SKKN rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 10 thông qua một lớp bài toán áp dụng các tính chất của hàm

Luật giáo dục điều 28 đã ghi rõ: “Phương pháp dạy học phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với từng đặc điểm của từng lớp học, môn học

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực của học sinh trongnhà trường THPT là mục tiêu đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay Luật giáo dục

điều 28 đã ghi rõ: “Phương pháp dạy học phổ thông phải phát huy tính tích cực,

tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với từng đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

Trong dạy học môn Toán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn đượchình thành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động nàyhọc sinh hoạt động tích cực để tìm tòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới Trongtác phẩm nổi tiếng “ Giải toán như thế nào”, G.Polya cho rằng: “Ví như dòng sôngnào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng cónguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta” Làgiáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từbài toán mới về những bài toán quen thuộc, bài toán “khó” trở về bài toán “dễ” làđiều rất cần thiết và thiết thực

Hơn nữa, kiến thức hàm số giữ một vị trí trung tâm trong chương trình toán ởtrường phổ thông, việc dạy và học toán đều xoay quanh nội dung kiến thức này

Do vậy việc phát triển tư duy hàm cho học sinh ở trường phổ thông là rất cần thiếtđặc biệt ngay từ lớp 10, nó sẽ là tiền đề cho các em học sinh phát triển tư duy tốthơn khi giải toán hàm số ở chương trình lớp 11, lớp 12

Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn

đề tài: “Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 10 thông qua một lớp bài toán áp dụng các tính chất của hàm số bậc hai’’ làm đề

tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2018– 2019 Rất mongnhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tàiđược hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ vềquen thông qua một lớp các bài toán sử dụng các tính chất của hàm số bậc hainhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh nhữngnăng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài toán ở chương trình học lớp 10

sử dụng tính chất của hàm số bậc hai để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các

năng lực Toán học của học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoaĐại số 10 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Đại số 10- Nâng cao và Cơ bản, tàiliệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển nănglực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớpthực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai tròquan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khảnăng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết

Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bài toán sử dụng tính chất củahàm số, học sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn

Khi vận dụng phương pháp phù hợp, học sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bấtngờ, đầy hứng thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học toán

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều

xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con

em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiệnkinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đếnkết quả học tập của các em

Trong chương trình toán lớp 10, Sử dụng tính chất hàm số bậc hai để giảiquyết các bài toán cực trị - bài toán chứa tham số…là một công cụ rất hiệu quả.Tuy nhiên nhiều giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm

vụ cho học sinh một vài bài bài tập cụ thể mà chưa khai thác kiến thức ở nhiềudạng toán khác nhau, chưa thể hiện rõ được vai trò quan trọng của hàm số trongchương trình Ngoài ra số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần này ởlớp 10 rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học

Kỹ năng giải toán còn chậm; Khả năng phát hiện vấn đề nảy sinh trên cơ sở

đã có, khả năng quy lạ về quen còn nhiều hạn chế Do đó học sinh gặp nhiều lúngtúng, sai lầm khi gặp các bài toán có sự thay đổi dạng

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống kiến thức cần dùng cho học sinh.

*) GTLN, GTNN của hàm số f x( )ax2 bx c a ( 0) trên tập D

*) Cho hàm số f x( )ax2 bx c (a 0)

+) Số nghiệm của phương trình ( )f x  phụ thuộc vào số giao điểm của đồmthị hàm số y f x( ) với đường thẳng y m

+) Bất phương trình ( )f x  có nghiệm x D m  khi max ( )D f x m

+) Bất phương trình ( )f x  có nghiệm x D m  khi min ( )D f x m

+) Bất phương trình ( )f x  nhận x D m   là nghiệm khi min ( )D f x m

+) Bất phương trình ( )f x  nhận x D m   là nghiệm khi max ( )D f x m

2.3.2 Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh phương pháp tư duy quy lạ

về quen thông qua một số dạng bài tập:

2.3.2.1 Dạng 1: Giải biện luận phương trình chứa tham số bằng phương pháp cô lập tham số và lập BBT của hàm số bậc 2

Lập BBT của hàm số y x 2  2x 3 trên 0;5 ta được kết quả: Đáp án C 

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:

Phương trình  1 có nghiệm khi phương trình  2 có nghiệm 2x 

- Học sinh chọn đáp án A vì không chú ý đến điều kiện tương đương, biến đổi hệquả mà vẫn cho là tương đương.

 

Lập luận: PT  1 có nghiệm khi PT 2 có nghiệm

- Học sinh chọn đáp án B vì không chú ý đến dấu của tham số m

- Học sinh lấy điều kiện t  , chọn đáp án B0

- Học sinh biết cách xét hàm số y x 2  4x  trên 5 0;5 để lấy điều kiệncủa t nhưng quên lấy căn mà điều kiện 1 t 10 , chọn đáp án C

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên không dương của tham số m để phương

Điều kiện t  hoặc 2 t  2.

m  

Lời bình: Ở bài toán này nếu không khéo léo thì học sinh sẽ nhân tung ra thành

phương trình bậc 4 đầy đủ, khi đó bài toán trở nên phức tạp Giáo viên cần định hướng giúp học sinh phát hiện vấn đề và đưa bài toán trở về dạng quen thuộc.

Đặt t x 2 4x Phương trình trở thành 2 t2 3t m 2 

?1 Điều kiện của t ?

Lập BBT của hàm số t x 24x  trên R , từ đó suy ra điều kiện 2 t  2

?2 Xác định điều kiện để phương trình  2 có nghiệm t  2

GV hướng dẫn, gợi ý: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì cần tìm ĐK của t

để mỗi t cho 2 giá trị phân biệt x

Lời giải:

Đặt t x 2 4x2 (t2) Phương trình trở thành t2 3t m 2 

Nhận thấy: +) Với t  thì cho ta một giá trị của 2 x  2

+) Với t   thì mỗi giá trị của 2 t cho ta 2 giá trị của x.

Để phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình  2 có 2 nghiệmphân biệt t   2

Dựa vào BBT của hàm số f t( ) t2 3t, ta có kết quả:

3 x 1m x 1 2 x  1 có nghiệm

Hướng dẫn:

ĐKXĐ:   x 1.

Chia 2 vế của phương trình cho x  và đặt 1 4

11

x t x

Tổng quát:

Phương trình ( )f x g m( ) có nghiệm x D khi min ( )D f x g m( ) max ( ) D f x

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho phương trình x2 4x 2m 3 0.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc

3;1

A 4 B 9 C 1 D 0

Bài 2: Cho phương trình x2 2x 4 x2 2x 3 m 5 0

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x   1;5.

m m

A m  24 B m  23 C 24 m 23 D 24 m23

Bài 5: Tìm m để phương trình 2 x2  2x 5 3x2 2x 3m  có1 0nghiệm

m 

D

83

- Ở dạng này, học sinh tiếp cận và khắc sâu nội dung kiến thức:

+) Bất phương trình ( )f x  có nghiệm x D m  khi max ( )D f x m

+) Bất phương trình ( )f x  có nghiệm x D m  khi min ( )D f x m

 Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình x2  2x 2m  có1 0nghiệm thỏa mãn bất phương trình x2  5x 0

A m  B 08   m 8 C m  D 016  m 16 Hướng dẫn: x2  2x 2m  1 0 x2  2x 1 2 1m  

Bất phương trình  1 có nghiệm x 0;5 thì max ( ) 20;5 f x  m

với2

f x x  x

Dựa vào BBT của hàm số f x( )x2  2x trên 1 0;5 , ta có: 2 16 m  m 8

Lỗi sai của học sinh khi chọn các đáp án:

- Học sinh chọn đáp án B vì nhầm với điều kiện có nghiệm của phươngtrình

.Dựa vào BBT của hàm số f t( ) t2 4t 4 trên 1; 10

, ta có:

2m 8 m 4

Ví dụ 3: Cho bất phương trình

2 4

Dựa vào BBT, để bpt (2) có nghiệm t 0;1thì

C Không có giá trị của m D m R 

Ở ví dụ này nhiều học sinh không nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đưa về dạng quen thuộc vì cho rằng hai biểu thức ở hai nhân tử không có gì liên quan và ràng buộc Giáo viên hướng dẫn gợi mở cho học sinh thấy được điểm mấu chốt của bài toán,

từ đó để các em thấy được sự xuất hiện của bài toán quen thuộc trong bài toán

Dựa vào BBT của hàm số f t( ) t2 8t trên  9; , ta có để bất phương trình

t   

  Bất phương trình (*) trở thành (t t 2) 2 m1

Bài toán trở thành : Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  2019;2019 để bất

phương trình f t( ) t2 2t 2m có nghiệm 1

9

;04

Bài 1: Cho bất phương trình: x2  2x m  5 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên

dương của m để bất phương trình có nghiệm x 0;5

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm.

A m B m  C 1 m  D Không có giá trị của m 3

Bài 5: Cho bất phương trình: x2 4x2 x2 4x5m 1 

B m  C Không có giá trị của m D m R2  

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình x2  4 x2  1 2m 3 0

có nghiệm x 0;3.

A m  1 B m 1.

C

12

m 

D

1.2

m 

2.3.2.3 Dạng 3: Bất phương trình chứa tham số nhận x D  là nghiệm.

- Ở dạng này, học sinh tiếp cận và khắc sâu nội dung kiến thức:

+) Bất phương trình ( )f x  nhận x D m   là nghiệm khi min ( )D f x m

+) Bất phương trình ( )f x  nhận x D m   là nghiệm khi max ( )D f x m

Lỗi sai của học sinh khi chọn đáp án sai:

- Học sinh chọn đáp án B vì nhầm với điều kiện có nghiệm của phươngtrình

- Học sinh chọn đáp án C vì nhầm với điều kiện để bất phương trình có nghiệm

- Học sinh chọn đáp án D vì nhớ nhầm điều kiện

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  2019;2019 để bất phương trình

Dựa vào BBT của hàm số y t 2 4t trên 1 1;6

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình nhận   x  8;1 là nghiệm.

A m  4 B m 3 2 17 C m 1518 D m 3 2 17 Hướng dẫn:

Dựa vào BBT của hàm số f t( ) t2 2t trên 2 1;1, ta có: m  1

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên m  2019;2019 để bất phương trình

   

 là nghiệm thì :9

90;

m 

B

12

D

112

m 

C.

83

m 

D.

83

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình nhận   là nghiệm.x 1

m  

C m D m  3Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình: x3 x26x m nhận

x R

  là nghiệm

A

374

m 

B

374

D

374

m 

Lời bình:

Ba dạng toán trên, ở ví dụ 1 là bài toán cơ bản, thông qua ví dụ 1 để học

sinh tạo nên những thao tác cần thiết cho giải các bài toán khác Khi học sinh đã hình thành các thao tác giải toán cơ bản thì GV cần nâng dần mức độ yêu cầu của dạng toán Đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ, tìm tòi vận dụng kiến thức, kỹ năng thao tác giải bài tập cơ bản để giải các bài tập ở mức độ cao hơn , đó là các bài phân hoá với sự đa dạng phức tạp.

Quá trình làm bài tập để lựa chọn đáp án của bài toán còn nhiều học sinh mắc sai lầm trong lời giải, do đó GV cần phân tích chỉ ra những lỗi sai cơ bản cho học sinh, từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh.

2.3.2.4 Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

4

P  B minP 1 C minP 3

D

3min

a b c

a b c

Nhận xét: Khi thực hành “ dồn biến” ta phải chú ý đến điều kiện ràng buộc

( điều kiện của bài toán) và khéo léo đánh giá điều kiện của biến mới.

Một số đánh giá cơ bản: Với , x y R ta có: x2 y2 2xy ;

Vì

22

337min

6669min

3318min

50

P P

Việc rèn luyện giải toán có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn luyện khả năng tìm lời giải của bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện giải toán Do vậy, khi dạy học sinh giải toán, giáo viên ngoài việc cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư duy tìm

ra con đường hợp lý để giải toán.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó,

học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần xem xét đến mối liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài toán.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho ,x y là các số thực thỏa mãn x2  y2  x y Tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của biểu thức P x 3  y3 x y xy2  2   x y

Đáp số: max P  đạt được khi 26 t  hay x y  và 2 xy 1 x y   1

minP  khi 00 t  hay x y   0

Bài 2: Cho các số ,x y thoả mãn: x2 y2  1 xy

Bài 4: Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn 2(a2 b2)ab(a b ab )( 2)

2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm nghiệm theo các bước sau:

Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực

nghiệm trước khi tác động

Bước 2: Thực hiện việc tác động đối với lớp đối chứng và lớp thực nghiệm Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm

sau khi tác động

Cụ thể:

a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra học kì I môn Toán (90 phút) do

tổ chuyên môn ra đề, được tổ chức kiểm tra tập trung cho toàn khối, tổ chuyênmôn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:

Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động

Bảng 2: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra trước khi tác động

Nội dung so sánh Lớp đối chứng

10B35

Lớp thực nghiệm 10D35

Như thông tin trong các Bảng 1 và Bảng 2 đã chứng minh rằng, sự chênh lệchđiểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước tác động là khôngđáng kể, hai lớp được coi là tương đương

b) Sau tác động: Tôi ra đề kiểm tra theo chuyên đề ôn tập (Phụ lục 2): Các bài

tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề thi khảo sát kiến thức thiTHPT Quốc Gia lớp 10 của một số trường THPT Kết quả bài khảo sát kiến thức

về chuyên đề “ Phương trình – Bất phương trình chứa tham số” được thống kế nhưsau:

Bảng 3: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra sau khi tác động

Bảng 4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra sau khi tác động

Nội dung so sánh Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm

2.4.2 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chấtlượng giảng dạy môn Toán nói chung cũng như phân môn Đại số 10 của bản thân,góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhàtrường, đặc biệt là đã rèn luyện cho học sinh lớp 10 phương pháp tư duy quy lạ vềquen, tư duy logic, kỹ năng tính toán