SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng hàm số hợp vào giải các bài toán về hàm số

Trong các kỳ thi THPT Quốc gia khai thác các bài toán về tính đơn điệu, cực trị ở chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” hầu nhưkhông thể thiếu, nhưng đối với học sinh

2.3.4 Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng 17

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Dạy Toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem giải toán là phương tiện chủ yếu của hoạt động toán học Các bàitoán là phương tiện hiệu quả không gì thay thế được trong việc giúp học sinhnắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giảitoán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán Do đó tổchức tốt việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đến chất lượng dạy học toán

Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông có lúc, cóchỗ còn chưa được như mong muốn, biểu hiện qua năng lực giải Toán của họcsinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm Một trong những nguyênnhân quan trọng đó là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức tới việc pháthiện sai lầm và uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho học sinh ngay

trong các giờ học Toán Chính vì vậy mà ở học sinh nhiều khi sai lầm nối tiếp sai lầm.

Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trongquá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứutìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợpvới kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ Ý thức được điều đó,tôi luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mớiphương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sángtạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiếnthức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

Trong các kỳ thi THPT Quốc gia khai thác các bài toán về tính đơn điệu,

cực trị ở chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” hầu nhưkhông thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT việc khai thác theo hướng trắcnghiệm là vấn đề rộng và khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,tính chất, khả năng phát hiện nhanh kiến thức và một số kỹ năng khác Trongthực tế nhiều học sinh còn nặng nề, máy móc bước giải, công phu nặng tính hànlâm theo hướng tự luận trước kia Vì thế trong quá trình giải quyết vấn đề họcsinh thường mắc phải những sai lầm đẫn đến chọn kết quả sai Qua thực tế giảngdạy nhiều năm ở trường THPT và nhiều năm nghiên cứu những sai lầm của họcsinh trên nhiều chuyên đề Toán học khác nhau nhất là trong giai đoạn ngành

Giáo dục đang trên đường “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông”

và sự đổi mới thi và đánh giá như kỳ thi THPT Quốc gia hiện nay tôi nhận thấy

rõ những yếu điểm này của học sinh Vì vậy, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiếnkinh nghiệm với đề tài: “Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số và hướng khắc phục”.

khai thác ở mức độ sâu, rộng có những câu ở mức độ vận dụng cao Vì vậy đềtài “Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm

số và hướng khắc phục” là sự cần thiết để ôn tập cho học sinh.

Mục đích: Xây dựng các dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có)

và rèn luyện kĩ năng phát hiện sai lầm, giải đúng, giải nhanh các bài toán trongcác đề thi

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

+) Học sinh lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 trường THPT Yên Định 1.

+) Học sinh lớp 12A2 năm học 2018-2019 của trường THPT Yên Định 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là:

Phương pháp nghiên cứu xây dựng bám vào cơ sở lí thuyết: Dựa trên cơ

sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa các nămtrước đây; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phântích, nhận dạng, phát hiện nhanh và áp dụng lí thuyết vào bài toán cụ thể

Phương pháp xác định, phân tích một số sai lầm rồi đưa hướng khắc phục theo từng nhóm nội dung kiến thức: Trong quá trình nghiên cứu sáng kiến

phân định rõ theo nhóm nội dung kiến thức Dựa trên từng ví dụ cụ thể để chỉ racác sai lầm thường gặp, phân tích sai lầm, đưa ra hướng khắc phục sai lầm đó

Phương pháp thực hành: Ra bài tập tự luyện cho từng nhóm nội dung

kiến thức; Soạn và thiết kế đề thi trắc nghiệm theo hướng rèn luyện, phát triểnnăng lực học sinh tại lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 và lớp12A2 năm học2018-2019

1.5 Nội dung điểm mới của sáng kiến.

Chỉ ra một số sai lầm liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số,phân tích nguyên nhân sai lầm, đưa ra hướng khắc phục các sai lầm đó Đặc biệttrong một số dạng toán có khái quát hóa vấn đề, nêu hướng sử lý nhanh phù hợpvới kỳ thi theo hướng trắc nghiệm của kỳ thi THPTQG hiện nay mà hầu như nộidung này các tài liệu đề cập một cách có hệ thống còn hạn chế

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận

Dựa vào sự khai thác các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia các năm

Dựa vào các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu, cực trị của hàm số trong chương

“Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” sách giáo khoa Đại số vàgiải tích lớp 12 nâng cao

2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1) Định nghĩa Giả sử K là một khoảng và f là hàm số xác định trên K.

+) Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu

2) Định lý Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f x '( ) 0 với mọi x thuộc I thì hàm số đồng biến trên I

b) Nếu f x '( ) 0 với mọi x thuộc I thì hàm số nghịch biến trên I

c) Nếu f x '( ) 0 với mọi x thuộc I thì hàm số không đổi trên I

1) Định nghĩa Cho hàm số f xác định trên tập D và x0D

+) x được gọi là một điểm cực đại của hàm số 0 f nếu tồn tại khoảng a b sao; 

+) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

+) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

* Chú ý. Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm

số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trên (a; b) chứa x0 và

 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm sốf x( )

* Chú ý. Mệnh đề đảo của mệnh đề trên chưa hẳn đã đúng

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với việc khai thác những bài toán về

tính đơn điệu, cực trị học sinh mắc nhiều sai lầm do không nắm vững kiến thức

cơ bản, bản chất kiến thức toán không được vận dụng nên máy móc, lúng túngtrong chọn đáp án

Khi gặp bài toán ở mức độ đơn thuần thì học sinh có thể giải quyết được.Khi bài toán mức độ khai thác sâu hơn, rông hơn thì học sinh lúng túng vàkhông có định hướng chọn đáp án, giải bài toán một cách chủ động

Từ thực tế đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa các năm, trong quátrình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong việcchọn, nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải Vì vậy tôi xây dựng đề tàinày để ôn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia

2.3 Giải pháp cụ thể.

Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra nhữngsai lầm, bình luận về những nguyên nhân sai lầm thường xẩy ra cũng như đưa rahướng khắc phục cho một số sai lầm đó:

2.3.1 Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1 Xét tính đơn điệu của hàm số y = 3 1

1

x x

+ Vậy hàm số nghịch biến trên  ; 1  1; 

Nguyên nhân sai lầm:

- Máy móc không nắm rõ khái niệm dẫn tới bước kết luận sai.

+∞

3

_ _

- Chẳng hạn nếu lấy x1 = - 2D và x2 = 2 D thì x1 < x2 tuy nhiên f(- 2) = 5

3 >f(2) = 7



 , x D+) Bảng biến thiên:

+ Vậy hàm số nghịch biến trên  ; 1 và 1;   

Ví dụ 2 Xét tính đơn điêu của hàm số y = x 4



+) y’ = 0  x2 4 0  x 2

Xét dấu y’ suy ra kết quả: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2và

2;  , nghịch biến trên khoảng   2; 2

Nguyên nhân sai lầm:

- Lời giải trên không chỉ ra tập xác định của hàm số dẫn tới bước kết luận sai

- Lẽ ra phải có tập xác định của hàm số là  \ 0 

Lời giải đúng:

+) Tập xác định của hàm số là  \ 0 

+) Xét dấu y’ suy ra kết quả: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2và

2;  , nghịch biến trên mỗi khoảng   2; 0 và 0; 2 

Ví dụ 3 Xét tính đơn điệu của hàm số y = 4

+∞

3

_ _

Nguyên nhân sai lầm:

- Máy móc vận dụng định lý điều kiện đủ của tính đơn điệu không đúng dẫn tới

sai bước kết luận

Ví dụ 4 Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x – 1 + 4 x2

Lời giải sai

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm trong việc xác định sai điểm tới hạn dẫn tới sai bảng biến thiên

Chẳng hạn  2 không phải là điểm tới hạn của hàm số

00

Nguyên nhân sai lầm:

- Điều kiện f’(x) > 0,  x (a; b) là điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên (a; b),chứ không phải điều kiện cần Dẫn tới lập điều kiện bài toán sai

 - m + 3 0  m 3

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm khi xác định: Hàm số đồng biến trên  ; 1

x m



+) TH1 Khi y’ = 0  m = 3 thì y = 1, với x 3 không đồng biến trên  ; 1.+) TH2 y’ > 0, x   ; 1

3 0

; 1

m m

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do không tìm điều kiện của t trên cơ sở điều kiện của x;

- Sai lầm do không chú ý tới điều kiện có nghĩa của hàm số f(t)

Nếu ad bc  0 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Nếu ad bc  0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2.3.2 Các bài toán về cực trị của hàm số

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do không nắm vững định lý Đạo hàm có nghiệm x = 0 Tuy nhiên đạohàm không đổi dấu khi qua điểm x = 0

y 

1

 

+) Vậy hàm số không có cực trị

Ví dụ 9 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = 2x  4? Lời giải sai: +) Tập xác định D  +) Ta có ' 2, 2 ( ) 2, 2 khi x f x khi x       +) Hàm số không có đạo hàm tại x = 2 +) Vậy hàm số không có cực trị Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm do hiểu sai chú ý sau định lý điều kiện cần: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm - Với x = 2 thì đạo hàm không xác định Từ đó vội vàng khẳng định hàm số không có cực trị tại x = 2 Lời giải đúng: +) Tập xác định D  +) Ta có ' 2, 2 ( ) 2, 2 khi x f x khi x       +) Bảng biến thiên x   2 

y'  +

y  

1

+) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 Ví dụ 10 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = x  63 x2 Lời giải sai: +) Tập xác định D  +) Ta có f x'( ) 1 34 x   Cho f x'( ) 0 1 34 0 x      x 64

x   64 

y'  0 +

y  

CT

+) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 64

Nguyên nhân sai lầm:

Sai lầm do: Hiểu sai quy tắc 1 Không để ý tới điều kiện xác định của đạo hàm Dẩn tới chỉ sai điểm tới hạn (Xét dấu sai)

Lời giải đúng:

+) Tập xác định D 

+) Ta có f x'( ) 1 34

x

  , (x 0)

Cho f x'( ) 0 1 34 0

x

+) Bảng biến thiên

x   2 64 

y' +  0 +

y 0 

  - 32

+) Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 64 Ví dụ 11 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = x4 + mx đạt cực tiểu tại x = 0? Lời giải sai: +) Tập xác định D  +) Ta có f’(x) = 4x3 + m và f”(x) = 12x2 +) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 khi và chỉ khi ' '' (0) 0 4.0 0 , 12.0 0 (0) 0 f m vo nghiem f             +) Vậy hàm số trên không có cực tiểu tại x = 0 Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ khi     0 0 ' 0 " 0 f x f x      là đúng” - Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu … thì” Tức là mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được Lời giải đúng: +) Ta có f’(x) = 4mx3 +) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0  f'(0) 0  m = 0 +) Với m = 0 ta có bảng biến thiên sau:

x   0 

y'  0 +

y

0

+) Vậy với m = 0 thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Ví dụ 12 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = mx4 đạt cực đại tại x = 0? Lời giải sai: +) Ta có f’(x) = 4mx3 và f”(x) = 12mx2 +) Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ' '' (0) 0 4 0 0 , 12 0 0 (0) 0 f m vo nghiem m f            +) Vậy hàm số không đạt cực đại tại x = 0 Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực đại tại x = x0 khi và chỉ khi     0 0 ' 0 " 0 f x f x      là đúng” - Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu … thì” Tức là mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được Chẳng hạn với m = - 1 thì hàm số là y = f(x) = - x4 Hàm số này đạt cực đại tại x = 0 Lời giải đúng: +) Ta có f’(x) = 4mx3 +) Nếu m = 0 thì f’(x) = 0 Khi đó hàm đã cho là hàm hằng nên không có cực trị +) Nếu m > 0 thì f’(x) = 4mx3 = 0  x = 0 Ta có bảng biến thiên:

x   0 

y' - 0 +

y  

0

+) Nếu m < 0 thì f ’ (x) = 4mx 3 = 0  x = 0 Ta có bảng biến thiên: x   0 

y' + 0 

y 0

    +) Vậy m < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0

Ví dụ 13 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = f(x) = x4 + mx3 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0?

Lời giải sai:

+) Tập xác định D 

+) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 và f”(x) = 12x2 + 6mx

+) Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:

,

vo nghiem



+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ khi  

 

0

0

" 0

f x

f x









- Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu … thì” Tức là mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được Chẳng hạn với m = 0 thì hàm số là y = f(x) = x4 + 1 Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Lời giải đúng:

+) Tập xác định D 

+) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 Cho f’(x) = 0 2

0

4

x

x







 



Với m = 0 ta có bảng biến thiên

x   0 

y' - 0 +

y  

1

Với m < 0 thì ta có bảng biến thên

x   0 3

4 m  

y' - 0 - 0 +

y  

1

CT Với m > 0 thì ta có bảng biến thiên

x   3

4 m  0 

y' - 0 + 0 +

y  

1

CT +) Vậy với m = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Ví dụ 14 Tìm các giá trị của m để hàm số yx4  (5 2 )  m x2   1 m2 có 1 cực trị

Lời giải sai:

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do chưa hiểu rõ bản chất của quy tắc 1 Đó là hàm số có cực trị tại x0

khi y’ = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua x0

- Từ quy tắc 1 trên suy ra để thỏa mãn yêu cầu bài toán khi phương trình 1 phải

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là: ab  0

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: ab  0

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực đại và 1 cực tiểu là: 0

0

a b

0

a b

Phương pháp: Chỉ ra:y' 3 ax22bx c  có 2 nghiệm phân biệt 0  y'  0

+ Điều kiện để hàm số y ax3bx2cx d ,(a  có cực trị thỏa mãn tính 0)chất K

Phương pháp: Trước hết, chỉ ra: y' 3 ax22bx c  có 2 nghiệm phân 0biệt  y'  0

Sau đó, giải điều kiện K, rồi đối chiếu với y'  0 và kết luận

Bài 3 Xét tính đơn điệu của hàm số y = 25 x2

Bài 4 Tìm các giá trị của m để hàm số y = x3  mx2x  1 đồng biến trên 

 đồng biến trên từng khoảng xác định

Bài 6 Tìm m để hàm số y x33x23mx 1 nghịch biến trên R

Bài 7 Cho hàm số y x3  mx2  (4m 9)x 5 với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (    ; ) ?

Bài 8. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m Tìm m để hàm số đạt cựctiểu tại x = 2

Bài 9 Cho hàm số f x( )x3 3x2mx 1.Gọi x x là hai điểm cực trị của 1; 2hàm số Tìm m để 2 2

Bài 13 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của

hàm sốy x 42mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông 1cân

Bài 14 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

4 2 2

y x  mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

Bài 15 Cho hàm số y x4  (m 2)x2  5 với m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có 1 điểm cực trị