SKKN PHÂN LOẠI và PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số bài TOÁN về QUAN hệ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài giao điểm của đường thẳng và mặtphẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện của hình đa diện cắt bởi một mặtphẳng.Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiê

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Thị Lam

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC

Trang

I Mở đầu……… 3

1.1 Lý do chọn đề tài ……… 3

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 4

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 4

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm ………… 4

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 5

2.1 Cơ sở lí luận……… 5

2.2 Thực trạng vấn đề……… 6

2.3 Một số giải pháp ……… 7

1 Đưa mô hình trực quan……… 7

2 Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan Hệ song song trong không gian……… 8

Bài toán 1.Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng… 8

Bài toán 2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng……… 11

Bài toán 3 Xác định thiết diện cắt bởi một mặt phẳng…… 14

Bài toán 4 Bài toán tỉ số trong không gian quy về bài toán Hình học phẳng……… 17

2.4 Kiểm nghiệm……… 1

III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT……… 20

3.1 Kết luận……… 20

3.2 Đề xuất và kiến nghị……… 20

I Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài:

Từ đầu lớp 11 trở về trước học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn chỉ là

hình phẳng Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trungthành hình dạng và có thể cả về kích thước trên mặt giấy Mọi quan hệ giữa cácđối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan Từ chương II hình học lớp 11trở đi, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệnhư quan hệ vuông góc, quan hệ cắt nhau, của các đối tượng Đó là một khókhăn rất lớn của học sinh

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hìnhhọc không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế kháchquan Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáoviên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phươngpháp giải các dạng bài tập hình hoc không gian Qua nhiều năm giảng dạy mônhọc này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiếnthức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinhngày được nâng lên Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinhcòn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó,nên tôi nghiên cứu nội dung nàynhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũngnhằm tháo gỡ những vướng mắc khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải vớimong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học sinh nói chung và môn hình họckhông gian nói riêng

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do dó mà học sinh dễ dàng áp dụng đượcvào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó

Từ lí do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức và tổng hợp thành

một chuyên đề: ‘Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian’.

Qua nội dung này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêmmột số kĩ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liênquan đến quan hệ song song trong không gian Học sinh thông hiểu và trình bàybài toán đúng trình tự, đúng lôgic, không mắc sai lầm khi làm bài tập Hy vọng đềtài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp giải một sốbài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Chương II Hình học lớp 11 một cách cóhiệu quả

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quenvới tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ranhững phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡnhững vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốnnâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nóiriêng

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

3

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài giao điểm của đường thẳng và mặtphẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện của hình đa diện cắt bởi một mặtphẳng.

Phạm vi nghiên cứu:

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp điều tra,khảo sát thực tế,thu thập thông tin

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Phát triển các bài toán về tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặtphẳng

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung đểgiải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có địnhhướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau Trong dạy học, giáoviên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tậpnhững hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động

cơ , hướng có đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệmthành công Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quantrọng của người giáo viên

Trong chương II ‘ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ songsong’ sách giáo khoa có giới thiệu một số khái niệm, trong đó có khái niệm vềgiao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diệncắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện Do đó nếu có được hệ thống phươngpháp giải các bài toán:

Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng ( )

Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng () và ()

Bài toán 3: Tìm thiết diện cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện.

Bài toán 4: Đưa bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt phẳng

Thì học sinh có thể nắm vững được kiến thức để vận dụng làm các bài tập, gâyhứng thú trong học tập cho học sinh Mặt khác đây lại là chương kiến thức nềntảng cho cả phần hình học không gian nên rất cần thiết

Vì vậy tôi thấy việc đưa ra : ‘Phân loại và phương pháp giải một số toán về quan hệ song song trong không gian’ là một việc rất bổ ích cho việc dạy

của giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học sinh

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Trong quá trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường rất

lơ mơ và ngại học môn hình học không gian Khi gặp các bài toán thì không phânloại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập Trong khi đó sách giáokhoa hình học 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dànhcho việc làm bài tập các dạng này là rất ít Do đó học sinh thường bế tắc trongviệc vẽ hình , xác định yếu tố nào trước và làm như thế nào, cụ thể:

Khi dạy cho học sinh tôi nhận thấy:

- Khi xác định giao điểm A của đường thẳng a và mặt phẳng (P) đa số họcsinh ở mức trung bình đều không biết làm thế nào Về mặt hình vẽ thì thể hiệnchới với không chính xác Giáo viên phải hướng cho học sinh quy về giao điểmcủa hai đường thẳng

- Khi gặp các bài toán xét trên các mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng (ABC)thì rất nhiều học sinh thường hiểu rằng mặt phẳng (ABC) chỉ gồm các điểm thuộcmiền trong và nằm trên các cạnh của tam giác ABC Do đó khi xác định giao điểmcủa mặt phẳng này hoặc của đường thẳng nằm trong mặt này với các đối tượngkhác là rất khó khăn

5

- Hình biểu diễn của các hình không gian không trực quan như hình phẳng

mà lâu nay các em đã học, do đó dựa vào hình vẽ nhiều học sinh nhầm lẫn giữanhững đường thẳng thực tế không cắt nhau nhưng trong hình biểu diễn các em lạithấy như là chúng cắt nhau

Chẳng hạn khi gặp bài toán:

Bài toán 1 Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng

Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam

giác ABC và BCD Gỉa sử đường thẳng EF

cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm J Hãy xác định

điểm J đó.

 Với hình biểu diễn trên, nhiều học sinh ngộ

nhận rằng đường thẳng EF và AC cắt nhau và đó

chính là giao điểm J Một số học sinh khá hơn

sẽ nhận ra điều đó là sai song chưa xác định được

đường thẳng EF sẽ cắt đường nào của mặt (ACD) Hình 1

Bài toán 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi O’ là tâm của hình bình hành

A’B’C’D’; K là trung điểm của CD, E là trung điểm của BO’.

a) Chứng minh rằng E nằm trên mặt phẳng (ACB’)

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua K và song song với mặt phẳng (ACE).

*Học sinh thường lúng túng không biết cách chứng minh cho E thuộc một đườngthẳng khác nằm trên mặt phẳng (ACB’) Do đó đến câu b) học sinh sẽ khôngnhận ra được mặt phẳng (ACE) chính là mặt phẳng (ACB’) nên rất khó khăntrong việc xác định thiết diện

Lúc này vai trò của giáo

viên là phải định hướng

cho học sinh chứng minh

được E là giao điểm của

BO’ với OB’ nằm trong mặt

phẳng (ACB’)

Hình 2

Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi Gọi O là giao điểm

của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm của cạnh SA.

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SO và BC.

b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (Q) chứa O song song với BM và SD.

Hình 3 Hình 4

Học sinh thường rất lúng túng vì mặt phẳng cho trước song song với 2 đườngthẳng chéo nhau nên không xác định được mặt phẳng đó là mặt phẳng nào Đếnđây giáo viên phải định hướng cho học sinh mặt phẳng mà ta đang xác định songsong với mặt phẳng nào ( ta thường chỉ ra nó song song với một mặt phẳng chứađường này và song song với đường còn lại )

2.3 MỘT SỐ GIẢI PHÁP

Qua nghiên cứu ,trao đổi đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp, tôi

mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh như sau:

1 Đưa mô hình trực quan.

Ta đã biết trong triết học: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng”

vì vậy để học sinh có hình ảnh trực quan tôi sẽ cho các em chuẩn bị một số môhình về các hình không gian như hình tứ diện, hình hộp,…các hình này được làmkhung bằng các que, các mặt thì gắn bằng bìa Ngoài ra còn chuẩn bị một số quelàm mô hình đường thẳng và giấy bìa làm mô hình mặt phẳng Khi dạy đến từngphần tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy bằng mô hình trực quan đó, sau đó yêu cầu họcsinh vẽ lại hình biểu diễn của hình

Ví dụ dạy về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳngtôi sẽ lấy ví dụ

Bài toán Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng

Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam

giác ABC và BCD Gỉa sử đường thẳng EF

7

Lúc này mô hình mà tôi sử dụng là hình tứ

diện với khung được làm bằng các que các mặt

ngoài không gắn bìa, tôi sẽ chỉ cho các em thấy

đường thẳng EF là đường nào Sau đó cho các em

nhận xét quan hệ giữa đường thẳng EF với các cạnh

của tứ diện Tiếp đó tôi sẽ gọi một học sinh lên

bảng vẽ hình biểu diễn

Để tìm giao điểm J tôi sẽ định hướng cho học sinh đường thẳng EF nằm trênmặt phẳng (BEF) và bằng tấm bìa cho các em quan sát mặt phẳng (BEF) khôngphải chỉ là phần chứa tam giác BEF

Khi dạy bài toán thiết diện trước hết cần cho học sinh nhìn thấy trực quan thiếtdiện của một hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng Tôi sẽ sử dụng mô hình là mộtkhung chóp và một tấm bìa, tùy vào vị trí của tấm bìa tôi sẽ chỉ cho học sinh thấythiết diện

2 Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian.

Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng ( )

Hình 5 Hình 6

* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:

- Tìm mp() chứa d sao cho mp() cắt mp()

- Tìm giao tuyến a của hai mp() và mp() (hình 6)

* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a Nhiệm vụ

của giao viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a vàchọn mp() sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợpđường thẳng a chưa có trên hình vẽ

- Muốn làm được điều đó học sinh cần nắm chắc hệ thống các tiên đề của hình

học không gian

Tiên đề 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước Tiên đề 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho

trước.

Tiên đề 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một

đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Tiên đề 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều

đúng.

* Ví dụ:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao

cho AJ=2

3AD Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD)

Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a

cần tìm chính là đường thẳng BD Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho họcsinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằmtrên một mặt phẳng và không song song

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi I, J

lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD

9

a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)

c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)

Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 8) học sinh khó

mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắtđược đường thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm

là đường thẳng SC Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD)chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO Từ

đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần

tìm (hình 10)

J I

Với câu b) (hình 11) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm

trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không

có sự hướng dẫn của giao viên Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng

IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC) Từ đó tìm

được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F ( hình

12)

P

J I

Hình 11 Hình 12

Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phảichọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó vớimp(IJM) Với bài toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC nhưmp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC) Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìmgiao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viênkhông nên gò học sinh đi theo lời giải của mình

P H

J I

P

J I

Bài tập tự luyện Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành, tâm của

đáy, M,N lần lượt là trung điểm của SA, SC Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N vàB

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mp(P) và giao điểm K của đườngthẳng SD với mp(P)

b) Xác định các giao điểm E,F các đường thẳng DA, DC với mp(P) và chứngminh rằng ba điểm E, B, F thẳng hàng

Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và ()

Hình 15

Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:

Dựa vào các định lý sau:

* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu

( ) ( ) ( ) ( )=b ( ) ( )= c

a a

* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai

điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ Nếutrên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định

lý và hệ quả nêu trên)

* Ví dụ:

Bài 3: Trong mp() cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BDcắt nhau tại F Gọi S là một điểm nằm ngoài mp() Tìm giao tuyến của các mpsau:

a) Mp (SAB) và mp(SCD)

b) Mp(SAC) và mp(SBD)

c) Mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC)

* Nhận xét:

Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm

chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 22) Tương tự đối với hai mp(SAC)

và mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF

D

E S

B

C

Hình 22 Hình 23

Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung

thứ hai M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD ( hình 24)

M F A

D

E S

B

C N