SKKN rèn luyện tư duy tổng quát cho học sinh khá, giỏi lớp 7 thông qua một số bài toán đại số

Chính vì vậy trong quá trình dạy học mà đặc biệt là cho đối tượng học sinhkhá, giỏi tôi đã cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng phương pháp giải chocác dạng bài, đồng thời khai thác

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH TRƯỜNG THCS LÊ ĐÌNH KIÊN

********************************

Sáng kiến kinh nghiệm:

HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 7 THÔNG QUA

MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ”

Người thực hiện: Trịnh Văn Kiện.

Đơn vị: Trường thcs Lê Đình Kiên, huyện Yên Định, tỉnh Thanh Hóa SKKN thuộc môn: Toán

THÁNG 4 NĂM 2019

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN

4445-1920

5 DANH SÁCH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC

XẾP LOẠI

24

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong việc nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông, việcđổi mới phương pháp dạy học là vô cùng quan trọng Sự phát triển của xã hộiđòi hỏi ở người thầy ngày càng cao hơn, chất lượng của dạy và học phải cónhiều tiến bộ hơn Đặc biệt đối với môn toán là môn học cơ bản, rất sáng tạo vàhấp dẫn đòi hỏi học sinh phải rất chủ động và tích cực trong việc tìm tòi cácphần kiến thức mới dưới sự định hướng và tổ chức dạy học của các thầy cô Chính vì vậy trong quá trình dạy học mà đặc biệt là cho đối tượng học sinhkhá, giỏi tôi đã cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng phương pháp giải chocác dạng bài, đồng thời khai thác mở rộng bài tập trên nhiều hướng khác nhaugiúp các em phát triển tư duy sáng tạo, tu duy tổng quát, có cách nhìn đa chiều

về một bài toán Các em có thể tìm thấy được mối liên hệ giữa những kiến thức

mà mình có với những bài tập có vẻ xa lạ mà các em sẽ gặp

Trong một số mảng kiến thức của bộ môn toán gây cho học sinh không ítkhó khăn khi tiếp cận về lí thuyết cũng như vận dụng để giải bài tập, đặc biệt làcác bài tập được cho ở dạng tổng quát, đây là mảng kiến thức giúp hình thành vàphát triển tư duy tổng quát, tư duy sáng tạo cho học sinh Trong kì thi tuyển sinhvào lớp 10 cũng như kì thi học sinh giỏi cấp huyện các lớp 6, 7, 8, 9, cấp tỉnh vàđặc biệt là thi vào lớp 10 các trường chuyên học sinh rất hay gặp các bài tậpdạng này Đây là loại bài tập khá khó đối với học sinh, hầu như các em đều mấtrất nhiều thời gian để làm loại bài tập này và thậm chí là không giải được Vì thếtôi đã nghiên cứu chọn lọc và đưa ra một số bài tập ví dụ, các bài tập phát triển

và các bài tập áp dụng có tính tiêu biểu, giúp học sinh có định hướng và dễ tiếpcận với dạng toán này Việc làm này được tiến hành một cách bài bản và thôngsuốt từ lớp 6 cho đến lớp 9 với nhiều loại bài tập khác nhau cả đại số và hìnhhọc, số học trong việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi đã giúp tôi có nhiềuthành công trong nhiều khóa học khác nhau khi có nhiều học sinh đạt giải cấphuyện, cấp tỉnh Nhiều học sinh đậu vào trường chuyên Lam sơn và trở thànhhọc sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

Trong quá trình dạy học trên cơ sở các nội dung lí thuyết đã học và cácbài tập cụ thể giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng được các ứng dụngcủa lí thuyết vào các dạng bài tập khác nhau có sử dụng phần lí thuyết đã họcđồng thời hướng dẫn học sinh nhìn ra bài toán tổng quát và các bài tập có thểkhai thác từ bài tập đó

Trong chương trình chính khóa thì hầu như sách giáo khoa, sách bài tậpkhông đề cập đến hoặc đưa rất hạn chế các dạng bài tập có tính tổng quát vì đây

là dạng bài tập cũng rất khó nên gây cho học sinh không ít khó khăn khi tiếpcận Nhưng loại bài tập này lại giúp phát triển rất tốt về tư duy, khả năng tổngquát hóa, trừu tượng cho học sinh khá giỏi, các em sẽ có cách học sâu hơn, cáchnhìn rộng hơn và bao quát hơn

Trong đề tài này tôi đã nghiên cứu, tổng hợp và chọn ra một số bài tậptiêu biểu để làm ví dụ, đưa ra những gợi ý cách giải và đưa ra các bài tập pháttriển đi kèm với các ví dụ cho từng bài để học sinh rễ hiểu, có thể làm được và

có định hướng cho việc giải cũng như cách sáng tạo ra một số bài tập thông qua

đó có định hướng chung cho các loại bài tập khác

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

1 Đối với học sinh

Đây là phần kiến thức khó tiếp cận với đa số học sinh khá giỏi vì thế các

em thấy ngại học khi các thầy cô đề cập tới lí thuyết cũng như những bài tập loạinày, hầu hết học sinh đều thấy khó khăn và thậm chí là không giải được các bàitập này trong các đề thi Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tàivới 43 học sinh khá, giỏi trường THCS Lê Đình Kiên tôi thấy kết quả như sau:

Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến

dưới 7

Điểm từ 7 đếndưới 9

Điểm từ 9 đếndưới 10

2 Đối với giáo viên

Đây là vấn đề gây nhiều khó khăn cho các thầy cô vì không biết nói thếnào cho học sinh hiểu các yêu cầu có tính tổng quát, trừu tượng, cũng không biếtnên xuất phát từ đâu

Nhiều thầy cô cũng chưa chú trọng đến việc hình thành và phát triển tưduy tổng quát, tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi mà chỉ dạy theo thói quen,theo mô tiếp có sẵn, chưa thực sự đào sâu suy nghĩ về cách làm mà còn dạy theokiểu lướt qua coi trọng số lượng dạng – bài mà không chú trọng đến việc hìnhthành lối mòn tư duy sáng tạo tổng quát cho các em Một số thấy cô năng lực

còn hạn chế nhưng chưa chịu khó tìm tòi học hỏi, ngại thay đổi bản thân và chưathực sự tâm huyết với nghề, áp lực về thời gian và lượng kiến thức cần dạy cũng

là một nguyên nhân khiến thầy cô không thể thực hiện được

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Trước tình hình thực tế như trên, tôi đã nghiên cứu tài liệu cùng với kinhnghiệm giảng dạy của mình hệ thống lại một số bài tập ví dụ nhằm giúp học sinh

có định hướng tốt đồng thời tiếp cận dễ dàng với loại bài tập này Do thời gianchính khóa có hạn nên tôi đã hướng dẫn học sinh học chuyên đề này vào cácbuổi học phụ đạo, bồi dưỡng với cách thức nêu ra các ví dụ cụ thể, yêu cầu họcsinh thảo luận tìm lời giải, gợi ý sau đó nêu lời giải và rút ra các bài toán tổngquát, nhận xét cho từng ví dụ

*) Xuất phát từ bài toán:

Bài 1: Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn b a b c c d d e e a

Chứng minh rằng năm số a, b, c, d bằng nhau

Nhận xét: Để giải bài toán này cần củng cố lại cho học sinh một số kiến

thức về lũy thừa: với 2 lũy thừa bằng nhau cơ số của lũy thừa nào lớn hơn thì số

mũ của lũy thừa đó phải nhỏ hơn Tiếp đó cần giới thiệu với học sinh phương pháp chứng minh phản chứng đó là: ta giả sử các khả năng đi ngược lại với những gì đề yêu cầu, sau đó dùng những suy luận logic kết hợp với những gì đề

đã cho để dẫn tới những điều trái với giả sử, từ đó dẫn tới điều giả sử là sai

Hướng dẫn học sinh từng bước:

Giả sử a b kết hợp với b a b c b c

- với b c kết hợp với c b c d  c d

- vớic d kết hợp với d c d e d e

- với d <e kết hợp với d ee a  e a

- với e a kết hợp với a e a b a b vô lí, (trái với điều giả sử).

Ngược lại, giả sử a b bằng các lập luận tương tự ta lại dẫn tới a b vô lí, trái với điều giả sử

Suy ra: a b

Bằng cách lập luận tương tự như trên ta cũng dẫn đến b c ; c d ; d e ;

e a Vậy năm số a, b, c, d, e bằng nhau

Nhận xét: Sau khi giải song bài toán trên tôi đã yêu cầu học sinh nêu bài

toán tổng quát và trình bày lời giải cho bài toán tổng quát Để nêu được bài toántổng quát cần xác định rõ đặc điểm của bài toán đó là: số lượng các số đã chotrong bài gồm 5 số a, b, c, d, e ( là số lẻ các số), các lũy thừa được cho ở dạng

"lặp vòng tròn" theo nguyên tắc "số mũ của lũy thừa tiếp theo là cơ số của lũythừa liền trước nó"

Từ bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh làm tương tự cho một số bàitập tổng quát sau:

1 Cho n số tự nhiên (n là số lẻ) a a1 2, , ,an thỏa mãn điều kiện:

a1a2 a2a3  an a1

Chứng minh rằng n số tự nhiên (n là số lẻ) a a1 2, , ,an bằng nhau.

Hoặc bài toán sau:

2 Cho n số tự nhiên (n là số lẻ) a a1 2, , ,an thỏa mãn điều kiện:

Hoặc bài toán sau:

3 Cho n số tự nhiên (n là số lẻ) a a1 2, , ,an thỏa mãn điều kiện:

a1a2 a2a3  an a1 Chứng minh giá trị biểu thức:

không phải là số tự nhiên

*) Xuất phát từ bài toán:

Bài 2: Tính tổng ( 12 1)( 12 1)( 12 1) ( 12 1)

Hướng dẫn học sinh từng bước:

Ta thấy A là tích của 99 số âm nên ta có:

n A

Bài 3: Tính

2 23 2 25 2 27 22 1 2

1 2 2 3 3 4 ( 1)

n A



 với n N *

Nhận xét: Ta nhận thấy mỗi mẫu số là tích của 2 thừa số, mà hiệu của

thừa số lớn hơn với thừa số nhỏ hơn lại là tử số của mỗi phân số tương ứng vìvậy ta sẽ tách mỗi phân số thành hiệu 2 phân số khi đó trong tổng sẽ xuất hiệncác số đối nhau

Hướng dẫn học sinh theo hướng gợi mở từng bước:

Ta có 2 23 2 25 2 27 22 1 2

1 2 2 3 3 4 ( 1)

n A



 với n N * Chứng minh rằng: n n1A1

2 Cho 2 23 2 25 2 27 22 1 2

1 2 2 3 3 4 ( 1)

n A



 với n N * Tìm n để 64 1 25

Giáo viên lại nêu bài toán tổng quát:

Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp làm trội, biến đổi mỗi phân số ở

vế trái thành phân số lớn hơn có mẫu thuận lợi cho việc tách thành hiệu 2 phân

số làm xuất hiện các số đối nhau trong tổng mới

n A

Lúc này câu hỏi đặt ra là có thể phát triển bài toán bằng cách tăng cácthừa số trong mỗi tích của tổng là 3, 4, 5, …, m số tự nhiên liên tiếp ta sẽ có bàitoán tổng tổng quát mạnh hơn.

N 1.2.3 m 2.3.4 (m 1) 3.4.3 (   m2)  k k( 1)(k2) (k m  1) Hướng dẫn cho học sinh thực hiện tương tự bằng cách nhân 2 vế với m+1

và tách 1 thừa số trong mỗi tích làm xuất hiện các số đối nhau trong tổng ta tínhđược N k k( 1)(k 2) (1 k m)

m





Từ việc tính tổng trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh tổng

3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

*) Xuất phát từ bài toán rất quen thuộc sau :

Bài 8: Tính tổng : 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 99.100

Hướng dẫn học sinh từng bước: Giáo viên hướng dẫn học sinh tách các tử

số thành hiệu 2 số dưới mẫu và tách mỗi phân số thành hiệu 2 phân số mớinhằm làm xuất hiện các số đối nhau

2 1 3 2 4 3 100 99 1 1 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100

1 991

     không phải là số nguyên

Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1; a2; ; an-1 là các số tự nhiên lớn hơn 1

3 Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; ; an-1 sao cho:

12 12 12 21 1

a a a  an 

Hoặc bài toán:

4 Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a2020 thỏa mãn: a1 < a2 <a3 < < a2019 < a2020

6 3 2

4 2 2 2

9 18 4

3 2 4 3 2

z y

x z

y x z y x

Với a, b, c, d là các số cho trước và m, n, p khác 0.

Phương pháp giải là chon các số m, n, p để nhân thêm vào tử và mẫu của các tỉ

số rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tạo ra tỉ số là một hằng số.

x y z mx ny pza b c ma nb pc= = = = = ma nb pc ma nb pc mx ny pz   d

*) Xuất phát từ các bài tập rất cơ bản về dãy tỉ số bằng nhau:

Bài 10: Tìm các số x, y, z biết

a) 3 4 5x  y z và 2x 2y24z2141

b) 3 4 5x  y z và 2x2y2 3z277

Hướng dẫn học sinh từng bước, dựa vào điều kiện đi kèm là biểu thức liên

hệ giữa các biến 2x 2y24z2141; 2x2y2 3z277 để bình phươngcác tỉ số bằng nhau ban đầu 3 4 5x  y z thành các tỉ số bằng nhau mới có mũ củabiến là 2, cụ thể:

345

x y z

345

x y z

x y z

345

x y z

Hoặc một bài tập khai thác tính chất của lũy thừa bậc chẵn kết hợp với tính chấtdãy tỉ số bằng nhau như sau :

Bài 11: Cho x p y q1  1 2nx p y q2  2 2nx p y q m  m 2n0 với mọi

Cho học sinh suy nghĩ, nháp bài và hướng dẫn học sinh từng bước, ở đây

vế trái là tổng các lũy thừa bậc chẵn nên đánh giá từng hạng tử, từ đó rút ra dãy

tỉ số bằng nhau và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để được kết quả

n n

1 154

1 88

1 40

1 10

2

15

1 10

1 6

1 3

b) Cho B = 3 8 15 24 2499

4 9 16 25    2500 Chứng tỏ B không phải là số nguyên

c) Cho A = 1 1 1 1

1 3 1 3 5 1 3 5 7         1 3 5 7 2019     Chứng minh A 3

Bài 15: Cho biểu thức: P=x+y y+z z+tz+t +t+x x+y z+y Tính giá trị của biểu thức P+ +t+x

biết rằng: y+z+t z+t+xx  y t+x+y x+y+zz  t

Bài 16: Cho 2020 số thoả mãn a1+a2+ +a2020  0

2(a +a + +a1 2 2019+a2020)

Thì giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x

Bài 18: Cho bz-cy cx-az ay-bx

  và b' c' 1

c

b   Chứng minh rằng: abc + a’b’c’ = 0

Bài 20: Cho a b dc C¸c sè x, y, z, t tháa m·n: xa yb 0 vµ zc td 0

Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đối với 43học sinh này đã được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng học sinh đạt điểmkhá giỏi đã tăng lên khá nhiều.

Điểm dưới 5 Điểm từ 5

đến dưới 7

Điểm từ 7đến dưới 9

Điểm từ 9đến dưới 10

Tôi đã gặt hái được rất nhiều thành công trong công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi các cấp, từ cấp huyện-cấp tỉnh và thi vào chuyên toán, tin Lam Sơn.Năm học 2018-2019 học sinh giỏi do tôi bồi dưỡng đã đạt được 12 giải học sinhgiỏi môn toán khối 7 - đồng đội xếp thứ nhất, khối 8 có 7 em đậu vào vòng I độituyển toán của huyện chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học2019-2020 (nhiều nhất huyện) Qua các năm học đều được cấp trên, nhà trường,học sinh và phụ huynh ghi nhận, điều đó càng làm cho tôi vững tin vào những gì

mà mình đang hướng dẫn cho các lứa học trò tiếp theo

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

I Kết luận

Trên đây là một số bài tập tiêu biểu mà tôi đã giảng dạy cho học sinh khágiỏi nơi mình đang công tác trong quá trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh khá,giỏi trong nhiều năm của nhiều khóa học khác nhau trong phần kiến thứcchương I đại số lớp 7, hàng năm tôi đều có sự nghiên cứu trao đổi với đồngnghiệp, tổng kết và bổ sung Với cách làm như vậy ở nhiều loại bài tập khácnhau cả đại số, hình học, toán suy luận logic cũng như số học, tôi nhận thấy khảnăng nhận dạng cũng như giải quyết các bài tập khó có sự tiến bộ rõ rệt, các em

đã hoàn thành tốt các bài tập mà tôi đã đưa ra và cách vận dụng cho từng bài cụthể, các bài toán con, bài toán tổng quát, hình thành tư duy logic sáng tạo, tư duytổng quát cho học sinh giúp tôi có rất nhiều học sinh giỏi đạt giải nhất, nhì, cấphuyện, cấp tỉnh Trong các học sinh của tôi khi học tại Lam Sơn phát triển rất tốt

ví dụ em: Trịnh Hoàng Đức đạt giải ba quốc gia môn toán năm học 2014(lớp 11), giải nhì quốc gia môn toán năm học 2014-2015(lớp 12); em TrịnhHữu Gia Phúc đạt giải nhì quốc gia môn tin năm học 2016-2017(lớp 10), đạtgiải nhất quốc gia môn tin năm học 2017-2018(lớp 11), Huy chương bạc châu áthái bình dương môn tin năm 2018, năm 2019 em là một trong số các học sinhcủa Việt nam sẽ tham dự Olympic tin học quốc tế Để đạt được kết quả tốt giáoviên cần phải hệ thống lại và hướng dẫn gợi ý để học sinh dễ tiếp cận, đồng thời

2013-dễ nhớ cách làm với từng dạng bài tập khác nhau, phải đi từ 2013-dễ đến khó, từtrường hợp riêng rồi mới đến trường hợp tổng quát, xem xét bài toán dưới nhiềugóc độ khác nhau Người thầy cần khơi dậy sự chủ động tìm tòi, tính tích cực vàsáng tạo của học sinh thông qua các bài giảng của mình góp phần nâng cao hiệuquả chất lượng giáo dục trong nhà trường

II Đề xuất

Việc giảng dạy các loại bài tập này cần bố trí vào các buổi học bồi dưỡnghọc sinh khá giỏi với thời gian thích hợp, cả học ở trường với sự hướng dẫn củathầy cùng với việc tự học ở nhà để học sinh có thể nắm bắt tốt

Thầy cô giáo nên có sự nghiên cứu, tìm tòi nhiều hơn tâm huyết hơn chocác công tác giảng dạy nhất là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, cần có cái nhìnsâu rộng xuyên suốt nội dung chương trình môn toán để có cách hình thành tưduy cho học sinh từ thấp đến cao – từ trường hợp riêng đến tổng quát giúp nângtầm tư duy học sinh qua các năm học để các em học tập sáng tạo đạt kết quả cao

Nhà trường, Phòng giáo dục và đào tạo, Sở giáo dục và đào tạo cần cónhiều biện pháp hơn nữa trong ghi nhận và khuyến khích giáo viên nghiên cứu

và đưa vào áp dụng các đề tài SKKN có hiệu quả cao, cần tổ chức các buổi traođổi chuyên đề về thực trạng tại các nhà trường hiện nay, có định hướng và yêucầu đối với cán bộ, giáo viên nghiên cứu đưa ra các giải pháp tốt đồng thời giớithiệu nhiều sáng kiến hay, nhiều kinh nghiệm tốt để mọi người có thể tham khảo

và học tập

Tôi mong muốn nhận được sự hưởng ứng tích cực từ phía các thầy cô vàcác em học sinh về trao đổi, nghiên cứu tìm hiểu các chuyên đề về các dạng toánnói chung và các dạng bài tập này nói riêng nhằm nâng cao chất lượng dạy và