SKKN rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp

Mặc dù đã có một số sángkiến kinh nghiệm viết về các phương pháp tính thể tích cũng như ứng dụng củathể tích khối chóp, tuy nhiên vấn đề phát triển một bài toán tính thể tích khốichóp cơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÍNH

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường THPT, môn Toánđóng vai trò rất quan trọng Bởi vì, Toán học đóng một vai trò rất to lớn trong sựphát triển của các ngành khoa học kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và

có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, côngnghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại Toán học còn là một công cụ để họctập và nghiên cứu các môn học khác

Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT, việc rèn tư duy sángtạo cho học sinh giúp cho học sinh nắm vững, mở rộng, đào sâu kiến thức, pháthuy tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập môn Toán và là cơ sở để hìnhthành phẩm chất trí tuệ cho học sinh

Trong môn Toán, chủ đề hình học không gian chứa đựng nhiều tiềm năng

to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bài toántính thể tích khối chóp đóng một vai trò rất quan trọng trong chương trình hìnhhọc 12 và luôn xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia Mặc dù vậy đây làphần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hìnhkhông gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó

và thường để mất điểm trong kì thi nói trên Đối với học sinh giỏi, các em cóthể làm tốt phần này Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy,chưa biết vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học và chưa có sự liện hệ giữacác bài tập, dạng toán nên thường tốn khá nhiều thời gian

Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận cácphần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề cótính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn Mặc dù đã có một số sángkiến kinh nghiệm viết về các phương pháp tính thể tích cũng như ứng dụng củathể tích khối chóp, tuy nhiên vấn đề phát triển một bài toán tính thể tích khốichóp cơ bản, đặc biệt là áp dụng vào việc tính thể tích của khối tứ diện mà việcxác định đường cao gặp khó khăn qua đó rèn tư duy sáng tạo cho học sinh thìvẫn chưa được nhiều người quan tâm khai thác

Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm

mang tên: “Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp” Nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn

mới về ứng dụng của bài toán tính thể tích đơn giản trong sách giáo khoa, từ bàitoán đó có thể phát triển thành một lớp các bài tập từ đơn giải đến phức tạp vàngược lại khi gặp một số bài toán phức tạp học sinh có thể “quy lạ về quen”

là bài toán tính thể tích khối chóp có nhiều cơ hội để rèn luyện phát triển trí tuệ,

tư duy sáng tạo cho học sinh Hơn nữa, bài toán tính thể tích khối chóp luôn xuấthiện trong các đề thi THPT Quốc gia với các mức độ khác nhau Khi học và làmbài tập về mảng kiến thức này học sinh thường gặp trở ngại đối với các bài toántính thể tích của khối chóp mà việc xác định đường cao và diện tích đáy cónhiều khó khăn Học sinh thường chỉ áp dụng các phương pháp được cung cấpmột cách máy móc, thiếu sáng tạo hoặc là chỉ học dạng nào biết dạng đó Khigiải xong một bài toán các em thường có thói quen là “xong nhiệm vụ”, sau đólại giải một bài toán khác rất khó nhọc mà không biết bài toán mình đang giảirất “gần” với bài toán đã giải trước đó, không biết cách giải của bài toán mìnhlàm được là cách giải chung cho một lớp các bài toán tương tự và cũng từ bàitoán đã giải, ta có thể đề xuất một loạt các bài toán mới có “họ hàng” với bàitoán ban đầu và khái quát hóa chúng , từ đó mở rộng, đào sâu kiến thức, phát

triển tư duy Trước thực trạng đó, tác giả đã nghiên cứu và viết đề tài: “Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp”.

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm bắt đầu từ bài toán đơn giản trong

SGK là bài toán tính thể tích khối tứ diện đều, phát triển lên bài toán tính thể

tích khối chóp đều, khối tứ diện thường khi biết độ dài ba cạnh và số đo của bagóc cùng xuất phát từ một đỉnh, và từ bài toán này kết hợp với việc sử dụng bàitoán tỉ số thể tích, phân chia và lắp ghép khối đa diện để phát triển thành một lớpcác bài toán tính thể tích khối chóp Cái mới của đề tài là giúp học sinh biết pháttriển bài toán tính thể tích đơn giản thành một lớp các bài toán tính thể tích mới

và ngược lại khi gặp một bài toán phù hợp, học sinh biết “quy lạ về quen” giúpbài toán trở nên dễ dàng Sau khi được học chuyên đề này học sinh tự tin hơntrước bài toán tính thể tích của khối chóp mà việc tính trực tiếp bằng công thứcgặp nhiều khó khăn

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh

có lực học khác nhau, và có thể sử dụng trong quá trình ôn tập phụ đạo cho họcsinh có lực học trung bình với các hướng phát triển đầu tiên, với các học sinh

ôn thi THPT Quốc gia có thể nghiên cứu và học tập theo các hướng phát triển 3.Với hướng nghiên cứu này, các thầy cô hoàn toàn có thể khai thác từ một số bàitoán cơ bản khác nhau để phát triển thành các dạng toán khác nhau để rèn tư duysáng tạo cho học sinh

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Để rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp ta cần nắm vững những nội dung sau

Hình chóp đều:

2.1.1 Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một

đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

- Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2.1.2 Hai hình chóp đều thường gặp

a) Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuS ABC. Khi đó:

ĐáyABClà tam giác đều

Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

Chiều cao: SO

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

 Lưu ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.b) Hình chóp tứ giác đều : Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD.

ĐáyABCDlà hình vuông

Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

Chiều cao: SO

Góc giữa các cạnh bên SA, SB, SC, SD và

mặt đáy (ABCD):

Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy

O

’

2.1.4 Các phương pháp thường dùng tính thể tích khối chóp:

Phương pháp 1: Tính thể tích khối chóp bằng cách sử dụng trực tiếp công thức.

- Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.

- Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.

Nhận xét: Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn

thận và chính xác.

Phương pháp 2: Tính thể tích bằng cách phân chia hoặc lắp ghép khối chóp

Sử dụng tính chất: Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện(H1) và (H2): V H V H1 V H2 hay V H1 V H  V H2

Phương pháp 3: Tính thể tích bằng tỉ số thể tích:

- Trong dạng này, ta thường so sánh thể tích khối cần tính với một khối chópkhác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích, thường sử dụng kết quả của bàitoán sau:

Bài toán: (Bài 4 Trang 25(SGK hình 12 CB))

Cho hình chóp S.ABC Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A B C', ', '

khác với S Chứng minh rằng: ' ' '

.

' ' '

Xét tam giác SAH, ta có:

' ' '

A H SA

AH SA

' ' ' ' ' ' ' '

1 ' '3

1 .3

- Học sinh thụ động, ngại tư duy trong giải toán.

- Khi làm bài tập tính thể tích khối đa diện học sinh thường lúng túng trong việcchọn lựa cách giải phù hợp Đối với những khối đa diện khó xác định chiều caohọc sinh thường gặp khó khăn trong việc lựa chọn cách giải

- Mỗi khi hoàn thiện lời giải một dạng toán, học sinh thường bằng lòng với kếtquả tìm được và chưa quan tâm với việc đào sâu suy nghĩ và khai thác phát triểnbài toán vừa giải được Do đó, khi gặp bài toán “lạ” học sinh chưa biết đưa vềbài toán “quen”

2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1 Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học Toán:

- Rèn các thao tác tư duy cơ bản

- Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải

- Khuyến khích học sinh tìm lời giải độc đáo và ngắn nhất

- Rèn khả năng phát triển bài toán, xây dựng bài toán mới từ bài toán gốc

- Luyện tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phươngpháp

Một trong những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho HS đó là GV cầnluyện tập cho HS biết vận dụng các thao tác tư duy (so sánh, phân tích, tổnghợp, trìu tượng hóa, khái quát hóa, ) một cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo và linhhoạt Biện pháp này giúp học sinh tìm hướng giải , hoặc dự đoán cách giải, phát

hiện vấn đề mới, tìm thấy sự liên hệ giữa các vấn đề với nhau, nhờ đó mà HS cóthể nghiên cứu sâu và mở rộng bài toán.

Biện pháp này yêu cầu HS biết vận dụng thao tác đặc biệt hóa trong quá

trình giải bài tập toán Tức là giải bài toán cho một số trường hợp đặc biệt, rồidùng phương pháp giải bài toán trong trường hợp đặc biệt này để giải cho các

trường hợp khác hoặc cho trường hợp tổng quát Biết vận dụng thao tác khái

quát hóa trong quá trình giải bài tập toán, xác định được cái chung và cái riêng

trong các bài toán Từ đó có thể hình thành bài toán tổng quát hoặc tìm raphương pháp giải toán tổng quát

Trong khuôn khổ bài viết này tôi không đi vào phân loại các dạng toántính thể tích mà xin chỉ đề cập đến vấn đề chủ yếu là phát triển bài toán tính thểtích quen thuộc thành một lớp các bài toán tính thể tích khối chóp

2.3.2 Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp:

Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, (a > 0).Tính theo a thể tích của tứ diện đó.

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trênmp(BCD): AH BCD

- Do ABCD là tứ diện đều nên H trùng vớitâm của tam giác đều BCD

- Vì ∆BCD đều cạnh a nên đường cao

3 2

HƯỚNG PHÁT TRIỂN 1:

TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP ĐỀU

Nhận xét: Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều đặc biệt có độ dài cạnh bên

và cạnh đáy bằng nhau Nên từ Bài toán 1, bằng cách giải tương tự ta có thể xây dựng và tính thể tích của khối chóp tam giác đều (có độ dài cạnh bên và cạnh đáy không bằng nhau) thông qua bài toán sau:

Bài toán 2: Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết:

1 Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b

2 Cạnh bên bằng b, các góc ở đỉnh S của các mặt bên đều bằng 

(ASB BSC CSA      )

3 Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  cho trước

4 Cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  cho trước

5 Cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  cho trước

6 Cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  cho trước (a 0,b 0,  180 ) 0

- Sử dụng tính chất của hình chóp tam giác đều S.ABC để xác định hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là tâm H của tam giác đều ABC,

từ đó xác định chiều cao SH của hình chóp.

- Từ giả thiết, tính SH và diện tích của tam giác đáy (tam giác đều ABC).

- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của khối chóp để tính thể tích của khối chóp đều

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O

+ Gọi M là trung điểm BC

+ O là trọng tâm của tam ABC

+ AM là đường cao trong  ABC

 Đường cao của hình chóp là SO ( SO  (ABC))

Bài toán 3: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết:

1 Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b

2 Cạnh bên bằng b, các góc ở đỉnh S của các mặt bên đều bằng 

ASB BSC CSD DSA   

3 Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  cho trước

4 Cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  cho trước

5 Cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  cho trước

6 Cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  cho trước

- Từ giả thiết, tính SH và diện tích của hình vuông ABCD.

- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của khối chóp để tính thể tích của khối

chóp đều S.ABCD:

.

1 3

S - S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên

đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O.

Suy ra SO  (ABCD), SA=SB=SC =SD =

3

a

Diện tích hình vuông ABCD:

2 ABCD

Ví dụ 3: Cho hình chóp đềuS ABCD. có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặtđáy bằng60 0 Tính thể tích của hình chópS ABCD.

- Đây là dạng bài tập rèn tư duy cơ bản, qua các bài tập này rèn cho học sinh

biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phương pháp tính thể tích của khối chóp đều.

- Trong bài toán 2 và bài toán 3 nếu cho a, b,  bằng các số đo cụ thể ta sẽ được một loạt các bài toán tính thể tích cơ bản.

HƯỚNG PHÁT TRIỂN 2:

TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC CÓ 3 CẠNH BÊN

BẰNG NHAU

Đặt vấn đề: Xét tứ diện đều ABCD trong Bài toán 1 có ba góc tam diện và

ba cạnh có chung đỉnh tương ứng luôn bằng nhau Khái quát hóa Bài toán 1

bằng cách thay đổi số đo ở đỉnh của một tam diện thành các góc có số đo khác

nhau, ta được khối chóp tam giác có ba cạnh bên bằng nhau Khi đó ta tính thể

tích khối chóp đó bằng cách nào? Có thể sử dụng trực tiếp công thức tính thểtích khối chóp?

Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) và ba góc:

 H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD

- Áp dụng định lý cosin vào các tam giác

ABC, ABD, ACD tính được độ dài 3 cạnh

BC, CD, BD Tính diện tích tam giác BCD và chiều cao AH

- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của

khối chóp để tính thể tích của khối chóp

- Nếu BCD là tam giác thường thì tính diện tích bằng công thức Hê rông.

- Nếu     thì tứ diện ABCD là hình chóp tam giác đều A.BCD,

- Đặc biệt, nếu     90o thì tam diện đỉnh A là tam diện vuông, nên cách đơn giản nhất để tính thể tích tứ diện ABCD là coi tứ diện là hình chóp B.ACD chẳng hạn, có cạnh bên vuông góc với đáy( cạnh bên BA là đường cao của hình chóp B.ACD) và đáy là tam giác vuông ACD.

 H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD

- Theo giả thiết ta có các ∆ABC, ∆ABD đềucạnh a nên BC = BD = a

- ∆ACD vuông cân tại A suy ra CDa 2

- Trong ∆BCD thỏa mãn: CD 2  2a 2 BC2 BD 2nên theo định lý Pitago đảosuy ra ∆BCD vuông cân tại B  tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là trung điểm

- Áp dụng định lý cosin trong ∆BAD có: BD 2  2a 2  2a2 cos120 0  3a2

- Trong ∆BCD thỏa mãn: BD 2 BC2 CD 2nên theo định lý Pitago đảo suy ra

KHÔNG BẰNG NHAU

Đặt vấn đề: Xét tứ diện ABCD trong Bài toán 4, nếu trên các tia AB, AC,

AD lần lượt lấy các điểm M, N, P (không trùng với A) sao cho AM = a, AN = b,

AP = c (a, b, c là các số thực dương cho trước) ta được tứ diện AMNP Khi đó thể tích tứ diện AMNP có thể tính bằng cách nào? Ta có thể tìm mối liên hệ giữa thể tích khối tứ diện AMNP với thể tích khối tứ diện ABCD hay không? Từ

đó ta có thể phát triển Bài toán 4 thành bài toán mới như sau:

Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD có AB =b, AC = c, AD = a ( a b c, , dương ) và

ba góc: BAC;BAD,CAD  Tính thể tích tứ diện ABCD.

Nhận xét: Nếu a, b, c không bằng nhau,   , , không phải các góc có số đo đặc biệt thì việc xác định chiều cao của hình chóp tam giác này sẽ gặp khó khăn Mặt khác theo bài toán 4 chúng ta đã biết tính thể tích khối chóp tam giác

có 3 cạnh bên bằng nhau và 3 góc ở đỉnh cho trước Nên bằng cách dựng thêm hình (lấy 3 điểm trên 3 tia AB, AC, AD sao cho 3 điểm đó kết hợp với điểm A tạo thành khối chóp có 3 cạnh bên bằng nhau mà có thể tính được thể tích (như bài toán 4), khi đó bằng cách sử dụng bài toán tỉ số thể tích đã nêu ở trên chúng

ta sẽ tính được thể tích khối chóp A.BCD Bằng cách này ta có thể đưa 1 bài toán phức tạp về bài toán đơn giản hơn.

Trên các đoạn AB, AC lần lượt lấy các điểm B’

và C’ sao cho AD = AB’ = AC’ =a

Khi đó, áp dụng Bài 4 Trang 25(SGK hình 12

BAC BAD CAD Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c

Phân tích: Nếu a = b = c thì tứ diện ABCD là hình chóp đều đỉnh A nên ta tính

được thể tích của nó Nếu a, b và c không đồng thời bằng nhau thì ta lấy C’ vàD’ trên các tia AC, AD sao cho AC’ = AD’ = a để được hình chóp đều Tiếptheo ta dùng công thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD

Lời giải :