SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

Trong chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán nói chung và phân môn Hình học không gian nói riêng, số lượng các bài tập chưa có sẳn thuật toán giải là khá lớn và gây cho học sinh không í

Đối với học sinh, sau cái mong muốn giải một bài toán cụ thể còn có một sự

tò mò sâu sắc hơn, một sự mong muốn được biết đường lối, phương tiện, lập luận

và qua trình dẫn tới cách giải, mà điều này không sách vở nào trình bày cho họcsinh

Bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải bài tập là một yêu cầu quantrọng đối với học sinh Trong chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán nói chung

và phân môn Hình học không gian nói riêng, số lượng các bài tập chưa có sẳn

thuật toán giải là khá lớn và gây cho học sinh không ít khó khăn, lúng túng khi giảichúng dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình Đây là mộttrở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập của học sinh Do vậy khi giải bài tập giáoviên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là “dạy cho học sinhbiết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lí để giải toán” Bởi vì “Tìm ra cách giảimột bài toán là một phát minh”

Bên cạnh đó, trong đề thi THPT quốc gia và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa củacác năm qua, bài toán hình học không gian liên quan đến véc tơ hầu như không thể thiếu và là bài toán không thuộc loại khó Tuy nhiên đối với học sinh thì vẫn coi là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp giải của véc tơ

Véc tơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học địnhlượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài toán hình học không gian được thuận lợi để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của véc tơ giải các bài toán hình học không gian, chính vì những lý do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài

‘‘ Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ’’

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải các bài toán hình học không gian nói riêng và đạt kết quả cao

trong quá trình học tập và thi tuyển nói chung.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh các lớp 11A1 và 11A4 ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi HSG tỉnh

Thanh Hóa

- Các dạng toán về hình học không gian mà sử dụng véc tơ để giải trongchương trình hình không gian 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận;

- Điều tra thực tế;

- Thực nghiệm sư phạm

1.5 Những điểm mới của sáng kiến

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một

số giải pháp như sau:

- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.

- Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể Phân tích tỉ mỉ hướng giải, vận dụnghoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đógiúp học sinh đưa ra được lời giải của bài toán

- Thực nghiệm sư phạm

2 Nội dung

2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Nội dung chủ đề véc tơ trong chương trình toán THPT

Ở chương trình lớp 10 véc tơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức

lượng trong tam giác và trong đường tròn Nó cũng là cơ sở để trình bày phươngpháp tọa độ trên mặt phẳng

Chương I - véc tơ: Trình bày các khái niệm cơ bản nhất về véc tơ (véc tơ, véc tơcùng phương, cùng hướng, bằng nhau) và các phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc

tơ với một số Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu về tọa độ, trục và hệtrục tọa độ trong mặt phẳng Tọa độ của véc tơ, của điểm đối với trục và hệ trục tọađộ

Chương II – Tích vô hướng của véc tơ và ứng dụng, bao gồm: Định nghĩa, tính

chất, biểu thức tọa độ của tích vô hướng, hệ thức lượng trong tam giác [1].

Ở chương trình lớp 11 – véc tơ trong không gian là mọt bài trong chương

III: Quan hệ vuông góc trong không gian Các phép toán và tính chất của véc tơtrong không gian được hiểu tương tự như véc tơ trong mặt phẳng, nên không trìnhbày một cách tỉ mỉ Chỉ có một khái niệm mới là sự đồng phẳng của ba véc tơ.Việc đưa véc tơ vào trong chương trình giúp cho việc chứng minh một số tính chất

về quan hệ vuông góc thuận lợi hơn và là một trong những yêu cầu giảm tải của

chương trình phân ban 2006 [2].

Ở chương trình lớp 12 có đưa vào khái nệm tích có hướng của hai véc tơ,

ký hiệu là hoặc , được xác định bởi biểu thức tọa độ để làm cơ sở viết

phương trình mặt phẳng [3].

2.1.2 Sử dụng phương pháp véc tơ để giải các bài toán hình học [2]

Dùng véc tơ và các phép toán véc tơ chúng ta có thể giải nhanh một số bài tập hìnhhọc Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng

 Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ

đồng phẳng, tức là chứng minh

 Để chứng minh hai đường thẳng và song song hoặc trùng nhau tachứng minh hai véc tơ và cùng phương, tức là chứng minh

 Để chứng minh đường thẳng song song hoặc nằm trong , ta lấy trong

hai véc tơ và không cùng phương và chứng minh cho ba véc tơ ,

và đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ trong sao cho và cùngphương

 Để chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau ta chứng

 Để tính độ dài của đoạn thẳng ta hãy biểu diễn véc tơ theo các véc

tơ đã biết và tính Từ đó suy ra

 Để tính ta tín tích vô hướng , từ đó suy ra

2.2 Thực trang của vấn đề trước khi áp dụng SKKN

Qua thực tế trực tiếp giảng dạy ở trường THPT 4 Thọ Xuân cho thấy rằng

HS thường gặp lúng túng và không giải được các bài tập khi học chương III phần bài tập liên quan đến “Véc tơ trong không gian - Quan hệ vuông góc” nguyên nhâncủa tình trạng trên xuất phát từ nhiều phía :

* Về phía HS :

- Không nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc véc tơ

- Không nắm vững kỹ năng áp dụng các quy tắc véc tơ

- Không nắm vững phương pháp và lựa chọn bài tập nào nên sử dụng véc tơ

- Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy được khả năng tư duy sángtạo

* Về phía GV: GV không thể cung cấp hết kiến thức, phương pháp giải bàitập cho HS được trong thời gian ngắn trên lớp.

* Về phía phụ huynh: Sự quan tâm của một số phụ huynh đến việc học tậpcủa con em mình còn hạn chế

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề: Sử dụng kĩ thuật véc

tơ để xử lí một số dạng toán hình học không gian

DẠNG I Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ và

Để chứng minh thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ

cùng phương

Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các vectơ theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh Chú ý giả thiết lần lượt là trọng tâm của các tam giác và

G' G

B A

C D

C' B'

Bước 2: Thực hiện giải bài toán

Ta có:

Vì là trọng tâm của tam giác nên:

Vì là trọng tâm của tam giác nên:

Vậy bốn điểm thẳng hàng

Bài 2 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ sao cho

và Tìm m để MN song song với BD’ [5]

Hướng dẫn

B A

C D

C' B'

M

N

Bước 1: Phân tích bài toán

Đề thì cùng phương với , tức là có số thực sao cho

Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các vectơ theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh.

Bài 2 Cho hình hộp Tìm điểm thuooch đoạn và điểm thuộc đoạn sao cho song song với

Dạng II Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ

đồng phẳng, tức là chứng minh

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng , hoặc nằm trên mặt phẳng ta lấy trong hai véc tơ không cùng phương và chứng minh ba véc tơ đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ trong sao cho và cùng phương

Bài 1 Cho tứ diện , là trung điểm của , là trung điểm của Điểm chia trong theo tỉ số , điểm chia trong theo tỉ số Chứng minh đồng phẳng [3]

Hướng dẫn

N

Bước 1: Phân tích bài toán

Để chứng minh đồng phẳng, ta chứng minh ba véc tơ Hay có

Bài 2 Cho hình chóp , gọi là trọng tâm của tam giác Một mặt phẳng cắt các đoạn thẳng theo thứ tự tại Chứng minh

Hướng dẫn

G' S

A

B

C M

G

A'

B'

C'

Bước 1: Phân tích bài toán

Để chứng minh bài toán ta đặt các tỷ số

Chọn hệ véc tơ cơ sở với điểm đầu là Sau đó biểu diễn các véc tơ ; theo các véc tơ đã chọn từ đó sử dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ suy ra điều phải chứng minh

Bước 2: Thực hiện giải bài toán

Do ,

Bài 3 Cho hình hộp Các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh Chứng minh rằng đường thẳng song song với mặt phẳng [8]

Hướng dẫn

B

A

C D

A'

B'

D'

C' N

M

P

Bước 1: Phân tích bài toán

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng , ta chứng minh

ba véc tơ đồng phẳng nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại của hai số thực

Bài 1 Cho tứ diện SABC Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho

Chứng minh mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định.

Bài 2 Cho hình hộp Gọi là các điểm thỏa mãn

, Chứng minh song song với mặt phẳng

Dạng III Chứng minh quan hệ vuông góc, tính góc và độ dài đoạn thẳng

Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta chứng minh

Để chứng minh , ta chỉ cần chỉ ra tích vô hướng Muốn làm được điều này ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, biểu diễn các véc tơ qua

hệ véc tơ cơ sở đó và tính tích vô hướng

B A

C D

C' B'

M N

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Ta có

là độ dài cạnh của hình lập phương)

Bài 2 Cho tứ diện đều cạnh Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh

và Trên các đường thẳng lần lượt lấy các điểm và sao cho song song với Tính độ dài đoạn theo [3]

Hướng dẫn Bước 1 Phân tích bài toán

Để tính độ dài đoạn ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn véc tơ theo các véc tơ cơ sở đó và tính Từ đó suy ra độ dài đoạn .

C

B

D M

Bài 3 Cho lăng trụ tam giác đều Tìm góc giữa hai đường thẳng và, biết [3]

Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn hai véc tơ và

theo các véc tơ cơ sở đó và tính tích vô hướng Từ đó áp dụng công thức tính tích vô hướng , suy ra góc giữa hai đường thẳng và .

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Bài 1 Cho tứ diện đều Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh

và là trọng tâm tam giác , là góc giữa 2 vectơ và Tính [5]

Bài 2 Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a, với

cạnh bên Gọi là điểm thỏa mãn và là trungđiểm của cạnh Tìm k để [5]

Bài 3 Cho lăng trụ có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc Hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của đoạn thẳng và tam giác là tam giác cân Tính với là góc giữa hai đường thẳng

và [6]

Dạng IV Tính giá trị biểu thức và chứng minh các hệ thức hình học

Bài 1 Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Các điểm , thỏa mãn , Mặt phẳng chứa đường thẳng cắt các cạnh , lần lượt tại , ( không trùng Tính giá trị biểu thức:

Bước 1 Phân tích bài toán

Để giải bài toán ta biểu diễn véc tơ theo và theo Từ đó áp dụng

quy tắc véc tơ biểu diễn véc tơ theo , và Sau đó sử dụng điều kiệnđồng phẳng của các điểm suy ra kết quả.

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Ta có

Do 4 điểm , , , đồng phẳng

Bài 2 (HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017)Cho hình lăng trụ tam giác đều

có Điểm thay đổi trên đường thẳng sao cho mặt phẳng qua , vuông góc cắt đường thẳng tại điểm trên đoạn Xácđịnh vị trí của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất [5]

M

N

Bước 1 Phân tích bài toán

Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt , rồi biểu diễn véc tơ theo các véc tơ đã chọn và đặt Sau đó sử dụng điều kiện vuông

góc của hai véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo và đưa về hàm số bậc hai để xét tìm giá trị nhỏ nhất

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Do thuộc đoạn nên , suy ra

Từ đó nhỏ nhất bằng khi

Tức là nhỏ nhất khi là trung điểm

Bài 3 (HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ diện có Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ diện và cắt các cạnh

lần lượt tại các điểm Chứng minh rằng biểu thức

có giá trị không đổi [5]

Hướng dẫn

S

A B

C M

E

I B'

C' A'

Bước 1 Phân tích bài toán

Để bài toán ta sử dụng quy tắc trọng tâm rồi biểu diễn véc tơ theo các véc tơ

Sau đó lại biểu diễn theo các véc tơ , rồi sử dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Vì G là trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất: , với M là điểm tùy ý

Áp dụng tính chất trên cho điểm ta có:

Lại có

Do đó

Vì bốn điểm đồng phẳng nên phải có

Mặt phẳng đi qua O và cắt các tia tương ứng tại ba điểm phân biệt

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .[7]

Hướng dẫn

O

B A

C D

C' B'

A

B'

C

D' H

O

R

M

Q N

P

Bước 1 Phân tích bài toán

Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt , ,

rồi biểu diễn véc tơ theo các véc tơ đã chọn và đặt Sau đó sử dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo

và sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Bài 1 Cho hình lập phương có cạnh bằng 1 Gọi là trung điểm của Mặt phẳng thay đổi luôn đi qua điểm cắt các đoạn thẳng

tương ứng tại Chứng minh:

Bài 2 Cho tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc với nhau tại Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng và là điểm bất

kỳ trong tam giác Chứng minh rằng

Bài 3 Cho hình hộp Lấy lần lượt trên đoạn và sao

chứng minh rằng:

Bài 4 Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Một mặt phẳng bất kì không đi qua ,cắt các cạnh lần lượt tại các điểm Chứng minh rằng

2.4 Hiệu quả trong việc triển khai đề tài SKKN

Khi triển khai đề tài này được tiến hành trên 02 lớp thuộc trường THPT 4Thọ Xuân, đó là: Lớp dạy 11A1 (học ban cơ bản A) và lớp dạy 11A4 (học ban cơbản)

* Kết quả đạt được

- Về mặt định tính :

Khi tôi áp dụng phương pháp sử dụng kĩ thuật chọn hệ véc tơ cơ sở vào giải

các dạng toán hình học không gian phức tạp, tôi thấy học sinh của tôi ham họchình hơn, yêu thích các bài tập về hình không gian hơn và không còn thấy lo lắng,lúng túng trong việc xử lí các bài toán hình không gian phức tạp

- Về mặt định lượng :

Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quảđạt được khả quan hơn nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hailớp có trình độ tương đương nhau Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làmbài kiểm tra như sau:

Bài 1 Cho lăng trụ có cạnh bên bằng Ba điểm , , thay đổi trên các cạnh , , sao cho Chứng minh rằng mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2 Cho tứ diện , các điểm xác định bởi

Tìm điều kiện giữa và để ba đường thẳng cùng songsong với một mặt phẳng

Bài 3 Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Gọi là điểmthỏa mãn: Một mặt phẳng đi qua cắt các cạnh

lần lượt tại Chứng minh rằng:

Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:

Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau:

Điểm

Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi

Có 5 em đạt điểm tuyệt đối

Lớp ĐC có 80,0% điểm trung bình trở lên, trong đó có 35,6% điểm khá giỏi,không có HS đạt điểm tuyệt đối

Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơnlớp đối chứng nhất là bài đạt khá và giỏi Một nguyên nhân không thể phủ định làlớp thực nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã sử dụng ởtrên) và cách thức tìm tòi lời giải của bài toán…

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn vànhững sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về hình học qua

đề thi THPT Quốc gia của các năm trước và các bài toán liên quan; đề tài đã gópphần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt Trongthời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà