Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a.. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với giao điểm H của hai đường chéo của hình thoi.. Hình chiếu
Trang 1HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
ĐỀ BÀI Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a Gọi M N; lần lượt là trung
điểm của BC và CD Tính góc giữa hai đường thẳng MN và SD
Câu 5. Cho hình lăng trụ đứngABC A B C. ���có đáy ABClà tam giác vuông cân tại B.AA� AB a .
Tính góc giữa đường thẳng AB� và BC
Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D. ���� có ABCD là hình thoi với AB BD AA a � Tính
cosin góc giữa hai đường thẳng AC� và BC
Trang 2Câu 10. Cho hình hộp ABCD A B C D. ���� có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc � BAD , � DAA�,
�'
A AB đều bằng 60� Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AA CD�, Gọi là góc tạo bởi hai
đường thẳng MN và B C�, giá trị của cos bằng
a
33
a
23
a
66
a
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi O là tâm đáy và M là
trung điểm CD Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SM
Câu 14. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , AD a 3 Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA2a Gọi H là hình chiếu của A lên BD Tính khoảng cách d từ
điểm A đến đường thẳng SH
A
2 5719
a
d
25
a
d
52
a
d
5719
Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với giao điểm H
của hai đường chéo của hình thoi Gọi K là điểm trên cạnh AB sao cho SHK SAB.Khoảng cách từ H đến đường thẳng SK bằng
A 4
a
66
a
a
Trang 3Câu 17. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, �ABC 60�, �BAC 90�,
a
53
a
25
a
Câu 18. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ��� có đáy ABC là tam giác vuông tại B, ABa, AA' 2 a
Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC�
a
53
a
22
a
23
a
32
a
Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi M là trung điểm củaAB,
tam giác A CM� cân tại A� và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích khối lăngtrụ bằng
a
2 5719
a
2 3913
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, điểm E thuộc đoạn
BC sao cho BC3EC Biết hình chiếu vuông góc của A� lên mặt đáy trùng với trung điểm
H củaAB, cạnh bên AA�2a và tạo với đáy một góc 60° Khoảng cách từ điểm B đến mặtphẳng A HE' là
A
45
a
34
a
35
a
393
a
Câu 22. Cho lăng trụ ABCD A B C D. ���� có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD a , 3 Hình chiếu
vuông góc của điểm A� trên mặt phẳng ABCD
trùng với giao điểm AC và BD Khoảng
Trang 4Câu 24. Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB CD, . Biết AB CD
AN BN CM DM a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là
A
36
a
33
a
22
a
32
a
a
Câu 27. Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D. ����có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc � BAC= � Biết60
AA� �A BA D� và cạnh bên AA� hợp với mặt phẳng đáy góc 60� Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng CC� và BD
A
34
a
32
a
68
a
612
a
1313
a
6 1313
a
3
324
a
3
68
a
3
648
Trang 5Câu 32. Cho hình chóp S ABCD có chiều cao SA và đáy là hình chữ nhật, biết
AB a SC a góc giữa SC và mặt đáy là 45 � Thể tích của khối chóp là
Câu 33. Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, �ABC �60 . SAABCD, góc giữa
SC và đáy bằng 60 � Thể tích khối chóp S ABCD là
Câu 34. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB vuông cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp S ABC là
A
3
312
a
3
324
a
3
33
a
3
34
a
Câu 35. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SAB là tam giác đều
cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc tạo bởi mặt phẳng đáy với các
đường thẳng SC , SD lần lượt là 45�và 30� Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
a
3
269
a
3
2613
a
3
2612
a
3
66
a
Trang 6
A V 4 2 (cm3). B
8 33
V
(cm3)
C V 8 2(cm3). D V 8 3(cm3).
Câu 41. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 20 , cạnh bên bằng 30 Tính thể tích V
của khối chóp đã cho
A V 4000 7. B V 4000 79
C
40003
V
4000 73
V
Câu 42. Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B, tam
giác SAC vuông tại C Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB
và ABC
bằng 60� Tính thểtích khối chóp S ABC theo a
A
3
38
a
3
312
a
3
36
a
3
34
B V a3. C
3
13
3
22
3
3 68
C
3
3 28
D
3
3 38
Câu 45. Cho lăng trụ ABC A B C. ���có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC2a,
cạnh bên AA� 2a Hình chiếu vuông góc của A� trên mặt phẳng ABC
a
V
Câu 46. Cho lăng trụ ABCD A B C D. ���� có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và � ABC120� Góc
giữa cạnh bên AA� và mặt đáy bằng 60� Đỉnh A� cách đều các điểm A, B, D Tính theo a
thể tích khối lăng trụ đã cho
A
3
32
Câu 47. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M
và N sao cho MA MBuuur uuur r 0 và uuurNC 2uuurND Mặt phẳng P
chứa MN và song song với
Trang 7AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể
tích là V Tính V
A
218
V
7 2216
V
2108
V
11 2216
Khi đó giá trị của k
để mặt phẳng BMC chia khối chóp S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là
A
1 52
k
B
1 54
k
C
1 54
k
D
1 22
Câu 50. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ��� có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi E, F lần lượt là
trung điểm các cạnh AA� và BB�; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A�� tại E�, đường thẳng
CF cắt đường thẳng C B�� tại F� Thể tích khối đa diện EFA B E F���� bằng
Câu 51. Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AC a 2, cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA a Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC Gọi là mặt phẳngchứa AG và song song với BC, chia khối chóp thành hai phần Tính thể tích của khối đa diệnkhông chứa đỉnh S
A
3
49
a
3
427
a
3
29
a
3
554
a
Câu 52. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC
Trang 8BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 2.A 3.B 4.B 5.D 6.D 7.D 8.C 9.A 10.D
11.D 12.D 13.A 14.A 15.B 16.A 17.B 18.D 19.B 20.B
21.A 22.C 23.C 24.D 25.D 26.C 27.A 28.D 29.B 30.A
Trang 9Gọi I là trung điểm của SC ta có NI/ /SD nên suy ra MN SD�; MN NI�;
Trang 10Câu 3 [1H3-2.3-1] Cho hình chóp đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau Góc giữa hai đường
thẳng SA và BC là
Lời giải Chọn B
Do BC AD nên // �SA BC, �SA AD, Mà tam giác SAD đều nên �,SA AD �60
Vậy �,SA BC �60 .
Câu 4 [1H3-2.3-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ABC,� �, SA a60
và SAABCD Gọi M là trung điểm của SB Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CM
Lời giải Chọn B
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra MH SA , do đó // �SA CM, �MH CM, .
2
a CH
a MH
.Vậy �,MH CM �60 hay �,SA CM �60 .
Trang 11Câu 5 [1H3-2.3-2] Cho hình lăng trụ đứngABC A B C. ���có đáy ABClà tam giác vuông cân tại B.
AA� AB a Tính góc giữa đường thẳng AB� và BC
Lời giải Chọn D
Trang 12Câu 7 [1H3-2.4-2] Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D. ���� có ABCD là hình thoi với
AB BD AA � Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC� và BC a
Trang 13ABCD là hình thoi với AB BD AA a �
=
uuuruur uuur
.cos 60 a a cos 60
0
Câu 9 [1H3-2.3-2] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D. ���� có đáy ABCD là hình chữ nhật với
ABa, AD a 3 Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng A C�� và BD
Lời giải Chọn A
Trang 14Câu 10 [1H3-2.4-3] Cho hình hộp ABCD A B C D. ���� có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc � BAD
, �DAA�, �'A AB đều bằng 60� Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AA CD�, Gọi là góc
tạo bởi hai đường thẳng MN và B C�, giá trị của cos bằng
Gọi P là trung điểm DC�
Trang 15� 2 2 2 3 5cos
Vậy góc giữa hai đường thẳng A B� và AC� bằng 90�
Câu 12 [1H3-5.2-2] Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , gọi O là tâm đáy và
33
a
33
a
23
a
66
a
Lời giải Chọn D
Trang 16a
Câu 13. [1H3-5.1-2] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi O là tâm
đáy và M là trung điểm CD Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SM
Câu 14 [1H3-5.1-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , AD a 3.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA2a Gọi H là hình chiếu của A lên BD Tính
khoảng cách d từ điểm A đến đường thẳng SH
Trang 172 5719
a
d
25
a
d
52
a
d
5719
a
Lời giải Chọn A
Trang 18Câu 16 [1H3-5.2-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD
bằng
A
22
Trang 1953
a
25
a
Lời giải Chọn B
Trang 20Câu 18 [1H3-5.3-2] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ��� có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
ABa , AA' 2 a Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC�
a
53
Trang 2122
a
23
a
32
a
Lời giải Chọn B
Câu 20 [2H1-4.0-3] Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi M là trung
điểm củaAB , tam giác A CM� cân tại A� và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể
a
ABB A��
Trang 22Ta có A MC� ABC Gọi H là trung điểm của CM , ta có A H�CM suy ra
2
3434
ABC A B C
ABC
a V
1919
Câu 21 [1H3-5.3-2] Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, điểm E
thuộc đoạn BC sao cho BC 3EC Biết hình chiếu vuông góc của A� lên mặt đáy trùng với
trung điểm H củaAB, cạnh bên AA�2a và tạo với đáy một góc 60° Khoảng cách từ điểm
B đến mặt phẳng A HE' là
A
45
a
34
a
35
a
393
a
Lời giải
Chọn A
Trang 23Ta có AA tạo với đáy một góc 60° nên ' �'A AH �60 .
a
34
a
32
a
36
a
Lời giải
Chọn C
Trang 24Gọi H là hình chiếu của A� trên mặt phẳng ABCD
AH
.Cách 2:
Áp dụng công thức tam diện vuông:
Câu 24 [1H3-5.4-2] Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB CD, . Biết
AB CD AN BN CM DM Khoảng cách giữa hai đường thẳng a AB và CD là
Trang 25A
36
a
33
a
22
a
32
a
Lời giải Chọn D
Theo bài ra: DM CM nên tam giác MCD cân tại M , do đó �MNCD.
Tương tự AN BN �MN AB Do đó MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
AB và CD
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là MN .
Xét tam giác AMN vuông tại M
Câu 25 [1H3-5.4-2] Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D,AD2a Trên đường thẳng
vuông góc với ABCD
tại D lấy điểm S với SD a 2 Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng DC và SA
33
a
Lời giải Chọn D
Trang 26Ta có
AD
CD SA SD
CD CD
Dựng D K SA K �S A, khi đó DK là đoạn vuông góc chung của SA CD,
Do đó d DC SA , DK Xét tam giác SAD vuông tại D có DK là đường cao:
Câu 26 [1H3-5.4-2] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ���có tất cả các cạnh đều bằng a Khoảng cách
giữa hai đường thẳng AA� và B C�� là:
A
34
Gọi H là trung điểm B C�� Do tam giác A B C��� đều nên A H� B��C
Mặt khác AA�A B C����AA�A H
VậyAH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA� và B C��.
BAC= � Biết AA� � A BA D� và cạnh bên AA� hợp với mặt phẳng đáy góc 60� Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng CC� và BD
A
34
a
32
a
68
a
612
a
Lời giải Chọn A
Trang 27Ta có: DABD cân tại A và �BAC= �60 � DABD
đều
32
a
AO OC
�
.Gọi G là trọng tâm tam giác đềuABD Do AA� �A B A D ��A G�ABCD
Trang 28Lời giải Chọn D
Câu 29 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc
với mặt đáy Góc tạo bởi mặt phẳng SBC
và mặt đáy bằng 30� Thể tích của khối chóp
S ABC là
A
3
38
a
3
324
Trang 29Suy ra �SBC , ABC SMA� và SMA� �.30
cùng vuông góc với mặt đáy, SB tạo với mặt đáy một góc 60� Thể
tích của khối chóp S ABC là
Do SAB
và SAC
cùng vuông góc với mặt đáy nên SAABC , suy ra hình chiếu của SBlên mặt phẳng ABC
là AB Do đó góc giữa SB và mặt đáy là góc SBA và �� SBA �.60
Xét ABC vuông cân tại B với AC a , ta có AC2 2AB2
22
Trang 30AB a SC a góc giữa SC và mặt đáy là 45 � Thể tích của khối chóp là
Lời giải
Chọn C
Xét tam giác SAC vuông cân tại Amà SC 5 a 2 � AC SA 5 a
Xét tam giác ABC vuông tại 2 2 2 2
Trang 31Câu 33 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, �ABC �60.
a
3
32
a
Lời giải Chọn A
Tam giác BAC đều cạnh a nên
Câu 34 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB
vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp S ABC là
A
3
312
a
3
324
a
3
33
a
3
34
a
Lời giải Chọn B
Trang 32Câu 35 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SAB là
tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc tạo bởi mặt phẳng
đáy với các đường thẳng SC , SD lần lượt là 45�và 30� Tính thể tích khối chóp S ABCD
theo a
A a3 3. B a3 2. C 2a3 3. D a3 6.
Lời giải Chọn D
Gọi H là trung điểm của AB , khi đó SH AB và SH a 3
Ta có
SAB ABCD SAB ABCD AB SH ABCD
3 D
63
Câu 36 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng đáy,
Trang 33Gọi H là hình chiếu của S trên đường thẳng AB
Ta có
SAB ABCD SAB ABCD AB SH ABCD
Câu 37 [2H1-3.2-2] Thể tích khối chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a
Trang 34Câu 38 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và
mặt phẳng đáy bằng 60� Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3
62
a
3
66
a
Lời giải Chọn B
Gọi O AC �BD�SOABCD và SBO� � 60
Đường cao SO OB .tan 60�
2.tan 602
Câu 39 [2H1-3.2-2] Chohình chóp S ABC. có SA SB SC6, AC 4, tam giác ABC là tam giác
vuông cân tại B Tính thể tích V của khối chóp S ABC.
A V 16 7 B V 16 73
C V 16 2. D
16 23
V
Lời giải Chọn D
Gọi I là trung điểm của AC
Trang 35Do ABC vuông cân tại B �I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và 2 2
Câu 40 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp S ABC. có AB 5 cm, BC 6 cm, CA 7 cm Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC
nằm bên trong tam giác ABC Các mặt phẳng
V
(cm3) C V 8 2(cm3) D V 8 3(cm3)
Lời giải Chọn D
Gọi I là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC
; F, E, P lần lượt là hình chiếu của I trên
AB , BC , CA , suy ra SFI SEI SPI� � � � FI EI PI r60 � � là tâm đường trònI nội tiếp tam giác ABC , bán kính r
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì 2 9
.Tam giác vuông SFI có : h SI IF.tan 600 r.tan 60�2 2.
Trang 36Trong mặt phẳng ABCD , gọi O AC�BD, do hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều
nên SOABCD Đáy là hình vuông cạnh 20 �AO AC2 10 2.
Trong tam giác vuông SAO có SO SA2AO2 10 7.
Thể tích V của khối chóp trên là
1
Câu 42 [2H1-3.2-3] Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA
vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB
a
3
312
a
3
36
a
3
34
a
Lời giải Chọn B
S
D
B
A C
Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC
, suy ra SDABC.
Ta có SDAB và SB AB(gt) suy ra ABSBD�BA BD
Tương tự có AC DC hay tam giác ACD vuông ở C
Dễ thấy SBA SCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB SC Từ đó ta chứng minh
được SBD SCD nên cũng có DB DC .