TỔNG hợp lý THUYẾT và các DẠNG bài tập OXYZ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ DẠNG TOÁN TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.. Cho ABCcó các chân E F, của các đường phân giác trong và ngoài gócAcủa ABC trên BC.. CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ DẠNG TOÁN

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

Trong không gian Oxyzcho: A x y z A; A; A ,B x y z B; B; B và aa a a1; ;2 3,bb b b1; ;2 3, k Khi đó:

1 ABx Bx y A; By z A; Bz A 2   2  2 2

AB AB  x x  y y  z z

3 a b a1b a1; 2b a2; 3b3 4 k.aka ka ka1; 2; 3 (k )

5 a  a12 a22 a32 6

1 1

2 2

3 3

a

 



  

 



7 a.b a b 1 1a b2 2a b3 3 8 a b a b  0 a b1 1a b2 2a b3 3 0

a,b a a ;a a ;a a

b b b b b b

, ,

a b a

a b b

  



 



và u v,   u v .sin u v,

 

      

11 a b c, , đồng phẳng  m n,  :a mb nc  hay a b c,   0

12 a b c, , không đồng phẳng  m n,  :a mb nc  hay a b c,   0

x kx y ky z kz

Đặc biệt: M là trung điểmAB: ; ;

x x y y z z

x x x y y y z z z

x x x x y y y y z z z z

16 Vectơ đơn vị: i(1; 0; 0); j(0;1; 0); k(0; 0;1)

17 Điểm trên các trục tọa độ: M x( ; 0; 0) Ox N; (0; ; 0)y Oy K; (0; 0; )z Oz

18 Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: M x y( ; ; 0) Oxy; N(0; ; )y z Oyz; K x( ; 0; )z Oxz

(Thiếu tọa độ nào cho tọa độ đó bằng 0, còn lại giữ nguyên

19 Diện tích tam giác: 1

, 2

ABC

S  AB AC

20 Diện tích hình bình hànhABCD: S ABCD  AB AC, 

21 Thể tích khối tứ diệnABCD:

22 Thể tích khối hộpABCD A B C D ' ' ' ':

V ABCD A B C D ' ' ' '  AB AD AA,  '

 16 , .

ABCD

II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1 A B C, , thẳng hàng AB AC, cùng phương AB AC, 0

Dạng 2 A B C, , là ba đỉnh tam giác  A B C, , không thẳng hàng AB AC, không cùng phương

AB AC, 0

Dạng 3 G x y z G; G; G là trọng tâm tam giác ABCthì:

Dạng 4 Cho ABCcó các chân E F, của các đường phân giác trong và ngoài gócAcủa ABC trên

BC Ta có: EB AB.EC

AC

  , FB AB.FC

AC



2

ABC

S  AB AC

   diện tích của hình bình hành ABCDlà: S ABCD  AB AC, 

Dạng 6 Đường cao AH củaABC: 1

2

ABC

AB AC S

AH



Dạng 7 TìmDsao cho ABCD là hình bình hành: Từ t/c hbh có 4 cặp vecto bằng nhau AB DC

hoặc AD BC  tọa độD

Dạng 8 Chứng minh ABCD là một tứ diện AB AC AD; ; không đồng phẳng

AB AC AD

Dạng 9 G x y z G; G; G là trọng tâm tứ diện ABCD thì:

Dạng 10 Thể tích khối tứ diệnABCD: 1

6

ABCD

V   AB AC AD 

Dạng 11 Đường cao AH của tứ diệnABCD: 1 3

V

S

Dạng 12 Thể tích hình hộp: V ABCD A B C D ' ' ' '   AB AD AA,   '

Dạng 13 Hình chiếu của điểm A x y z A; A; Alên các mặt phẳng tọa độ và các trục:

Xem lại mục 1, công thức 17, 18

Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm qua các mặt phẳng tọa độ, các trục và gốc tọa

độ:

(Thiếu tọa độ nào thì đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ nào thì để nguyên tọa độ đó)

OXY: A x y1 A; A; z A OXZ: A x2 A; y z A; A OYZ: A3x y z A; A; A

 OX : A x4 A; y A; z A  OY : A5x y A; A; z A  OZ : A6x A; y z A; A

Qua gốc O: A7x A; y A; z A

A x ; y ; z

MẶT CẦU

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:

Dạng 1     2  2 2 2  

S I R x a  y b  z c R

x y  z ax by cz d  ĐK a    b c d

 Tâm I a b c , , : Tính a b c, , bằng cách lấy hệ số của x y z, , chia cho  2

 Bán kính R a2 b2  c2 d

Chú ý: Với phương trình mặt cầu S : với

thì  S có tâm I– ; – ; –a b c và bán kính R =

2 Vị trí tương đối giữa một điểm với một mặt cầu

Cho mặt cầu  S có tâm I, bán kính R và điểm A

 Điểm A thuộc mặt cầu IA R

 Điểm A nằm trong mặt cầu IA R

 Điểm A nằm ngoài mặt cầu IA R

3 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

( ) :S x a  y b  z c R và mặt phẳng   :Ax By Cz D    0

Tính: d d I ; Aa Bb Cc D2 2 2

 

 dR: mặt cầu  S và mặt phẳng ( ) không có điểm chung

 dR: mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu  S tạiH

- Điểm H được gọi là tiếp điểm

- Mặt phẳng ( ) được gọi là tiếp diện

 dR: mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường tròn

Chú ý:

Tìm tiếp điểm H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng( ) :

 Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp( ) : ta có u d n

 Tọa độ H là giao điểm của dvà( )

Tìm bán kính r và tâm H đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu:

 Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp( ) : ta có u d n

 Tọa độ H là giao điểm của d và ( )

 Bán kính r R2 d2 với dIHd I ;

x y z  ax by cz d 

0

a b c  d

a b c d

4 Vị trí tương đối của hai mặt cầu:

 TH1: I I1 2  R1R2 : Hai mặt cầu đựng nhau (nằm trong nhau)

 TH2: I I1 2  R1R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc trong

 TH3: R1R2 I I1 2 R1R2: Hai mặt cầu cắt nhau

 TH4: I I1 2 R1R2: Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài

 TH5: I I1 2 R1R2: Hai mặt cầu ngoài nhau

II CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng 1 Biết trước tâm I a b c ; ;  và bán kính R : Phương trình

; :

S I R x a  y b  z c R

Dạng 2 Tâm I và đi qua điểm A :

 Bán kính R IA

 Phương trình     2  2 2 2

; :

S I R x a  y b  z c R

Dạng 3 Mặt cầu đường kính AB

 Tâm I là trung điểm AB :

 Bán kính R IA 

 Phương trình     2  2 2 2

; :

S I R x a  y b  z c R

Dạng 4 Mặt cầu tâm I a b c ; ;  tiếp xúc mặt phẳng   :

 Bán kính R d I ; Aa Bb Cc D2 2 2

 

 Phương trình     2  2 2 2

; :

S I R x a  y b  z c R

Dạng 5 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua 4 điểm A B C D, , , )

 Giả sử mặt cầu  S có dạng: x2 y2 z2  2ax 2by 2cz d  0 2 

 Thế tọa độ của điểm A B C D, , , vào phương trình (2) ta được 4 phương trình

 Giải hệ phương trình tìm a b c d, , , rồi viết phương trình mặt cầu

Dạng 6 Mặt cầu đi qua A B C, , và tâm I  :Ax By Cz D    0:

 Giả sử mặt cầu  S có dạng: x2 y2 z2  2ax 2by 2cz d  0 2 

 Thế tọa độ của điểm A B C, , vào phương trình (2) ta được 3 phương trình

 I a b c ; ;     Aa Bb Cc D    0

 Giải hệ 4 phương trình tìm a b c d, , ,

 Viết phương trình mặt cầu

2

AB

Dạng 7 Mặt cầu S đi qua hai điểm A B, và tâm thuộc đường thẳng d

Cách 1:

 Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t)

 Ta có A B, ( )S IA IB R  IA2 IB2 Giải pt tìm ra t tọa độ I, tính được R

Cách 2:

 Viết phương trình mặt phẳng trung trực  P của đoạn thẳng AB

 Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I)

 Bán kính R IA Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm

(Chú ý: Nếu d  P thì không sử dụng được cách 2 này)

Dạng 8 Mặt cầu  S có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu  T cho trước:

 Xác định tâm J và bán kính R' của mặt cầu  T

 Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu  S .

(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Dạng 9 Mặt cầu  S' đối xứng Mặt cầu  S qua mặt phẳng  P

 Tìm điểm I’ đối xứng với tâm I qua mp  P (xem cách làm ở phần mặt phẳng)

 Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I’ có bán kính R’ R

Dạng 10 Mặt cầu  S' đối xứng mặt cầu  S qua đường thẳng d

 Tìm điểm I’ đối xứng với tâm I qua đường thẳng d (xem cách làm ở phần đường thẳng)

 Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I’ có bán kính R’ R

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vectơ pháp tuyến của mp( ) : n0 là véctơ pháp tuyến của    n  

Nếu là một vtpt của ( ) thì k 0 cũng là vtpt của ( )

2 Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng ( ) : hai vectơ không cùng phương a b, là cặp vtcp của mặt phẳng   a b, có giá song song hoặc nằm trên ( )

3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp : n  a b, 

4 Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax By Cz D   0 2 2 2

(A B C 0)

 Mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 thì có vtpt n A B C; ; 



 Mặt phẳng ( ) qua M x y z0 0 ; 0 ; 0 có vtpt n A B C; ; 



( ) : ( A x x )B y y(  )C z z(  ) 0

 Các trường hợp riêng:

Các hệ số Phương trình mặt phẳng

()

Tính chất mặt phẳng ()

0

0

0

0

0

0

0

Chú ý: Nếu trong phương trình của ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng

5 Phương trình mặt chắn cắt các trục tọa độ tại các điểm A a ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,b  C 0; 0;c:

y

abc

a  b c 

6 Phương trình các mặt phẳng tọa độ: Oyz:x 0; Oxz:y 0; Oxy:z 0.

7 Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):

Giả sử      ' d trong đó: ( ) : Ax By Cz D   0 và ( ') : ' A x B y C z D '  '  ' 0

Pt mp chứa d có dạng: m Ax By Cz D     n A x B y C z D'  '  '  ' 0 (với m2 n2 0)

a, b

0

Ax By Cz  

0

By Cz D  

0

Ax Cz D  

0

Ax By D  

0

Cz D 

0

By D 

0

Ax D 

8 Vị trí tương đối của hai mp   và  ' :

Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 và ( ') : ' A x B y C z D '  '  ' 0

( ) ( ')   A B C: : A B C' : ' : '

( ) ( ')   AA BB CC' ' ' 0 ( ) ( ')

       (trường hợp mẫu là 0 thì ta có quy ước )

( ) / /( ')

9 Khoảng cách từ M x y z0 0; 0; 0 đến ( ) : Ax By Cz D   0

 

d M

A B C

    

Chú ý:

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

 Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0

10 Góc giữa hai mặt phẳng:

1 2

cos

n n

n n

  

( , )

' ' '

AA BB CC



    với n n1, 2 là các vtpt của( ) ,( )

 Góc giữa ( ) ,( )bằng hoặc bù với góc giữa hai vtpt

 ()() n1 n2  AA BB CC' ' ' 0

11 Các hệ quả hay dùng:

 Mặt phẳng   //  thì   có một vtpt là n n với n là vtpt của mặt phẳng  

 Mặt phẳng   vuông góc với đường thẳng d thì   có một vtpt là n u d với u d là vtcp của đường thẳng d

 Mặt phẳng  P vuông góc với mặt phẳng  Q n P n Q ; n P u Q ;n Q u P

 Mặt phẳng  P chứa hoặc song song với đường thằng d n P u d ; u P u d

 Hai điểm A B, nằm trong một mặt phẳng  P ABn P u P AB

(trong các công thức trên đều ngầm quy ước n là vtpt, u là vtcp)

II CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG

Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến

Dạng 1 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có vtpt

(): hay Ax By Cz D   0 với D Ax0 By0 Cz0

Dạng 2 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có cặp vtcp a b,

 Khi đó một vtpt của () là n    a b, 

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 3 Mặt phẳng ( ) qua 3 điểm không thẳng hàng A B C, ,

 Cặp vtcp: AB AC,

 Mặt phẳng ( ) đi qua A (hoặc B hoặc C ) và có vtpt n  AB AC,  

1 2

n n,

0  ( ),( )  90

 0 0 0

M x ; y ; z nA; B;C

 0  0  0 0

A xx B yy C zz 

 0 0 0

M x ; y ; z

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng( )

Dạng 4 Mặt phẳng trung trực đoạn AB

 Tìm tọa độ M là trung điểm của đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm)

 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt nAB

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 5 Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB )

 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt là vtcp của đường thẳng d

(hoặc n AB)

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 6 Mặt phẳng ( ) qua M và song song ( ) : Ax By Cz D   0

 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n n A B C; ; 

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 7 Mặt phẳng   đi quaM, song song với d và vuông góc với  

   có một vtpt là n   u n d,    với u d là vtcp của đường thẳng d và n   là vtpt của  

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 8 Mặt phẳng ( ) chứa M và đường thẳng d không đi qua M

 Lấy điểm M x y z0 0 ; 0 ; 0   d

 Tính MM0 Xác định vtcp u d của đường thẳng d

 Tính n   MM u0, d 

 Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc M0) và có vtpt n

Dạng 9 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau ( ) , ( )  :

 Xác định các vtpt của ( ) và ( ) 

 Một vtpt của ( ) là: n   n n,     

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 10 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d d1, 2 :

 Xác định các vtcp a b, của các đường thẳng d d1, 2

 Một vtpt của ( ) là: n    a b, 

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 11 Mặt phẳng ( ) qua M N, và vuông góc ( ) :

 Tính MN

 Tính n   MN n,  

 Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc N) và có vtpt n

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 12 Mặt phẳng   chứa đường thẳng d và vuông góc với  

   có một vtpt là n   u n d,   với u d là vtcp của d

 Lấy điểm M x y z0 0 ; 0 ; 0dM x y z0 0 ; 0 ; 0 ( )

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

n n, 

Dạng 13 Mặt phẳng ( ) chứa  d và song song  /

d (với ( ),( ')d d chéo nhau)

 Lấy điểm M x y z0 0 ; 0 ; 0dM x y z0 0 ; 0 ; 0 ( )

 Xác định vtcp u u d; d'của đường thẳng d và đường thẳng d'

 Mặt phẳng ( ) đi qua M0 và có vtpt n   u u d, d' 

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 14 Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song  1, 2

 Chọn điểm M x y z1 1; 1; 11 và M x y z2 2; 2; 22

 Tìm vtcp u1 của đường thẳng 1 hoặc vtcp u2 của đường thẳng 2

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là n   u M M1, 1 2  hoặc n   u M M2 , 1 2  

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 15 Mặt phẳng ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d d1, 2:

 Xác định các vtcp a b, của các đường thẳng d d1, 2

 Một vtpt của ( ) là: n    a b, 

 Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 M( )

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 16 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng  d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k không đổi:

 Giả sử ( ) có phương trình:

 Lấy 2 điểm A B,  ( )d A B,  ( ) (ta được hai phương trình (1), (2))

 Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình (3)

 Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại)

Dạng 17 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H :

 Giả sử mặt cầu  S có tâm I và bán kính R Vì H là tiếp điểm H ( )

 Một vtpt của ( ) là:

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 18 Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( )P

 TH1: ( )  ( )P d:

- Tìm M N, là hai điểm chung của ( ),( ) P

- Chọn một điểm I ( ) Tìm I’ đối xứng Iqua ( )P

- Viết phương trình mp ( ') qua I M N’, ,

 TH2: ( ) / /( ) P

- Chọn một điểm I ( ) Tìm I’ đối xứng I qua ( )P

- Viết phương trình mp ( ') qua I’ và song song với ( )P

0

0

A B C 

d M( ,( )) k

n IH

III CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Dạng 1 Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )

 Cách 1:

- H là hình chiếu của điểm M trên  P 

- Giải hệ tìm được H

 Cách 2:

- Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với ( ) : ta có u d n

- Khi đó: H d ( )  tọa độ H là nghiệm của hpt:  d và ( )

Dạng 2 Tìm điểm M’ đối xứng M qua ( )

 Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )

 H là trung điểm của MM/(dùng công thức trung điểm)  tọa độ H

Dạng 3 Viết phương trình mp ( ')P đối xứng mp ( )P qua mp  Q

 TH1: ( )Q   P d

- Lấy hai điểm bất kỳ  A B,  ( ) ( )P  Q (hayA B d,  )

- Lấy điểmM ( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q

- Mặt phẳng ( ')P là mặt phẳng đi qua d và M'

 TH2: ( )Q / /  P

- Lấy điểmM ( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q

- Mặt phẳng ( ')P là mặt phẳng đi qua M' và song song ( )P

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1) Vecto chỉ phương của đường thẳng

 Vectơ u0 là véctơ chỉ phương của du/ /d hoặc u nằm trên d

 Nếu u là một vtcp của d thì ku k 0 cũng là vtcp của d

2) Phương trình tham số và phương trình chính tắc.

Đường thẳng d đi qua M x y z0 0 ; 0 ; 0 và có vtcp u a b c; ; 



 Phương trình tham số: 0

0

( )

o

x x at

y y bt t R

z z ct



  



 Phương trình chính tắc: x x0 y y0 z z0 ( a b c 0)

3) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng dđi qua M x y z0 0 ; 0 ; 0 và d'đi qua M x0 ' ; ' ; ' 0 y0 z 0 có phương trình tham

số lần lượt là:

0 1

0 2

0 3

:

x x a t

d y y a t

z z a t

  



  



và

0 1

0 2

0 3

' ' '

' ' '

x x a t

d y y a t

z z a t

  



  



MH n cuøng phöông

H ,( )P



 

