CÔNG PHÁ NGUYÊN hàm TỪNG PHẦN

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦNCho hai hàm số và liên tục trên đoạn u v  a b; và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a b;.. Tìm xsin 2xdx ta thu được kết quả nào sau đây?. Cho các số th

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn u v  a b; và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a b;

Khi đó:u v uvd  v ud  *

Để tính nguyên hàm  f x x d bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x x u v d  d (chú ý dv v x x ' d )

Sau đó tính vdv và du u x '.d

Bước 2 Thay vào công thức  * và tính v ud

Chú ý Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được và tích phân v v ud dễ tính hơn

Ta thường gặp các dạng sau

d

u v



● Dạng 1   sin d , trong đó là đa thức

cos

x

x

Với dạng này, ta đặt

  sin

cos

u P x

x

x









● Dạng 2 I P x e  ax b dx, trong đó P x  là đa thức

Với dạng này, ta đặt  

d ax bd

u P x

 









● Dạng 3 I P x  ln mx n x d , trong đó P x  là đa thức

Với dạng này, ta đặt  

 

ln

v P x x









● Dạng 4 sin d .

cos

x

x

x



Với dạng này, ta đặt

sin cos

d xd

x u

x

v e x



 



BÀI TẬP

DẠNG 1.

Câu 1. Tìm xsin 2xdx ta thu được kết quả nào sau đây?

A xsinxcosx C B 1 sin 2 1cos 2

4x x2 x C

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f x xsinx là:

C F x  xcosxsinx C D F x xcosxsinx C

Câu 3. Biết xcos 2 dx x ax sin 2x b cos 2x C với , là các số hữu tỉ Tính tích a b ab?

8

4

8

4

ab 

Câu 4. Cho biết   1 3 1 là một nguyên hàm của Tìm nguyên hàm

2 3

x

2

x a

f x

x



 của g x xcosax

A xsinxcosx C B 1 sin 2 1cos 2

2x x4 x C

C xsinxcosx C D 1 sin 2 1cos 2

2x x4 x C

Câu 5. Nguyên hàm của I xsin2xdx là:

2 sin 2 cos 2

8 x4 x x x C

C 1 2 1 D Đáp án A và C đúng.

cos 2 sin 2

Câu 6. Tìm nguyên hàm I  x1 sin 2 d x x

2

2

4

4

Câu 7. Tìm nguyên hàm sin x xd

2

x

C sin x xd cos x C D sin x xd  2 xcos x2sin x C

Câu 8. Nguyên hàm của 2 là:

sin cos

I x x xdx

1

1

3

1

2

3

1

1

3

1

2

3

Câu 9. Một nguyên hàm của   2 là :

cos

x

f x

x



A xtanxln cos x B xtanxln cos x 

C xtanxln cos x D xtanxln sinx

Câu 10. Một nguyên hàm của   2 là :

sin

x

f x

x



A xcotxln sinx B xcotxln sin x

C xtanxln cos x D xtanxln sinx

Câu 11. Cho   2 trên và là một nguyên hàm của thỏa mãn

cos

x

f x

x

2 2

 

 0 0

2 2

a    

  tana3 F a 10a23a

A 1ln10 B C D

2

4

DẠNG 2.

Câu 12. Họ nguyên hàm của e x1x dx là:

A I e xxe xC B 1

2

x x

2

x x

I  e xe C

Câu 13. Biết xe2xdx axe 2xbe2xC a b ,   Tính tích ab

4

4

8

8

ab

Câu 14. Cho biết xe d2x x 1 2   , trong đó và là hằng số bất kì Mệnh đề

e 4

x ax b C

nào dưới đây là đúng

A a2b0 B b a C ab D 2a b 0

Câu 15 Biết F x   ax b e  x là nguyên hàm của hàm số y2x3e x.Khi đó a b là

Câu 16. Biết   2 1 2   , với Tính

m

S m n

A S 10 B S5 C S 65 D S 41

Câu 17. Tìm nguyên hàm I  2x1exdx

A I  2x1exC B I  2x1exC

C I  2x3exC D I  2x3exC

Câu 18. Cho F x( )là một nguyên hàm của hàm số f x   5x1 e x và F 0 3 TínhF 1

A F 1 11e 3 B F 1  e 3 C F 1  e 7 D F 1  e 2

Câu 19. Cho hàm số f x   2x3e x Nếu F x   mx n e  x m n,  là một nguyên hàm của

thì hiệu bằng

 

f x

m n

Câu 20. Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số   3 và Hãy tính

e x

f x  F 0 2 F 1

e

e

e

DẠNG 3.

Câu 21. Kết quả của ln xdx là:

Câu 22. Nguyên hàm của I xlnxdx bằng với:

A B

2

ln 2

x

x

x xdx C

ln

2

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f x xlnx2

A  d 2 ln 2 2 4



B  d 2 4ln 2 2 4



C  d 2 ln 2 2 4



D  d 2 4ln 2 2 4



Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của   ?

 2

ln 1

x

g x

x





A ln 2 ln 2 ln 1999 B

ln

ln

Câu 25. Họ nguyên hàm của   là:

2

ln cos sin

x

x



A cot ln cosx  x x C B cot ln cosx  x x C

C cot ln cosx  x x C D cot ln cosx  x x C

Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  xlnx

9

3



9

9



Câu 27. Giả sử F x  là một nguyên hàm của f x  lnx2 3 sao cho Giá trị

x



 F  2 F 1 0 của F  1 F 2 bằng

A 10ln 2 5ln 5 B C D

3

ln 2 ln 5

Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số   3 2 ?

2

4 ln 4

x

f x x

x

  



2

2

4

4

x

x

  

  

2 2

x x

     

2

2

4

4

x

x

  



  

2 2

x x



2

2

sin cos

x dx H







A

cos sin cos

x



cos sin cos

x



cos sin cos

x





cos sin cos

x





Câu 30.  2  có dạng , trong đó là hai số

2x x  1 xlnx dx

hữu tỉ Giá trị bằng:a

A 3 B 2 C 1 D Không tồn tại.

Câu 31. Cho ( ) 12 là một nguyên hàm của hàm số Tính bằng:

2

F x

x

x

e 1

( ) ln d



2 2

2e

e

e

2e



Câu 32. Cho F x  alnx b là một nguyên hàm của hàm số , trong đó ,

x

x



Tính S a b 

A S  2 B S1 C S 2 D S 0

Câu 33. Cho các số thực , khác không Xét hàm số a b   với mọi khác

1

x

a

x

Biết f  0  22 và 1   Tính ?

0

f x x

A 19 B 7 C 8 D 10

Câu 34. Cho là số thực dương Biết rằng a F x  là một nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn và Mệnh đề nào sau đây

  e lnx   1

x

1 0

F a

  

 

  F2018e2018

đúng?

2018

  a 0;20181  a1; 2018 a2018;

DẠNG 4:

Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A e sin dx x xe cosx xe cos d x x x B e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

C e sin dx e cosx e cos d x D

x x  x x x

Câu 36. Tìm .sinx ?

x

J e dx

2

x

e

2

x

e

2

x

e

2

x

e

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1.

Câu 1. Tìm xsin 2xdx ta thu được kết quả nào sau đây?

A xsinxcosx C B 1 sin 2 1cos 2

4x x2 x C

Hướng dẫn giải

Ta có: I xsin 2xdx

2

du dx

u x







Chọn B

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f x xsinx là:

A F x  xcosxsinx C B F x xcosxsinx C

C F x  xcosxsinx C D F x xcosxsinx C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: I  f x x d xsin dx x

d sin d

u x





 



cos





  



I  f x xx x x x x x x x x x C

Câu 3. Biết xcos 2 dx x ax sin 2x b cos 2x C với , là các số hữu tỉ Tính tích a b ab?

8

4

8

4

ab 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt

1

2

u x









Khi đó cos 2 d 1 sin 2 1 sin 2 d

1 2

a

4

b

Vậy 1

8

ab

Câu 4. Cho biết   1 3 1 là một nguyên hàm của Tìm nguyên hàm

2 3

x

2

x a

f x

x



 của g x xcosax

A xsinxcosx C B 1 sin 2 1cos 2

2x x4 x C

C xsinxcosx C D 1 sin 2 1cos 2

2x x4 x C

Hướng dẫn giải

Chọn C

2

2 2

1

F x x



Khi đó g x x d xcos dx xxd sinx x sinxsin dx x x sinxcosx C

Câu 5. Nguyên hàm của I xsin2xdx là:

2 sin 2 cos 2

8 x4 x x x C

C 1 2 1 D Đáp án A và C đúng.

cos 2 sin 2

Hướng dẫn giải

1

1

I

x

I  x xdx x  dx xdx x xdx x  x xdx C

.

1 cos 2

I x xdx

2

du dx

u x







1

2

Chọn C

Câu 6. Tìm nguyên hàm I  x1 sin 2 d x x

2

2

4

4

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt

1

1

2

u x





 



 

 1 sin 2 d 1 1 cos 2 1 cos 2 d 1 1 cos 2 1sin 2

Câu 7. Tìm nguyên hàm sin x xd

A sin d 1 cos B

2

x

C sin x xd cos x C D sin x xd  2 xcos x2sin x C

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t x , ta có sin x xd 2 sin dt t t

Đặt 2 ta có

d sin d





 



d 2d cos





  



2 sin dt t t 2 cost t 2 cos dt t 2 cost t2sint C  2 xcos x2sin x C

Câu 8. Nguyên hàm của 2 là:

sin cos

I x x xdx

1

1

3

1

2

3

1

1

3

1

2

3

Hướng dẫn giải

Ta đặt:



1

1

I

I  xdx x  x dx

Đặt tsinxdtcosxdx

1 1

3

1

1

3

Chọn A

Câu 9. Một nguyên hàm của   2 là :

cos

x

f x

x



A xtanxln cos x B xtanxln cos x 

C xtanxln cos x D xtanxln sinx

Hướng dẫn giải

cos

x

x



Đặt:

2

cos

x





Khi đó: I uv vdu x tanxtanxdx x tanxln cosx C

Chọn C

Câu 10. Một nguyên hàm của   2 là :

sin

x

f x

x



A xcotxln sinx B xcotxln sin x

C xtanxln cos x D xtanxln sinx

Hướng dẫn giải

sin

x

x



Đặt:

2

1

cot sin

u x

du dx

x





Khi đó: I uv vdu xcotxcotxdx xcotxln sinx C

Chọn B

Câu 11. Cho   2 trên và là một nguyên hàm của thỏa mãn

cos

x

f x

x

2 2

 

 0 0

2 2

a    

  tana3 F a 10a23a

A 1ln10 B C D

2

4

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: F x xf x x d x f xd   xf x  f x x d

Ta lại có:  d 2 d

cos

x

x



  = d tanx  xxtanxtan dx x tan sin d

cos

x

x

1

cos

x

  xtanxln cosx C F x xf x xtanxln cosx C

Lại có: F 0 0 C 0, do đó: F x xf x xtanxln cosx

    tan ln cos

cos

a

f a

a

 a1 tan 2a 10a 2

2

1

1 tan

cos

10

a

1 cos

10

a

10

2



DẠNG 2.

Câu 12. Họ nguyên hàm của e x1x dx là:

A I e xxe xC B 1

2

x x

2

x x

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

1

1

I

I e x dxe dxe xdx e C xe dx

Xét I1e xdx x

Đặt u x x du x x

dv e dx v e



1 2

1 2

x x

Chọn B

Câu 13. Biết xe2xdx axe 2xbe2xC a b ,   Tính tích ab

4

4

8

8

ab

Hướng dẫn giải

Chọn C

1

2

x x

u x











x x

a b  ab 

Câu 14. Cho biết 2 , trong đó và là hằng số bất kì Mệnh đề

e dx

x x

e 4

x ax b C

nào dưới đây là đúng

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt u x dudx,

2

2

x x

x x

x

x

   xe22x e42x C e2 2 1

4

x

Câu 15 Biết F x   ax b e  x là nguyên hàm của hàm số y2x3e x.Khi đó a b là

Hướng dẫn giải

Ta có:  2x+3e x xd ax+be x, nghĩa là:

ax+be x ' 2x+3e x

x x ax = 2x+3 x

ax  = 2x+3

Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1

Vậy a b 3

Chọn B

Câu 16. Biết   2 1 2   , với Tính

m

A S 10 B S 5 C S 65 D S 41

Hướng dẫn giải

Chọn C

3

1

u x





 





Khi đó   2 1 2   1 2

2 2

65

S m n 

Câu 17. Tìm nguyên hàm I  2x1exdx

A I  2x1exC B I  2x1exC

C I  2x3exC D I  2x3exC

Hướng dẫn giải

Chọn A

d

dv e x v e



Ta có I  2x1ex2.exdx 2x1ex2ex  C 2x1exC

Câu 18. Cho F x( )là một nguyên hàm của hàm số f x   5x1 e x và F 0 3 TínhF 1

A F 1 11e 3 B F 1  e 3 C F 1  e 7 D F 1  e 2

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có F x   5x1 e d x x

d e dx



 



d 5d

ex

v





  



  5 1 e x 5e dx

F x  x  x 5x1 e x5exC 5x4 e xC

Mặt khác F 0 3   4 C 3 C 7

  5 4 e x 7

Vậy F 1  e 7

Câu 19. Cho hàm số f x   2x3e x Nếu F x   mx n e  x m n,  là một nguyên hàm của

thì hiệu bằng

 

Hướng dẫn giải :

Chọn A

Tính 2x3e x xd

Đặt u2x 3 du2d ; dx v e x xd  v e x Suy ra:

2x3e x xd 2x3e x2 e x C xd 

  2x3e x2e xC 2x5e xC

Suy ra: m2; n 5 Vậy m n 7

Câu 20. Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số   3 và Hãy tính

e x

f x  F 0 2 F 1

e

e

e

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt 3 x t  x t3 2 khi đó

dx 3 dt t

  I e d3x x3 e d t t t2

2 2 d d

e

e dt d t

v







  I 3 e t t22 e d t t t 2

3et 6 e dt

Tính e dt

t t



e dt d et



t t t t t t t t t t

Vậy  I 3et t26 e t tetC   3e3x3 2 6 e 3x3 e3x

Theo giả thiết ta có F 0    2 C 4   3e3x3 2 6 e 3x3 e3x 4

 1 15 4

e

F

DẠNG 3.

Câu 21. Kết quả của ln xdx là:

Hướng dẫn giải

Ta có: I lnxdx

Đặt: ln

dx

x

dv dx v x





Khi đó: I uv vdu x lnxdx x lnx x C 

Chọn D

Câu 22. Nguyên hàm của I xlnxdx bằng với:

2

ln 2

x

x

x xdx C

ln

2

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

2

1 ln

2

v







x

Chọn B

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f x xlnx2

A  d 2 ln 2 2 4





C  d 2 ln 2 2 4



D  d 2 4ln 2 2 4



Hướng dẫn giải

Chọn B

2

d d

2

x u

x

v x x

v







suy ra  d ln 2 d 2 ln 2 1 2 d

x



x





Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của   ?

 2

ln 1

x

g x

x





ln



ln

Hướng dẫn giải

Đặt

 2

1 ln

1

1 1

1

x

v x

x





Chọn A

Câu 25. Họ nguyên hàm của   là:

2

ln cos sin

x

x



A cot ln cosx  x x C B cot ln cosx  x x C

C cot ln cosx  x x C D cot ln cosx  x x C

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

2

ln cos

tan cot sin

dv

x







cot ln cos cot ln cos

Chọn B

Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  xlnx

A   1 32  B

9

3



9

9



Hướng dẫn giải

Chọn A

 d ln d

I  f x x x x x

2

x

2 2 2

2 ln d 4 ln d

1

ln

3

v











3 2

2

3 2

1

3ln 2

Câu 27. Giả sử F x  là một nguyên hàm của f x  lnx2 3 sao cho Giá trị

x



 F  2 F 1 0 của F  1 F 2 bằng

3

ln 2 ln 5

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách 1: Ta có hàm số f x  liên tục trên các khoảng 3;0 và 0;

2

d

x

x x





2

1

3

d

x





1 3

x

x



Xét trên khoảng 3;0, ta có:   1;

1

2 ln 2 3

2

1 ln 2 3

Xét trên khoảng 0;, ta có:

;

Suy ra: F  2 F 1 0 1ln 2 1 8ln 2 2 0

7

ln 2 3

Do đó:     1 2

ln 2 ln 5 ln 2 ln 2 ln 2 ln 5

Cách 2: (Tận dụng máy tính)

Xét trên khoảng 3;0, ta có:

(lưu vào )

x



Xét trên khoảng 0;, ta có:

(lưu vào )

    2   2  2 

x



Lấy  1 cộng  2 theo vế ta được:

 1  2  2  1  1  2 0,969

F  F F  F   A B F  F   A B

So các phương án ta

Chọn A

Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số   3 2 ?

2

4 ln 4

x

f x x

x

  



2

2

4

4

x

x

  

  

2 2

x x

     

2

2

4

4

x

x

  



  

2 2

x x



Hướng dẫn giải

Đặt:

2

4 2

4 4 3

16 4

4

16 4

x

x

v

dv x dx



Chọn B

2

2

sin cos

x dx H







cos sin cos

x



cos sin cos

x



cos sin cos

x





cos sin cos

x





Hướng dẫn giải

Ta có:

2

cos

cos

x

Đặt

2

sin cos

sin cos







2



Chọn C

Câu 30.  2x x2  1 xlnx dx có dạng  3 , trong đó là hai số

hữu tỉ Giá trị bằng:a

A 3 B 2 C 1 D Không tồn tại.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm  2x x2 1 xlnx dx Sau đó, ta xác định giá trị của a

Ta có:

2x x  1 xlnx dx 2x x 1dx xlnx dx

Để tìm  2x x2  1 xlnx dx ta đặt 2 và và tìm

1 2 1

I  x x  dx I2 xlnx dx I I1, 2

1 2 1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x21,t1 ta được t2 x21, xdx tdt

Suy ra:

, trong đó là 1 hằng số

*I2 xlnx dx

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần

2

1 ln

1 2

dv xdx









2

2

ln

x

3

3



2x x  1 xlnx dx

a  b 

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.

Ta thay giá trị của ở các đáp án vào a  3 Sau đó, với mỗi

của các đáp án ta lấy đạo hàm của  3

Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn

Sai lầm thường gặp:

A Đáp án A sai.

Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của Học sinh khoanh đáp án A và đã b

sai lầm

C Đáp án C sai.

Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:

1 2 1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x21,t1 ta được t2 x21,tdt2xdx

Suy ra:

, trong đó là 1 hằng số

Học sinh tìm đúng 2 2 theo phân tích ở trên

ln

3

3



2x x  1 xlnx dx

Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm

D Đáp án D sai.

Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:

1 2 1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x21,t1 ta được t2 x21,tdt2xdx

Suy ra:

, trong đó là 1 hằng số

Học sinh tìm đúng 2 2 theo phân tích ở trên

ln

3

3



2x x  1 xlnx dx

1

3

Câu 31. Cho ( ) 12 là một nguyên hàm của hàm số Tính bằng:

2

F x

x

x

e 1

( ) ln d



2 2

2e

e

e

2e



Hướng dẫn giải

Chọn A

2

F x

x

( ) 1

2

f x



   f x  12

x

e 1

( ) ln d

 

1

x



1 1

x



1 1

.ln

2

x

2e





Câu 32. Cho F x  alnx b là một nguyên hàm của hàm số , trong đó ,

x

x



Tính S a b 

A S  2 B S 1 C S 2 D S 0

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có I f x x d 1 ln2 x dx

x



2

1 ln 1

x u

x v x











1

1

x v x



 

 



x

      a 1;b2 Vậy S a b  1

Câu 33. Cho các số thực , khác không Xét hàm số a b   với mọi khác

1

x

a

x

Biết f  0  22 và 1   Tính ?

0

f x x

A 19 B 7 C 8 D 10

Hướng dẫn giải

Chọn D

 4

3

1

x x

a

x



 f 0     3a b 22  1

 

3

1

x

a

x



d

e d 1

x

x

x



1

3 0

d 1

x I

x





1

0 8

2 x 1



1

e dx

J x x u x dudx