SKKN các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f x ' Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng Chức vụ: Tổ trưở

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ

CỦA HÀM SỐ f x ' ( )

Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị công tác: Trường THPT Thọ Xuân 5 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

1 Mở đầu Trang 1

1.5 Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm Trang 1

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Trang 22.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

Trong môn giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết nhiều bai toán.Giữa hàm số f x và đạo hàm của   y= f x¢( ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ.Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm của một hàm số ngoàiviệc biểu diễn dưới dạng các công thức thì nó còn được biểu diễn dưới dạng đồthị Việc đưa vào đồ thị của f x'( ) để tìm ra tính chất của hàm số f x( ) cho tanhững bài toán hay.

Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị củahàm số f x¢( ) và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị vàmột số tính chất khác của hàm số f x( ) Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Các bài

toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số f x¢( )”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Giúp học sinh học tốt hơn bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm

- Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 và đồng nghiệp

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5

- Các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Tìm hiểu những khó khăn khi học sinh khi làm các dạng bài tập liên quan đến

đồ thị của đạo hàm

- Trao đổi với đồng nghiệp

- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan

- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 5

1.5 Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm.

Đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tíchlớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tínhchất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị Để học sinhhiểu về các dạng bài toán đồ thị của f x¢( ) Tôi đã phân dạng và các bài tậpminh họa, sau đó là bài toán thực tế trong các đề thi thử của các trường trongnăm học 2017-2018

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trìnhtoán

giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn

các tính chất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị Nhìn

chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh(kể cả học sinh khá giỏi)thường

gặp những khó khăn, sai lầm sau:

- Các bài toán đều liên quan đến cho đồ thị cùa hàm số f x¢( ) từ đồ thị học sinh

tìm ra các tính chất của hàm số f x( ) hoặc các điểm cực trị, so sánh các giá trị

hàm số, hay tìm số nghiệm phương trình

- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”

đểgiúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng

- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu

- Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y= f x¢( ) cắt trục

Ox tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị

( )

y= f x¢ tiếp xúc với trục Ox Ta chọn đáp án B.

Nhận xét:

a) Xét một thực a dương Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm ố cực trị của hàm

số y= f x( +a) hoặc y= f x a( - ) trên k thì đáp án vẫn không thay đổi

Chú ý số cực trị của các hàm số y= f x( ),y= f x( +a) và y= f x a( - ) là

bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị x0 khác nhau

b) Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:

Hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K và có đồ thị như hình vẽ Biết

1

Giải:

Ta có g x¢( )= f x¢( + 1) có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y= f x'( )

theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị Khi đó đồ thị hàm số

( ) ( 1)

g x¢ = f x¢ + vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm Ta chọn đáp án B

Bài 3:Cho hàm số f x  có đồ thị f x  của nó trên khoảng K như hình vẽ Khi

đó trên K, hàm số yf x  2018 có bao nhiêu điểm cực trị?

hàm số f x¢( ) theo phương Oy lên trên 4 đơn vị

Khi đó đồ thị hàm số g x¢( ) cắt trục hoành tại 1 điểm, ta

Bài 5:Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ Hàm số y= f x'( ) có đồ thị như

Bài 6:Cho hàm số y= f x( ) Biết f x( ) có đạo hàm f x¢( ) và hàm số y= f x¢( )

có đồ thị như hình vẽ Đặt g x( ) = f x( + 1) Kết luận nào sau đây đúng?

A Hàm số g x( ) có hai điểm cực trị

B Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng ( )1;3

C Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (2;4)

D Hàm số g x( )có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

1

x 3

x 2

x 1

Ta thấy trên khoảng (2;4) đồ thị hàm số g x¢( )= f x¢( + 1) nằm bên dưới trục

hoành nên hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (2;4), ta chọn đáp án C

Bài7:Cho hàm số y= f x( ) Biết f x( ) có đạo hàm f x¢( )

tiến đồ thị hàm số y= f x¢( )theo phương trục hoành

sang phải 1 đơn vị

f '(x) g'(x)

Đồ thị hàm số g x¢( )= f x¢( - 1) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ 2; 4; 6

x= x= x= và giá trị hàm số g x¢( ) đổi dấu từ dương sang âm khi quađiểm

Bài 1:Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của

hàm số yf x  được cho như hình vẽ bên Biết rằng

Bài 2: Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của

hàm số yf x  được cho như hình vẽ bên Biết rằng

Bài 5: Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục

trên ¡ , có đồ thị của hàm số y= f x'( ) như hình

vẽ sau Đặt g x( )= f x( )- x Mệnh đề nào sau đây

đúng ?

Dạng 4: Một số bài toán tìm cực trị liên quan đồ thị hàm số y= f x¢( )

Bài 1:Cho hàm số yf x  Hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như hình dưới

2019

1 2019

Bài 2:Cho hàm số f x  có đạo hàm f x ( ) (  x 1) 2x2  4x

.Có bao nhiêu giá trịnguyên dương của tham số m để hàm số g x( ) f 2x2  12x m  có đúng 5 điểmcực trị ?

2 2

3 3

Để g x  có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình    1 ; 2 đều có hai nghiệm phân biệt khác 3.

Do đó mỗi đường thẳng y 4 m vàym phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3 Nhận xét: đường thẳng y 4 m luôn nằm trên đường thẳng ym

Ta có:  18  m  m 18 Vậy có 17 giá trị m nguyên dương

t t

f t t

t t

3 0; 2 2

x x

là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số y g x  

Vậy hàm số y g x   có 7điểm cực trị trên khoảng 0;2

Hỏi hàm số g x  f x  4 có bao nhiêu điểm cực trị?

5 7 3 1

x .

Tại x 4 thì g x  không tồn tại.

Dễ thấy đạo hàm đổi dấu khi x đi qua các điểm x 1, x 3,x 4, x 5, x 7.

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

vào BBT) Từ đồ thị hàm số yf x  và f  2 0, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số g x   f x  có 3 cực trị.

Chọn A

Bài 7: Cho hàm số yf x xác định trên có f  3 8 ;  

9 4 2

;  

1 2 2

f 

Biết rằng

hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số

   2

y f x  x

có bao nhiêu điểm cực trị?

2 3

x x x x

Suy ra h x   0 có đúng hai nghiệm phân biệt x   1  3; 1 và x 2 3;4

Suy ra g x h x  có đúng 5 điểm cực trị

Chọn D

Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y= f x¢( ).

Bài 1:Cho hàm số yf x( ) có đồ thị yf x  được cho như hình vẽ Hàm số

 3



1

 2

 3



1 2 3 4 5

x

6

y

A 0;2 B 1;3 C 3; 2  D 2;3.

Giải:

Đặt t   3 x, trở thành    

11 7 2

 3



1

 2

 3



1 2 3 4 5

3 2

t t

có đồ thị (C) Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị

hàm số y= f x'( ) cho bởi hình vẽ bên Tính f( )3 - f( )1 ?

Đồ thị hàm số y= f x'( ) đi qua 2 điểm ( ) (1;5 , 0;2) ta tìm được: a=1;c= 2

Suy ra: f x'( )= 3x2 + Þ 2 f x( )=x3 + 2x C+ , đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ

độ nên C= Þ 0 f x( )=x3 + 2xÞ f( )3 - f( )2 = 21. Ta chọn đáp án D.

x

y

1 5

1

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu

“Các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số f x¢( ) ” đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả quan Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số f x¢( ) Thuận lợi cho việctăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và dạy học Từ đó các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đề này Trong quá trình giảng dạy, tôi tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 trong đó sử dụng các dạng bài tập này để hướng dẫn đối với lớp 12A1 Kết quả kiểm tra thử như sau:

Lớp Tổng số Điểm 8 trở lên Điểm 5 trở lên và < 8 Điểm dưới 5

3 Kết luận, kiến nghị.

3.1 Kết luận

Trên đây tôi đã trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình trong việc tìmcác tính chất hoặc so sánh hay tìm số nghiệm phương trình từ đồ thị của hàm số( )

f x¢ Với các dạng toán phân các loại khác nhau để học sinh dễ hiểu bài và cácbài tập cập nhật trong các đề thi thử THPT QG của các trường trong cả nước

3.2 Kiến nghị

Trên đây là sáng kiến tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 12 trườngTHPT Thọ Xuân 5 trong năm học vừa qua Rất mong vấn đề này được xem xét,

mở rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm

tự tin và hứng thú khi học môn Toán./

Tôi xin cam đoan SKKN này của Tôi không sao chép của người khác, của

chính mình những năm trước

Người viết

Lê Ngọc Hùng