một số bài toán mở rộng về tính chia hết của học sinh lớp 6,7,8

Đó là cáckiến thức rất cơ bản để sau này học sinh vận dụng vào các bài tập ở lớp 9 một cách dễ dàng hơn.. Phương hướng: - Để tìm được các số nguyên x làm cho biểu thức A có giá trị nguyê

MỤC LỤC

A – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3

I.CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG LỚP 6, 7, 8 3

II.MỘT SỐ CÂU HỎI PHỤ TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC 14

DẠNG 1: Tính giá trị biểu thức .14

Dạng 2: Tìm x trong giải phương trình 21

Dạng 3: Tìm x trong giải bất phương trình 28

Dạng 4: Chứng minh, so sánh 35

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên .40

Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .45

C KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

A – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Để giúp học sinh có kiến thức cơ bản giải quyết các dạng toán sau khi rút gọn biểu thức, tôi chú ý đến một số bài toán mở rộng ở các lớp 6, 7, 8 Đó là cáckiến thức rất cơ bản để sau này học sinh vận dụng vào các bài tập ở lớp 9 một cách dễ dàng hơn Và các dạng toán này cũng thường gặp trong các tài liệu hướng dẫn của Sở Giáo dục Hà Nội hướng dẫn học sinh ôn tập hang năm thi vào lớp 10

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I Các bài toán mở rộng ở lớp 6, 7, 8.

Bài 1 : Cho biểu thức P = Tìm giá trị nguyên của n để P có giá trị nguyên

(Đề thi HK II toán 6 năm học 2006 – 2007, THCS Láng Thượng).

• Phương hướng:

- Biến đổi tử số về dạng tổng sao cho có hạng tử giống mẫu số

- Sử dụng tính chất chia hết của một tích, tính chất chia hết của 1 tổng để giải bài toán

- Học sinh cần có kỹ năng về Ư và B của một số nguyên, kỹ năng cộng, trừ, nhân, chia các số nguyên

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị nguyên

(Đề thi HK II Toán 6 năm học 2010 – 2011, THCS Láng Thượng).

Giải: Phân số có giá trị nguyên khi 3n – 1 Ư(12)

Vậy n = 0 hoặc n = 1 thì phân số có giá trị nguyên

Bài 3: Cho A = Tìm số nguyên n để A là số tự nhiên

(Đề thi Toán 6 HK II năm học 2012 – 2013, THCS Ba Đình).

• Phương hướng:

- Biến đổi tử số về dạng tổng sao cho có hạng tử giống mẫu số

- Sử dụng tính chất chia hết của một tích, tính chất chia hết của 1 tổng để giải bài toán

- Học sinh cần có kỹ năng về Ư và B của một số nguyên, kỹ năng cộng, trừ, nhân, chia các số nguyên

• Lời giải:

A = là số tự nhiên khi

Có 4n + 3 = 4n – 2 + 5 = 4 (2n – 1) + 5

A không phải là số tự nhiên

• Với n = 1 A = A có giá trị là số tự nhiên

• Với n = 3 A = A có giá trị là số tự nhiên

Bài 4: Cho phân số A = Tìm số nguyên n để A có giá trị là số

Vậy n = -1 hoặc n = 1 thì phân số A = có giá trị là số nguyên

Bài 5: Cho biểu thức P = Tìm giá trị nguyên của n để P có giá trị nguyên dương

(Đề thi HK II Toán 7 năm học 2006 – 2007 trường THCS Láng Thượng)

Giải: P = có giá trị nguyên dương khi (

và thương có giá trị là số dương

Ta có: P = =

3n – 9 = 3n + 12 – 21 = 3(n+4) – 21

Tức là: n +4 Ư(21)

Ta có bảng:

• không phải là số nguyên dương

• không phải là số nguyên dương

• là số nguyên dương

Vậy thì P = là số nguyên dương

Bài 6: Cho B = Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

(Đề thi HK II Toán 7 năm học 2010 – 2011 trường THCS Láng Thượng).

Có: 2x – 5 = 2(x+2) – 9

Vậy thì B = có giá trị nguyên.

Khi đó GTLN của phân số có GTLN là bằng 2.

• Với giá trị nào của số tự nhiên a thì phân số có GTLN Tìm GTLN đó

(“140 bài toán về phân số” Nhà xuất bản Giáo dục – Nguyễn Danh Vinh –

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n (n 0) sao cho có giá trị là số tự nhiên.

(“Toán nâng cao và các chuyên đề Số học” – Nhà xuất bản ĐHQGHN – 1999 – Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Việt Hải – Vũ Dương Thụy).

Bài 10: Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 + 5 chia hết cho n + 1

(“Bài tập chuyên toán số học 6” – Đinh Gia Phong – Vũ Quốc Lương –

Lê Thống Nhất – Nguyễn Hữu Thảo – Tôn Thân).

Giải: Biến đổi n 2 + 5 = n(n+1) – (n+1) + 6

Vì n + 1 n + 1 với mọi số tự nhiên n.

n(n + 1) n + 1 với mọi số tự nhiên n.

[n(n + 1)-(n-1)] n + 1 với mọi số tự nhiên n.

Nên n 2 + 5 chia hết cho n + 1.

Vậy n thì n2 + 5 chia hết cho n + 1

Bài 11: Cho biểu thức: A =

Tìm các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013-2014 trường THCS Thăng Long – Ba Đình – Hà Nội).

Phương hướng:

- Để tìm được các số nguyên x làm cho biểu thức A có giá trị nguyên ta phải dùng các phép biến đổi đồng nhất để biểu thức A có dạng đơn giản nhất (Đó là rút gọn biểu thức A).

- Từ đó quay trở về bài toán tìm x : biến đổi biểu thức A có dạng tổng của một hằng số và một phân thức chỉ chưa biến ở mẫu.

Bài 12: Cho biểu thức: P =

Tìm x để biểu thức P có giá trị nguyên.

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013 – 2014 trường THCS Láng Thượng).

Bài 13:Cho biểu thức: P =

Tìm x Z để P Z.

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013 – 2014 trường THCS Láng Thượng) Giải: Ta có:

Kết hợp điều kiện: x {-1;1;4;5;7} thì biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài 14: Cho biểu thức:C =

Tìm x để biểu thức C có giá trị nguyên

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013-2014 trường Lương Thế Vinh – Hà Nội)

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013-2014 trường Lương Thế Vinh – Hà Nội)

MỐT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài1: Với giá trị nào của số tự nhiên n thì phân số 6 43

41 7

Bài 2: Cho biểu thức:

) 1 ( : 4

4 14 2

2 2

x x

x x

a) Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên

12 2

1 2

3

2 2

2

x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

2

2 2

1

1 1 : 1 2

a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C có giá trị nguyên

b) Cho x > 1 tìm GTNN của biểu thức C

Bài 5: Cho biểu thức:

5 2

2 4

x x

Tìm x nguyên để biểu thức D nhận giá trị tự nhiên

Bài 6: Cho biểu thức:

3 : 2

2 2

2 4

4

2 2

x x

x x

x

Tìm giá trị nguyên dương của x để E lớn hơn 2 và có giá trị là 1 số nguyên

Bài 7: Cho biểu thức:

4 : 4

4 2 8

8

2 3

x x

a a

a a

a

13 6

12 24 6 3 3 12

2 2

4

2 1

2 2

xy

x y

x

y x y x

2 2 2

2

2 2

2

Tìm x, y  Z để P = 3

2

II Một số câu hỏi phụ trong bài toán rút gọn biểu thức

DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

a Các kiến thức học sinh cần nắm vững:

 Cách làm dạng 1:

- Bước 1: Biến đổi giá trị của biến cho đơn giản hơn hoặc có dạng bình phương của một biểu thức

- Bước 2: Kiểm tra giá trị của biến có thuộc tập xác định không

- Bước 3: Thay giá trị của biến thuộc tập xác định vào biểu thức đã rút gọn

- Bước 4: Trả lời

 Các phép biến đổi đơn giản căn bậc hai.

- Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

- Đưa thừa số vào trong dấu căn

- Khử mẫu của biểu thức lấy căn

- Trục căn thức của mẫu

- Các phép cộng, trừ, nhân, chia trong tập hợp R

 Chú ý: Khi thay giá trị của x vào biểu thức:

- Nếu biến x thuộc biểu thức dưới dấu căn thì thay giá trị của x viết dưới dạng bình phương

- Nếu biến x thuộc biểu thức không nằm dưới dấu căn thì thay giá trị của x

đã được viết dưới dạng đơn giản

b Các bài tập minh họa

Bài 1 Tính giá trị của biểu thức (Không sử dụng máy tính bỏ túi)

2 5

ĐKXĐ x

3 7

Thay x = 7 vào biểu thức ta được

Bài 3 Cho biểu thức:

3

4 4 3 4 3 2 4 1

3

4 ) 1 3 ( 4 3

Vậy với x4  2 3 thì giá trị của biểu thức là 5 3 3

Bài 4 Cho biểu thức:

3 9 24 1

3 4

1 3 4 3

1 3 3







b

thì giá trị của biểu thức P là 3  2

Bài 6 Cho biểu thức:

) 7 2 9 ( 53 28

81

) 7 2 9 ( 53 7

thì giá trị của biểu thức P là 7

Bài 7 Cho biểu thức :

3 2 4

ĐKXĐ: x ≥0; x≠1

Tính giá trị của biểu thức P khi 2

3 4

2

1 3 4

3 2 4 2

3 2 2

3 2 2

2

1 3

2 3 2 1

2

1 3 2

1 3 4

1 2

1 3

2

1 3

4

2 2

2 2

3 2 4 3 2

Thay giá trị của x vào biểu thức ta được:

3

3 2 3 3

5 3 2 1

3

4 1

) 3 5 ( 8 3 5

Thay giá trị của x vào biểu thức ta được:

5 3 7 2 5

1 5 3 1

5

1 5

thì giá trị của biểu thức là: A7  3 5

Bài 11 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT–Sở GD va ĐT Hà Nội–năm học 2012–2013)

Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36

Thay x = 36 vào biểu thức A ta được 4

5 2 6

4 6 2 36

4 36

Tính giá trị của biểu thức A khi x =64

Thay x = 64 vào biểu thức A ta được 4

5 8

8 2 64

64 2

Vậy với x = 64 thì giá trị của biểu thức là 4

5

DẠNG 2: TÌM X TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

a Các kiến thức học sinh cần nắm vững:

Cách làm dạng 2:

Bước 1: Cho biểu thức đã rút gọn thỏa mãn yêu cầu của đề bài -> lập nên

phương trình

Bước 2: Giải phương trình vừa lập được

Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời

* Chú ý:

- Tìm điều kiện mới phát sinh theo yêu cầu của đề bài

- Giải phương trình vô tỷ có thể dùng phương pháp đặt ẩn

+ Phân tích đa thức thành nhân tử

+ Giải phương trình dạng tích

+ Công thức nghiệm của phương trình bậc 2

+ Nhẩm nghiệm theo hệ thức vi-ét

b Các bài tập minh họa:

Bài 1 Cho biểu thức:

4

3

) (

KTM

t

1

) ( 16 4

0

4

0 ) 1 )(

4

(

0 4 4

0 4

5

9 4 4

TM x

x x

TM x

x x

x x

x x

x

x

x

x x

x

0 6 13

3

) ( 4 2

2 2

1 1

TM x

x

TM x

TM t

7 2

4 2

a a

a a

a a

3

; 1

1 2

2

3

2 12 17 2

2

3

) (

2

2

3

) (

2

2

3

2 2

1 1

x x

1 )

( 2

1



5 2 4

4 4

4

1 5 2

4 4

x

x

x x

x x

7 



x

thì ( x+1)P =1

5

3

) (

x  

5 3

x  

thì 3A = 1

DẠNG 3: TÌM X TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

a Các kiến thức học sinh cần nắm vững:

* Cách làm dạng 3:

Bước 1: Cho biểu thức đã rút gọn thỏa mãn yêu cầu của đề bài -> lập nên bất phương trình

Bước 2: Giải bất phương trình vừa lập được

Bước 3: Kết hợp giá trị của biến vừa tìm được với ĐKXĐ, trả lời:

* Chú ý: Khi giải bất phương trình không được quy đồng mẫu ở 2 vế rồi khử mẫu khi chưa biết dấu của mẫu

Tương tự A.B > 0 ; A.B < 0

b Các bài tập minh họa

Bài 1 Cho biểu thức

Lời giải

P < 0 (tử, mẫu trái dấu)

Mà mẫu = x1 0 với mọi x  ĐKXĐ

x

(Tử, mẫu trái dấu)

mà mẫu = 1 + x+x = 4 0

3 2

1 1

2 2

Tìm các giá trị của x, y thỏa mãn P>1

y x

y x

y x y x

3 2 1

a a

1 3

a a

 3 1a3 3

3 3

1

3  a  và a≠1 thì P7  4 3

DẠNG 4 - CHỨNG MINH, SO SÁNH

a Các kiến thức học sinh cần nắm vững:

Cách làm dạng 4: Muốn so sánh 2 biểu thức A và B ta làm như sau:

b Các bài tập minh họa

Bài 1: Cho biểu thức:

P = x

x

x  1

ĐKXĐ: x>0; x≠1Hãy so sánh P với 3

=

x

x x

Vậy P>3 với mọi xĐKXĐ

Bài 2 Cho biểu thức:

5 2

Lời giải

4 4

x P

( 2 1) 4

1 2

x x

( 1) 4

) 1 (

2 2

(

) 1 (

Vậy P 1 ới mọi x  ĐKXĐ

Bài 3 Cho biểu thức:

y xy

y x

với mọi x ĐKXĐ

=> P-1<0 => P<1

Vậy P<1 với mọi x ĐKXĐ

Bài 4 Cho biểu thức:

x x

8

1 ) 1 2 ( 4

2 4

Lời giải:

Xét hiệu P – 6 = 6

2 4 2







a a a

= a

a a

a

3 2

1 2

2 2 2

1 2

Vậy P > 6 với mọi a  ĐKXĐ

Bài 6 Cho biểu thức:

1 (

x x

x

x x

Hãy xét dấu của biểu thức P 1  a

DẠNG 5 : TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC NHẬN

GIÁ TRỊ NGUYÊN

a Các kiến thức học sinh cần nắm vững:

Cách làm:

Bước 1: Biến đổi biểu thức đã rút gọn về dạng biểu thức chứa biến là ước của một số nguyên khác 0

Bước 2: Tìm ước của số nguyên đó

Bước 3: Cho biểu thứuc chứa biến nhận các giá trị là ước của số nguyên, tìm ra giá trị của biến

Bước 4: Đối chiếu giá trị của biến vừa tìm được với TXĐ, trả lời:

- Phép chia đa thức cho đa thức

- Cách tìm ước của 1 số nguyên

- Giải phương trình

b Các bài tập minh họa:

Bài 1 Cho biểu thức:

3 3

Ư(3)={1;3}

Vậy x {-2,-4,0,-6} thì biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 2 Cho biểu thức:

2 1 2 2 4

A nguyên  2

2



x nguyên  x – 2 là Ư(2)

Bài 3 Cho biểu thức

4 3 3

x x

Vậy x {16,25,1,49} thì P nhận giá trị nguyên

Bài 4 Cho biểu thức

2 1 1

x x

Bài 5 Cho biểu thức

4 ) 2 ( 2 2

x x

Vậy x =0 thì A nhận giá trị nguyên

Bài 6 Cho biểu thức

3 3

x x

Vậy x {16; 36} thì P nhận giá trị nguyên dương

Bài 7 Cho biểu thức

9 9

ĐKXĐ

-6ĐKXĐ Vậy x {4;6;12;-6} thì A chia hết cho 4

DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA BIỂU THỨC:

a Các kiến thức học sinh cần nắm vững:

Cách làm dạng 6:

Trường hợp: Biểu thức có dạng biểu thức nguyên

- Bước 1: Biến đối biểu thức cho có dạng: kA2+m (k, m  R)

+ k>0 thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là m khi A = 0

+ k < 0 thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất là m khi A = 0

- Bước 2: Kiểm tra giá trị của biến vừa tìm đượcvới ĐKXĐ, trả lời

- - Trường hợp: Biểu thức có dạng biểu thức phân: Dùng các bất đẳng thức

đã biết như Cauchy; A 0A0

b.Các dạng bài tập minh họa

Bài 1: Cho biểu thức:

Vậy GTNN của biểu thức P là -1; dấu = đạt được  x = 0

Bài 2 Cho biểu thức

1

3 1 1

3 1 1

x x

x

P

Ta có: x1 1với mọi x  ĐKXĐ

2 1

3

1

3 1

3 2 2

x x

x

P

Ta có x22 với mọi x ĐKXĐ 2

3 2

1 1

Bài 5 Cho biểu thức

3

25 3

3

25 3 3

x x

x x

4 6 3

Bài 6 Cho biểu thức

Vậy GTNN của E là 4, dấu = xảy ra  a=b=4

Bài 7 Cho biểu thức

  4 16

4 2

0 2

Khi tổ chức ôn tập cho học sinh theo đề tài này tôi đã:

- Đưa ra cách làm cho từng dạng

- Đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó

- Nhắc lại các kiến thức cũ liên quan cần sử dụng

- Phát hiện các sai lầm của học sinh

- Rèn cho học sinh kĩ năng trình bày bài cẩn thận, chính xác

Đề tài này tôi vẫn sử dụng cho học sinh ôn thi Hàng năm, tôi sẽ tiếp tục

bổ sung, hoàn thiện hệ thống bài tập để giúp học sinh ôn tập đạt kết quả tốt Kết quả cụ thể trong 2 năm gần đây như sau:

- Năm 2013 – 2014 đạt 71% trên trung bình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Đức Hoàn – Nguyễn Sơn Hà

15 chủ đề thường gặp trong các kỳ thi THCS và tuyển sinh lớp 10 môn Toán – NXB ĐHSP

Nâng cao và phát triển Toán 9 – Tập 1 – NXB Giáo dục

5 Nguyễn Danh Ninh – Vũ Dương Thụy

(140 bài toán về phân số - NXB Giáo dục)

6 Đinh Gia Phong – Vũ Quốc Lương – Lê Thống Nhất – Nguyễn Hữu Thảo– Tôn Thân

(Bài tập chuyên Toán số học 6)

7 Đề thi học kỳ II của các trường THCS:

Xác nhận của thủ trưởng Hà Nội, ngày8 tháng 4 năm 2015

Người viết

Nguyễn Thị Thu Hằng