SKKN rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ”

Để có thể làm tốt bài thi Toántrắc nghiệm, ngoài kiến thức và phương pháp, thí sinh cần được trang bị những kỹnăng cần thiết và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng chủ đề một cách đầy

III Đối tượng nghiên cứu

IV Phương pháp nghiên cứu

V Những điểm mới của SKKN

I Một số kết quả của đề tài

II Kết luận và kiến nghị

1 1 1 2 2

2

3 4 4 17

25 26

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thay đổi hình thức thi THPT QuốcGia môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm Đây là một thay đổi lớn đòi hỏigiáo viên phải đổi mới cách dạy học phù hợp để vừa rèn luyện tư duy của học sinhđồng thời phải đạt hiệu quả tốt nhất Qua nghiên cứu đề thi minh họa và đề thửnghiệm môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tôi nhận thấy đềthi trắc nghiệm môn Toán THPT Quốc Gia có 50 câu trắc nghiệm với thời gianlàm bài 90 phút Thí sinh có trung bình 108 giây để hoàn thành một câu hỏi Vớicách thi mới này, học sinh khá giỏi cũng có thể không đạt điểm cao do không đủthời gian làm bài, nếu quen tư duy theo cách tự luận Để có thể làm tốt bài thi Toántrắc nghiệm, ngoài kiến thức và phương pháp, thí sinh cần được trang bị những kỹnăng cần thiết và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng chủ đề một cách đầy đủ,hợp lí Trong các chủ đề cần trang bị cho học sinh thì chủ đề đồ thị của hàm số làmột chủ đề rất quan trọng và các câu hỏi trắc nghiệm của chủ đề này cũng gâykhông ít khó khăn cho học sinh Trong đề thi minh họa và đề thử nghiệm mônToán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo thì các câu hỏi về chủ đề nàyluôn luôn xuất hiện và đặc biệt lại có câu hỏi trắc nghiệm nâng cao Để học sinh cóthể làm tốt các câu hỏi trắc nghiệm này thì giáo viên cần trang bị cho các em kiếnthức nền tảng và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng dạng toán về dạng, loại đồ

thị của hàm số mà đặc biệt là kỹ năng “Đọc” đồ thị của hàm số Từ đó giúp các em

tự tin hơn, hứng thú hơn trong việc học và nghiên cứu các bài tập trắc nghiệm mônToán

Với những lí do trên, tôi tiến hành hệ thống một số dạng bài tập trắc nghiệm

về hàm số thông qua đề tài: “Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ” cho học sinh lớp 12”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Với mong muốn giúp học sinh phát triển tư duy và đạt hiệu quả cao khi giảicác bài toán trắc nghiệm về hàm số, tạo sự tự tin, hứng thú và niềm say mê học tậpcho các em trong quá trình học về hàm số và ôn thi THPT Quốc Gia

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được trình bày theo hướng bám sát các dạngtoán về đồ thị của hàm số theo chuẩn kiến thức kĩ năng để hệ thống câu hỏi trắc

nghiệm, bám sát các dạng câu hỏi theo đề thi minh họa môn Toán năm 2017, 2018của Bộ Giáo dục và Đào tạo Từ đó giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tínhtích cực chủ động, sáng tạo và hiểu sâu sắc hơn các kiến thức về hàm số trongchương trình lớp 12.

III NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

- Kiến thức cơ bản và một số dạng toán về đồ thị của hàm số

- Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về đồ thị của hàm số

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT Nguyễn Hoàngtrong năm học 2016 -2017, 2017-2018

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu các dạng toán về hàm số,đồ thị hàm số và đề thi minh họa, đề thửnghiệm,minh hoạ môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo

- Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thực hiện

- Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh

- Dạy thực nghiệm trên lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT NguyễnHoàng năm học 2016 – 2017, 2017-2018

Đề tài đã giải quyết những vấn đề sau:

1 Khơi dậy và phát huy tính chủ động, tích cực và sự hứng thú học tập nội dungnày của mọi đối tượng học sinh, từ đó tạo động lực và niềm tin cho các em tự tinhọc tập bộ môn toán

2 Giúp học sinh có được một phương pháp, cách nhìn đồ thị hàm số để thấy được sựbiến thiên của hàm số, từ đó suy ra khoảng đơn điệu, số cực trị, giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số…

3 Phát triển tư duy logic, hệ thống và khái quát hoá cho học sinh

VII PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về các dạng toán trắc nghiệm về đồ thị của hàm số, áp dụngtrong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh lớp 12 của trường THPTNguyễn Hoàng

B NỘI DUNG

Trong quá trình dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh lớp 12, sáng kiến kinhnghiệm này được áp dụng để dạy cho học sinh theo chủ đề đồ thị của hàm số Giáoviên tiến hành dạy từ việc hệ thống kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững đến hệthống câu hỏi trắc nghiệm Trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm thì xuất phát làcác câu hỏi trong đề thi minh họa và đề thi thử nghiệm môn Toán của Bộ Giáo dục

và Đào tạo năm 2016 – 2017,2017-2018 sau đó đến các câu hỏi chọn lọc giúp họcsinh rèn luyện kiến thức kĩ năng của chủ đề Từ đó giúp học sinh có kiến thức vữngvàng và tạo cho các em phản xạ nhanh, có kĩ năng để có thể giải quyết tốt các bàitập trắc nghiệm về đồ thị của hàm số

1 Cơ sở lý luận của đề tài

Những tri thức khoa học mà người thầy dẫn dắt, định hướng cho các emkhám phá phải luôn mang tính vừa sức, khơi dậy trong các em hứng thú khám phá

và bước đầu các em thấy dễ hiểu và tin vào khả năng của bản thân Từ đó tạo độnglực và kích thích các em tò mò khoa học, say mê, hứng thú học tập và khám phá

2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

Năm học 2016 - 2017, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12 của trường THPTNguyễn Hoàng, tôi nhận thấy đa số học sinh đều nắm được các kiến thức cơ bản vềhàm số, nhưng khi tiếp xúc với các bài tập trắc nghiệm về đọc đồ thị của hàm sốthì các em tỏ ra lúng túng và lo lắng do chưa có phản xạ nhanh và chưa đủ thờigian để làm hết các bài theo định mức trung bình 108 giây/ câu hỏi Chính điều nàyphần nào đã thôi thúc tôi suy nghĩ tìm tòi để thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

“Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ” cho học sinh lớp 12”.

C CÁC GIẢI PHÁP.

1 Khái quát chung

Dựa trên những kết quả nghiên cứu về lí thuyết toán học bậc THPT, tôi đã ápdụng các khâu của quá trình dạy học như sau :

1.1 Nội dung của phương pháp và hệ thống các bài tập minh hoạ được chọnlọc có tính bao quát các dạng thường gặp ở các mức độ khác nhau, phù hợp với cácđối tượng học sinh, được định hướng và dẫn dắt cho học sinh tự hình thành, chiếm

lĩnh trong khâu “Hình thành kiến thức, kỹ năng mới”;

1.2 Hệ thống các bài tập thực hành có tính chất và nội dung tương tự với hệ

thống các bài tập thực nghiệm, được áp dụng trong khâu “ Củng cố, hoàn thiện ” và khâu “kiểm tra đánh giá ” để cho học sinh rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức

được hình thành, đồng thời đánh giá hiệu quả thực nghiệm

Trước hết giới thiệu một số kiến thức cơ bản của đồ thị các hàm số :

y = ax3 + bx2 + cx + d, y = ax4 + bx2 + c,

ax b y

cx d

+

= + …để rồi từ đó trên cơ sở của hìnhdáng đồ thị, học sinh đọc được các tính chất của hàm số như: tính đồng biến, nghịchbiến, cực trị , tương giao, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền

1 Đ nh hình ịnh hình đ th hàm s b c 3: ồ thị hàm số bậc 3: ịnh hình ố bậc 3: ậc 3:

y ax   bx  cx d 

x O

y

x O

y

x O

Bài toán 1 Nhận biết hệ số của hàm số bậc 3 dựa vào đồ thị

b

a c

chính là hoành độ của điểm uốn

Cách nhận biết dấu của các hệ số dựa vào đồ thị.

H s aệm ố a

 Đ th đi lên khi x ti n xa vô c c ồ thị đi lên khi x tiến xa vô cực ị đi lên khi x tiến xa vô cực ến xa vô cực ực  a 0

 Đ th đi xu ng khi x ti n xa vô c c ồ thị đi lên khi x tiến xa vô cực ị đi lên khi x tiến xa vô cực ống khi x tiến xa vô cực ến xa vô cực ực  a 0

H s bệm ố a

 Đi m u n “l ch ph i ểm uốn “lệch phải ống khi x tiến xa vô cực ệch phải ải “ so v i ới Oy ho c hai đi m c c tr “l ch ặc hai điểm cực trị “lệch ểm uốn “lệch phải ực ị đi lên khi x tiến xa vô cực ệch phải

ph i” so v i ải ới Oy  ab 0

 Đi m u n “l ch trái ểm uốn “lệch phải ống khi x tiến xa vô cực ệch phải “ so v i ới Oy ho c hai đi m c c tr “l ch ặc hai điểm cực trị “lệch ểm uốn “lệch phải ực ị đi lên khi x tiến xa vô cực ệch phải trái” so v i ới Oy  ab 0

 Đi m u n thu c ểm uốn “lệch phải ống khi x tiến xa vô cực ộc Oy ho c hai đi m c c tr cách đ u tr c ặc hai điểm cực trị “lệch ểm uốn “lệch phải ực ị đi lên khi x tiến xa vô cực ều trục ục Oy

0

b

H s cệm ố a

 Không có c c tr ực ị đi lên khi x tiến xa vô cực  ac 0ho c ặc hai điểm cực trị “lệch c 0

 Hai đi m c c tr n m v hai phía tr c tung ểm uốn “lệch phải ực ị đi lên khi x tiến xa vô cực ằm về hai phía trục tung ều trục ục Oy  ac 0

 Có 1 đi m c c tr n m trên ểm uốn “lệch phải ực ị đi lên khi x tiến xa vô cực ằm về hai phía trục tung Oy  c 0

H s dệm ố a

 Giao đi m v i tr c tung n m trên đi m O ểm uốn “lệch phải ới ục ằm về hai phía trục tung ểm uốn “lệch phải  d 0

 Giao đi m v i tr c tung n m d ểm uốn “lệch phải ới ục ằm về hai phía trục tung ưới i đi m O ểm uốn “lệch phải  d 0

 Giao đi m v i tr c tung trùng v i đi m O ểm uốn “lệch phải ới ục ới ểm uốn “lệch phải  d 0

Cách nh n bi t d u c a các h s ậc 3: ết dấu của các hệ số ấu của các hệ số ủa các hệ số ệ số ố bậc 3:

H s ệ số ố bậc 3: Tiêu chí Đi u ki n ều kiện ệ số Minh h a ọa

Đi lên

 a 0

 d 0 Giao điểm với trục Oy nằm dưới điểm O (d 0)

Đi qua gốc tọa độO

2 2

2 0 3

Điểm uốn nằm

bên trái Oy

2 2

2 0 3

Trong trường hợp này a  0 b 0

2 điểm cực trị 2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên “trái” Oy

nằm lệch về phía bên trái Oy

Khoảng cách 2 điểm cực trị đến

c  hoặc ac 0

Đồ thị hàm số không có cực trị c 0 hoặc ac 0

Có 2 điểm cực trị nằm 2 phía trục

Oy ac 0

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía trục

Oy ac 0 Trong trường hợp này a  0 c 0

Có 2 điểm cực trị nằm cùng phía trục Oy ac 0

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùngphía trục Oy ac 0 Trong trường hợp này

Có 1 điểm cực trị thuộc trục tung Oy

x O

y

x O

Bài toán 2: Nhận biết các hệ số hàm số bậc 4 (trùng phương) dựa vào đồ thị

Đồ thi đi lên khi x tiến ra dương vô cực  a0

Đồ thi đi xuống khi x tiến ra dương vô cực  a0

Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O  c0

Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O  c0

Giao điểm với trục tung trùng với điểm O  c0

Minh hoạ Nhận biết dấu các hệ số.

Hệ số Tiêu chí Điều kiện Minh họa

ab

Có 3 điểmcực trị

c

 

Nằm phía dưới gốc tọa độ O0

c

 

Đi qua gốc tọa độ

O  c 0

3 Đ nh hình hàm s ịnh hình ố bậc 3:

ax b y

ad bc y



(d  0 tiệm cận đứng là trục Oy; x 0 )

 Tiệm cận ngang: ;

a y c



(a  0 tiệm cận ngang là trục Ox; y 0 )

 Giao với trục Ox

b x a



với a 0 ;Nếu a 0 thì không cắ Ox

 Giao với trục Oy

b y d



Với các hàm số có tham số là các giá trị cụ thể Ta dựa vào các tiêu chí để nhận dạng:

 Dựa vào tiệm cận đứng + tiệm cận ngang

 Dựa vào giao Ox, Oy

 Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến

Với các hàm số có tham số.

Ta nhận biết dấu của 6 cặp tích số sau:

 ab: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục giao Ox:

b x a



 ac: Dựa vào vị trí đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

a y c



 bd: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục giao Oy:

b y d



 cd: Dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

d x c

Giao Ox nằm phía “phải” điểm O  ab 0

Giao Ox nằm phía “trái” điểm O  ab 0

Không cắt Ox  a 0

ac

Tiệm cận ngang nằm “phía trên” Ox  ac 0

Tiệm cận ngang nằm “phía dưới” Ox  ac 0

Tiệm cận ngang trùng Ox  a 0

Giao Oy nằm phía “trên” điểm O  bd 0

bd Giao Oy nằm phía “dưới” điểm O

Tiệm cận đứng nằm “bên phải” Oy  cd 0

Tiệm cận đứng nằm “bên trái” Oy  cd  0

Dạng 3 Từ đồ thi hàm số f x( ) suy ra đồ thị hàm số x a g x ( ) với

(x a g x ) ( ) f x( )

Cách nhớ: Phải a giữ nguyên, trái a lấy đối xứng qua Ox Nghĩa là: Toàn bộ

đồ thị ứng với x a của f x( )( Nằm phía bên phải đường thẳng x a ) được giữ

nguyên Toàn bộ đồ thị ứng với x a của f x( )( Nằm phía bên trái đường thẳng

x a ) được lấy đối xứng qua Ox

Toàn bộ đồ thị ứng với x a của f x( )( Nằm phía bên trái đường thẳng x a ) lấy đối xứng qua Ox

Bài toán 5: Nhận biết hàm số dựa vào đồ thị hàm số f x'( )

*Số giao điểm với trục hoành  số lần đổi dấu của f x'( )  số điểm cực trị

*Nằm trên hay dưới trục hoành f x '( ) 0 hoặc f x '( ) 0trên một miền  Tínhđơn điệu của hàm số

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1. Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây Hàm số yf x( )

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( 1; 2) . B (0; 2). C ( ;0) D (2;).

Căn cứ đồ thị ta có ngay hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) Vậy đáp án là B Câu 2 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên  thoả f ( )- 1 = f ( )3 = 0 và đồ thịcủa hàm số y= f x'( )có dạng như hình bên Hàm số ( ( ) )2

x y

Câu 3 Cho hàm số y=ax3+bx2+ +cx d có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A a<0,b>0,c=0,d=0.

B a<0,b<0,c=0,d=0.

C a>0,b<0,c=0,d=0.

D a>0,b>0,c=0,d=0.

Căn cứ hình dáng đồ thị ta có ngay a < 0 và đồ thị hàm số đi qua O nên c = 0, d =

0, điểm uốn của đồ thị nằm bên phải Oy nên có b > 0 Vậy chọn đáp án A

Câu 4 Cho hàm số y=ax3+bx2+ +cx d có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Câu 5 (Trích đề thi thử THPT QG năm 2017)

Cho hàm số y=f x( ) xác định, liên tục trên đoạn [- 2;2] và có

đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Hàm số f x( ) đạt cực tiểu

tại điểm nào dưới đây?

Đồ thị hàm số yf x-2018 2017 có bao nhiêu điểm cực trị?

L i gi i ời giải ải

T gi thi t ta cóừ giả thiết ta có ả thiết ta có ết ta có a0,c2018 và a   b c 2018  b 0  a b  0 nên hàm số a

b + c – 2018 < 0 nên đi m c c ti u c a g(x) n m dểm ực trị của hàm số ểm ủa hàm số ằm trên trục hoành ưới i Ox

L y đ i x ng ph n g(x) phía dố a ứng phần g(x) phía dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị g(x) phía ần g(x) phía dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị g(x) phía ưới i Ox qua Ox và b ph n đ th g(x) phía ỏ phần đồ thị g(x) phía ần g(x) phía dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị g(x) phía ồ thị g(x) phía ịnh:

dưới i Ox ta được đồ thị hàm số c đ th hàm s ồ thị g(x) phía ịnh: ố a y f x( ) 2018 T đ th ừ giả thiết ta có ồ thị g(x) phía ịnh: y f x( ) 2018 ta

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Nhận xét: Đồ thị hàm sốy f x m gồm hai phần:

Phần 1 là phần đồ thị hàm số yf x m nằm phía trên trục hoành;

Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số yf x m nằm phía dưới trục hoànhqua trục hoành

Dựa vào đồ thị của hàm sốyf x  đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm

Câu 9. Cho hàm số y f x ( ) liên tục và có đạo

hàm cấp hai trên  Đồ thị của các hàm số

Hướng dẫn giải.Trước hết ta có nhận xét sau:

Nếu M(x0;f(x0)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) thì hình chiếu củađiểm M trên trục hoành Ox là giao điểm của đồ thị y = f’(x) và trục Ox

Từ đồ thị ở hình vẽ ta thấy hình chiếu của điểm cực trị của đồ thị (C3) trên Oxtrùng với giao điểm của đồ thị (C1) và Ox , hình chiếu của điểm cực trị của đồ thị(C1) trên Ox trùng với giao điểm của đồ thị (C2) và Ox Do đó (C3) là đồ thị của

y = f(x), (C1) là đồ thị của y = f’(x), (C2) là đồ thị của y = f’’(x)

Vậy hàm số nghịch biến trên và

2.4.HIỆU QUẢ CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT.

Trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Nguyễn Hoàng năm học

2016-2017 và 2016-2017-2018, tôi đã áp dụng quy trình trên trong việc hướng dẫn các em họcsinh lớp 12C1, 12C2 Tiến hành khảo sát kết quả ở 2 lớp:

+ Lớp 12C1: có sĩ số 37, học theo chương trình cơ bản, mặt bằng chung của lớp làtương đối yếu Hướng triển khai là giảm nhẹ việc chứng minh công thức tính U,chỉ cho học sinh áp dụng công thức đó cho thuần thục, ít đề cập đến đồng phânhình học

+ Lớp 12C2: có sĩ số 35, học theo chương trình cơ bản, mặt bằng chung là học tốt(tốt nhất khối) Hướng triển khai là chứng minh chi tiết công thức tính U, đề cậpsâu đến phần dồng phân hình học

Thời điểm khảo sát : Kết thúc chương I, thời gian khảo sát 45 phút

Đề dùng để khảo sát:

Kết quả được thể hiện trên bảng sau: 12C2 ( 37 học sinh); 12C1 ( 35 học sinh)

Lớp Điểm 0-4,5 Điểm5,0-7,5 Điểm 7,5-8,5 Điểm 9,0-10