Sự tương quan giữa điện xoay chiều và số phức * Xét đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp, u = U0cosωt + φV Ta có giản đồ vectơ như sau: - Trục hoành biểu diễn R - Phần dương của trục trung bi
Trang 11/ CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 Sự tương quan giữa điện xoay chiều và số phức
* Xét đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp, u = U0cos(ωt + φ)(V)
Ta có giản đồ vectơ như sau:
- Trục hoành biểu diễn R
- Phần dương của trục trung biểu diễn L
- Phần âm của trục trung biểu diễn C
- Vectơ U có độ lớn U0 và tạo với trục hoành một góc là φ
* Xét một số phức bất kỳ x = a +bi
Số phức này được ghi dưới dạng lượng giác là x = Xo
Và được biểu diễn như hình bên
- Trục hoành biểu diễn phần số thực (số a)
- Trục tung biểu diễn phần số ảo (số b)
- Vectơ X có độ lớn X0 và tạo với trục hoành một góc là φ
* Như vậy ta có thể xem R như là một số phức chỉ có phần thực a (vì nằm trên trục hoành), L và C là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục tung) Nhưng chúng khác nhau là L nằm ở phần dương nên được biểu diễn là bi C nằm ở phần âm nên được biểu diễn là –bi u và i được xem như là một số phức x và
được viết dưới dạng lượng giác X0
Ví dụ:
Các đại lượng trong điện xoay
chiều
Biểu diễn dưới dạng số phức
u = 100cos(100πt + π/6) (V) 100
i = 2√2cos(100πt – π/4) (A) 2√2
1.2 Các công thức tính toán cơ bản
Khi giải các bài tập điện xoay chiều bằng số phức, ta xem đoạn mạch này
như là đoạn mạch một chiều với các phần tử R, L, C mắc nối tiếp.
Chúng ta chỉ sử dụng một định luật duy nhất để giải, đó là định luật Ôm trong mạch điện một chiều
1
φ
φ
π 6
-π 4
UL
UC U
b a
X
Trang 2hay U = I.R hay
Trong đó R không chỉ riêng mỗi điện trở mà chỉ chung tất cả những vật có trở kháng (R,ZL, ZC….)
Trong chương trình phổ thông chúng ta chỉ học đoạn mạch xoay chiều mắc nối tiếp cho nên trong đoạn mạch một chiều gồm R1, R2, ……, Rn nối tiếp
ta có:
R = R1 + R2 + ……+ Rn
U = U1 + U2 + ……+ Un
I = I1 = I2 = …….= In
1.3 Thao tác trên máy
1.3.1 Những thao tác cơ bản
- Để thực hiện tính toán số phức trên máy chúng ta phải vào mode CMPLX bằng cách ấn [Mode][2] Trên màn hình hiện CMPLX
- Trong mode CMPLX, để nhập ký hiệu i ta nhấn ENG
- Để nhập ký hiệu ngăn cách ta nhấn [SHIFT][(-)]
Như ta đã biết, số phức có hai cách ghi, đó là đại số và lượng giác
- Khi máy tính hiển thị ở dạng đại số (a+bi) thì chúng ta sẽ biết được phần thực
và phần ảo của số phức
- Khi máy hiển thị ở dạng lượng giác (X0 ) thì chúng ta sẽ biết được độ
dài (modul) và góc φ (argumen) của số phức
- Mặc định máy tính sẽ hiển thị kết quả dưới dạng đại số Để chuyển sang dạng
lượng giác ta nhấn [SHIFT][2], chọn [3], nhấn [=] Kết quả sẽ được chuyển
sang dạng lượng giác
1.3.2 Những lỗi thường gặp
- Khi cài đặt máy ở chế độ đơn vị đo góc nào thì phải nhập đơn vị đo góc ấy
+Trong mode độ (màn hình hiện lên chữ D), ta phải nhập đơn vị là độ (ví
dụ 450, 600, … )
+Trong mode rad (màn hình hiện lên chữ R), ta phải nhập đơn vị là độ (ví
dụ π/4, π/3, … )
- Cách cài đặt máy: Nhấn ([SHIFT][Mode]
Nhấn [3] cài đặt máy ở đơn vị đo là độ.
Nhấn [4] cài đặt máy ở đơn vị đo là radian.
- Trên máy Fx 570 ES, để bấm nhanh ta thường ấn dấu chia thay cho dấu phân
số Chính vì vậy trong quá trình bấm máy thường xuất hiện những lỗi như sau
U
I =
R
U
R = I
φ
1 π π
Trang 3
khác
khác
3 + 2i khác 3 + (2i)
- Cách khắc phục: Sử dụng dấu ngoặc
2/ CÁC DẠNG BÀI TẬP
(Nhấn [Mode][2] để chuyển sang mode số phức, cài đặt máy ở đơn vị góc radian)
1 Viết biểu thức cường độ dòng điện khi biết biểu thức hiệu điện thế hai đầu mạch
Muốn giải dạng toán này thông thường học sinh phải tìm được tổng trở toàn mạch, tìm được cường độ dòng điện cực đại và độ lệch pha của điện áp so với cường độ dòng điện Xin được giới thiệu phương pháp giải bằng số phức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay
Ví dụ 1: Khi đặt hiệu điện thế không đổi 30V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện
trở mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm 1/4π (H) thì dòng điện trong mạch là dòng điện một chiều có cường độ 1A Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch này điện áp
u = 150√2cos120πt (V) thì biểu thức cường độ dòng điện qua mạch là:
A i = 5√2cos(120πt – π/4) (A) B i =5cos(120πt + π/4) (A)
C i = 5√2cos(120πt + π/4) (A) D i = 5cos(120πt – π/4) (A)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với điện áp không đổi:
R = U1/I = 30/1 = 30Ω
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 120π (rad/s), R = 30Ω, ZL=30Ω,
tổng trở phức là Z = 30 + 30i
- Suy ra i = u/Z= 150√2/(30 + 30i)
i = 5√2/2 +5√2i/2 = 5
150√2: (30+30[ENG])= [SHIFT][2] [3]=
Kết quả: 5
có nghĩa là i = 5cos(120πt – π/4) (A)
3
1 π
2 4
1 π:4
2
- π 4
- π 4
Trang 4Ví dụ 2: Cho mạch điện không phân nhánh RLC: R = 80Ω, cuộn dây có điện trở 20Ω, có độ tự cảm L=0,636H, tụ điện có điện dung C=31,8µF Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 200cos(100π
t-4
π ) (V) thì biểu thức cường độ dòng điện
chạy qua mạch điện là:
A i = 2cos(100πt
-2
π ) (A) B i = cos(100πt +
2
π ) (A)
C i = 2cos(100πt -
4
2cos100πt (A)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), R = 80Ω, r= 20Ω,
ZL = 200Ω, ZC = 100Ω, tổng trở phức
là Z = 100 + 200i-100i
- Suy ra i = u/Z
i = 200 /(100 + 200i-100i)
√2
200[SHIFT][(-)]
:(100+200[ENG]-100[ENG])=
[SHIFT][2][3]=
Kết quả: √2 nghĩa là i = √2cos(100πt – π/2) (A)
2 Viết biểu thức điện áp ở hai đầu một mạch điện khi cho biểu thức cường
độ dòng điện trong mạch
Muốn giải dạng toán này thông thường học sinh phải tìm được tổng trở toàn mạch, tìm được điện áp cực đại và độ lệch pha của điện áp so với cường độ dòng điện Xin được giới thiệu phương pháp giải bằng số phức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay
Ví dụ : Dòng điện chạy qua một đoạn mạch gồm cuộn dây thuần cảm có L =
1/10π (H), mắc nối tiếp với một tụ điện C = 2.10-4/π (F) có biểu thức i =
2√2cos(100πt – π/6) (A) Biểu thức điện áp hai đầu mạch có thể là:
A u = 80√2cos(100πt + π/6) (V) B u = 80√2cos(100πt + π/3) (V)
C u = 80√2cos(100πt - 2π/3) (V) D u = 80√2sin(100πt + π/6) (V)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), ZC = 50Ω, ZL = - π 2√2 [SHIFT][(-)]
6
- π 2
- π 2
- π
4
- π 4
Trang 510Ω, tổng trở phức là Z = 10i - 50i
- u = i.Z= 2√2 x (10i - 50i)
= 80√2
50[ENG])=
[SHIFT][2][3]=
Kết quả: 80√2
u = 80√2cos(100πt - 2π/3) (V)
3 Viết biểu thức điện áp ở hai đầu một đoạn mạch thành phần khi biết biểu thức hiệu điện thế hai đầu mạch
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ
Có R = 100Ω, L = 0,318H, C = 15,9μF
Điện áp hai đầu mạch có dạng
uAB = 200√2cos(100πt - 7π/12) (V)
Viết biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch MB
A uMB = 200√2cos(100πt + 7π/12) (V) B uMB = 200cos(100πt + 7π/12) (V)
C uMB = 200cos(100πt - 5π/6) (V) D uMB = 200cos(100πt - 5π/12) (V)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), ZC = 200Ω,
ZL = 100Ω, R = 100 Ω,
- Tổng trở phức của AB là
ZAB = 100+100i - 200i
- Tổng trở phức của MB là
ZMB = 100i - 200i
- i = uAB/ZAB
= 200√2 :( 100+100i -
200i) =
- Có i rồi ta suy ra uMB = i.ZMB
= uABxZMB/ZAB = 200
200√2[SHIFT][(-)]
:(100+100[ENG]-200[ENG])=x (100[ENG]-200[ENG])=
[SHIFT][2][3]=
Kết quả: 200 uMB = 200cos(100πt - 5π/6) (V)
Ví dụ 2: Mạch như hình vẽ A L Đ D C B
Biết Đ: 100V – 100W ; L =π
1
H , C = µF
π
50
,
5
- 2π 3
- 2π 3
- π 6
- 5π 6
- 7π 12
- 7π 12
- 5π 6
Trang 6uAD = 200 2sin (100 πt +
6
π
)(V) Biểu thức uAB có dạng
A 200 2sin (100 πt +
4
π
)(V) B 200 sin (100 πt –
4
π
)(V)
C 200 2sin (100 πt –
3
π
)(V) D 200 sin (100 πt +
3
π
)(V)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), ZC = 200Ω,
ZL = 100Ω, R = 100 Ω,
- Tổng trở phức của AB là
ZAB = 100+100i - 200i
- Tổng trở phức của AD là
ZAD = 100 +100i
- i = uAD/ZAD
= 200√2 :( 100+100i) =
- Có i rồi ta suy ra uAB = i.ZAB
= 200√2
200√2[SHIFT][(-)]
:(100+100[ENG])=x (100+100[ENG]-200[ENG])=
[SHIFT][2][3]=
Kết quả: 200√2 uAB= 200√2cos(100πt - π/3)(V)
4 Viết biểu thức điện áp hai đầu mạch chính khi biết điện áp hai đầu từng đoạn mạch
Như ta đã biết, trong đoạn mạch một chiều, muốn biết hiệu điện thế
đoạn mạch thì ta chỉ cần cộng các hiệu điện thế thành phần có trong mạch lại
với nhau
Ví dụ : Mạch như hình vẽ A L M C B
uAB = 120 2cos100 πt (V) Dùng vôn kế có điện trở rất lớn đo giữa A và M thì thấy nó chỉ 120V, và uAM nhanh pha hơn uAB
2
π
Biểu thức uMB có dạng :
A uMB= 120 2cos(100 πt + π/2 )(V) B uMB= 240cos(100 πt – π/4 )(V)
C uMB= 120 2cos(100 πt + π/4 )(V) D uMB= 240cos(100 πt – π/2 )(V)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- uAM= 120√2cos(100πt + π/2)
- uAB = uAM + uMB π 2 120√2 –(120√2[SHIFT][(-)] =
- π
3 6
π 6
π 6
- π 3
Trang 7Suy ra uMB = uAB - uAM
- u MB= 120√2 – (120√2 )
[SHIFT][2][3]=
Kết quả: 240 uMB = 240cos(100πt - π/4) (V)
5 Tìm các thành phần R, L, C trong một đoạn mạch điện xoay chiều
Ta chia R, L, C thành hai nhóm :
- Nhóm 1 : Điện trở (R)
- Nhóm 2 : Cuộn cảm và tụ điện (L và C)
Lấy u chia i, hiển thị dưới dạng đại số thì kết quả sẽ rơi vào những dạng như sau
• a + bi : Đoạn mạch có cả nhóm 1 và nhóm 2 (trong đó a là giá trị của điện trở R, b là tổng trở của nhóm 2 Nếu nhóm 2 chỉ có một phần tử thì b là trở kháng của phần tử đó)
• a : Đoạn mạch chỉ có điện trở
• bi : đoạn mạch chỉ có nhóm 2
+bi : nhóm 2 chỉ có L hoặc có cả L và C nhưng ZL > ZC
- bi : nhóm 2 chỉ có C hoặc có cả L và C nhưng ZL < ZC
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều gồm có R = 40Ω, cuộn dây thuần cảm có L
= 1/2π(H) và tụ điện C Điện áp hai đầu mạch u = 160cos100πt(V) Biết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là i = 2√2cos(100πt + π/4)(A) Tìm điện dung của tụ điện
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), R = 40Ω, ZL =
50Ω, tổng trở phức là
Z = 40 + 50i - ZCi (1)
- Z = u/i= 160:(2√2 ) =
40-40i (2)
- So sánh (1) và (2) rút ra
50 – ZC = -40
- Vậy ZC = 90Ω → C= 1/9000π (F)
160: (2√2 [SHIFT][(-)] =
40 – 40i
Kết quả: 50 – ZC = -40 → ZC = 90Ω
→ C= 1/9000π (F)
7
- π 4
π 2
π 4 π 4
Trang 8Ví dụ 2:
A R C M R0, L B Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ
R = 50Ω, C = 2.10-4/π (F),
uAM= 80cos100πt(V), uMB = 200√2cos(100πt + π/2)(V) Giá trị của R0 và L là:
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), R = 50Ω, ZC=50Ω,
tổng trở phức là ZAM = 50 - 50i
- i = uAM/ZAM= 80:(50-50i)
- ZMB= uMB/i
200√2[SHIFT][(-)] :(80: (50 – 50i))=
Kết quả: 176.77+176,77i → R0 = 176,8Ω,
ZL = 176,8Ω → L = 0,56 (H)
π 4