bởi thế kỷ XVI

Trong cuốn "Toán học là gì?" R Courant và H Robbins cho rằng:

"Phải mất không ít thời gian để các nhà toán học nhận thức được rõràng "quy tắc của các kí hiệu" và mọi định nghĩa khác thuộc về các số

âm cũng như các phân số là không thể chứng minh được." Ta cần lưu ýrằng ở thế kỉ XVIII một số tác giả của các công trình đại số nổi tiếngcũng không phân biệt được dấu "trừ" là kí hiệu của phép toán trừ haydấu "trừ" là kí hiệu của số âm (chẳng hạn: −2)

Ngay cả vào cuối thế kỷ XIX, đã có một số nhà toán học cố gắng giảiquyết vấn đề đại số mà không sử dụng số âm, bởi vì họ tin rằng chúng

là vô nghĩa Câu hỏi, trên thực tế, trở thành liệu số âm có phải là số

lượng hay không và ý nghĩa của nó đối với số lượng nhỏ hơn không Tấtnhiên, có rất nhiều nỗ lực trong suốt nhiều thế kỷ để biện minh cho các

số âm, bằng cách sử dụng chúng để mô hình hóa một ý tưởng cụ thể (ví

số và phương trình với tham số Và phải mất vài tuần làm việc chămchỉ trước khi các học sinh có thể giải với các phương trình như vậy mộtcách hợp lý Sfard thấy rằng các đồng nghiệp đã gặp khó khăn tương tự

Ví dụ 1.3 Hình học phi Euclide được phát triển bởi ba nhà toán họcvào đầu thế kỷ XIX Carl Friedrich Gauss người đầu tiên phát triển nó,

đã từ chối xuất bản bất cứ điều gì về chủ đề này, bởi vì ông không muốngiải quyết những tranh cãi chắc chắn sẽ xảy ra Nhưng hai nhà toán học

ít nổi tiếng hơn, Janos Bolyai ở Hungary và Nikolai Lobachevsky ở Nga,

cả hai đã công bố nghiên cứu của họ trong lĩnh vực này xung quanh.Tuy nhiên, rất khó để các nhà toán học từ bỏ niềm tin mạnh mẽ rằnghình học mô tả một thực tế độc đáo và, như vậy, không thể thừa nhậnmột số lượng lớn các hệ tiên đề, phải đến khi một số nhà toán học chothấy làm thế nào hình học phi Euclide có thể được mô hình hóa tronghình học Euclide mà cộng đồng toán học bắt đầu chấp nhận tính hợp lệcủa hình học phi Euclide

Vì vậy, một lần nữa, chúng ta hiểu được những khó khăn khi giúphọc sinh hiểu rằng hình học Euclide trên thực tế có thể không phải là

hình học "tốt nhất" mô tả không gian mà chúng ta sống Một khó khănchung của học sinh liên quan đến việc chuyển sang trừu tượng hóa.

Ví dụ 1.4 Học sinh đã được học không có căn bậc hai của số âm Nhưngđến lớp 12 học sinh lại được biết là có căn bậc hai của số âm Tại saocác quy tắc đã thay đổi? Một phân tích lịch sử ở đây cho thấy một lầnnữa rằng có một thời gian dài Thời kỳ phát triển giữa lần đầu tiên pháthiện ra số phức của Cardano và Bombelli trong các nghiên cứu về cácgiải pháp của phương trình bậc ba trong thế kỷ mười lăm và sự chấpnhận chung của những con số này vào toán học vào thứ mười chín Nhưtrong trường hợp phủ định, phải mất hàng thế kỷ để các nhà toán học

từ bỏ ý tưởng rằng ’số’ phải đại diện cho số đo của một đại lượng Sựchấp nhận cuối cùng của những con số chỉ đến thông qua giải thích hìnhhọc của họ, nghĩa là trên mô hình của họ trong một lĩnh vực toán họcđược hiểu rõ Một lần nữa, nhiều sách giáo khoa ngày nay dường như viphạm phân tích lịch sử này bằng cách chỉ cần xác định −1 = i2

Một giáo viên có kiến thức trong lịch sử toán học sẽ lường trướcnhững khó khăn của học sinh trong các lĩnh vực Do đó, giáo viên có thểđược chuẩn bị với các chiến lược giảng dạy phù hợp đối với những tìnhhuống này, những tình huống có thể phù hợp với lịch sử phát triển và sẽgiúp các học viên vượt qua những trở ngại để chiếm lĩnh tri thức Tuynhiên, kiến thức về lịch sử toán học không phải là đủ để phát triển cácchiến lược dạy học; nếu phân tích các điều kiện lịch sử của sự xuất hiệnmột khái niệm là một nguồn thông tin quan trọng để dự đoán và phântích khó khăn của học sinh

c Giúp phát triển tư duy toán học cho học sinh

Ý tưởng sử dụng các vấn đề toán học lịch sử trong giảng dạy gần đây

đã nhận được sự quan tâm đáng kể của các học giả Trái ngược với việcnói chuyện để thu hút học sinh và quan tâm cải thiện thái độ của họ, sửdụng các vấn đề lịch sử trong lớp có lợi thế là cải thiện thái độ của họcsinh về toán học, cũng như cải thiện trình độ toán học Nhiều khái niệm

toán học đã phát triển và đã được sửa đổi qua các thời đại Như Ernestnói "Các nhà toán học trong lịch sử đã cố gắng tạo ra phương pháp vàchiến lược toán học vẫn còn giá trị trong việc học và làm toán" Tư duytoán học là sự kết hợp của các quá trình phức tạp: đoán, cảm ứng, suyluận, cụ thể, khái quát hóa, tương tự, lý luận chính thức và không chínhthức, xác minh, v.v Tuy nhiên, sách giáo khoa hiện đại thường trìnhbày các khái niệm toán học một định dạng gọn gàng Bằng cách đặt racác nghiên cứu lịch sử và phân tích các cách tiếp cận của các nhà toánhọc của các thời đại trước, học sinh có thể hiểu rõ hơn về tư duy toánhọc và đánh giá cao bản chất năng động của nó Siu thảo luận về nhiều

ví dụ về cách tiếp cận của Euler và giải quyết các vấn đề để giải thíchcách thức hoạt động của tâm trí Euler Ví dụ, trong việc giải quyết vấn

đề trong bảy cây cầu của K¨onigsberg, Euler đã minh họa cách tạo ra và

bổ sung cho nhau, đưa ra ký hiệu tốt, phá vỡ vấn đề thành các bài toáncon và ghép lại chúng để có được giải pháp cho vấn đề Những đặc điểmđiển hình trong công việc của các nhà toán học chắc chắn có giá trị đốivới học sinh

Ngoài việc trình bày các giải pháp điển hình duy nhất, việc trình bàynhiều phương pháp cho một vấn đề cụ thể còn cung cấp một cách hiệuquả khác để dạy giải quyết vấn đề và phát triển những hiểu biết toánhọc Các giải pháp thay thế cho các vấn đề lịch sử cụ thể từ những ngườikhác nhau, thời gian và văn hóa có thể được tập hợp và chỉ định làmbài tập cho học sinh để đối chiếu và so sánh Do đó, các nghiên cứu cóthể được nâng cao từ hiểu biết, thậm chí đánh giá cao các phương phápnày

d Khía cạnh nhân văn

Lịch sử tiết lộ rằng ấn tượng được chấp nhận rộng rãi này là nghivấn Lịch sử toán học thường xuyên nhấn mạnh một thực tế rằng cácđộng lực ban đầu của kiến thức toán học là những phỏng đoán hợp lý

và tư duy, lập luận logic và suy luận suy diễn sau này ra đời Chấp nhậnhoặc từ chối một khái niệm chủ yếu gắn liền với niềm tin của một sốnhà toán học người Hồi giáo về những gì toán học nên có Những niềm

tin này có thể là phi logic, thậm chí siêu hình Các ví dụ như sự từ chốicủa Pythagore đối với các số vô tỷ, phản đối Kronecker đối với một sốlượng vô hạn của các số thực và Cauchy, từ chối các số phức cho thấycác khía cạnh phi logic và phi lý của tiến trình toán học Trên thực tế,vào đầu những năm 1800, không có nhánh toán học nào được bảo mật

về mặt logic Lịch sử toán học ghi nhận cuộc phiêu lưu trí tuệ của conngười trong các ý tưởng toán học, do đó biểu hiện những hạn chế củatâm trí con người

Ngoài việc tăng cường học sinh, nắm bắt tư duy toán học, sử dụngcác vấn đề lịch sử nhân bản hóa toán học bằng cách minh họa các nhàtoán học, cuộc đấu tranh trong việc giải quyết vấn đề và các khái niệmliên quan Các học sinh hiểu về mặt sư phạm khi họ nhận ra rằng nhữngvấn đề như vậy không được tạo ra trong tưởng tượng và quan trọng hơn

là các nhà toán học cũng mắc sai lầm Tầm quan trọng của việc giớithiệu các khía cạnh nhân văn của kiến thức như vậy trong giáo dục cóthể được tóm tắt tốt nhất bằng lập luận Tymoczko: Con người phải mấthàng ngàn năm để tiến tới trình độ toán học của học sinh trung học ngàynay, và có lẽ giáo viên nên đề cập đến điều này với học sinh Không có

nó, các nhà giáo dục có thể dạy học sinh giao tiếp và giải quyết, giốngnhư họ có thể dạy học sinh đọc và viết Nhưng không có nó, các nhàgiáo dục có thể dạy học sinh yêu hoặc thậm chí thích, đánh giá cao hoặcthậm chí hiểu về toán học

Các nhà khoa học chính là những tấm gương cho học sinh, nhữngcâu nói của họ có thể giúp hình thành nhân cách cho học sinh Giáoviên có thể trích dẫn, tạo áp phích trong lớp học, về những câu nói, lờikhuyên của các nhà toán học nhằm tạo động lực học tập cho học sinh

Ví dụ, như câu nói nổi tiếng của nhà toán học Albert Einstein1

Ngoài việc kể cho học sinh nghe các câu chuyện về các nhà toán học

mà tên họ gắn liền với công trình phát minh, như đã trình bày ở phầntrên, Giáo viên có thể cho các em về các giai thoại, cách qua vượt khó

1 Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

Hình 1.1 Albert Einstein (1879-1955)

trở ngại để xây dựng nên công trình khoa học phục vụ nhân loại của cácnhà toán học, nhằm hình thành ở các em những hoài bão khoa học lớn,ước mơ cống hiến càng nhiều cho đất nước Chẳng hạn, gương vượt khócủa Kepler (1571-1630), gương dám đấu tranh cho chân lý khoa học nhưCopernicus, gương lao động sáng tạo phi thường như Newton, Leibniz,Cauchy,

Nhà toán học Euler hỏng một con mắt khi ông chưa đầy 30 tuổi Mất

đi một con mắt đối với Euler chỉ là một khuyết tật nhỏ, Euler tuyên bốrằng: "Bây giờ tôi sẽ ít bị phân tán tư tưởng hơn" Bốn mươi năm sau,vào tuổi lục tuần, tình hình của ông tồi tệ một cách đáng kể, khi conmắt tốt của ông bị đục thủy tinh thể, nghĩa là ông sẽ bị mù Ông đãquyết định không chịu đầu hàng và bắt đầu nhắm mắt tập viết nhằmhoàn thiện kỹ thuật này trước khi bóng tối hoàn toàn sập xuống Eulervẫn tiếp tục sáng tạo toán học

Hay câu chuyện về nhà toán học Theano ở thế kỉ VI trước Côngnguyên, bà sống trong thế kỉ phụ nữ không được khuyên khích nghiêncứu toán học Nhưng dù bị phân biệt bà vẫn đấu tranh chống lại phongtục, và có những nghiên cứu về toán học, vật lí, tâm lí học Bà bắt đầunhư một học trò của Pythagoras và cuối cùng trở thành vợ của ông Têncủa bà được đặt cho thư viện nghiên cứu các phép toán số học chạy trênCPU hoặc GPU

Cuộc sống và nhà toán học trong nước như: GS Hoàng Tụy, GS LêVăn Thiêm, GS Nguyễn Cảnh Toàn, GS Đặng Đình Áng, GS Ngô BảoChâu Kể về các thành công của các học sinh Việt Nam trong các kìthi quốc tế và các sinh viên Việt Nam đang du học nước ngoài Tất cảnhững điều ấy có tác dụng rất tốt đến việc xây dựng niềm tự hào dântộc, lòng yêu nước cho học sinh Từ đó các em sẽ cố gắng học tập tốt

và luôn rèn luyện đạo đức để sau này góp phần đưa đất nước có thể "sánh vai cùng các cường quốc năm châu "

Những hình ảnh, mẩu chuyện về nhà toán học đã làm việc hết mình

để tìm kiếm tri thức, những khó khăn trong đời sống không lay chuyểnđược lòng say mê nghiên cứu, sáng tạo dù trong bất cứ hoàn cảnh nào

là những tấm gương cho học sinh Có thể tác dụng tốt trong việc hìnhthành mục tiêu, ước mơ và rèn luyện phẩm chất đạo đức

1.2.2 Tổ chức các hoạt động dạy học

Giáo viên luôn cần xác định phương pháp tốt nhất để hỗ trợ học sinhlàm và hiểu ý tưởng Khi trả lời các câu hỏi về việc liệu lịch sử có quantrọng trong giảng dạy toán học hay không, Morris Kline chỉ ra: Tôi chắcchắn tin rằng trình tự lịch sử là một hướng dẫn tuyệt vời cho việc thiết

kế hoạt động dạy học Mỗi giáo viên toán trung học và đại học nên biếtlịch sử toán học

Vận dụng một số yếu tố lịch sử phát triển tri thức vào dạy toán ởtrường không chỉ giúp cải thiện thái độ của học sinh và nâng cao tư duy

ở cấp độ cao hơn, mà còn giúp mở rộng sự hiểu biết của giáo viên về bảnchất của kiến thức toán học Cùng với sự phát triển về hiểu biết của họ

về toán học thực sự, đó là bản chất biện chứng của toán học ngoài tínhchất suy diễn của nó, giáo viên dự kiến xây dựng niềm tin của học sinh

về toán học

Giáo viên có kiến thức về lịch sử phát triển các tri thức toán học giúp

hỗ trợ cho việc dạy học trên phương diện chuẩn bị nội dung, chuyển hóa

sư phạm, hình thức dạy học, phương pháp dạy học cho phù hợp

Fauvel [9, 1991] đã đưa ra một số cách sử dụng lịch sử trong lớp họctoán:

• Đề cập đến các nhà toán học trong từng giai thoại trong lịch sử.

• Giới thiệu lịch sử các khái niệm mới về lịch sử cho học sinh

• Khuyến khích học sinh hiểu các vấn đề lịch sử mà các khái niệm

mà họ đang học là câu trả lời

• Đưa ra những bài học về lịch sử toán học

• Phát triển các bài tập trong lớp học hoặc bài tập về nhà bằng cách

sử dụng các nội dung toán học từ lịch sử

• Đưa ra các hoạt động thú vị mang lại sự tương tác toán học

• Khuyến khích việc tạo các màn hình áp phích hoặc các dự án khácvới chủ đề lịch sử

• Thiết lập các dự án về hoạt động toán học địa phương trong lịchsử

• Sử dụng các ví dụ quan trọng từ lịch sử để minh họa các kỹ thuậthoặc phương pháp

• Khám phá các quan niệm sai lầm / lỗi / thay thế trong quá khứ

để trợ giúp trong việc hiểu và giải quyết những khó khăn cho họctập ngày nay

• Tìm ra cách tiếp cận sư phạm cho 1 chủ đề với sự phát triển lịch

Ví dụ 1.5 Ở cấp tiểu học, học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển

từ giải quyết các vấn đề cụ thể bằng cách sử dụng từ và số cho vấn đềtrừu tượng sử dụng các chữ cái để chỉ định số lượng không xác định.Một lần nữa, chúng ta biết rằng, trong lịch sử, nó là một chuyển đổi kháiniệm khó khăn Để giúp học sinh hiểu vai trò của các chữ cái đại diệncho những điều chưa biết, Radford và Grenier đã thiết kế một chuỗi cáchoạt động trong đó học sinh được yêu cầu giải quyết một số vấn đề từbằng cách sử dụng các thao tác Những thao tác này đã được hình thànhtheo cách như vậy số lượng chưa biết được mô hình hóa bằng một ẩn là

số kẹo trong một cái túi hoặc một số thẻ khúc côn cầu là một ẩn Thaotác, các sinh viên phải tạo ra các bản vẽ (ví dụ: một túi chứa một số kẹokhông xác định) và, trong bước thứ ba, các sinh viên phải sử dụng cácchữ cái thay vì các hình vẽ Trình tự giảng dạy được lấy cảm hứng từmột phân tích lịch sử về đại số thời trung cổ, đặc biệt bởi một ý tưởngcủa nhà toán học thế kỷ thứ mười bốn, Antonio de Mazzinghi, người đãgiải thích khái niệm chưa biết là một ẩn cần tìm

Ví dụ 1.6 [Alpaslan-2011]

Trong luận án thạc sĩ của Alpaslan, kiến thức về giáo viên cấp hai

và thái độ, niềm tin của họ về việc sử dụng lịch sử toán trong giảngdạy toán học là kiểm tra và tìm kiếm mối tương quan giữa hai điều này.Theo kết quả phân tích, điểm số của giáo viên về kiến thức lịch sử toánhọc tăng theo lớp học của họ Thêm vào đó, thái độ và niềm tin của giáoviên về sử dụng lịch sử toán học trong giáo dục toán học cũng tăng

Ví dụ 1.7 Mục đích của cuộc khảo sát của ˙Idikut (2007) là nghiên cứuhiệu quả của việc sử dụng lịch sử toán học như một phương pháp hỗtrợ để kiểm tra thái độ của hoạt động toán học của học sinh và mức độduy trì Trong nghiên cứu thực nghiệm của mình, ông đã áp dụng mộtbài kiểm tra trước và sau kiểm tra cho học sinh lớp 7 Hai nhóm đượcchọn từ hai trường và một trong số họ được xác định là nhóm kiểm soát

và khác được xác định là một nhóm thử nghiệm Trước khi nghiên cứu,

một thang đo thái độ và một kiểm tra hiệu suất đã được áp dụng nhưmột thử nghiệm trước Trong bốn tuần, trong khi các bài học toán học

là thực hiện bằng cách thêm lịch sử của các kỹ thuật toán học trongnhóm thực nghiệm, giáo viên đã sử dụng một cuốn sách trong các bàihọc của nhóm kiểm soát Sau đó, hai quy mô được áp dụng một lầnnữa Sau ba vài tuần, bài kiểm tra đánh giá được tiến hành một lầnnữa để kiểm tra mức độ duy trì Bảng tính về các nhà toán học nhưCarl Friedrich Gauss, Leonardo Fibonacci, Omar Khayyam và Pierre deFermat đã được sử dụng làm tài liệu giảng dạy Nó đã tập trung vàotác động của các nền văn hóa đặc biệt khác nhau đến toán học trongbảng tính Nó cũng được nhấn mạnh vị trí của toán học trong cuộc sốnghàng ngày và trong sự phát triển của các nền văn minh Kết quả chothấy khóa học được hỗ trợ bởi lịch sử của toán học không có bất kỳảnh hưởng nào đến thái độ và mức độ duy trì của học sinh, nhưng cónhiều ảnh hưởng đến thành tích của học sinh trong các bài học toán Vìnghiên cứu này đã được thực hiện với học sinh tiểu học và bằng cách sửdụng bảng tính, nó đã đi vào văn học

Ví dụ 1.8 Albayrak đã sử dụng lịch sử toán học trong việc dạy khốilượng kim tự tháp, hình nón và hình cầu Những ảnh hưởng của thựctiễn này đối với nhận thức về hiệu quả và thành công của toán học làthử nghiệm Dữ liệu định lượng và định tính được thu thập trong nghiêncứu và kết luận rằng có là một sự khác biệt đáng kể giữa thử nghiệmtrước và sau thử nghiệm về mặt thử nghiệm và kiểm tra thành tích củahọc sinh nhóm trong toán học ở cả hai trường Tuy nhiên, theo kết quả,học sinh từ nhóm thử nghiệm đã thành công hơn sinh viên trong nhómkiểm soát chỉ trong một trong những trường tham gia Theo dữ liệu địnhtính, nói chung là nhóm thử nghiệm học sinh có suy nghĩ tích cực về bàihọc được thực hiện bằng cách sử dụng lịch sử toán học

Ví dụ 1.9 Goodwin đã thực hiện một nghiên cứu định tính để khámphá mối tương quan giữa toán học trung học kiến thức của giáo viên vềlịch sử toán học và ý kiến của họ về toán học."Nghiên cứu hình ảnh toán

học" và "Lịch sử kiểm tra toán học" được gửi tới 900 giáo viên trunghọc, dữ liệu được lấy từ 193 trong số đó và một mối tương quan đáng

kể đã được tìm thấy giữa kiến thức về lịch sử của giáo viên toán học và

ý kiến trong toán học Người thành công hơn trong các bài học lịch sửcũng thành công trong các bài học toán học

Ví dụ 1.10 Học sinh có thể được yêu cầu sử dụng phương pháp tínhngón tay cũ để làm cho đơn giản tính toán như mọi người đã làm trongquá khứ Học sinh có thể trải nghiệm và thực hành phương pháp nhânđơn giản cho các số từ 6 đến 10 mà không sử dụng bảng cửu chương lớnhơn 5 Để nhân 7 với 8, giả sử, giơ hai ngón tay lên và ba ngón tay ởbàn tay kia, vì 5 + 2 = 7 và 5 + 3 = 8 Sau đó, thêm các số được biểuthị bằng các ngón tay nâng lên hàng chục, 50 và sau là các số đơn vị,kết quả là 56 Học sinh trung học có kiến thức cơ bản về toán tiểu học

có thể được yêu cầu giải thích phương pháp trên Họ cũng có thể đượcyêu cầu tìm hiểu và biện minh phương pháp tương tự cho các số trongkhoảng từ 10 đến 15

Ví dụ 1.11 Galileo phỏng đoán rằng một sợi dây nặng treo ở hai đầutreo ở hình dạng của một parabola (đó thực sự là trường hợp nếu sợidây treo một tấm ván, trong cách của một cây cầu treo) Vấn đề này củađường cong được hình thành bởi một treo sợi dây sau đó được JakobBernoulli đặt ra và giải quyết bởi các nhà toán học thứ 17 và thế kỷ

18, bao gồm Huygens, Leibniz và Johann Bernoulli Huygens đặt ra từ

"catenary" (catena) cho đường cong này Học sinh có thể được yêu cầu

để tìm phương trình của sợi dây và so sánh nó với một parabol Ví dụnày cũng có thể là được sử dụng để thúc đẩy và khiến học sinh nghiêncứu các phương trình khác

Ví dụ 1.12 Archimedes (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên) đã thu đượccông thức A = πab cho diện tích của một hình elip với các bán trục a,

b Do đó, tỷ lệ của khu vực của một hình elip so với hình chữ nhật đượcbao quanh của nó là π

4 Dựa trên sự tương tự, Fibonacci (thế kỷ 13) lập

luận rằng vì tỷ lệ diện tích của một vòng tròn (đó là trường hợp đặc biệtvới a = b) so với hình vuông được bao quanh của nó (tất nhiên là π

4 )bằng với tỷ lệ chu vi của một vòng tròn so với tỷ lệ của chu vi của hìnhvuông, cùng được giữ đúng cho một hình elip và hình chữ nhật đượcbao quanh của nó Cái này sẽ mang lại công thức P = π(a + b) cho chu

vi của một hình elip Học sinh có thể được yêu cầu để nhận xét về tínhhợp lệ của nó và nói chung hơn (và có lẽ trên cơ sở nhiều hơn ví dụ) đểthảo luận về phương pháp tương tự trong toán học

Ví dụ 1.13 Thales được cho là người sáng lập ra truyền thống toánhọc Hy Lạp cổ đại vĩ đại và là một giáo viên của Pythagoras Ông sốngkhoảng năm 600 trước Công nguyên và đi du lịch rộng rãi ở khu vực ĐịaTrung Hải, bao gồm cả Ai Cập, từ lâu là quyền lực lịch sử thống trị ởkhu vực đó Ai Cập tất nhiên là nhà của các kim tự tháp vĩ đại tại Giza,nơi đã cổ xưa, đã được xây dựng hơn hai nghìn năm trước

Thales hỏi các linh mục Ai Cập về chiều cao của Kim tự tháp Cheops

vĩ đại, và họ đã không nói với ông, vì vậy ông tự mình đo đạc Phươngpháp của ông đã khởi xướng một cách tiếp cận mạnh mẽ trong hình họcliên quan đến tên của các hình tam giác đồng dạng Mặc dù chúng takhông biết chính xác phương pháp mà Thales đã sử dụng, những hìnhtam giác đồng dạng đóng vai trò chủ đạo

Một khả năng là Thales có thể đã nhét một cây gậy xuống đất vàchờ đợi thời điểm trong ngày khi cái bóng của cây gậy đó có chiều dàibằng cây gậy Vào thời điểm chính xác đó, chiều dài của bóng của kim

tự tháp phải bằng chiều cao của kim tự tháp

Nhưng làm thế nào mà Thales biết được cái bóng dài bao nhiêu?Anh ta có thể đo được cái bóng có thể quan sát được, và thêm một nửakích thước cơ sở của kim tự tháp! Kết luận của ông là chiều cao khoảng146,5146,5 m

Giáo viên có thể tổ chức cho học sinh thực hành đo chiều cao củamột cái cây theo cách mà nhà toán học Thales đã thực hiện

Giáo viên mở rộng vấn đề: trong thực tế, chúng ta cần đo khoảng

cách tới một vật nhưng lại không thể tới đó được do cách trở địa hìnhhoặc đến được nhưng không thể đo đạc được bằng thước.

Dựa vào lịch sử toán học, giáo viên đã tổ chức những hoạt động gâyhứng thú học tập cho học sinh Học sinh được vận dụng những kiến thức

đã học vào giải quyết vấn đề thực tế Còn có những kiến thức toán học

ra đời khi con người muốn giải quyết một vấn đề thực tế Thấy được vaitrò quan trọng của môn toán

Bên cạnh những kiến thức toán học được xuất phát từ thực tế, còn

có những kiến thức toán xuất phát từ nội bộ toán học Những tri thứctoán học mới xuất hiện nhằm giải quyết những vấn đề toán học

Như vậy ngoài những chỉ dẫn trong sách giáo khoa, nếu được bổ sungthêm các kiến thức về lịch sử của vấn đề học sinh thấy rõ toán học xuấtphát từ nhu cầu thực tế và những kiến thức toán học được ứng dụngtrong các ngành khoa học khác như thiên văn, vật lí, kĩ thuật, Qua

đó, gợi động cơ, tổ chức các hoạt động cho học sinh

1.3 Tìm hiểu tình hình nghiên cứu về lịch sử toán trong giáodục

Lịch sử toán với giáo dục toán học (History in MathematicsEducation - HME) là một hướng nghiên cứu trong Đại hội quốc tế vềGiáo dục toán học lần đầu tiên (International Congress on Mathemati-cal Education - ICME) và ngày càng được mở rộng Tại Việt Nam trongnhững năm gần đây đã có một số nghiên cứu về vận dụng một số yếu tốlịch sử toán trong dạy học

1.3.1 Một số nghiên cứu quốc tế

Lồng ghép lịch sử toán học trong giáo dục toán học đã được ủng hộ

từ nửa sau thế kỷ 19, khi các nhà toán học như De Morgan, Poincaré,Klein và những người khác ủng hộ rõ ràng con đường này và các nhà sửhọc như Tannery và sau đó Loria cho thấy sự quan tâm tích cực đến lịch

sử vai trò toán học có trong giáo dục toán học Vào đầu thế kỷ 20, mốiquan tâm này đã được quan tâm sau của các cuộc tranh luận về nềntảng của toán học Sau này, lịch sử đã trở thành một nguồn tài nguyên

cho các cách tiếp cận nhận thức luận khác nhau; Nhận thức luận lịch sửBachelard , nhận thức di truyền học của Piaget, và Freudenthal, đồngthời kích thích việc hình thành các ý tưởng và kết luận cụ thể về quátrình học tập [10] Sự quan tâm này đã trở nên mạnh mẽ và cạnh tranhhơn trong giai đoạn 1960 − 1980 để đáp ứng với cải cách Toán học, khinhững người đề xuất của nó đã mạnh mẽ chống lại một quan niệm lịch

sử về giáo dục toán học, trong khi đối với các nhà phê bình, lịch sử toánhọc xuất hiện như một giải pháp chống lại chủ nghĩa tín ngưỡng, toánhọc quan niệm không chỉ là ngôn ngữ, mà còn là hoạt động của conngười Năm 1969, Hội đồng Giáo viên Toán học Quốc gia (NCTM) tạiHoa Kỳ đã dành tặng Niên giám thứ 31 cho lịch sử toán học như mộtcông cụ giảng dạy (NCTM 1969) và trong những năm 1970

Phong trào quốc tế lan rộng bắt đầu hình thành: Mặc dù Đại hộiquốc tế đầu tiên về Giáo dục toán học (ICME-1) diễn ra tại Lyon năm

1969 chủ yếu bao gồm các cuộc đàm phán, cấu trúc của ICME-2 diễn

ra tại Exeter năm 1972 đã được thực hiện nhiều tương tác hơn thôngqua việc thành lập 38 Nhóm công tác (WGs) về các chủ đề chính củagiáo dục toán học WG 11 được gọi là Mối quan hệ giữa lịch sử và sưphạm toán học Công việc của nhóm này được tiếp tục tại ICME-3 diễn

ra tại Karlsruhe năm 1976 Đã thừa nhận tầm quan trọng và sự quantâm rộng rãi trong nghiên cứu sư phạm lịch sử trong toán học, một nghịquyết đã được chuyển đến thư ký của Ủy ban quốc tế về chỉ dẫn toánhọc (ICMI) đề xuất thiết lập một hệ thống để đảm bảo các phiên họpthường xuyên tại các ICME tương lai về chủ đề này Ủy ban điều hànhICMI đã phê duyệt việc thành lập Nhóm nghiên cứu mới, ban đầu đượcgọi là Nhóm nghiên cứu quốc tế về mối quan hệ giữa lịch sử và sư phạmtoán học, hợp tác với Ủy ban quốc tế về chỉ dẫn toán học

Do đó, trong hơn 40 năm qua, việc tích hợp lịch sử toán học tronggiáo dục toán học đã phát triển thành một lĩnh vực nghiên cứu sư phạmmới trên toàn thế giới và các hoạt động nghiên cứu cụ thể và nhận thứcngày càng tăng

Sự quan tâm quốc tế ngày càng tăng đối với viễn cảnh và các hoạt

động khác nhau của Tập đoàn HPM trên toàn thế giới, đã được ICMIchấp thuận vào năm 1996 khi triển khai Nghiên cứu ICMI 4 năm về mốiquan hệ giữa lịch sử toán học và giáo dục toán học Sau một Tài liệu thảoluận được viết bởi các đồng chủ tịch nghiên cứu (Fauvel và van Maanen1997) và Hội nghị nghiên cứu năm 1998, tại Luminy, Pháp, Nghiên cứu

đã đạt đến đỉnh điểm trong việc xuất bản một tập toàn diện được viếtbởi 62 người đóng góp làm việc trong 11 nhóm Đây là một bước ngoặttrong việc thiết lập và thể hiện rõ hơn viễn cảnh HPM như một lĩnhvực nghiên cứu trong bối cảnh giáo dục toán học và kích thích và tăngcường sự quan tâm quốc tế của cộng đồng giáo dục trong lĩnh vực này.Trước đây, nhưng mạnh mẽ hơn sau tập hợp tập thể này, nghiên cứu

và triển khai thực tế trong giáo dục đã được hiện thực hóa và truyềnđạt rộng rãi theo nhiều cách khác nhau: Thông qua việc tổ chức các hộinghị và các cuộc họp thường xuyên ở cấp quốc tế và khu vực, bao gồmNhóm nghiên cứu chủ đề (TSGs) tại mỗi ICME, các cuộc họp quốc tếICME của Tập đoàn HPM, kể từ năm 2009, một nhóm làm việc tại Đạihội của Hiệp hội nghiên cứu giáo dục toán học châu Âu (CERME) ramắt và thiết lập các tạp chí và bản tin, bao gồm cả tạp chí trực tuyếnConvergence, hội Lịch sử Toán học Anh (Bản tin BSHM)

1.3.2 Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam

Ở nước ta có những tác giả nghiên cứu lịch sử toán học như: NguyễnCang, Phạm Gia Đức, Nguyễn Thủy Thanh, Nguyễn Duy Tiến, Hà HuyKhoái, Tạ Duy Phượng, Các nghiên cứu tập trung chủ yếu về các giaiđoạn lịch sử phát triển Toán học và được trình bày dưới dạng sách, tàiliệu tham khảo Các nhà nghiên cứu và giáo viên môn Toán đã dần quantâm đến hướng nghiên cứu vận dụng các yếu tố lịch sử toán học trongdạy học Các nghiên cứu việc trong nước về sử dụng các yếu tố lịch sửphát triển các tri thức toán học trong giáo dục toán học các nội dung

cụ thể như:

Lê Thị Hoài Châu đã có những nghiên cứu Lịch sử toán học theohướng khai thác lịch sử trong dạy học toán Các nghiên cứu của cô như:

Khai thác lịch sử toán học trong dạy - học khái niệm tích phân xácđịnh (2004); Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trongnghiên cứu và thực hành dạy học môn toán (2008) Các nghiên cứu của

cô Châu đã cho chúng ta thấy vai trò của việc vận dụng lịch sử toántrong dạy học tưng nội dung cụ thể

Phạm Thị Tuyết Mai có nghiên cứu về đề tài: "Tăng cường một sốyếu tố lịch sử toán học và trò chơi toán học trong dạy học toán Trung học

cơ sở nhằm tích cực hoạt động học tập của học sinh" Đề tài đã trình bày

và phân tích chi tiết các yếu tố lịch sử và các trò chơi toán học nhằm gópphần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh phù hợp với chươngtrình Đại số cấp Trung học cơ sở

Bùi Linh Phượng (2009): "Biện pháp nâng cao hiệu quả việc trang

bị lịch sử toán trong dạy học môn toán ở Trường THPT" Đề tài đã xácđịnh được vai trò quan trọng của lịch sử toán trong dạy học bộ môntoán ở trường THPT, xác định và hệ thống hóa được những nội dungtri thức lịch sử toán liên quan trực tiếp đến chương trình SGK toán ởTHPT Kết quả nghiên cứu cho thấy vai trò quan trọng của lịch sử toántrong dạy học toán và tác động tích cực của các biện pháp luận văn đãđưa ra trong việc đổi mới PPDH và nâng cao chất lượng đào tạo

Kết luận chương 1

Lý luận dạy học môn Toán đã khẳng định các yếu tố lịch sử pháttriển các tri thức toán học có vai trò quan trọng Các hoạt động dựatrên phân tích các văn bản lịch sử như là một phần của chương trìnhdạy học Qua việc tìm hiểu các tri thức lịch sử toán có thể giúp học sinhthấy được tổng thể về bối cảnh xã hội và khoa học của các thời kỳ liênquan, hiểu bối cảnh của nhân vật lịch sử đang được nghiên cứu Từ đókích thích sự chủ động, tích cực, tự giác trong học tập Học sinh có đượctầm nhìn về toán học không phải là một sản phẩm cuối cùng mà là mộtkhoa học đã được phát triển trên cơ sở tìm kiếm câu trả lời cho các câuhỏi về thế giới xung quanh chúng ta trong suốt thời gian dài

Lịch sử toán học là một nguồn tài liệu dạy học dồi dào, giáo viên cóhiểu biết về lịch sử phát triển các tri thức toán học sẽ có thể lường trướcđược những khó khăn của học sinh khi học một tri thức mới, hỗ trợ việcthiết kế các hoạt động dạy học cho giáo viên

Qua thực trạng cho thấy trên thế giới đã và đang quan tâm tới lịch

sử toán học, vận dụng lịch sử toán trong dạy học đang được nghiên cứu

và thực nghiệm ở nhiều nơi, nhiều cấp học Ở nước ta, việc vận dụnglịch sử phát triển các tri thức toán học trong dạy học chưa được quantâm nhiều

Lí luận và thực tiễn đã trình bày ở trên là những căn cứ, khẳng địnhviệc vận dụng yếu tố lịch sử phát triển các tri thức toán học trong dạyhọc toán là cần thiết, là cơ sở để chúng tôi thực hiện chương 2

CHƯƠNG 2VẬN DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CÁCTRI THỨC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 9

2.1 Căn bậc hai Căn bậc ba

Tìm hiểu lịch sử phát triển tri thức của căn bậc hai, có thể giúp họcsinh thấy được căn bậc hai nhìn bề ngoài có vẻ không liên quan đến thực

tế, nhưng lại bắt người từ nhu cầu của con người Thúc đẩy nhu cầu tìmhiểu căn bậc hai của học sinh, các ứng dụng của nó trong thực tiễn, mốiquan hệ mật thiết giữa Đại số và Hình học

Ví dụ 2.1 Khi dạy bài Căn bậc hai, giáo viên có thể đặt ra câu hỏi chohọc sinh: Nêu lại cách tính diện tích của một hình vuông cạnh bằng a?.Với bài toán này, học sinh dễ đàng trả lời được,diện tích của hình vuông

là a2 Giáo viên đặt vấn đề ngược lại, nếu cho một hình vuông đã biếttrước diện tích là b Hãy tìm cạnh của hình vuông đó?

Học sinh được đặt vào một vấn đề thực tế, cần phải giải quyết Sau

đó, giáo viên giới thiệu bài học và giải thích thêm cho học sinh Tronglịch sử, các nhà toán học đã thấy mối quan hệ giữa Hình học và Đại số.Khái niệm căn bậc hai cũng có phần liên quan đến hình học Khi biết độdài cạnh hình vuông, ta tính được diện tích của hình vuông bằng cáchnhận lấy độ dài cạnh nhân với chính nó hay bình phương độ dài cạnh.Bài toán ngược lại, nếu cho hình vuông có diện tích, làm thế nào để tínhđược độ dài cạnh của hình vuông? Khi đó, căn bậc hai ra đời, phép lấycăn bậc hai số học là phép toán ngược của bình phương

Ví dụ 2.2 Trước khi giới thiệu về kí hiệu căn bậc hai, giáo viên giớithiệu trước khi kí hiệu căn bậc hai mà chúng ta dùng ngày nay ra đời,các nhà toán học sử dụng từ R.q thay cho căn bậc hai Ví dụ, căn bậchai của 234 ngày nay là √

234, kí hiệu trước R.q.234

Đặt nhiệm vụ về nhà: Ý nghĩa của kí hiệu căn bậc hai ngày này đượcbắt nguồn từ đâu và có ý nghĩa gì không?

Năm 1525, trong cuốn "Die Cross", Ch.Rudolff đã đưa ra dấu ”√

”

Ví dụ 2.3 [Phương pháp tính căn bậc hai]

Giáo viên đặt ra vấn đề: Ngày nay, chúng ta có thể tìm được căn bậchai số học của một số dễ dàng khi sử dụng máy tính bỏ túi Trước khi,các máy tính này ra đời, các nhà toán học trong lịch sử đã tính √

135246như thế nào?

Sau khi học sinh nêu các cách làm của mình Giáo viên có thể giớithiệu một số phương pháp tìm căn bậc hai của một số trong lịch sử.Phương pháp Babylon

Có lẽ đây là thuật toán đầu tiên để tính gần đúng căn bậc hai củamột số Phương pháp này còn được gọi là phương pháp Heron nhà toánhọc Hy Lạp Hero xứ Alexandria người đã mô tả rõ ràng đầu tiên củaphương pháp này

Hero là một nhà toán học và kỹ sư đã hoạt động tại thành phố quênhương Alexandria Ông được coi là người thí nghiệm vĩ đại nhất thời

cổ đại và công trình của ông là đại diện cho truyền thống khoa học HyLạp Hero đã mô tả một phương pháp tính toán lặp lại căn bậc hai củamột số Tuy nhiên, ngày nay tên ông được biết đến nhiều với Công thứcHero để tính diện tích của một hình tam giác khi biết ba cạnh của nó

Ý tưởng cơ bản là nếu x là một giá trị quá cao so với căn bậc haicủa một số thực không âm a thì xa sẽ là một đánh giá thấp, hoặc ngượclại, và do đó trung bình của hai số này có thể được mong đợi một cáchhợp lý để cung cấp một xấp xỉ tốt hơn

Có thể mô tả lại thuật toán như sau:

Giả sử, cần tìm căn bậc hai của số a

Bước 0: Chọn một số x0 mà chúng ta thấy nó có thể là căn bậc haicủa a

cổ đại được viết trên vỏ cây bạch dương được tìm thấy vào năm 1881tại làng Bakhshali, Mardan (gần Pakistan ngày nay).

Có thể mô tả lại thuật toán như sau:

Phương pháp này tương đương với hai lần lặp của phương pháp Babylonbắt đầu bằng x0 Để tính toán √

a , chúng ta hay tính x20 là xấp xỉ banđầu gần bằng a Sau đó lặp lại như sau:

un = a − x

2 n

2xn ,

vn = xn+ un,

xn+1 = vn− u

2 n

2vn = (xn + un) −

u2n2(xn+ un).Lặp lại các bước cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn

Cho học sinh giải bài toán trên lần lượt bằng hai phương pháp

Phương pháp 1: Chọn x0 = 500

Tính x20 = 250000 6= 135247, chuyển sang bước 2

x1 = 12

độ cao hơn Khuyến khích học sinh tìm tòi thêm các phương pháp kháccho việc tính căn bậc hai của một số.

Ngoài ra, sau khi học sinh đạt được giải pháp, các em so sánh kếtquả của mình với kết quả họ thu được từ máy tính Do đó, học sinhcũng thấy rằng hệ điều hành của máy tính tương tự như thuật toán đã

sử dụng Học sinh có một cơ hội để so sánh các phương pháp khác nhau

Ví dụ 2.4 Biểu diễn căn bậc hai của các số 2,3,5,7,17 dưới dạng đoạnthẳng, chỉ bằng bút và thước eke?

Giáo viên cho học sinh hoạt động cá nhân hoặc tập thể, khi đưa rađược cách vẽ Khi học sinh gặp khó khăn, có thể gợi ý bằng cách sử dụngđịnh lý Pythagoras.

Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 1 đơn vị Theođịnh lí của Pythagoras, ta có cạnh huyền bằng √

3Tiếp tục, làm tương tự như trên, ta được cạnh huyền của tam giácvuông mới bằng √

4 = 2 là một số hữu tỉ

Tiếp nữa, làm đến khi xuất hiện √

17 thì dừng lại

Sau đó, giáo viên giới thiệu, cách học sinh vừa thực hiện đã được nhàtoán học làm ở thế kỉ trước.

Vào thế kỉ năm trước Công Nguyên, các nhà toán học đã cảm thấycuốn hút và cảm thấy rắc rối với số vô tỉ Họ tin rằng chỉ tồn tại các số

tự nhiên như (1; 2; 3) hay là các phân số (1

2;

3

5) Họ chỉ chấp nhận cáccon số hữu tỉ trên, các con số khác họ gọi là "không đo lường được".Theodorus là nhà toán học sống ở thế kỉ 5 trước Công Nguyên và ông

ra đời sau Pythagoras khoảng 100 năm Chúng ta có thể tìm hiểu thêm vềTheodorus trong tác phẩm Theaetetus của Plato Ông đã xây dựng cácđoạn thẳng có độ dài bằng √

3,√

5,√

7, dựa vào định lí Pythagoras

Ví dụ 2.5 Trước khi vào bài Căn bậc ba, giáo viên có thể kể cho họcsinh nghe về câu chuyện Bài toán nhân đôi khối vuông hay còn gọi làBài toán Delian của Hy Lạp

Vào thế kỉ thứ tư, trước Công Nguyên Plato đã đặt ra vấn đề nhânđôi thể tích khối lập phương Plato là một nhà triết học người Athenstrong thời kỳ cổ điển của Hy Lạp cổ đại, người sáng lập tư tưởng Plato

và Học viện, tổ chức đầu tiên của việc học cao hơn trong thế giới phươngTây Mặc dù không phải là nhà toán học , Plato còn được coi là một