Gọi CD là một đờng kính bất kỳ, AC và AD cắt tiếp tuyến trên thứ tự tại P và Q, Trung điểm của BP và BQ thứ tự là M và N a Chứng minh rằng tứ giác PCDQ nội tiếp một đờng tròn b Chứng mi
Trang 1đề thi môn: Toán 9
( Thời gian làm bài 150 Phút)
I/ Phần trắc nghiệm: (2,5điểm)
Viết vào bài thi chữ cái đứng trớc câu trả lời của các câu sau:
Câu 1: Căn bậc hai của 2 là:
A/ 4 B/ 2 C/ - 2 D/ 2 và - 2
Câu 2: Giá trị của biểu thức 4 2 3− + 7 4 3− là
A/ 1 B/ 3 C/ 3 D/3 2 3 −
Câu 3: Phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm A(1; 3) và song song với đờng thẳng (d):
2x + y = 3 là:
A/ y = 2x + 1 B/ y = 1
2x + 5
2 C/ y = - 2x + 5 D/ y = 3x
Câu 4: Biết α là góc nhọn và tgα = 0,75 Vậy Sinα bằng
A/ 0,8 B/ 0,7 C/ 0,6 D/ 0,5
Câu 5: Đờng tròn có bán kính 20cm, lục giác đều nội tiếp đờng tròn đó có độ dài cạnh là:
II/ Phần tự luận: (7,5điểm)
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: A = ( 72 + 48 2 45 : 3 18 + ) ( + 108 3 45 + )
Bài 2: Cho đờng thẳng (d1): y = (2m – 1)x + 4m – 5 và đờng thẳng (d2): x – y = 3 a) Tìm m để hai đờng thẳng đó cắt nhau
b) Tìm toạ độ điểm cố định của (d1)
Bài 3: Cho phơng trình ( x – 2)( x2 – 2x + 2 – m) = 0 ( m là tham số)
a) Giải phơng trình với m = 1
b) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB, vẽ tiếp tuyến tại B với đờng tròn Gọi CD là
một đờng kính bất kỳ, AC và AD cắt tiếp tuyến trên thứ tự tại P và Q, Trung điểm của BP
và BQ thứ tự là M và N
a) Chứng minh rằng tứ giác PCDQ nội tiếp một đờng tròn
b) Chứng minh rằng trực tâm của tam giác AMN là trung điểm của OB
c) Xác định vị trí của đờng kính CD để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất Giá trị đó là bao nhiêu tính theo R?
Bài 5: Giải phơng trình : 4 x 1 x 2x 5
x + − = +x − x
Trang 2đáp án I/ Phần trắc nghiệm: mỗi câu đúng đợc 0,5 điểm
II/ Phần tự luận:
2 3 2 2 3 3 5 2
3
3 3 2 2 3 3 5
=
Bài 2: (1 điểm) Mỗi ý đúng cho 0,5 điểm
a) (d2): y = x – 3 Hai đờng thẳng đó cắt nhau⇔2m - 1≠1 ⇔m ≠1
b) Gọi điểm cố định của (d1) là A(x0; y0) nên:
2m(x0+ 2) = y0+ x0 + 5 đúng với mọi m ⇔x0 = - 2 ; y0 = - 3
Vậy điểm cố định của (d1) là A( - 2; - 3)
Bài 3: (1,5 điểm)
a) (1đ) Thay m = 1 vào phơng trình ta có: (x – 2)(x2 – 2x + 1) = 0 →x1 = 2; x2 = 1
b) (0,5đ) Phơng trình đã cho trở thành x – 2 = 0 (1)
x2 – 2x + 2 - m = 0 (2)
Phơng trình (1) có một nghiệm x = 2, do đó phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ⇔
phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ 1 < m ≠2
Bài 4: (3 điểm) Mỗi ý đúng cho 1 điểm ( Với điều kiện phải vẽ hình chính xác)
a) ∠ACD = ∠AQP → ∠PCD + ∠DQB = 1800
→ tứ giác PCDQ nội tiếp một đờng tròn.
b)Vẽ MK ⊥ AN, MK cắt AB tại H
Vì PQ là tiếp tuyến đờng tròn (O) tại B →
AB ⊥ PQ → H là trực tâm của tam giác APQ
∆BMH và ∆BAN cùng vuông tại B có:
∠BMH = ∠BAN → ∆BMH và ∆BAN đồng dạng →
BH = BM BN.
2
R →H là trung điểm của OB
c) Diện tích ∆APQ là S = R PQ = R( PB + BQ) ≥ R 2 BP BQ.
→ S ≥ 2R AB2 → S ≥ 2R AB→ S≥4R2 dấu “=” xảy ra ⇔CD ⊥AB
Vậy diện tích của ∆APQ có giá trị nhỏ nhất là 4R2 khi và chỉ khi đờng kính CD vuông góc với đờng kính AB
H
K
Q
D C
A
O
Trang 3Bµi 5: (1®)
§Æt x 1
x
− = a ; 2x 5
x
− = b ®iÒu kiÖn a > 0 ; b ≥ 0 ; x ≠ 0 Nªn ta cã: a – b = x - 4
x vµ a2 – b2 = 4
x - x → ( a – b)(a + b + 1) = 0
→ a – b = 0 ( v× a + b + 1 > 0) → a = b → x = 2 ( tho¶) ; x = - 2 (lo¹i)
VËy ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 2